قواسم عدد طبيعى

4 09 2008

يكون العدد الصحيح الطبيعي b قاسما لعدد الصحيح الطبيعي aإذا كان العدد a مضاعفا للعددb

العدد 1 هو قسم لكل الاعداد الصحيحةالطبيعية

كل العداد الصحيحة المغايرة للصفر هي قواسم لصفر

كل عدد صحيح طبيعي مغاير لصفر هو قاسم لنفسه

يكون العدد الصحيح الطبيعي أوليا إذا كان له 1 هو نفسه و: قاسمان فقط

العدد 1غير أولي

العدد 2 هو العدد الصحيح الطبيعي الزوجي الوحيد الأولي

يكون العدد الصحيح الطبيعي المخالف ل1عددا أوليا إذا كان لا يقبل القسمة الا على1 وعلى نفسه

الأعداد الأولية الأكبر من 100 :

2,3,5,7,11,13,17,9,23,19,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97.

طريقة تحديد الأعداد الأولية الأكبر من 100

لكي نعرف إذا كان عدد صحيح طبيعي اكبر من100 و أصغر من 10000 عددا اوليا أم لا نقسمه على الأعداد الأولية واحدا واحدا و بالترتيب –انطلاقا من2- ونتوقف عند اول عملية قسمة تعطينا احدى النتيجتين :

I. إما باق مساو ل0 : وفي هذه الحالة يكون العدد غير أولي )عملية القسمة مستوفاة(

II. إما خارج القسمة أصغر من القاسم )ويكون الباقي مغايرا للصفر( وفي هذه الحالة يكون العدد أوليا ولا يقبل القسمة الا على 1وعلى نفسه

يكون العدد الصحيح الطبيعي aأوليا إذا كانت مجموعة قو اسمه مجموعة ثنائية

يكون العدد الصحيح الطبيعي أوليا إذا كان له قاسمان فقط :نفسه و العدد واحد

التفكيك الىجذاء عوامل اولية

كل عدد صحيح طبيعي غير أولي يمكن كتابته في

شكل جذاء كل عوامله اعداد اولية مثلا: 100=2×5

وتسمى هذه الكتابة التفكيك الى جذاء عوامل اولية

100 :للعدد

.304:لنفككالعدد

304 2

152 2

76 2
38 2

19 19

304 = 2x2x2x2x19

=24 x19

تمرين عدد1

بحيث يكونb و aأوجد عددين صحيحين طبيعيين

axb= 36 و a+b=20

20مجموعهما 36للحل اوجد قاسمين من قواسم العدد

:بحيث يكونb و aأوجد عددين

a x b = 72 و a = 2 x b

2تمرين عدد

الى جذاء عوامل اولية729فكك العدد

مربع لعدد صحيح طبيعي729بين ان العدد

واحسبه




السنة 4 من التعليم المتوسط / رياضيات

4 09 2008

السنة 4 من التعليم المتوسط

الفهـرس

المقدمة :

1- تقديم المحاور الكبرى للبرنامج

1.1- الأنشطة العددية

2.1- الدوال وتنظيم معطيات

3.1- الأنشطة الهندسية

2- التدريب على الاستدلال الاستنتاجي

3- التكنولوجيات الجديدة للإعلام والاتصال

4- اقتراح نموذج للتوزيع السنوي

5- بيداغوجيا الإدماج

6- التقويم

المقدمة :

أعدت هذه الوثيقة خصيصا للأستاذ، وتعدّ أداة هامة إذا أحسن استغلالها، فهي تمنحه توضيحات حول كيفية تنفيذ البرنامج. وظيفتها الأساسية، أن تمكن الأستاذ من فهم البرنامج، بتقديم وتوضيح المحاور الكبرى له. كما تقترح عليه نماذج لأنشطة مختارة للقسم، يمكن أن تساعده عند تحضيره لوضعيات تعلّمية.

أمّا فيما يتعلق بوظيفتها التكوينية، فتبقى العناصر المقترحة في الوثيقتين المرافقتين لبرنامجي السنة الأولى والسنة الثانية والمتعلقة بنمو المراهق وخاصة المستجدات التعليمية للمادة والممارسات الجديدة لفعل التعليم/التعلّم، مادة يمكن أن يستغلها الأستاذ في تحسين أدائه.

1- تقديم المحاور الكبرى للبرنامج :

1.1- الأنشطة العددية

يتواصل تعلّم الحساب العددي في أشكاله المختلفة (اليدوي، الذهني، الأداتي) من خلال حلّ مشكلات متنوّعة بهدف التحكّم في الحساب على الأعداد الناطقة والشروع في الحساب على الجذور التربيعية. كما يواصل التلميذ تعلّم الحساب الحرفي من خلال أنشطة نشر وتبسيط وتحليل عبارات جبرية وحلّ معادلات وإنجاز بعض البراهين وحلّ بعض المشكلات في مجال الحساب.???

? قواسم عدد طبيعي، القاسم المشترك الأكبر، الكسور غير القابلة للاختزال.

إنّ هذا الباب (الحساب) كان يُقدّم في المنهاج السابق في السنة السابعة أساسي، وإدراجه في السنة الرابعة من التعليم المتوسط يستجيب لمبدأ توزيع المجالات على السنوات الأربع وكذا االتعليم الحلزوني للمفاهيم.

يسمح هذا الباب بتزويد التلميذ بأداة لتحويل كسر إلى كسر غير قابل للاختزال بالاعتماد على القاسم المشترك الأكبر، علما أن اللجوء إلى الخوارزمية المدروسة غير ضروري لاختزال الكسور البسيطة.

يهدف إدخال مفهوم القاسم المشترك الأكبر بخوارزمية إقليدس إلى ربط هذا المفهوم بالقسمة الإقليدية وكذا استغلال أدوات الحساب (المجدولات على الخصوص). لذا، فإنّ مفهوم العدد الأوّلي وبالتالي التحليل إلى جداء عوامل أولية خارج البرنامج.

كما يوّفر هذا الباب فرصا عديدة لتقديم أنشطة لاستثمار التعلّمات المتعلقة بالاستدلال الاستنتاجي (خارج المجال الهندسي) والحساب الحرفي وهذا من خلال انجاز بعض البراهين لخواص مقررة في هذا البرنامج أو عند معالجة بعض المشكلات (انظر الفقرة الخاصة بالاستدلال والبرهان).

? الحساب على الجذور.

سبق للتلميذ أن صادف في السنة الثالثة أعدادا مثل من خلال أنشطة متعلقة بخاصية فيثاغورس. تتوسع معارف التلميذ حول الأعداد الصمّاء ويمكن في هذا الإطار البرهان على أنّ ?مثلا، ليس عددا ناطقا.

تستغلّ خواص الجذور التربيعية والعمليات عليها، بالخصوص، في تبسيط عبارات عددية. يجب آلا يتمّ هذا التبسيط بصفة آلية، بل تختار الكتابة الملائمة أكثر مع المشكلة المطروحة.

فمثلا، الكتابة ?ليست بالضرورة « أحسن » من ، فالكتابة الأولى مفيدة ومناسبة لتبسيط المجموع ( ) والثانية هي المفضلة عند حساب أطوال واستعمال عكس نظرية فيثاغورس.

يسمح هذا الباب للتلميذ بمواصلة ممارسة الحساب المضبوط والحساب التقريبي.

نشاط : الجذور التربيعية

المرحلة الأولى :

نعتبر المربعات الأربعة الممثلة كالآتي :

مساحة كلّ مربع في الشبكة هي .

1. انطلاقا من الشكل، عيّن مساحة وضلع كلّ مربع.

?

المساحة A للمربع

الطول ?للضلع

2. عبّر عن A بدلالة .

……………………………………………………………………………………………..

3. أكمل الجمل الآتية :

طول ضلع المربع الذي مساحته ?هو ……………………………………………..

العدد 3 هو …………………………………………………………………….. ??

ونكتب ………………………………………………………………………….

4. استنتج عبارة ?بدلالة A. أعط شروط كتابة العبارة المحصّل عليها.

……………………………………………………………………………………………..

5. عيّن القيمة المدوّرة إلى ?لضلع مربع مساحته .

…………………………………………………………………………………………..

المرحلة الثانية :

1)- ، عددان موجبان . أكمل الجدول الآتي :

9
36

0,01
0,25

81
256

2)- انطلاقا من الجدول، أعط قواعد الحساب التالية :

، عددان موجبان، لدينا :

??????????? ؛???????????

? الحساب الحرفي والمعادلات

? الحساب الحرفي

يتواصل تعلّم الحساب الحرفي باستعمال الحروف في وظائفها المختلفة من خلال العمل على العبارات الجبرية (النشر، التبسيط، التحليل) مع إدخال الجداءت الشهيرة وحلّ معادلات ومتراجحات.

فيما يخصّ موضوع الجداءات الشهيرة، وقصد استباق الأخطاء المتداولة (مثل الكتابة )، يمكن اقتراح وضعيات مشكلات تجعل التلميذ يدرك بنفسه هذه الأخطاء ويتجاوزها.

مثال :

استبدلتُ قطعة أرض مربعة الشّكل طول ضلعها ?بقطعتي أرض مربعتي الشكل طول ضلع الأولى ?وطول ضلع الثانية .

هل ربحت أم خسرت في الأمر ؟

مثل هذا النشاط يبيّن للتلميذ أنّ ?قبل تأسيس هذه المعرفة (المتطابقات الشهيرة).

يجب السهر على عدم المبالغة في التمارين التقنية والاكتفاء في مجال التحليل بأمثلة بسيطة.

ونحرص في هذا المجال، كما كان الشأن في السنة الثالثة متوسط، عل جعل التلميذ يدرك الاختلاف بين المجموع والجداء، وهو أمر أساسي وضروري بالنسبة إلى إتقان الحساب الحرفي ومنه تبسيط الكتابات الحرفية.

وكما ذُكر في الوثائق المرافقة لبرامج السنوات السابقة، فإنّ تعلّم الحساب الحرفي مهمة تتطلّب الوقت والصّبر ويبقى الانتقال من الحساب العددي إلى الحساب الحرفي صعبا بالنسبة إلى بعض التلاميذ، يجب إذن تكثيف وتنويع الأنشطة التي تساعدهم في تجاوز هذه الصعوبات.?

? المعادلات، جمل معادلات، المتراجحات.

يتواصل العمل على حل معادلات من الدرجة الأولى لمجهول واحد مع إدخال « المعادلة الجداء » وجملة معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين. إنّ الهدف ليس توظيف خوارزمية (تقنية) حل معادلات فقط بل هو معالجة مشكلات من المادة (هندسة، حساب) ومن المحيط الاجتماعي للتلميذ. كما كان الأمر في السنة الثالثة، نحرص على مراحل معالجة هذه المشكلات (اختيار المجهول أو المجهولين، ترييض المشكلة، المعالجة الرياضياتية للمشكلة وأخيرا مراقبة وتفسير النتائج المحصل عليها).

بالنسبة إلى المتراجحات، فإنّ طريقة حلها قريبة جدا من طريقة حلّ معادلات مع الانتباه إلى اتجاه المتباينة عندما نضرب طرفيها في عدد موجب أو سالب.??

وكما كان الحال لعدّة مفاهيم من كلّ الميادين، ينبغي إدخال العناصر الجديدة لهذا المحور (معادلة جداء، جملة معادلتين، متراجحات) اعتمادا على حلّ مشكلات من المادة أو من المواد الأخرى أو من الحياة اليومية للتلميذ، بجعله يدرك فائدة هذه المفاهيم وفعاليتها في معالجة هذه المشكلات.

مثال :

أوجد عددين صحيحين متتاليين بحيث يكون جداؤهما مساويا مجموعهما مضافا إليه 1.

? اختيار المجهول : ليكن ?العدد الأوّل، فيكون ?هو العدد الذي يعقبه.

? ترييض الوضعية : ?أي .

? حلّ المعادلة : نحصل هكذا على معادلة من الدرجة الثانية لمجهول واحد لا نعلم حلّها. يمكن تحليل طرفي المعادلة ونحصل على .

نجعل الطرف الثاني للمعادلة معدوما ونجد ?أي .

وتكون المعادلة المحصّل عليها من الشكل ?حيث و عبارتان من الدرجة الأولى لمقدار غير معيّن واحد، تسمّى « معادلة جداء ».

لحلّ هذا النوع من المعادلات، نعتمد على الخاصية « يكون جداء عددين معدوما إذا وفقط إذا كان أحد عاملي الجداء معدوما ».

إذن ?يعني ?أو .

ونستنتج ?أو .

المعادلة تقبل حلّين : ?أو .

? الإجابة عن المشكلة :

إذا كان ?فإنّ .

إذا كان ?فإنّ .

وبالتالي يكون العددان المتتاليان هما : ?و ?أو ?و .

? التحقيق :

?و يعني
?و يعني ?

2.1- الدوال وتنظيم معطيات

? الدالة الخطية، الدالة التآلفية

يُقدّم هذا الجزء من البرنامج بالاعتماد على مكتسبات التلميذ ويحضّر الأرضية لإدخال المفاهيم اللاحقة (مفهوم الدالة عموما) مع الحرص على عدم التطرّق للأشياء النظرية مبكرا.

يقدّم هذان المفهومان (الدالة الخطية، الدالة التآلفية) انطلاقا من وضعيات ملموسة وبارتباط وثيق مع التناسبية (تناسبية قيم المقدارين في حالة الدالة الخطية وتناسبية التزايدات في حالة الدالة التآلفية).

ينبغي أن تكون هذه الوضعيات متنوعة ومن ميادين مختلفة.

مثال : تعريف الدالة التآلفية.

نشاط 1 :

في الشكل التالي، تتنقل النقطتانM ?وN ?عل المستقيمين (d) و(d?) ?بحيث يكون الرباعي ABMN مستطيلا. نسمّي ?الطول BM ??بالسنتيمتر.

نرمز بـ ?) P( إلى محيط المستطيل ABMN بالسنتيمتر و بـ) A( إلى مساحته? بالسنتيمتر مربع.

1) أحسب )5P( و ) 5A( ثم? )7P( و ) 7A(.

2) أتمم الجدول التالي :

العبارة المبسطة بدلالة
برنامج الحساب

P( ) = ?????????.

?????? ?. ???????+?.

????? ??. ??.

A( ) = ?????????.

??????? ?.

??.

نشاط 2 :

إليك طريقة حساب مبلغ الفاتورة الهاتفية :

- ثمن الوحدة المستهلكة هو 3 DA.

- قيمة الاشتراك هي 400 DA. لكلّ شهرين.

نسمي ) P ( مبلغ الفاتورة الذي يجب دفعه عند استهلاك ?وحدة في الشهرين.

1) أحسب .

2) أتمم الجدول التالي :

الفترة
عدد الوحدات
التعبير عن ) P ( بدلالة
برنامج الحساب

جانفي – فيفري

130

????? ?.???? ??????+?.

????? 130 ??. ??.

مارس – افريل
145

?????????..

ماي – جوان
200

????????..

جويلية – أوت

P ( ??????) = ?

???? ?.?????? ???+?.

????? ??. ??.

P(x) = ?
??????????

? تنظيم معطيات (الإحصاء)

عموما، ترمي برامج التعليم المتوسط في ميدان الإحصاء إلى تحقيق هدفين أساسيين، يتمثلان في :

- التدريب على قراءة واستعمال تمثيلات وبيانات.

- اكتساب بعض مفردات الإحصاء الوصفي.

? تذكير بمحتويات برامج السنوات 1، 2، 3 :

?

المحتويات
الكفاءات المستهدفة
تعاليق وأنشطة

السنة الأولى
استعمال جداول ومخططات
وضع وقراءة وتحليل معطيات في شكل جداول أو بيانات أو مخططات.
نأخذ أمثلة من المحيط المباشر للتلميذ (أعمار، قامات، مقاسات، عدد الإخوة، العلامات المحصل عليها في فرض، …).

السنة الثانية
السلاسل الإحصائية

التمثيلات البيانية

التكرارات

التكرارات النسبية
– قراءة معطيات إحصائية في شكل جداول أو تمثيلات بيانية (منحنيات ومخططات).

- فهم معطيات إحصائية وتفسيرها.

- تمثيل معطيات إحصائية بمخططات بالأعمدة أو بمخططات دائرية.

- حساب التكرارات.

- حساب التكرارات النسبية.
تعطى أمثلة من المحيط المباشر للتلميذ (أعمار، قامات ومقاسات التلاميذ) وكذلك من مواد أخرى وبالخصوص الجغرافيا (توزيع السكان، مساحات القارات، المناطق الزراعية، الإنتاج، …).

في حساب التكرارات نجعل التلميذ يعطي النتائج في مختلف الأشكال (نسبة مئوية، عدد عشري، …).

السنة الثالثة
أمثلة للتجميع في فئات متساوية المدى.

تمثيلات سلسلة إحصائية.

– تجميع معطيات إحصائية في فئات وتنظيمها في جدول.

- حساب تكرارات.

- تقديم سلسلة إحصائية في جدول وتمثيلها بمخطط أو بيان (الأشرطة، المدرج التكراري).

- حساب تكرارات نسبية.

يتدرب التلميذ على استعمال التعبير : مجتمع، ميزة، تكرار، … من خلال أمثلة تكون مختارة من محيطه (العلامات المحصل عليها في اختبار، هرم الأعمار، …

عند حساب تكرارات نسبية، تعطى كذلك في شكل نسب مئوية.

في توزيع لمعطيات إحصائية في فئات وتمثيلها يمكن ملاحظة تناسب مساحات المستطيلات (الأشرطة) مع التكرارات.

المحتويات
الكفاءات المستهدفة
تعاليق وأنشطة

السنة الثالثة

(تابع)
المُتوسّط.

– حساب المتوسط المتوازن لسلسلة إحصائية.

- استعمال المجدولات في استغلال معطيات إحصائية.
– تقترح أمثلة متنوعة لسلاسل إحصائية (يمكن أن تكون المجتمعات المدروسة غير الكائنات الحية) تعطي معنى للتكرار النسبي.

مثال : تكرار ظهور حرف معيّن في نصّ مشكلة بالنسبة إلى مجموعة الحروف المستعملة في النصّ.

المقصود بالمتوسط المتوازن لسلسلة إحصائية متوسط قيم هذه السلسلة المتوازن بالتكرارات المتعلقة بهذه القيم.

تعطى وضعيات لسلاسل إحصائية يكون فيها للمتوسط المتوازن قيمة مضبوطة وسلاسل إحصائية مُجمّعة في فئات يكون فيها للمتوسط المتوازن قيمة مقربة.

لإجراء الحسابات المتعلقة بسلسلة إحصائية، يمكن استعمال المجدولات التي تُوفر أوراقا للحساب. يكفي عندئذ برمجة الخلايا ليجري اللوجسيال الحسابات المطلوبة.

? الإحصاء في السنة الرابعة متوسط

تعتبر محتويات الإحصاء للسنة الرابعة من التعليم المتوسط امتدادا لبرامج السنوات السابقة وتبقى الأهداف الأساسية لهذا الميدان والمذكورة أعلاه متمثلة في التدريب على قراءة واستعمال تمثيلات وبيانات واكتساب بعض مفردات الإحصاء الوصفي والعمل بالتكنولوجيات الجديدة للإعلام والاتصال.

شُرع في السنة الثالثة، في تناول مؤشرات الموقع بإدخال مفهوم الوسط الحسابي المتوازن لسلسلة إحصائية ويُزوّد التلميذ في السنة الرابعة بمؤشر آخر يتمثّل في الوسيط، حيث يمكن أن نلاحظ في بعض الحالات لسلاسل إحصائية مرتبة ترتيبا تصاعديا أنّ الوسط الحسابي لا يقسم السلسلة إلى جزءين لهما نفس عدد العناصر، وهو الأمر الذي يمكن تحقيقه بحساب الوسيط.

إنّ البرنامج يقتصر على مؤشرات الموقع ليكمّل بإدخال مؤشرات التشتت في بداية التعليم الثانوي وهو ما سيسمح بتعويد التلاميذ على امتلاك منهجية في الإحصاء عندما يتعلق الأمر بتلخيص معلومات بحساب مؤشرات تقيس النزعة المركزية أو التشتت للسلسلة المدروسة.

بالإضافة إلى ذلك، يساهم تدريس الإحصاء في تطوير الكفاءات الرياضياتية المرتبطة بالحساب وقراءة واستعمال البيانات.

كما نشير أنّ برنامج السنة الرابعة، الذي يمثّل حلقة وصل بين المرحلة المتوسطة والمرحلة الثانوية، يدقق ويصحّح بعض المفردات بما يضمن الانسجام بين المرحلتين.

المحتويات
الكفاءات المستهدفة
تعاليق وأنشطة

السلاسل الإحصائية

مؤشرات الموقُع

حساب تكرارات مجمعة وتواترات مجمعة.

- تعيين الوسط الحسابي والوسيط لسلسلة إحصائية وترجمتهما.

- استعمال المجدولات لتمثيل سلسلة إحصائية أو حساب مؤشرات الموقع لها.
يسمح تمثيل التكرارات (أو التواترات) المجمعة المحصل عليها بقراءة مباشرة لتكرارات (أو تواترات) قيم أصغر (أو أكبر) من قيمة معينة للسلسلة الإحصائية.

الغرض في هذه السنة هو تزويد التلميذ كذلك بالأدوات الأولى لتلخيص سلسلة إحصائية.

يتم تعيين الوسيط من خلال أمثلة بسيطة لسلاسل إحصائية يكون عدد قيمها زوجيا أو فرديا أو تكون قيمها مجمعة في فئات.

تختار أمثلة حيث يكون استعمال المجدولات ضروريا وذلك لابراز أهمية وضرورة التكيف مع مستجدات تكنولوجيات الإعلام والاتصال.

نقترح فيما يلي بعض الأمثلة التي نقدر أنّها تساعد على تغطية جل متطلبات هذا المجال في المرحلة المتوسطة، وهذا لا شك أنّه سيساهم بدوره في التناول السليم لموضوع الإحصاء.

1. تعابير إحصائية

مثال : للالتحاق بإكمالية « مولود فرعون » :

? 209 تلميذا يستعملون النقل العمومي.

? 284 تلميذا يأتون راجلين.

? 92 تلميذا يأتون في سيارات أوليائهم.

نسمّي مجتمعا إحصائيا مجموعة الأفراد الذين تخصّهم الدراسة الإحصائية.

في المثال السابق، يشكلّ تلاميذ إكمالية « مولود فرعون » المجتمع الإحصائي، أفراده تلاميذ هذه الإكمالية والدراسة الإحصائية تتمثل في كيفية التحاق التلاميذ بالإكمالية (طبيعة النقل المستعمل).

نسمّي التكرار الكلّي (المطلق) للسلسلة المعتبرة عدد عناصر هذه السلسلة.

في هذا المثال، عناصر السلسة هي عناصر هذا المجمع والذي يتمثل في تلاميذ الاكمالية المذكورة : .

نسمّي متغيرا إحصائيا أو ميزة إحصائية، الشيء الذي تخصّه الدراسة الإحصائية والذي يشتمل عدة أنواع مختلفة، حيث يأخذ كلّ فرد من المجتمع المدروس نوعا واحدا فقط من هذه الأنواع.

ونسمّي سلسلة إحصائية مجموعة نتائج الدراسة الإحصائية.

في هذا المثال، المتغيّر الإحصائي هو طبيعة النقل المستعمل.

نسمّي التكرار المرفق بنوع معين للمتغيّر الإحصائي عدد مرّات ظهور هذا النوع.

في هذا المثال، تكرار التلاميذ الذين يستعملون النقل العمومي هو 209.

نسمّي التواتر (أو التكرار النسبي) المرفق بنوع معين للمتغيّر الإحصائي حاصل قسمة تكرار هذا النوع على التكرار الكلي.

في هذا المثال، تواتر التلاميذ الذين يستعملون النقل العمومي هو ?ويُعبّر عن هذه النتيجة بعدد عشري أو بنسبة مئوية.

نقول عن ميزة إنّها كمّية عندما تكون ممثّلة بعدد.

العمر، المسافة، المدة، العلامة هي ميزات كمّية.

ونقول عن ميزة غير كمّية إنّها نوعية.

الجنس، اللّون، الشهادة هي ميزات نوعية.

نقول عن ميزة كمّية إنّها متقطعة عندما لا تأخذ إلا قيما معزولة.

عدد تلاميذ قسم معين، عدد الولادات خلال شهر في عيادة، العلامة المدورة إلى نصف نقطة هي ميزات كمّية متقطعة.

نقول عن ميزة كمّية إنّها مستمرّة عندما يمكنها أن تأخذ كلّ القيم المحصورة بين أيّ عددين من هذه السلسلة.

المسافة من البيت إلى الإكمالية، قامات تلاميذ، درجة الحرارة هي ميزات كمّية مستمرّة.

عندما تكون قيم الميزة الإحصائية مرتبة ترتيبا تصاعديا، نسمّي :

التكرار المجمّع (المتراكم) الصاعد لقيمة (أو لفئة) مجموع تكرار هذه القيمة وتكرارات القيم (أو الفئات) الأصغر منها.

التكرار المجمّع (المتراكم) النّازل لقيمة (أو لفئة) مجموع تكرار هذه القيمة وتكرارات القيم (أو الفئات) الأكبر منها.

كما نعرّف بنفس الكيفية التواتر المجمّع الصاعد أو النازل لقيمة (أو لفئة).

?

مثال :

تمثّل السلسلة الإحصائية الآتية علامات 25 تلميذا في فرض في الرياضيات.

تحصل 19 تلميذا على علامة أقل من أو تساوي 12

15
14
13
12
11
10
9
8
7
العلامات

2
1
3
2
2
1
5
3
6
التكرارات

25
23
22
19
17
15
14
9
6
التكرارات المجمعة الصاعدة

8
4
12
8
8
4
20
12
24
التواترات(%)

100
92
88
76
68
60
56
36
24
التواترات المجمعة الصاعدة(%)

?من التلاميذ على56% تحصل

?علامة أقّل من أو تساوي 9

2. تقديم معطيات

مثال 1 :

عند إحصاء عدد الأطفال حسب العائلات في قرية، سُجلت النتائج التالية :

2
3
0
4
0
4
1
2
4
4
0
4
6
2
3

5
0
3
2
4
3
3
4
0
8
3
5
5
4
2

2
2
2
6
5
1
3
0
4
4
4
4
4
4
5

مثال 2 :

إليك العلامات التي تحصّل عليها تلاميذ في امتحان :

14
11,2
15,6
15,3
9,8
13
9,7
8
14,1
7,9
17,3
8,2
12,6
5
17,5

8,4
7,1
13
9,5
2,3
15
10,5
17,2
14,1
9
3,1
10,5
11,1
16,1
4,4

11
9,3
5,3
13,3
12,5
13,8
14,9
5,2
6,4
10,8
11
11,7
16,4
7,6
5

الجدولان السابقان يعطيان معلومات خامة تخص دراستين إحصائيتين، وفي هذا الشكّل تكون هذه المعلومات غير منظمة ويصعب استغلالها. لذلك يستحسن تقديمها وتنظيمها في جدول وذلك بتجميع النتائج حسب القيم المتساوية.

في المثال الأوّل، نجد :

المجموع
8
6
5
4
3
2
1
0
عدد الأطفال

45
1
2
5
14
7
8
2
6
عدد العائلات

في المثال الثاني، لا يكون عمليا تخصيص خانة لكلّ علامة. نعتبر الميزة مستمرّة ونجمّع القيم في فئات متساوية الطول.

المجموع

العلامات

45
5
13
16
9
2
التكرارات

3. تمثيل معطيات

? مخططات بأعمدة أو أشرطة

يناسب هذا النوع من التمثيل الميزات الإحصائية المتقطعة (الكميّة أو النوعية)، حيث يُخصّص عمود لكلّ قيمة تأخذها الميزة. ويكون التمثيل بمراعاة القواعد الآتية :

- 0

1

2

3

4

5

6

8

طول كلّ عمود يكون متناسبا مع تكرار القيمة.

- عرض الأشرطة متماثل.

- كلّ عمودين (أو شريطين) متجاورين يكونان متباعدين.

- نضع البيانات على المحورين وعنوانا للتمثيل.

? المدرّج التكراري

يناسب هذا النوع من التمثيل الميزات الإحصائية الكميّة المستمرّة المجمّعة في فئات، حيث يُخصّص مستطيل لكلّ فئة. في هذه الحالة يمثّل المستطيل كلّ القيم الممكنة والمحصورة بين طرفي الفئة، عكس التمثيل السابق بالأعمدة أو الأشرطة حيث يُرفق بكلّ عمود قيمة وحيدة. ويكون التمثيل بمراعاة القواعد الآتية :

- عرض كلّ مستطيل يكون متناسبا مع طول

??? الفئة.

- مساحة كلّ مستطيل تكون متناسبة مع تكرار

? ?الفئة.

-




مذكرات الرياضيات للسنة الرابع متوسط

4 09 2008

مذكرات الرياضيات للسنة الرابع متوسط

——————————————————————————–

المجال: أنشـطة هندسية مـذكـرة رقــم: 06
الوحدة التعليمية:نظرية طالس . المـستـــوى: رابعة متـوسـط
المرجع: منهاج السنة الرابعة متوسط, كتاب التلميذ. الوسائل: وسائل الإنشاء الهندسي.
الكـفاءة القـاعـدية: معرفة نظرية طالس واستعمالها في حساب أطوال الأستـــــــاذ: بحـة خالد
أو إنجاز براهين وإنشاءات هندسية بسيطة.

المراحل

سيــــر الأنشطة التعليمية

مـؤشـرات الكـفاءة

الملاحظات

التهـيئة

ـ أرسم مستقيما (d) , ثم أنشئ عـليه تدريجا منتظما وحدته 1cm .

ينشئ تدريجا منتظما على مستقيم.
يحاول في كراس المحاولات

الأنشطـة

النشاط05: تقسيم قطعة مستقيم (ص 156)
[AB] قطعة مستقيم .
(Ax] نصف مستقيم مدرج تدريجا منتظما.
ـ ارسم مستقيما يشمل النقطة C ويوازي
(EB) ويقطع [AB] في D .
ـ احسب النسبة , ثم اكتب ABبدلالة AD.

ـ قسم القطعة [AB] إلى 3 قطع متقايسة . xE 3 2 C 1 A

ـ ينشئ تدريجا منتظما لنصف مستقيم .
ـ يرسم متقيما يوازي مستقيما معلوما ويشمل نقطة معلومة .
ـ يحسب نسبة .
ـ يقسم قطعة مستقيم .
يحاول في كراس المحاولات

المعــــــارف

3 ـ تقسيم قطعة مستقيم (ص 158)

لتقسيم قطعة مستقيمة [AB] إلي n قطعة متقايسة (n عدد طبيعي أكبر تماما من 1 نتبع الخطوات التالية (
- ننشئ نصف المستقيم مبدؤه A وحامله
يختلف عن المستقيم(AB).
ـ على نصف المستقيم هذا ننشئ نقطة C
بحيث AC = n
ـ ننشئ المستقيم (BC)
ـ من القطعة [AC ] نأخذ النقطة I
ـ ننشئ D المستقيم المار من I و الموازي للمستقيم (BC)
ـ نسمي I’ نقطة تقاطع (D) و (AB)
ـ نقسم القطعة [AB ] إلى قطع متقايسة طولها AI’ باستعمال المدور.

يستنتج كيفية تقسيم قطعة مستقيم إلى قطع متقايسة .

يكتب من الكتاب

إعـادة الاستـثمـار

التمرين01:
[AB] قطعة مستقيم .

B A

قسم القطعة [AB] إلى 7 قطع متقايسة.
الحـل:

B A

يوظف طريقة تقسيم قطعة مستقيم
يحاول في كراس المحاولات




العمليات الحسابية على أعداد الفاصلة العائمة

4 09 2008

العمليات الحسابية على أعداد الفاصلة العائمة
من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح, ابحث
فهرس
1 العمليات على الفاصلة العائمة
2 تمثيل الأعداد بطريقة الفاصلة العائمة
2.1 الصيغة وحيدة الدقة
2.2 الصيغة مضاعفة الدقة:
3 جمع الأعداد الممثلة بطريقة الفاصلة العائمة
4 ضرب عددين باستخدام الفاصلة العائمة:
5 المراجع

[عدل] العمليات على الفاصلة العائمة
فيما يلي سوف نتحدث بشئ من التفصيل عن عمليتي الجمع والضرب لعددين ممثلين باستخدام الفاصلة العائمة. ولكن قبل ذلك لا بد أن نتذكر كيف يتم تمثيل الأعداد باستخدام الفاصلة العائمة,وهو بالتأكيد ليس موضوع بحثنا. هناك طريقتين لتمثيل الأعداد باستخدام الفاصلة العائمة:

[عدل] تمثيل الأعداد بطريقة الفاصلة العائمة

[عدل] الصيغة وحيدة الدقة
حيث يخصص 23بت للقسم الكسري و8بت للقوة البت الأخير للاشارة. وبشكل عام يكون للأعداد الممثلة بالفاصلة العائمة وبهذه الطريقة الصيغة التالية: (-1)^s*(1+signification)*2^(E+127)

[عدل] الصيغة مضاعفة الدقة:
حيث يخصص 23 بت للقسم الكسري و11 بت للقوة والبت الأخير للاشارة. وبشكل عام يكون للأعداد الممثلة بالفاصلة العائمة وبهذه الطريقة الصيغة التالية: (-1)^s*(1+signification)*2^(E+1023)

مثال: العدد (-0.75) يتم تمثيله باستخدام طريقتي تمثيل الفاصلة العائمة: 1-باستخدام الصيغة وحيدة الدقة: (0.75)10=(0.11)2=1.1*2^-1 (-1)^1*(1+0.1)*2^(-1+127)=(-1)^1*(1.1)*2*126 وبالتالي يكون توزع البيتات:

0000 0000 0000 0000 0000 0100 1111 1011
____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____
0 0 0 0 0 4 B F
ومنه فان (-0.75)=BF400000:

باستخدام الصيغة مضاعفة الدقة:
(0.75)10=(0.11)2=1.1*2^-1 (-1)^1*(1+0.1)*2^(-1+1023)=(-1)*(1.1)*(1022)

0000 0000 …..0000 0000 0000 0000 0000 1000 1110 1111 1011
____ ____……____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____
0 0 0 0 0 0 0 8 B F E
ومن فان(-0.75)=BFE8000000000000

[عدل] جمع الأعداد الممثلة بطريقة الفاصلة العائمة
لنقم بجمع عددين عشريين ممثلين بطريقة الفاصلة العائمة وذلك من أجل توضيح المشاكل التي من الممكن مصادفتها أثناء عملية الجمع. بفرض لدينا العددين :+(1.610*10^-1) (9.999*10^1) وبفرض أننا نستطيع أن نخزن أربع خانات عشرية فقط في القسم الكسري وخانتين عشريتين فقط في القوة.

1-الخطوة الأولى:

حتى نستطيع أن نقوم بجمع هذين العددين يجب أن نرتب الفاصلة العشرية في العدد الأصغر أي يجب أن نجعل العدد الأصغر على الشكل 1.610*10^-1 وذلك بشكل مماثل للقوة في العدد الأكبر.ويمكن أن نحقق ذلك بالاستفادة من التمثيل المتعدد للرقم بواسطة الفاصلة العائمة :

0.610*10^-1=0.1610*10^0=0.01610*10^1 حيث تمثل الصيغة على اليمين الصيغة المطلوبة (قوة العدد الأصغر أصبحت مماثلة لقوة العدد الأكبر)وبالايجاز يمكن إنجاز ذلك بإزاحة القسم الكسري للعدد الأصغر إلى اليمين وتعديل القوة حتى تصبح مساوية لقوة العدد الأكبر. 0.016*10^1 طبعا » مع الملاحظة أنه لا يمكن السماح بأكثر من أربع خانات عشرية في القسم الكسري مما يستدعي إهمال بعض الخانات على يمين الفاصلة.

- الخطوة الثانية:

وهي تتمثل بجمع القسم الكسري للعددين

9.999
+ 0.016
_____
10.015 وبالتالي يكون ناتج الجمع(0.015*10^1)
3-الخطوة الثالثة:

إن الناتج الذي حصلنا غير مكتوب بالصيغة القياسية (الصيغة القياسية تتضمن رقم واحد فقط بعد الفاصلة)لذلك الناتج بحاجة إلى عملية تصحيح.باستخدام التمثيل المتعدد للرقم في الفاصلة العائمة: 10.015*10^1=1.0015*10^2 وهكذا تم العدة الناتج إلى الصيغة القياسية مع ملاحظة ملاءمته للقوة. إن هذا المثال يظهر عملية إزاحة الناتج نحو اليمين .ولكن ماذا إذا كان أحد العددين موجب والأخر سالب في هذه الحالة من الممكن أن يكون ناتج الجمع مساويا » للصفر وهذا يتطلب إزاحة الناتج نحو اليسار على أي حال القوة سواء بالزيادة أو النقصان يجب إجراء عملية فحص للتأكد فيما لذا كان هناك overflow أو underflow أي يجب أن نكون متأكدين أن القوة لا تزال ضمن الحقل (أي ضمن المجال المسموح به).

- الخطوة الرابعة:

في بداية المسألة افترضنا أن القسم الكسري يمكن أن يستوعب فقط أربع خانات عشرية لذلك يجب إجراء عملية تدوير للعدد وذلك باستخدام قواعد التدوير (التقريب) . فمن أجل تقريب عدد ما:إذا كان الرقم على يمين النقطة المرغوبة يقع ما بين 0__4 فإننا نحذف كل الخانات على يمين هذه النقطة وآلا إذا كان الرقم محصور بين 5__9 فأننا نضيف 1 إلى الرقم الذي يليه. العدد 1.0015*10^2 يتم تدويره بحيث يتضمن أربع خانات عشرية فقط في القسم الكسري وبذلك يصبح 1.002*10^2 حيث أن الخانة على اليمين تقع بين 5 و 9 ….

ملاحظة :

إن عملية التدوير يمكن أن تتم قبل أو بعد التحويل إلى الصيغة القياسية ولكن الأفضل هو بعد عملية التحويل. خوارزمية جمع عددين باستخدام الفاصلة العائمة: الشكل (1) يظهر خوارزمية جمع عددين ثنائيين ممثلين باستخدام الفاصلة العائمة كما تمت المناقشة في المثال السابق حيث تمت في الخطوة الأولى والثانية تسوية العدد الأصغر وجمعه مع العدد الأكبر وفي الخطوة الثالثة تم إعادة الناتج إلى الصيغة القياسية .اختبار ال overflow أو underflow في الخطوة الثالثة يعتمد على دقة المعاملات هذا يعني بالنسبة لدقة الإشارة أن أعظم قوة هي 127 وأن أصغر قوة هي -126 ففي الصيغة مضاعفة الدقة يكون مجال القوة محصورا » بين 1023__-1022.

أمثلة حول عملية الجمع:

مثال (1):

اجمع العددين التاليين: 0.5 و -0.4375 وذلك باستخدام الفاصلة العائمة . الحل: قبل البدء بعملية الجمع يجب تمثيل العددين باستخدام الفاصلة العائمة كالتالي : (0.5)=1.000*2^-1 -0.4375)=-1.110*2^-2) 1-التعديل يطبق على العدد الثاني حيث يتم ازاحة قسمه الكسري نحو اليمين حتى تصبح قوته مساوية لقوة العدد الأكبر : -1.110*2^-2=-0.111*2^-1

2-عملية جمع القسم الكسري للعددين :

1.000*2^-1)+(-0.111*2^-1)=0.001*2^-1) 3-أعادة الناتج للصيغة القياسية مع فحص حالة overflow و underflow 0.001*2^-1=0.010*2*-2=0.100*2^-3=1.000*2*- حيث>= -1 127 >= -4 أي لا يوجد هناك overflow . 4-عملية تدوير الناتج: نلاحظ أن الناتج لا يحتاج إلى تدوير.

مثال(2):

أوجد ناتج جمع العددين التاليين 1575*10^13: و 503*10^5 مع العلم أن المسموح به هو رقمين عشريين فقط بعد الفاصلة .

الحل: بتطبيق الخوارزمية السابقة بشكل مباشر: 1-15.75*10^5 + 503*10^5 2-(15.75 + 503) * 10^5 = 518.75 *10^5 3- نلاحظ أن الناتج لا يحتاج إلى عملية إزاحة. 4- الناتج لا يحتاج إلى عملية تدوير.

مثال (3):

أوجد ناتج جمع العددين التاليين : 13 و 33 وذلك بفرض أن المسموح به هو خمس أرقام فقط بعد الفاصلة.

الحل: يجب قبل البدء بعملية الجمع لا بد من تمثيل العددين بطريقة الفاصلة العائمة.

(13)10 = (1101)2 = 1.101 * 2^3
(33)10 = (100001)2 = 1.00001 * 2^5

بتطبيق خوارزمية الجمع مباشرة . 1- 13 = 0.01101 * 2^5 2- 13 : 0.01101 * 2^5

33 : 1.00001 * 2^5
____________
1.01101 * 2^5
3- الناتج مكتوب بالصيغة القياسية.

4- الناتج لا يحتاج لعملية تدوير.

[عدل] ضرب عددين باستخدام الفاصلة العائمة:
بعد أن تمت مناقشة عملية الجمع باستخدام الفاصلة العائمة سوف نتطرق لمناقشة عملية ضرب عددين باستخدام الفاصلة العائمة. سوف نقوم بمناقشة الخوارزمية (خوارزمية الضرب) على العددين العشريين: 1.110 * 10^10 ) * (9.200 * 10^-5) ) وذلك بفرض أنه إمكانية تخزين أربعة أرقام عشرية فقط في القسم الكسري ورقمين من أجل القوة :

الخطوة الأولى:

على عكس الجمع سوف يتم حساب القوة لناتج الجمع وذلك بجمع بسيط للقوة في كل من العددين . وبالتالي سوف تكون قوة الناتج

10 + (-5) = 5
لنقم الآن بإنجاز عملية جمع القوة للعددين باستخدام التكميل إلى المجال 127 وذلك للتأكد من أننا سوف نحصل على نفس النتيجة .

10 + 127 = 137 -5 + 127 = 122 وبالتالي قوة الناتج 137 + 122 = 259 والنتيجة كبيرة جدا » على حقل القوة المخصص ل 8 بت لذلك لا بد من وجود شيء ما خطأ. المشكلة هي في الانحياز حيث تم إضافة الانحياز إلى القوة. قوة الناتج : (10 + 127) + (-5 + 127 ) = 259 وفقا » لذلك حتى نحصل على ناتج جمع صحيح للعددين عندما يكون هناك انحياز في المجال يجب أن نطرح الانحياز من المجموع. قوة الناتج :

137 + 122 – 127 = 259 – 127 = 132 = 5 +127
حيث 5 هي القوة التي نحتاجها في عملية الحساب الأولية.

الخطوة الثانية:

عملية ضرب القسم العشري للعددين :

1.110
9.200 *
_____
0000
0000
2220
9990
_______
10212000
من أجل كل معامل هناك ثلاث خانات عشرية على يمين الفاصلة العشرية لذلك سوف يتم توضيع الفاصلة العشرية بعد 6 خانات من الناتج. 10.212000 وبفرض أنه من الممكن الاحتفاظ بثلاث خانات فقط على يمين الفاصلة سوف يصبح الناتج: 10.212 * 10^5

الخطوة الثالثة:

إعادة الناتج للصيغة القياسية :أي أننا بحاجة إلى تصحيح الناتج باستخدام تمثيلات الفاصلة العائمة للعدد : 10.212 * 10^5 = 1.0212 * 10^6 حيث تم إزاحة الناتج خطوة واحدة نحو اليمين وإضافة (1) إلى قوة الناتج وعند هذه النقطة يمكن أن نتفحص وجود overflow أو underflow حيث أن underflow يمكن أن يحدث عندما يكون كلا المعاملين صغير أي أن كلا » من العددين يملك قوة سالبة كبيرة .

الخطوة الرابعة:

بفرض أن القسم العشري بطول 4 خانات عشرية فقط لذلك نحن بحاجة إلى عملية تدوير الناتج : 1.0212 * 10^6 = 1.021 * 10^6

الخطوة الخامسة :

تحديد إشارة الناتج والتي تعتمد على إشارة المعاملات الأصلية فإذا كانت الإشارتين متماثلتين عندها تكون إشارة الناتج موجبة و إلا فإن إشارة الناتج سالبة وفي هذا المثال الناتج من إشارة موجبة. + 1.021 * 10^6 الإشارة في خوارزمية الجمع تحدد بعد جمع القسم العشري بينما في الضرب تحدد من خلال إشارتي المعاملات. الشكل (2) يظهر خوارزمية ضرب عددين باستخدام الفاصلة العائمة:

أمثلة عن عميلة الضرب:

مثال (1) :

لنحاول ضرب العددين (-0.4375) و (0.5) وذلك باستخدام خوارزمية الضرب.

الحل:

لنكتب العددين باستخدام الفاصلة العائمة : 0.5 = 1.000 * 2^-1 -0.4375 = -1.110 * 2^-2 1-جمع القوى للعددين دون انحراف : (-1) + (-2) =-3 أو باستخدام التمثيل المنحاز: (-1+127) + (-2+127) – 127 (-1-2) + (127+127-127) = -3 +127 = 124 2=ضرب القسم الكسري:

1.000
1.110 *
_____
0000
1000
1000
1000
_______
1110000
الناتج1.110000 * 2^-3 ولكن المسموح به هو 4 بت فقط لذلك يكون الناتج (1.110 * 2^-3 )

3-فحص الناتج هل هو بالصيغة القياسية أم لا ثم عملية فحص هل هناك overflow أو underflow فنلاحظ أن الناتج بالصيغة القياسية وذلك لأن 127 >= -3 >= -126 أي لا يوجد overflow أو underflow (وباستخدام التمثيل المنحرف للمجال 254 >= 124 >= 1 أي القوة تلائم المجال).

4-الناتج لا يحتاج إلى تدوير.

5- بسبب اختلاف الإشارة في المعاملات الأصلية فإن إشارة الناتج ستكون سالبة وبالتالي الناتج هو: -1.110 * 2^-3

مثال (2) :

أوجد ناتج ضرب العددين التاليين باستخدام خوارزمية الضرب لعددين ممثلين باستخدام الفاصلة العائمة: (1.100 * 2^130) * (1.010 * 2^129)

الحل:

1-1.100 * 2^130
1.010 * 2^129 *
___________
0000
1100
0000
1100 +
______________
1.111000 * 2^259
توضيح :

في الناتج السابق نطرح من القوة (127) لأننا عندما جمعنا القوى أصبح لدينا مجموع إزاحة القوة الأولى و الثانية وبالتالي يكون الناتج لعملية الضرب : 1.111000 * 2^132

ملاحظات :

1- من أجل إجراء عملية الطرح لعددين ممثلين بالفاصلة العائمة يمكن إنجاز هذه العملية على أنها عملية جمع لعددين أحدهما موجب والآخر سالب. 2- إن خوارزمية القسمة لعددين ممثلين بطريقة الفاصلة العائمة مطابقة تماما »لخوارزمية الضرب ولكن في عملية القسمة يتم تقسيم القسم الكسري للعدد الأول على القسم الكسري للعدد الثاني وطرح القوتين بدلا » من جمعهما وفي قوة الناتج يتم إضافة الإزاحة (127) بدلا » من طرحها قوة الناتج




أهـداف تـدريـس الـريـاضـيـات

4 09 2008

أهـداف تـدريـس الـريـاضـيـات

بالـسـلـك الـمتوسط الابـتـدائـي

في السنوات الأربع من السلك المتوسط، يعزز التلميذ ويطور مكتسباته المتعلقة بالأعداد الطبيعية، ويكتشف الأعداد العشرية والكسرية، ويتعمق في تقنيات عمليات الجمع والضرب والطرح، ويتعرف القسمة ويمارس أنشطته في القياس والهندسة. كما يركز تدريس الرياضيات بهذا السلك زيادة على الجانب المعرفي على الأهداف التالية:

- ترييض وضعيات حقيقية وصياغة وعرض المراحل المتبعة في حل المسائل.

- تقديم التبريرات الكافية لإثبات صحة الجواب.

- تحليل وتركيب المعطيات والمعلومات وتقدير التوقعات.

- اكتساب منهجية لتنظيم العمل.

– الاستئناس بالتقنيات الحديثة واستعمالها في البحث عن المعلومات.

بـرمـجـة الـحساب الـذهنـي والـسريـع ( عن دليل الأستاذ – الرياضيات )

الـدورة الأولـى

الدرس
الـنشـاط الـمقـتـرح

1
– أكتب العدد الموالي لـ: 3160، 3 ملايين، عشرة آلاف…

2
– أكتب بالأرقام الأعداد التالية : ثلاثة ملايين وثلاث مئة، مئة وواحد مليون وعشرة آلاف وعشرة،…

3
– أكتب بالحروف :1 010 ، 100 100 ، 1 010 101،…

4
– أوجد المكمل إلى أو لـ لكل من: 360، 507، 175، 631، 701…

5
– أكتب بالأرقام الأعداد العشرية التالي: ثلاثة أعشار، ثلاثة وحدات و7 أعشار،…

6
– أكتب لائحة الأعداد الصحيحة الطبيعية المحصورة بين 298 و 303 .- أكتب أربعة أعداد عشرية محصورة بين 1 و 2

7
– أضف 9 إلى: 81، 391، 1999. – اطرح 9 من 81، 391، 1999.

8
– أصف 19 إلى 18، 80، 399، 425. – أضف 29 إلى 18، 80، 399، 425.

9
– أكتب ثلاثة أعداد عشرية محصورة بين كل من:56؛0،1 ؛ و 0،2 ؛ 0،01 و 0،02 .

10
– أحسب مجموع الأعداد الآتية : 3،75 + 10,255,3 ؛ 5,3 + 2,7؛1,1 + 1,5 …

11
– أوجد ضعف الأعداد: 16 ؛ 42 ؛ 5 ، 64؛ 312 . – أوجد نصف الأعداد: 116؛142؛164؛ 312 .

12
– أحسب الجداءات : 16 × 5 ؛ 32 × 5؛ 64 ×5 …

13
– أكتب مضاعفات 5 المحصورة بين 18 و 31 .- أكتب مضاعفات 9 المحصورة بين 30 و 60 .

14
– أحسب الخارج والباقي لـ : 15 على 2 ؛ 105 على 2 ؛ 701 على 2 ،…

15
– أحسب الجذاءات التالية : 25 × 12؛ 25 × 40؛ 25 × 36 ؛….

16
– ما هو باقي قسمة كل عدد على 3 : 19 ؛ 12 ؛ 125: 631 ؛…

17
– أوجد عددين صحيحين طبيعيين مجموعهما 20 والفرق بينهما 4 .

- أوجد عددين صحيحين طبيعيين مجموعهما 100 والفرق بينهما 4 .

- أوجد عددين صحيحين طبيعيين مجموعهما 631 والفرق بينهما 219 .

18
– أحسب خارج كل من القسمات التالية : 64 على 4؛ 104 على 4؛ 148 على 4؛ 204 على4 .

19
– أحسب خارج كل من القسمات التالية : 20 على 5؛ 55 على 5؛105 على5،…

20
– أحسب الخارج العشري لكل من القسمات التالية : 27 على 2؛ 39 على 2؛ 49 على 2،..

21
– أحسب الجذاءات التالية: 01 × 100؛ 001 × 100؛ 0001 ×100،…

22
– أحسب الخارج العشري لما يلي: 12 على10؛ 327 على 100؛ 7012 على 1000 .

23
– استخدم المتساوية : 3150 = 70 ×45 لحساب خارج ما يلي: 315 على 70 ؛ 3150 على 45 ؛ 315 على 7،…

24
– أكتب البسط أو المقام المناسب: … =025، 2 = 1، … = 3 ، … = 2،… 100 6 … 6

بـرمـجـة الـحساب الـذهنـي والـسريـع ( عن دليل الأستاذ – الرياضيات )

الـدورة الثانية

الدرس
الـنشـاط الـمقـتـرح

25
– إذا ضربنا عددا في 2 ثم في 5 حصلنا على 60 ، ما هو هذا العدد؟

26
– إذا قسم عدد على 2 ثم على 5 حصلنا على 6، ما هو هذا العدد؟

27
– أحسب المجموع لما يلي : 6،2 + 12،8 ؛ 4،93 + 25،07 ؛ 2 ،75 + 16،25 ؛…

28
– أحسب الفرق لما يلي : 2،27 – 15،27 ؛ 8،4 – 18،9 ؛ 10،03 –17،03 ؛…

29
– أكتب المجموع في أبسط صورة : 2/1 + 3/2 ؛ 2/1 + 2/1 ؛ 5/3 + 5/2 .

30
– أكتب الفرق في أبسط صورة : 4/3 – 4/5 ؛ 10/2 – 10/7 ؛ 7/1 – 7/15 ؛…

31
– عبر بالدقائق عن 6/5 ؛ 3/2 ؛3/1 ؛ 2/1 .

32
– أضف 0،1 إلى العدد 20،9 ثم اضرب المجموع المحصل عليه في 10 .

- أضف 0،01 إلى العدد 1،99 ثم اضرب المجموع المحصل عليه في 10 .

33
– - أعط القيمة المقربة إلى الوحدة لكل مجموع مما يلي :

34
– أعط القيمة المقربة لكل جداء مما يلي:

35
– أحسب نصف 240 ، ربع 240،…

36
– أحسب بالدقائق : ثلث ساعة، ربع ساعة، خمس ساعة،…

37
– أحسب محيط مربع ضلعه : …. ; 150,2m ; 82,25m , 10,5cm , 2,5cm

38
– أحسب ضلع مربع محيطه :…64,4cm ; 16,16m ; 32,08m

39
– أحسب الخارج العشري لما يلي : 25،5 على 5 ؛ 210 على 5 ؛….

40
لاحظ أن 165 = 6 × 27،5 ، واحسب : 6 ×275 ؛ 60 × 0،275 ؛ 6 خ 2،75 .

41
– أكتب مضاعفات العدد 3 المحصورة بين 29 و 42 ؛…

42
– أكتب على شكل عدد عشري :100/525 ؛ 10/1 + 5 ؛ 2/1 + 7 ؛…

43
– أكتب مكمل 4/1 للحصول على 1 ؛….

44
– أكتب مقلوب كل من الأعداد :2/7 ؛ 8/1 ؛ 5 ؛….

45
– أحسب 8/3 العدد 72 ؛ 7/4 العدد 280 ؛ ….

46
– كم يمثل: 10°/° من العدد 520؛ 20°/°من العدد 650؛ 30°/° من العدد 900؛ 40°/° من العدد 2400 ؟

47
– حول إلى نسبة مأوية ما يلي : 2/1؛ 4/1؛ 10/1 ؛…

48
– 52 هو 10°/° من عدد. ماهو هذا العدد؟ – 300 هو 50°/° من عدد. ما هو هذا العدد؟

الميثاق الوطني إطار مرجعي للإصلاح :

يتضمن الميثاق الوطني للتربية والتكوين المبادئ الأساسية المحددة للمرتكزات الثابتة والغايات. ففي توجهاته يجعل المتعلم بوجه عام، والطفل على الأخص مركز الاهتمام والتفكر والفعل خلال العملية التربوية التكوينية، ولتحقيق ذلك لابد من توفير الشروط وتحديد الطرائق أمام التلاميذ لصقل ملكاتهم وجعلهم قادرين على التعلم باستمرار.

إن ما ننتظر من المدرسة الحديثة مفعمة بالحياة باستخدام طريقة تربوية نشيطة يتحدى التلقي السلبي والعمل الفردي إلى اعتماد التعلم الذاتي والقدرة على المشاركة وأخذ المبادرة.

نجد في المجال الثاني من القسم الثاني من الميثاق الوطني للتربية والتكوين الأهداف العامة للتعليم الأولي والابتدائي:

أ‌- ضمان أقصى حد من تكافؤ الفرص لجميع الاطفال منذ سن مبكرة للنجاح في سيرهم الدراسي وبعد ذلك في الحياة المهنية.

ب‌- ضمان المحيط والتأطير التربويين القيمين بحفز جميع التلاميذ تيسيرا لما يلي :

- التفتح الكامل لقدراتهم.

- التشجيع بالقيم الدينية والخلقية والوطنية والانسانية الأساسية…

- اكتشاف المعارف والمهارات التي تمكنهم من إدراك اللغة العربية والتعبير بها مع الاستئناف في البداية باللغات واللهجات المحلية.

- التواصل الوظيفي بلغة أجنبية أولى ثم بلغة ثانية من أجل التفتح على العالم الخارجي.

- استيعاب المعارف الأساسية والكفايات التي تنمي استقلالية المتعلم.

- التمكن من المفاهيم ومناهج التفكير والتعبير والتواصل والفعل والتكيف…

المقارنة بالكفايات، نموذجا لإعداد البرامج والمناهج، وهي ملائمة للغايات الكبرى للميثاق الوطني والمتمثلة في جعل الطفل محور الاهتمام والرفع من جودة أداء المدرسة.

إلى جانب التربية على القيم ثم اعتماد مقاربة المناهج بالكفايات كمدخل بيداغوجي استراتيجي تتمركز فيه جميع الممارسات التربوية حول التلميذ وحاجاته في تفاعلها مع البيئة المحلية والجهوية، والوطنية والدولية.

من الصعب تحديد مفهوم أدق وموحد للكفاية. إلا أنه في مجال التربية تكاد التعاريف المعتمدة للمفهوم تتكامل فيما بينها ليخلص الجميع تقريبا إلى أن الكفاية هي تعبئة وتجنيد لمجموعة من الموارد المتمثلة في مختلف الاتجاهات والمواقف وأشكال الأداء والفهم والاستعداد لدى الفرد والتي تمكنه من حسن التصرف وإنجاز الأفعال بنجاح، وبالتالي يستطيع تجنيد تلك الموارد بفعالية لا يعاد أو اقتراح حلول ملائمة لوضعية خاصة، مع القدرة على توظيفها في وضعيات مشابهة وفي سياقات أخرى. وتتميز الكفاية بقابليتها للتقويم لأنه بالإمكان قياس نوعية تنفيذها ونوعية النتيجة المحصلة.

ففي تعريف دوكيتل وروجيزرا (Deketel et Roegiers ) نجد أن  » الكفاية هي إمكانية تعبئة بكيفية باطنية لمجموعة مندمجة من الموارد بهدف حل صنف من وضعيات – مسألة ».

مفاهيم تربوية :

- المهارة L’habiletés : التمكن من أداء مهمة محددة بشكل دقيق يتسم بالتناسق والنجاعة والثبات النسبي.

- الأداء Performance : يعتبر الأداء أو الانجاز ركنا أساسيا لوجود الكفاية، والمقصود منه القيام بمهام في شكل أنشطة أو سلوكات آنية ومحددة وقابلة للملاحظة والقياس.

- الاستعداد L’aptitude : مجموعة من الصفات الداخلية التي تجعل الفرد قابلا للاستجابة بطريقة معينة وقصدية تؤهل لأداء معين بناء على مكتسبات سابقة، منها القدرة على الانجاز والمهارة في الأداء، لذلك يعتبر الاستعداد دافعا للانجاز.

- القدرة La capacité : هي الحالة التي يكون فيها الفرد متمكنا من الفهم أو النجاح في إنجاز معين، كالقدرة على الحفظ أو على الكتابة. وترتبط القدرة بامتداد المعارف والمهارات والسلوكات، كالقدرة على التحليل والتركيب والمقارنة والتوليف، وهي بخلاف الكفاية غير قابلة للتقويم. وهي بين صنافات القدرات :

· التصنيف حسب الجوانب الشخصية (قدرات معرفية كالقراءة والتلخيص …، قدرات الحس – حركية كالرسم والتلوين، القدرات السوسيوعاطفية كالإنصات والتواصل).

· التصنيف حسب ربط القدرات بأنواع الذكاء : اللغوي – المنطقي – البصري ، الفضائي – الموسيقى – التواصلي مع الآخرين – الذاتي (معرفة وتقدير الذات).

· التصنيف حسب نوعية الفعل والمعارف : معارف إعادة الفعل وتذكر القول « معرفة الفعل » المعرفي وهي أنشطة تطلب عملا معرفيا لتحويل خطاب معين كالمقارنة، الجمع، الترتيب … « معرفة الفعل – الحركي كدقة استعمال الأدوات الهندسية  » معرفة وجدانية وهي الانشطة التي يعبر بها الشخص عن الطريقة التي يدرك بها شخصيته  » معرفة – الصيرورة (dernier – savoir ) .

دواعي اختيار مقاربة المنهاج بالكفايات

تعتبر مقاربة المنهاج بالكفايات اختيارا تربويا استراتيجيا يستند إلى نظام متكامل من المعارف والادعاءات والمهارات المنظمة التي تتيح للمتعلم القيام بالانجازات والأداءات الملائمة خلال وضعية تعلمية.

وهكذا تمحور جميع الأفعال التعليمية – التعليمية، وما يرتبط بها حول المتعلم باعتباره فاعلا أساسيا.

ومن أنواع الكفايات البيداغوجية نذكر :

1) الكفايات البيداغوجية النوعية وهي المرتبطة بمادة دراسية كالرياضيات أو مجال تربوي معين.

بعض نماذج الكفايات النوعية في الرياضيات :

- تأطير عدد بالعشرات والمئات والآلاف.

- حل مسائل حول التناسلية في وضعيات مألوفة .

- وصف أشكال هندسية وإنشاؤها.

2) الكفايات البيداغوجية المستعرضة أو الممتدة :

وهي الكفايات العامة التي لا ترتبط بمادة دراسته أو بمجال تربوي محدد، بل يمتد توظيفها إلى عدة مجالات أو مواد دراسية مختلفة ويتطلب لحصيلها مدة زمانية أطول، ومن نماذجها :

- ترييض وضعيات حقيقية وصياغة وعرض المراحل المتبعة في حل مسألة .

- تحليل وتركيب المعطيات وتقدير التوقعات .

- اكتساب منهجية لتنظيم العمل.

ومن الكفايات الممكن بناؤها هناك الكفايات المرتبطة بالجوانب الاستراتيجية والتواصلية بما فيها المعلوماتية والمنهجية والثقافية والتكنولوجية. وتجدر الإشارة إلى أن التركيز على هذه الجوانب، من شأنه أن يشكل لدى التلاميذ اتجاهات ومهارات تمكنهم من إقامة روابط بين التعلمات المدرسية والمواقف المتعددة للحياة اليومية المعيشة، وذلك من خلال التفاعل والتواصل مع الآخرين مما يتطلب العمل داخل مجموعات.

أهداف تدريس الرياضيات

إن تدريس الرياضيات بمختلف مكوناتها تعتبر عملية أساسية تهدف إلى تكوين التلميذ تكوينا يتكامل فيه الجانب المعرفي والمجداني والسلوكي قصد تمكينه من :

- القدرة على التفاعل مع العالم الخارجي.

- الاستقلال المعنوي، والثقة بالنفس والاعتماد على الذات.

- تنمية روح الإبداع والمبادرة والتنافس الشريف.

- القدرة على تحقيق الذات، وإنماء الشخصية، والثقة بالمؤهلات الشخصية، وعلى التواصل والاستعداد للعمل الجماعي.

- بناء واكتساب المفاهيم والمعارف والمهرات والتقنيات.

- تنمية الاستعداد وإغناء القدرات فغي مجالات البحث والملاحظة والتجريد والاستدلال والدقة في التعبير.

- فهم واستيعاب مضامين باقي المواد خاصة منها العلمية والتكنولوجية.

- اتخاذ اتجاهات ايجابية نحو مادة الرياضيات

- التوزيع السنوي للأسابيع التربوية حسب وظائفها

الدورة الأولى
الدورة الثانية

الأسبوع التربوي
وظائفه
الأسبوع التربوي
وظائفه

1
تشخيصي، تهيئي وعلاجي
18 – 23
تقديم تعلم جديد أو تثبيت وإغناء

لمكتسبات سابقة

2 – 7
تقديم تعلم جديد أو تثبيت وإغناء

لمكتسبات سابقة
24
تقويم ودعم

8
تقويم ودعم
25
دعم خاص

9
دعم خاص
26 – 31
تقديم تعلم جديد أو تثبيت وإغناء

لمكتسبات سابقة

10 – 15
تقديم تعلم جديد أو تثبيت وإغناء

لمكتسبات سابقة
32
تقويم ودعم

16
تقويم ودعم
33
دعم خاص

17
دعم خاص
34
إجراءات آخر السنة الدراسية

توزيع الدروس على الأسبوع التربوي

الدرس
مدته

الدرس الأول
135 دقيقة

الدرس الثاني
135 دقيقة

فترة التقويم الأسبوعي للتعليمات
30 دقيقة

الغلاف الزمني الأسبوعي
5 ساعات

توزيع الحصص على الأسبوع التربوي

الأسبوع التربوي
طبيعة الأنشطة
رتبة الحصة
المدة

- الدرس الأول
مرحلة البناء والترييض أو (تثبيت وإغناء)
الحصةالأولى
45 دقيقة

مرحلة التمرن والتقويم
الحصةالثانية
45 دقيقة

مرحلة الدعم والإغناء
الحصة الثالثة
45 دقيقة

- الدرس الثاني
مرحلة البناء والترييض أو (تثبيت وإغناء)
الحصةالرابعة
45 دقيقة

مرحلة التمرن والتقويم
الحصةالخامسة
45 دقيقة

مرحلة الدعم والإغناء
الحصةالسادسة
45 دقيقة

- التقويم الأسبوعي للتعليمات
تمارين لتقويم الدرسين
الحصةالسابعة
30 دقيقة

يقصد بالمراحل الخطوات التي يتبعها الأستاذ(ة) في إنجاز الدرس – من بدايته إلى نهايته – بشكل متدرج ومترابط شكلا ومضمونا، فمن حيث الشكل تعني احترام التصميم المتكامل للدرس، ومن حيث المضمون تعني التحكم في معلومات ومعارف الدرس لتحقيق الكفايات المسطرة له إجرائيا حسب ما يناسب خصوصية مادة الرياضيات والمستوى العقلي والإدراكي للمتعلمين وميولهم وحاجاتهم.

إن المعرفة في مجال الرياضيات لا تقدم كبناء جاهز يكون فيه التلميذ(ة) مجرد متلق أو منفذ
بل تشيد عبر مراحل ضرورية لبناء واكتساب هذه المعرفة.

وهكذا، وانسجاما مع روح الإطار البيداغوجي والديدكتيكي فإن درس الرياضيات سيقدم في مراحل متدرجة وفق التسلسل التالي: مرحلة البناء والترييض (أو التثبيت وإغناء)، مرحلة التمرن والتقويم، مرحلة للدعم والإغناء.

* الحساب الذهني

يمارس الحساب الذهني مع دراسة العداد وبعض خاصيات العمليات وذلك بهدف الوصول إلى حسابات تتطلب توظيف هذه الخاصيات، بحيث تجعل هذه الممارسة التلميذ (ة) في وضعية تنشط عقله، وتنمي قدرات تعامله مع الأعداد والعمليات وخاصياتها، وهو بهذه الصفة، ليس تحفيظا أو استظهارا لبعض النتائج الجزئية ( المجاميع أو الجداءات (، كما أنه ليس من الضروري أن يكون الحساب الذهني شفويا، بل يمكن استخدام الورقة والقلم (أو اللوحة والطباشير) لاستكشاف قاعدة أو إجراء حسابات، كما أن ربط الحساب الذهني السريع دائما بسرعة الانجاز، أو بتطبيق قواعد محفوظة يتعارض مع الدور المنوط به في تنشيط ذهن الطفل، أما فترات ممارسته فهي بداية الحصة الثالثة من كل درس.

تتميز الممارسة الرياضية وعلى مختلف مستوياتها، بكونها نشاطا ذهنيا تفكيريا والحساب الذهني يندرج ضمن هذه الممارسة.فالهدف من الأنشطة التي يمارسها التلميذ(ة) في الحساب الذهني، هو إرساء وتثبيت لتعلماته العددية والحسابية، هو ممارسة تغني فهمه للأعداد ولبنيتها، باعتبارها كائنات رياضية، كما تغني أساليبه في إجراء حسابات عليها بانتباهه لنوعية العلاقات بين الأعداد والتحويلات التي تطرأ عليها عندما يتم الربط بينها وبين العمليات التي تجري عليها.

هكذا تكون ممارسة الحساب الذهني ووفق الانتظام والإيقاع الذي تتم به، مناسبة لإنماء كفايات الانتباه و التوقع والتكيف مع تغير المعطيات بسرعة من نشاط لآخر، هذه الكفايات يجوز أن نسميها كفايات حسابية أو ذكاء حسابيا. كفايات مطلوبة في الممارسة الرياضية للتلميذ(ة)، وفي سياقات اجتماعية متعددة، باعتبارها أداة لحل مشاكل ترتبط بالمعيش اليومي، مما ييسر التفاعل الإيجابي مع معطيات الواقع المتجددة دوما.

* أنواع الحساب الذهني.

تبين في هذا التقديم المقتضب للحساب الذهني، ممارسته هي استثمار لتعلمات التلميذ (ة) العددية والحسابية، من أجل تمتين فهمه لهذه التعلمات، وكذلك لإرسائها والتمكن منها. ومن هنا، فأنشطة الحساب الذهني لا تقدم تعلما جديدا، أي لا يتم فيها بناء مفاهيم أو معارف جديدة.

إن العبارة « الحساب الذهني  » تشير على مستوى الممارسة إلى نوعين من الحساب الذهني: حساب ذهني تفكيري وحساب ذهني وسريع.

- الحساب الذهني التفكيري: هو حساب تكون فيه الكتابة أداة مساعدة على إجراء الحسابات. فالتلميذ (ة) يوظف فيه معرفته للإعداد والعمليات وخصائصها للوصول إلى الطريقة تقوده لحساب المطلوب، باستخدام أساليب خاصة به وليس بتطبيق طريقة معروفة سلفا، أو اللجوء إلى التقنية الاعتيادية.

أو بطريقة أخرى حسب معرفته للإعداد أو المجاميع، ففي الحساب الذهني التفكري، تتم متابعة الحساب بشكل مكتوب، مما يتيح للتلاميذ القيام باختيارات متعددة، ومن ثم، قد يلجؤون إلى أساليب مختلفة للوصول إلى الحل، إنه حساب يتطلب تفكيرا ولا يلجأ فيه التلميذ(ة) إلى تقنية جاهزة.

أو بطريقة أخرى حسب معرفته للأعداد أو المجاميع، ففي الحساب الذهني التفكري، تتم متابعة الحساب بشكل مكتوب، مما يتيح للتلاميذ القيام باختبارات متعددة، ومن ثم قد يلجؤون إلى لأساليب مختلفة للوصول إلى الحل، إنه حساب يتطلب تفكيرا ولا يلجأ فيه التلميذ (ة) إلى تقنية جاهزة.

يتم إجراء هذا النوع من الحساب داخل الدرس. ويكون أحد مكونات دروس الأعداد العمليات. ومن ثم، فالنتائج المتوصل إليها تناقش ويتم تصحيحها، وزمن إجرائه غير محدد كما هو الحال في الحساب الذهني السريع.

- الحساب الذهني السريع: الميزة الأساسية لهذا الحساب، هو أنه يتم دون ان يستعين التلاميذ فيه بالكتابة، أما ميزته الثانية فتتجلى في كونه يتم في زمن قصير.

إن ممارسة الحساب الذهني والسريع تتطلب توفر التلميذ (ة) على مجموعة من القواعد، المعلومات العددية، ومعرفة بالعمليات الحسابية، سواء أكانت هذه المعرفة صريحة أم ضمنية، وتتطلب أيضا معرفة طرق أخرى للحساب، سواء أكانت هذه المعرفة صريحة أم ضمنية، وتتطلب أيضا معرفة طرق أخرى للحساب.

إن المطلوب في الحساب الذهني والسريع، هو توصل التلميذ(ة) إلى الجواب ولا تهم الطريقة التي تم التوصل بها إليه، شريطة إنجاز وإتمام هذا الحساب في زمن قصير. ويطلب تقديم الإجابة كتابة على الألواح.

فالحساب الذهني والسريع يعتمد في جزء منه على الحساب التفكيري، وعلى معرفة بالأعداد الصحيحة الطبيعية والعشرية والكسرية، وبالعمليات حتى التي لها طبيعة عامة، كالعمليات الأربع، توحيد مقامات الأعداد الكسرية واختزالها، النسبة المئوية، التقريب والحصر،…

فممارسته من طرف التلميذ(ة) تتم في البداية عن وعي بالمعلومات التي تستخدم، وبالطرق والأساليب التي يحل بها، لكن المران والتدريب والتكرار يحولها، فيما بعد، إلى عمل آلي يقلل من الجهد والزمن اللازمين لإجراء الحسابات، ليتفرغ التلميذ(ة) إلى نشاط تفكيري، عندما يكون في ممارسة تعلمية جديدة.

يمكن أن نقيم تقابلا بين الحساب الذهني والتفكيري والحساب الذهني والسريع في جدول كالتالي:

الحساب الذهني التفكيري
الحساب الذهني السريع

الاستعانة بالكتابة
تتم الاستعانة بالكتابة
يمنع الاستعانة بالكتابة إلا عند تقديم الجواب

المدة الزمنية
غير محددة أثناء القيام بحساب
مدة القيام بالحساب قصيرة ومحددة

* أهداف الحساب الذهني والسريع

يمكن إجمال أهداف الحساب الذهني والسريع فيما يلي:

- التدرب على إجراء حسابات على الأعداد دون سياق، أي أن الحسابات التي تجري على الأعداد تتم في مجال عددي صرف.

- استعمال التقنيات الأربع في الحساب الذهني والسريع.

- التدرب على السرعة في الحساب دون اللجوء إلى الكتابة.

- القدرة على توظيف الآليات والخوارزميات المكتسبة كلما تطلب الأمر ذلك.

* ترتيبات وإجراءات تنظيمية

تتكون السنة الدراسية من 34 أسبوع عمل فعلي، يخصص الأسبوع الأول منها لتقويم تشخيصي قبلي والأسبوع الأخير لتقويم إجمالي نهائي للسنة الدراسية برمتها، كما تنتظم الدراسة في دورتين (فترتان في كل دورة ) من 17 أسبوع عمل فعلي.

1.12 – التوزيع السنوي للدروس:

الدورة الأولى – الفترة الأولى

الأسبوع
الدرس
عنوان الدرس

أو موضوع الأنشطة
عدد الحصص
المدة الزمنية

1
أنشطة تهييئية
7
5 ساعات

2
1
الأعداد الصحيحة الطبيعية (الملايين والملايير)
3
ساعتان وربع

2
مفاهيم أولية في الهندسة
3
ساعتان وربع

تمارين مقترحة لتقويم الدرسين (1) و (2)
1
30 دقيقة

3
3
المحسبة
3
ساعتان وربع

4
الأعداد العشرية
3
ساعتان وربع

تمارين مقترحة لتقويم الدرسين (3) و (4)
1
30 دقيقة

4
5
الزوايا
3
ساعتان وربع

6
جمع وطرح الأعداد الصحيحة الطبيعية والعشرية
1
ساعتان وربع

تمارين مقترحة لتقويم الدرسين (5) و (6)
3
30 دقيقة

5
7
التوازي والتعامد
3
ساعتان وربع

8
ضرب الأعداد الصحيحة الطبيعية والعشرية
3
ساعتان وربع

تمارين مقترحة لتقويم الدرسين (7) و (8)
1
30 دقيقة

6
9
التماثل المحوري
3
ساعتان وربع

10
المضاعفات والقواسم وقابلية القسمة على 2، 3، 5، 9.
3
ساعتان وربع

تمارين مقترحة لتقويم الدرسين (9) و (10)
1
30 دقيقة

7
11
وحدات قياس الأطوال
3
ساعتان وربع

12
المسائل (1)
3
ساعتان وربع

تمارين مقترحة لتقويم الدرس (11)
1
30 دقيقة

8
– أسبوع التقويم والدعم (1) يستفيد منه جميع التلاميذ حيث يتم استثمار نتائج شبكة تقويم التعلمات الخاصة بالكفايات المستهدفة خلال الفترة الأولى.
7
5ساعات

9
– أسبوع الدعم الخاص (1) يستفيد منه فئة من التلاميذ الذين هم في حاجة إلى ذلك
7
5 ساعات

63
45 ساعة

الدورة الثانية – الفترة الرابعة

الأسبوع
الدرس
عنوان الدرس أوموضوع الأنشطة
عدد الحصص
المدة الزمنية

26
37
التناسلية (1) : معامل التناسب
3
ساعتان وريع

38
اموشور القائم والأسطوانة القائمة : المساحة الجانبية الكلية
3
ساعتان وربع

تمارين مقترحة لتقويم الدرسين (37) و (38)
1
30 دقيقة

27
39
التناسلية (2) : النسبة المئوية
3
ساعتان وربع

40
وحدلت قياس الحجوم (1) : المتر المكعب وأجزاؤه
3
ساعتان وربع

تمارين مقترحة لتقويم الدرسين (39) و (40)
1
30 دقيقة

28
41
التناسلية (3) : الرأسمال وسعر الفائدة
3
ساعتان وربع

42
الموشور القائم والأسطوانة القائمة : حساب الحجوم (1)
3
ساعتان وربع

تمارين مقترحة لتقويم الدرسين (41) و (42)
1
30 دقيقة

29
43
التناسلية (4) : السرعة المتوسطة
3
ساعتان وربع

44
وحدات قياس الحجوم (2) : وحدات الحجم ووحدات السعة
3
ساعتان وربع

تمارين مقترحة لتقويم الدرسين (43) و (44)
1
30 دقيقة

30
45
التناسلية (5) : سلم التصتميم والخرائط
3
ساعتان وربع

46
الموشور القائم والاسطوانة القائمة : حساب الحجوم (2)
3
ساعتان وربع

تمارين مقترحة لتقويم الدرسين (45) و (46)
1
30 دقيقة

31
47
التناسلية (6) : الكتلة الحجمية
3
ساعتان وربع

48
المسائل (4)
3
ساعتان وربع

تمارين مقترحة لتقويم الدرس (47)
1
30 دقيقة

32

– أسبوع التقويم والدعم (4) يستفيذ منه جميع التلاميذ حيث يتم استثمار نتائج شيكة تقويم التعلمات الخاصة بالكفايات المستهدفة خلال الفترة الرابعة.
7
5 ساعات

33

– أسبوع الدعم الخاص (4) يستفيد منه فئة من التلاميذ الذين هم في حاجة إلى ذلك.
7
5 ساعات

34
ترتيبات وإجراءات آخر السنة
7
5ساعات

63 حصة
45 ساعة

الدورة الأولى – الفترة الثانية

الأسبوع
الدرس
عنوان الدرس أو موضوع الأنشطة
عدد الحصص
المدة الزمنية

10
13
القسمة الاقليدية (1)
3
ساعتان وريع

14
المضلعات الرباعية
3
ساعتان وربع

تمارين مقترحة لتقويم الدرسين (13) و (14)
1
30 دقيقة

11
15
القسمة الاقليدية (2)
3
ساعتان وربع

16
متوازنات الأضلاع
3
ساعتان وربع

تمارين مقترحة لتقويم الدرسين (15) و (16)
1
30 دقيقة

12
17
الخارج العشري المضبوط والمقرب (1)
3
ساعتان وربع

18
الدائرة والقرص
3
ساعتان وربع

تمارين مقترحة لتقويم الدرسين (17) و (18)
1
30 دقيقة

13
19
الخارج العشري المضبوط والمقرب (2)
3
ساعتان وربع

20
الأعداد الكسرية (1) : التساوي
3
ساعتان وربع

تمارين مقترحة لتقوين الدرسين (19) و (20)
1
30 دقيقة

14
21
إنشاءات هندسية (1)
3
ساعتان وربع

22
قياس الكتل
3
ساعتان وربع

تمارين مقترحة لتقويم الدرسين (21) و (22)
1
30 دقيقة

15
23
الأعداد الكسرية (2) : الإختزال وتوحيد المقامات
3
ساعتان وربع

24
المسائل (23)
3
ساعتان وربع

تمارين مقترحة لتقويم الدرسين (23)
1
30 دقيقة

15
– أسبوع التقويم والدعم (2) يستفيد منه جميع التلاميذ حيث يتم استثمار نتائج شبكة تقويم التعلمات الخاصة بالكفايات المستهدفة خلال الفترة الثانية.
7
5 ساعات

16
– أسبوع التقويم والدعم (2) يستفيد منه جميع التلاميذ حيث يتم استثمار نتائج شيكة تقويم التعلمات الخاصة بالكفايات المستهدفة خلال الفترة الثانية.
7
5 ساعات

17
– أسبوع الدعم الخاص (2) يستفيد منه فئة من التلاميذ الذين هم في حاجة إلى ذلك.
7
5ساعات

56حصة
40ساعة

الدورة الثانية – الفترة الثالثة

الأسبوع
الدرس
عنوان الدرس أوموضوع الأنشطة
عدد الحصص
المدة الزمنية

18
25
الأعداد الكسرية (3) : المقارنة والترتيب
3
ساعتان وريع

26
المثلثات
3
ساعتان وربع

تمارين مقترحة لتقويم الدرسين (25) و (26)
1
30 دقيقة

19
27
الأعداد الكسرية (4) : الجمع والطرح
3
ساعتان وربع

28
إنشاءات هندسية (2)
3
ساعتان وربع

تمارين مقترحة لتقويم الدرسين (27) و (28)
1
30 دقيقة

20
29
وحدات قياس المساحة
3
ساعتان وربع

30
الأعداد الكسرية (5) : الضرب
3
ساعتان وربع

تمارين مقترحة لتقويم الدرسين (29) و (30)
1
30 دقيقة

21
31
حساب محيطات ومساحات المضاعات
3
ساعتان وربع

32
الأعداد الكسرية (6) : القسمة
3
ساعتان وربع

تمارين مقترحة لتقويم ادرسين (31) و (32)
1
30 دقيقة

22
33
حساب محيط الدائرة ومساحة القرص
3
ساعتان وربع

34
الأعداد الكسرية (7) : القيم المقربة لعدد كسري غير عشري
3
ساعتان وربع

تمارين مقترحة لتقويم الدرسين (33) و (34)
1
30 دقيقة

23
35
إنشاءات هندسية (3)
3
ساعتان وربع

36
المسائل(3)
3
ساعتان وربع

تمارين مقترحة لتقويم الدرس (35)
1
30 دقيقة

24
– أسبوع التقويم والدعم (3) يستفيد منه جميع التلاميذ حيث يتم استثمار نتائج شبكة تقويم التعلمات الخاصة بالكفايات المستهدفة خلال الفترة الثالثة.
7
5 ساعات

25
– أسبوع الدعم الخاص (3) يستفيد منه فئة من التلاميذ الذين هم في حاجة إلى ذلك.
7
5 ساعات

56 حصة
40 ساعة

جدول إجمالي لمضامين الرياضيات والكفايات المرتبطة بها بالسنوات : الخامسة والسادسة من التعليم الابتدائي والأولي من التعليم الثانوي الإعدادي

السنة الخامسة الابتدائية

الـمـضـامـيـن
الـكـفـايـات الـمـسـتـهـدفـة

1- الأعداد واتلحساب

- الأعداد الصحيحة الطبيعية والعشرية

- الأعداد الكسرية

تقنيات العمليات الأربع على الاعداد الصحيحة الطبيعية والعشرية والكسرية

- المضعفات والقواسم

- التناسلية (جداول – تمثيلات. مقاربة مفهومي السلم والسرعة المتوسطة. النسبة المئوية).
-التعامل بالأعداد الكبيرة(الملايين والملايير) تسمية وكتابة (رقمية وحرفية)

- التمييز بين الوحدات والعشرات والمئات والآلاف والملايين والملايير في عدد معلوم.

- تفكيك عدد في نظمة العد العشري أو التعبير عنه بكتابتهع الاعتبادية .

- التمكن من القواعد الاساسية لكتابة وقراءة الاعداد العشرية

- مقاربة وترتيب وتأطير الاعداد الصحيحة والعشرية

- تقريب عدد إلى 1 و 01 أو 001

- التغيير عن العدد بكتابات كسرية مختلفة

- تعرف واستعمال الكتبات العشرية والكسرية لبعض الأعداد مثل 01 و 10/1 و 05 و 2/1 ة 025 و 4/1

- توحيد مقامي عددين كسريين في وضعيات بسيطة

- ترتيب عددين كسرين لهما المقام نفسه

- التمكن من التقنيات الاعتبادية للجمع والطرح والضرب

- تعرف مراحل التقنية الاعتبادية القسمة

- حساب الخارج العشري لعددين طبيعيين

- تعرف مضاعفات وقواسم عدد وتقنيات الحصول عليها

- تعلرف وتوظيف معامل التناسب

- تعرف النسبة المئوية وإجراء حسابات عليها

- تعرف قسمة عدد عشري على عدد صحيح أو عدد عشري وحساب القيم العشرية المقربة إلى 1 0.1 : 0.01

- استعمال القسمة في حل بعض المسائل.

II – القياس

- قياس الأطوال والكتل والمساحات والسعات

- تحديد الزمان : اليومية والساعة والمدة الزمنية
– تعرف وحدات قياس الأطوال والمساحات والسعات (الوحدات الأساسية – مضاعفاتها – أجزاؤها)

- التعبير عن نتيجة قياس بتأطير إذا كانت الوحدة مختارة.

- كتابة مدة زمنية بالساعات الدقائق والثواني .

- .القيام بالتحويل إلى الساعة والدقيقة والثانية

- التمييز بين الميلادية البسيطة والكبيسة.

إنجاز حسابات بسيطة على القياسات مع الأخذ بعين الاعتبار العلاقات الموجودة بين مختلف الوحدات.

III – الهندسة ومفهوم الفضاء

- التوازي والتعامد

- الزوايا

- الأشكال المستوية : المثلث، المثلث القائم والمثلث المتساوي الساقين والمثلث المتساوي الأضلاع والمربع والمستطيل ومتزاوي الاضلاع والمعين وشبه المنحرف والدائرة والفرص.

- محيطات ومساحات بعض المضلعات والدائرة والقرض .

- ترصيف السطوح المنتهية

- التعامل المحوري ومحور تماثل الشكل

- إزاحة الأشكال

- تكبير وتصغير الأشكال

- الموشور القائم والاسطوانة القائمة
– إنشاء مستقيمات متوازية أو متعامدة باستعمال الأدوات الهندسية.

- التأكد من إستقامية النقط أو توازي مستقيمين أو تعامد مستقيمين باستعمال الأدوات الهندسية.

- تعرف الزوايا الخاصة.

استعمال المنقلة لقياس الزوايا (مفهوم الدرجة)

- تعرف العناصر الأساسية لهذه الأشكال المستوية

- تعرف العلاقات بين زوايا الرباعيات الاعتيادية

- حساب محيطات ومساحات المضلعات الاعتيادية والدائرة والقرص.

- تعرف محاور تماثل شكل

- تعرف مفهوم الإزاحة

- تعرف متوازي المستطيلات والمكعب والموشور القائم والاسطوانة القائمة وعلى عناصرها

- نشر وتركيب المجسمات السابقة

- حساب المساحات الجانبية والكلية لمتوزاي المستطيلات والمكعب والموشور القائم والأسطوانة القائمة

السـنـة السـادسـة الابـتـدائـيـة

الـمـضـامـيـن
الـكـفـايـات الـمـسـتـهـدفـة

I- الأعداد والحساب:

- الأعداد الصحيحة الطبيعية والعشرية والكسرية.

- تقنيات العمليات الأربع على الأعداد الطبيعية والعشرية والكسرية.

- القسمة الاقليدية.

- التناسبية(جداول- تمثيلات- مقاربة مفهومي سلم التصاميم والخرائط والسرعة المتوسطة، السعر، الفائدة، الكتلة الحجمية، الآلة الحاسبة أو المحسبة، النسبة المئوية).
– التمكن من القواعد الأساسية لكتابة وقراءة الأعداد العشرية.

- مقارنة وترتيب وتأطير الأعداد الصحيحة الطبيعية والعشرية.

- تقريب عدد.

- التعبير عن عدد بكتابات كسرية مختلفة.

- تعرف واستعمال كتابات كسرية مختلفة.

- توحيد مقامي عددين كسريين في حالات بسيطة.

- اختزال عدد كسري.

- ترتيب عددين كسريين لهما نفس المقام.

- التمكن من التقنيات الاعتيادية للجمع والطرح والضرب.

- تعرف مراحل التقنية الاعتيادية للقسمة.

- حساب الخارج العشري لعددين صحيحين طبيعيين.

- تعرف مضاعفات وقواسم عدد.

- تعرف وتوظيف معامل التناسب ودراسة بعض الجداول وتمثيلها.

- استخدام معامل التناسب لحل مسائل من نوع « القاعدة الثلاثية ».

- تعرف وإنشاء رسم مبياني يمثل وضعية أعداد متناسبة.

- تعرف النسبة المئوية وإجراء حسابات عليها.

- تعرف مختلف وظائف الآلة الحاسبة العادية واستعمالها.

II- القياس:

- قياس الأطوال والكتل والمساحات والسعات.

- الوحدة الزراعية.

- قياس الحجوم.

- المتر المكعب وأجزاؤه.
– تعرف وحدات قياس الأطوال والمساحات والسعات.

- الاستعمال وتحويل الوحدات الزراعية.

- تعرف وحدات قياس الحجوم.

- الربط بين وحدات قياس الحجوم ووحدات قياس السعات.

III- الهندسة ومفهوم الفضاء:

- التوازي والتعامد.

- الزوايا.

- قياس زاوية.

- المضلعات.

- الدائرة والقرص.
– تعرف بعض الخاصيات حول التعامد والتوازي.

- التمكن من بعض الإنشاءات الهندسية باستعمال المسطرة والبركار والمزواة والمنقلة.

- تعرف العناصر الأساسية لكل من المثلث والمربع والمستطيل ومتوازي الأضلاع والمعين وشبه المنحرف والدائرة والقرص.

- تصنيف المضلعات.

الوضعية

دور الأستاذ (ة)
دور التلميذ (ة)

التفويض

(DEVOLUTION)
إخبار التلاميذ بالهدف من الحصة وإثارة فضولهم لجعلهم يحسون بضرورة الانخراط في البحث، وتنظيم العمل داخل الفصل إما يشكل جماعي أو في مجموعات أو فردي حسب طبيعة النشاط المقترح ليتحكم في إدارته.
– الإحساس بالمشكلة.

- تبني الوضعية المسألة والاستعداد للدخول في سيرورة البحث عن حل لها.

الفعل والتجريب أو البحث الأولي

(ACTION)
– يعتبر دور الأستاذ(ة) في هذه المرحلة حاسما إذ يجب أن يعد له ما يكفي من المرونة والخبرة، ويكون على استعداد لأن يواجه أكبر عدد من الاحتمالات وإلا أفلت زمام الدرس من يده.

- يتجنب تقديم أية مساعدة للتلاميذ أثناء محاولتهم وتلمساتهم الأولية، إلا إذا تبين له أن تدخله أمر ضروري، ويجب أن يتعدى تدخله تغيير قيم المتغيرات الديدكتيكية المتحكمة في توجيه أساليب تفكير التلاميذ.
– دور التلميذ رئيسي ومحوري، فهو يحلل وينظم ويعالج المعطيات مستعملا تمثلاته ومعارفه المكتسبة لينتج فرضية ومظنونة شخصية.

الصياغة

(FORMULATION)
– الاقتصار على في مراقبة أعمال التلاميذ وتتبع سيرهم وتقدمهم في البحث.

- يقبل الصيغ والتعابير التي يستعملها التلاميذ ويشجعهم على تدقيقها.
– ينجز مجموعة من العمليات التي تسمح له بالحكم على مدى صدق وصحة نموذجه الشخصي، وذلك بإجراء مجموعة من الاختيارات المنطقية والتجريبية، لمعرفة الفرضية التي ينبغي الاحتفاظ بها.

المصادقة أو الاستنتاج والتبرير

(VALIDATION)
– تشجيع التلاميذ على عرض نتائجهم مصحوبة بالتبريرات الضرورية والمناسبة حتى ولو لم تكن مصاغة بشكل جيد.

- تنظيم النقاش حول حلول التلاميذ بهدف قيادتهم إلى الحل الصحيح، مع عدم إبداء أي رأي يمكن أن يِثر على اختيارات التلاميذ وأحكامهم.
– تأويل وتركيب النتائج والمعطيات التي لأسفرت عنها التجارب السابقة، وسواء كانت الفرضية صائبة أو خاطئة فإن الأمر يعتبر في كلتا الحالتين نشاطا معرفيا ذا قيمة بيداغوجية، إذ ليس من الضروري أن يتم التوصل دائما إلى تأكيد وإثبات معارف وفرضيات، لأن نفيها يقدم أيضا وفائدة تتجلى في استبعاد وإقصاء العناصر المعرفية الخاطئة.

المأسسة

(INSTITUTIONNALISATION)
– توحيد المعارف ومجانستها، وتحديد المصطلحات والرموز والتعابير وما ينبغي الاحتفاظ به وبأي شكل.
– يتعرف التلميذ(ة) على المعرفة موضوع التعلم في شكلها الرياضي خارج سياق الوضعية، ويدون في دفتره المعارف الأساسية.

إعادة الاستثمار

(RE – INVESTISSEMENT)
– باقتراح تمارين ومسائل جديدة في وضعيات وسياقات مختلفة.
– يوظف التلميذ(ة) المعارف والمهارات والتقنيات المكتسبة في وضعيات جديدة ذات سياقات متنوعة.

ملاحظات:

1-يجب عدم الإسراع في « مأسسة التعلم  » تفاديا لتقديم المفاهيم الرياضية خارج إطار تدبير الوضعيات – المسائل، الشيء الذي قد يعيق حصول التعلم وعدم القدرة على إعادة الاستثمار.

2-نظرا لكون المعرفة خلال الوضعيات الثلاث (الفعل، الصياغة، المصادقة) تكتسي طابعا ذاتيا ناتجا عن محاولات التلميذ الموفقة وغير الموفقة، فإن وضعية المأسسة تمكننا من تجاوز الطابع الذاتي للتلميذ المرتبط ببناء المعرفة.

3-لقد تم تقديم الوضعيات السابقة في ترتيب وتسلسل زمني قصد توضيح أدوارها في بناء المعرفة الرياضية داخل الأقسام، إلا أن الممارسة أبانت أن تدبيرها يجب أن يتم في تفاعل دينامي فيما بينها يفضي إلى بناء المعرفة المستهدفة.