مذكرات الرياضيات للسنة الرابع متوسط

4 09 2008

مذكرات الرياضيات للسنة الرابع متوسط

——————————————————————————–

المجال: أنشـطة هندسية مـذكـرة رقــم: 06
الوحدة التعليمية:نظرية طالس . المـستـــوى: رابعة متـوسـط
المرجع: منهاج السنة الرابعة متوسط, كتاب التلميذ. الوسائل: وسائل الإنشاء الهندسي.
الكـفاءة القـاعـدية: معرفة نظرية طالس واستعمالها في حساب أطوال الأستـــــــاذ: بحـة خالد
أو إنجاز براهين وإنشاءات هندسية بسيطة.

المراحل

سيــــر الأنشطة التعليمية

مـؤشـرات الكـفاءة

الملاحظات

التهـيئة

ـ أرسم مستقيما (d) , ثم أنشئ عـليه تدريجا منتظما وحدته 1cm .

ينشئ تدريجا منتظما على مستقيم.
يحاول في كراس المحاولات

الأنشطـة

النشاط05: تقسيم قطعة مستقيم (ص 156)
[AB] قطعة مستقيم .
(Ax] نصف مستقيم مدرج تدريجا منتظما.
ـ ارسم مستقيما يشمل النقطة C ويوازي
(EB) ويقطع [AB] في D .
ـ احسب النسبة , ثم اكتب ABبدلالة AD.

ـ قسم القطعة [AB] إلى 3 قطع متقايسة . xE 3 2 C 1 A

ـ ينشئ تدريجا منتظما لنصف مستقيم .
ـ يرسم متقيما يوازي مستقيما معلوما ويشمل نقطة معلومة .
ـ يحسب نسبة .
ـ يقسم قطعة مستقيم .
يحاول في كراس المحاولات

المعــــــارف

3 ـ تقسيم قطعة مستقيم (ص 158)

لتقسيم قطعة مستقيمة [AB] إلي n قطعة متقايسة (n عدد طبيعي أكبر تماما من 1 نتبع الخطوات التالية (
– ننشئ نصف المستقيم مبدؤه A وحامله
يختلف عن المستقيم(AB).
ـ على نصف المستقيم هذا ننشئ نقطة C
بحيث AC = n
ـ ننشئ المستقيم (BC)
ـ من القطعة [AC ] نأخذ النقطة I
ـ ننشئ D المستقيم المار من I و الموازي للمستقيم (BC)
ـ نسمي I’ نقطة تقاطع (D) و (AB)
ـ نقسم القطعة [AB ] إلى قطع متقايسة طولها AI’ باستعمال المدور.

يستنتج كيفية تقسيم قطعة مستقيم إلى قطع متقايسة .

يكتب من الكتاب

إعـادة الاستـثمـار

التمرين01:
[AB] قطعة مستقيم .

B A

قسم القطعة [AB] إلى 7 قطع متقايسة.
الحـل:

B A

يوظف طريقة تقسيم قطعة مستقيم
يحاول في كراس المحاولات




العمليات الحسابية على أعداد الفاصلة العائمة

4 09 2008

العمليات الحسابية على أعداد الفاصلة العائمة
من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح, ابحث
فهرس
1 العمليات على الفاصلة العائمة
2 تمثيل الأعداد بطريقة الفاصلة العائمة
2.1 الصيغة وحيدة الدقة
2.2 الصيغة مضاعفة الدقة:
3 جمع الأعداد الممثلة بطريقة الفاصلة العائمة
4 ضرب عددين باستخدام الفاصلة العائمة:
5 المراجع

[عدل] العمليات على الفاصلة العائمة
فيما يلي سوف نتحدث بشئ من التفصيل عن عمليتي الجمع والضرب لعددين ممثلين باستخدام الفاصلة العائمة. ولكن قبل ذلك لا بد أن نتذكر كيف يتم تمثيل الأعداد باستخدام الفاصلة العائمة,وهو بالتأكيد ليس موضوع بحثنا. هناك طريقتين لتمثيل الأعداد باستخدام الفاصلة العائمة:

[عدل] تمثيل الأعداد بطريقة الفاصلة العائمة

[عدل] الصيغة وحيدة الدقة
حيث يخصص 23بت للقسم الكسري و8بت للقوة البت الأخير للاشارة. وبشكل عام يكون للأعداد الممثلة بالفاصلة العائمة وبهذه الطريقة الصيغة التالية: (-1)^s*(1+signification)*2^(E+127)

[عدل] الصيغة مضاعفة الدقة:
حيث يخصص 23 بت للقسم الكسري و11 بت للقوة والبت الأخير للاشارة. وبشكل عام يكون للأعداد الممثلة بالفاصلة العائمة وبهذه الطريقة الصيغة التالية: (-1)^s*(1+signification)*2^(E+1023)

مثال: العدد (-0.75) يتم تمثيله باستخدام طريقتي تمثيل الفاصلة العائمة: 1-باستخدام الصيغة وحيدة الدقة: (0.75)10=(0.11)2=1.1*2^-1 (-1)^1*(1+0.1)*2^(-1+127)=(-1)^1*(1.1)*2*126 وبالتالي يكون توزع البيتات:

0000 0000 0000 0000 0000 0100 1111 1011
____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____
0 0 0 0 0 4 B F
ومنه فان (-0.75)=BF400000:

باستخدام الصيغة مضاعفة الدقة:
(0.75)10=(0.11)2=1.1*2^-1 (-1)^1*(1+0.1)*2^(-1+1023)=(-1)*(1.1)*(1022)

0000 0000 …..0000 0000 0000 0000 0000 1000 1110 1111 1011
____ ____……____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____
0 0 0 0 0 0 0 8 B F E
ومن فان(-0.75)=BFE8000000000000

[عدل] جمع الأعداد الممثلة بطريقة الفاصلة العائمة
لنقم بجمع عددين عشريين ممثلين بطريقة الفاصلة العائمة وذلك من أجل توضيح المشاكل التي من الممكن مصادفتها أثناء عملية الجمع. بفرض لدينا العددين :+(1.610*10^-1) (9.999*10^1) وبفرض أننا نستطيع أن نخزن أربع خانات عشرية فقط في القسم الكسري وخانتين عشريتين فقط في القوة.

1-الخطوة الأولى:

حتى نستطيع أن نقوم بجمع هذين العددين يجب أن نرتب الفاصلة العشرية في العدد الأصغر أي يجب أن نجعل العدد الأصغر على الشكل 1.610*10^-1 وذلك بشكل مماثل للقوة في العدد الأكبر.ويمكن أن نحقق ذلك بالاستفادة من التمثيل المتعدد للرقم بواسطة الفاصلة العائمة :

0.610*10^-1=0.1610*10^0=0.01610*10^1 حيث تمثل الصيغة على اليمين الصيغة المطلوبة (قوة العدد الأصغر أصبحت مماثلة لقوة العدد الأكبر)وبالايجاز يمكن إنجاز ذلك بإزاحة القسم الكسري للعدد الأصغر إلى اليمين وتعديل القوة حتى تصبح مساوية لقوة العدد الأكبر. 0.016*10^1 طبعا » مع الملاحظة أنه لا يمكن السماح بأكثر من أربع خانات عشرية في القسم الكسري مما يستدعي إهمال بعض الخانات على يمين الفاصلة.

– الخطوة الثانية:

وهي تتمثل بجمع القسم الكسري للعددين

9.999
+ 0.016
_____
10.015 وبالتالي يكون ناتج الجمع(0.015*10^1)
3-الخطوة الثالثة:

إن الناتج الذي حصلنا غير مكتوب بالصيغة القياسية (الصيغة القياسية تتضمن رقم واحد فقط بعد الفاصلة)لذلك الناتج بحاجة إلى عملية تصحيح.باستخدام التمثيل المتعدد للرقم في الفاصلة العائمة: 10.015*10^1=1.0015*10^2 وهكذا تم العدة الناتج إلى الصيغة القياسية مع ملاحظة ملاءمته للقوة. إن هذا المثال يظهر عملية إزاحة الناتج نحو اليمين .ولكن ماذا إذا كان أحد العددين موجب والأخر سالب في هذه الحالة من الممكن أن يكون ناتج الجمع مساويا » للصفر وهذا يتطلب إزاحة الناتج نحو اليسار على أي حال القوة سواء بالزيادة أو النقصان يجب إجراء عملية فحص للتأكد فيما لذا كان هناك overflow أو underflow أي يجب أن نكون متأكدين أن القوة لا تزال ضمن الحقل (أي ضمن المجال المسموح به).

– الخطوة الرابعة:

في بداية المسألة افترضنا أن القسم الكسري يمكن أن يستوعب فقط أربع خانات عشرية لذلك يجب إجراء عملية تدوير للعدد وذلك باستخدام قواعد التدوير (التقريب) . فمن أجل تقريب عدد ما:إذا كان الرقم على يمين النقطة المرغوبة يقع ما بين 0__4 فإننا نحذف كل الخانات على يمين هذه النقطة وآلا إذا كان الرقم محصور بين 5__9 فأننا نضيف 1 إلى الرقم الذي يليه. العدد 1.0015*10^2 يتم تدويره بحيث يتضمن أربع خانات عشرية فقط في القسم الكسري وبذلك يصبح 1.002*10^2 حيث أن الخانة على اليمين تقع بين 5 و 9 ….

ملاحظة :

إن عملية التدوير يمكن أن تتم قبل أو بعد التحويل إلى الصيغة القياسية ولكن الأفضل هو بعد عملية التحويل. خوارزمية جمع عددين باستخدام الفاصلة العائمة: الشكل (1) يظهر خوارزمية جمع عددين ثنائيين ممثلين باستخدام الفاصلة العائمة كما تمت المناقشة في المثال السابق حيث تمت في الخطوة الأولى والثانية تسوية العدد الأصغر وجمعه مع العدد الأكبر وفي الخطوة الثالثة تم إعادة الناتج إلى الصيغة القياسية .اختبار ال overflow أو underflow في الخطوة الثالثة يعتمد على دقة المعاملات هذا يعني بالنسبة لدقة الإشارة أن أعظم قوة هي 127 وأن أصغر قوة هي -126 ففي الصيغة مضاعفة الدقة يكون مجال القوة محصورا » بين 1023__-1022.

أمثلة حول عملية الجمع:

مثال (1):

اجمع العددين التاليين: 0.5 و -0.4375 وذلك باستخدام الفاصلة العائمة . الحل: قبل البدء بعملية الجمع يجب تمثيل العددين باستخدام الفاصلة العائمة كالتالي : (0.5)=1.000*2^-1 -0.4375)=-1.110*2^-2) 1-التعديل يطبق على العدد الثاني حيث يتم ازاحة قسمه الكسري نحو اليمين حتى تصبح قوته مساوية لقوة العدد الأكبر : -1.110*2^-2=-0.111*2^-1

2-عملية جمع القسم الكسري للعددين :

1.000*2^-1)+(-0.111*2^-1)=0.001*2^-1) 3-أعادة الناتج للصيغة القياسية مع فحص حالة overflow و underflow 0.001*2^-1=0.010*2*-2=0.100*2^-3=1.000*2*- حيث>= -1 127 >= -4 أي لا يوجد هناك overflow . 4-عملية تدوير الناتج: نلاحظ أن الناتج لا يحتاج إلى تدوير.

مثال(2):

أوجد ناتج جمع العددين التاليين 1575*10^13: و 503*10^5 مع العلم أن المسموح به هو رقمين عشريين فقط بعد الفاصلة .

الحل: بتطبيق الخوارزمية السابقة بشكل مباشر: 1-15.75*10^5 + 503*10^5 2-(15.75 + 503) * 10^5 = 518.75 *10^5 3- نلاحظ أن الناتج لا يحتاج إلى عملية إزاحة. 4- الناتج لا يحتاج إلى عملية تدوير.

مثال (3):

أوجد ناتج جمع العددين التاليين : 13 و 33 وذلك بفرض أن المسموح به هو خمس أرقام فقط بعد الفاصلة.

الحل: يجب قبل البدء بعملية الجمع لا بد من تمثيل العددين بطريقة الفاصلة العائمة.

(13)10 = (1101)2 = 1.101 * 2^3
(33)10 = (100001)2 = 1.00001 * 2^5

بتطبيق خوارزمية الجمع مباشرة . 1- 13 = 0.01101 * 2^5 2- 13 : 0.01101 * 2^5

33 : 1.00001 * 2^5
____________
1.01101 * 2^5
3- الناتج مكتوب بالصيغة القياسية.

4- الناتج لا يحتاج لعملية تدوير.

[عدل] ضرب عددين باستخدام الفاصلة العائمة:
بعد أن تمت مناقشة عملية الجمع باستخدام الفاصلة العائمة سوف نتطرق لمناقشة عملية ضرب عددين باستخدام الفاصلة العائمة. سوف نقوم بمناقشة الخوارزمية (خوارزمية الضرب) على العددين العشريين: 1.110 * 10^10 ) * (9.200 * 10^-5) ) وذلك بفرض أنه إمكانية تخزين أربعة أرقام عشرية فقط في القسم الكسري ورقمين من أجل القوة :

الخطوة الأولى:

على عكس الجمع سوف يتم حساب القوة لناتج الجمع وذلك بجمع بسيط للقوة في كل من العددين . وبالتالي سوف تكون قوة الناتج

10 + (-5) = 5
لنقم الآن بإنجاز عملية جمع القوة للعددين باستخدام التكميل إلى المجال 127 وذلك للتأكد من أننا سوف نحصل على نفس النتيجة .

10 + 127 = 137 -5 + 127 = 122 وبالتالي قوة الناتج 137 + 122 = 259 والنتيجة كبيرة جدا » على حقل القوة المخصص ل 8 بت لذلك لا بد من وجود شيء ما خطأ. المشكلة هي في الانحياز حيث تم إضافة الانحياز إلى القوة. قوة الناتج : (10 + 127) + (-5 + 127 ) = 259 وفقا » لذلك حتى نحصل على ناتج جمع صحيح للعددين عندما يكون هناك انحياز في المجال يجب أن نطرح الانحياز من المجموع. قوة الناتج :

137 + 122 – 127 = 259 – 127 = 132 = 5 +127
حيث 5 هي القوة التي نحتاجها في عملية الحساب الأولية.

الخطوة الثانية:

عملية ضرب القسم العشري للعددين :

1.110
9.200 *
_____
0000
0000
2220
9990
_______
10212000
من أجل كل معامل هناك ثلاث خانات عشرية على يمين الفاصلة العشرية لذلك سوف يتم توضيع الفاصلة العشرية بعد 6 خانات من الناتج. 10.212000 وبفرض أنه من الممكن الاحتفاظ بثلاث خانات فقط على يمين الفاصلة سوف يصبح الناتج: 10.212 * 10^5

الخطوة الثالثة:

إعادة الناتج للصيغة القياسية :أي أننا بحاجة إلى تصحيح الناتج باستخدام تمثيلات الفاصلة العائمة للعدد : 10.212 * 10^5 = 1.0212 * 10^6 حيث تم إزاحة الناتج خطوة واحدة نحو اليمين وإضافة (1) إلى قوة الناتج وعند هذه النقطة يمكن أن نتفحص وجود overflow أو underflow حيث أن underflow يمكن أن يحدث عندما يكون كلا المعاملين صغير أي أن كلا » من العددين يملك قوة سالبة كبيرة .

الخطوة الرابعة:

بفرض أن القسم العشري بطول 4 خانات عشرية فقط لذلك نحن بحاجة إلى عملية تدوير الناتج : 1.0212 * 10^6 = 1.021 * 10^6

الخطوة الخامسة :

تحديد إشارة الناتج والتي تعتمد على إشارة المعاملات الأصلية فإذا كانت الإشارتين متماثلتين عندها تكون إشارة الناتج موجبة و إلا فإن إشارة الناتج سالبة وفي هذا المثال الناتج من إشارة موجبة. + 1.021 * 10^6 الإشارة في خوارزمية الجمع تحدد بعد جمع القسم العشري بينما في الضرب تحدد من خلال إشارتي المعاملات. الشكل (2) يظهر خوارزمية ضرب عددين باستخدام الفاصلة العائمة:

أمثلة عن عميلة الضرب:

مثال (1) :

لنحاول ضرب العددين (-0.4375) و (0.5) وذلك باستخدام خوارزمية الضرب.

الحل:

لنكتب العددين باستخدام الفاصلة العائمة : 0.5 = 1.000 * 2^-1 -0.4375 = -1.110 * 2^-2 1-جمع القوى للعددين دون انحراف : (-1) + (-2) =-3 أو باستخدام التمثيل المنحاز: (-1+127) + (-2+127) – 127 (-1-2) + (127+127-127) = -3 +127 = 124 2=ضرب القسم الكسري:

1.000
1.110 *
_____
0000
1000
1000
1000
_______
1110000
الناتج1.110000 * 2^-3 ولكن المسموح به هو 4 بت فقط لذلك يكون الناتج (1.110 * 2^-3 )

3-فحص الناتج هل هو بالصيغة القياسية أم لا ثم عملية فحص هل هناك overflow أو underflow فنلاحظ أن الناتج بالصيغة القياسية وذلك لأن 127 >= -3 >= -126 أي لا يوجد overflow أو underflow (وباستخدام التمثيل المنحرف للمجال 254 >= 124 >= 1 أي القوة تلائم المجال).

4-الناتج لا يحتاج إلى تدوير.

5- بسبب اختلاف الإشارة في المعاملات الأصلية فإن إشارة الناتج ستكون سالبة وبالتالي الناتج هو: -1.110 * 2^-3

مثال (2) :

أوجد ناتج ضرب العددين التاليين باستخدام خوارزمية الضرب لعددين ممثلين باستخدام الفاصلة العائمة: (1.100 * 2^130) * (1.010 * 2^129)

الحل:

1-1.100 * 2^130
1.010 * 2^129 *
___________
0000
1100
0000
1100 +
______________
1.111000 * 2^259
توضيح :

في الناتج السابق نطرح من القوة (127) لأننا عندما جمعنا القوى أصبح لدينا مجموع إزاحة القوة الأولى و الثانية وبالتالي يكون الناتج لعملية الضرب : 1.111000 * 2^132

ملاحظات :

1- من أجل إجراء عملية الطرح لعددين ممثلين بالفاصلة العائمة يمكن إنجاز هذه العملية على أنها عملية جمع لعددين أحدهما موجب والآخر سالب. 2- إن خوارزمية القسمة لعددين ممثلين بطريقة الفاصلة العائمة مطابقة تماما »لخوارزمية الضرب ولكن في عملية القسمة يتم تقسيم القسم الكسري للعدد الأول على القسم الكسري للعدد الثاني وطرح القوتين بدلا » من جمعهما وفي قوة الناتج يتم إضافة الإزاحة (127) بدلا » من طرحها قوة الناتج




أهـداف تـدريـس الـريـاضـيـات

4 09 2008

أهـداف تـدريـس الـريـاضـيـات

بالـسـلـك الـمتوسط الابـتـدائـي

في السنوات الأربع من السلك المتوسط، يعزز التلميذ ويطور مكتسباته المتعلقة بالأعداد الطبيعية، ويكتشف الأعداد العشرية والكسرية، ويتعمق في تقنيات عمليات الجمع والضرب والطرح، ويتعرف القسمة ويمارس أنشطته في القياس والهندسة. كما يركز تدريس الرياضيات بهذا السلك زيادة على الجانب المعرفي على الأهداف التالية:

– ترييض وضعيات حقيقية وصياغة وعرض المراحل المتبعة في حل المسائل.

– تقديم التبريرات الكافية لإثبات صحة الجواب.

– تحليل وتركيب المعطيات والمعلومات وتقدير التوقعات.

– اكتساب منهجية لتنظيم العمل.

– الاستئناس بالتقنيات الحديثة واستعمالها في البحث عن المعلومات.

بـرمـجـة الـحساب الـذهنـي والـسريـع ( عن دليل الأستاذ – الرياضيات )

الـدورة الأولـى

الدرس
الـنشـاط الـمقـتـرح

1
– أكتب العدد الموالي لـ: 3160، 3 ملايين، عشرة آلاف…

2
– أكتب بالأرقام الأعداد التالية : ثلاثة ملايين وثلاث مئة، مئة وواحد مليون وعشرة آلاف وعشرة،…

3
– أكتب بالحروف :1 010 ، 100 100 ، 1 010 101،…

4
– أوجد المكمل إلى أو لـ لكل من: 360، 507، 175، 631، 701…

5
– أكتب بالأرقام الأعداد العشرية التالي: ثلاثة أعشار، ثلاثة وحدات و7 أعشار،…

6
– أكتب لائحة الأعداد الصحيحة الطبيعية المحصورة بين 298 و 303 .- أكتب أربعة أعداد عشرية محصورة بين 1 و 2

7
– أضف 9 إلى: 81، 391، 1999. – اطرح 9 من 81، 391، 1999.

8
– أصف 19 إلى 18، 80، 399، 425. – أضف 29 إلى 18، 80، 399، 425.

9
– أكتب ثلاثة أعداد عشرية محصورة بين كل من:56؛0،1 ؛ و 0،2 ؛ 0،01 و 0،02 .

10
– أحسب مجموع الأعداد الآتية : 3،75 + 10,255,3 ؛ 5,3 + 2,7؛1,1 + 1,5 …

11
– أوجد ضعف الأعداد: 16 ؛ 42 ؛ 5 ، 64؛ 312 . – أوجد نصف الأعداد: 116؛142؛164؛ 312 .

12
– أحسب الجداءات : 16 × 5 ؛ 32 × 5؛ 64 ×5 …

13
– أكتب مضاعفات 5 المحصورة بين 18 و 31 .- أكتب مضاعفات 9 المحصورة بين 30 و 60 .

14
– أحسب الخارج والباقي لـ : 15 على 2 ؛ 105 على 2 ؛ 701 على 2 ،…

15
– أحسب الجذاءات التالية : 25 × 12؛ 25 × 40؛ 25 × 36 ؛….

16
– ما هو باقي قسمة كل عدد على 3 : 19 ؛ 12 ؛ 125: 631 ؛…

17
– أوجد عددين صحيحين طبيعيين مجموعهما 20 والفرق بينهما 4 .

– أوجد عددين صحيحين طبيعيين مجموعهما 100 والفرق بينهما 4 .

– أوجد عددين صحيحين طبيعيين مجموعهما 631 والفرق بينهما 219 .

18
– أحسب خارج كل من القسمات التالية : 64 على 4؛ 104 على 4؛ 148 على 4؛ 204 على4 .

19
– أحسب خارج كل من القسمات التالية : 20 على 5؛ 55 على 5؛105 على5،…

20
– أحسب الخارج العشري لكل من القسمات التالية : 27 على 2؛ 39 على 2؛ 49 على 2،..

21
– أحسب الجذاءات التالية: 01 × 100؛ 001 × 100؛ 0001 ×100،…

22
– أحسب الخارج العشري لما يلي: 12 على10؛ 327 على 100؛ 7012 على 1000 .

23
– استخدم المتساوية : 3150 = 70 ×45 لحساب خارج ما يلي: 315 على 70 ؛ 3150 على 45 ؛ 315 على 7،…

24
– أكتب البسط أو المقام المناسب: … =025، 2 = 1، … = 3 ، … = 2،… 100 6 … 6

بـرمـجـة الـحساب الـذهنـي والـسريـع ( عن دليل الأستاذ – الرياضيات )

الـدورة الثانية

الدرس
الـنشـاط الـمقـتـرح

25
– إذا ضربنا عددا في 2 ثم في 5 حصلنا على 60 ، ما هو هذا العدد؟

26
– إذا قسم عدد على 2 ثم على 5 حصلنا على 6، ما هو هذا العدد؟

27
– أحسب المجموع لما يلي : 6،2 + 12،8 ؛ 4،93 + 25،07 ؛ 2 ،75 + 16،25 ؛…

28
– أحسب الفرق لما يلي : 2،27 – 15،27 ؛ 8،4 – 18،9 ؛ 10،03 –17،03 ؛…

29
– أكتب المجموع في أبسط صورة : 2/1 + 3/2 ؛ 2/1 + 2/1 ؛ 5/3 + 5/2 .

30
– أكتب الفرق في أبسط صورة : 4/3 – 4/5 ؛ 10/2 – 10/7 ؛ 7/1 – 7/15 ؛…

31
– عبر بالدقائق عن 6/5 ؛ 3/2 ؛3/1 ؛ 2/1 .

32
– أضف 0،1 إلى العدد 20،9 ثم اضرب المجموع المحصل عليه في 10 .

– أضف 0،01 إلى العدد 1،99 ثم اضرب المجموع المحصل عليه في 10 .

33
– – أعط القيمة المقربة إلى الوحدة لكل مجموع مما يلي :

34
– أعط القيمة المقربة لكل جداء مما يلي:

35
– أحسب نصف 240 ، ربع 240،…

36
– أحسب بالدقائق : ثلث ساعة، ربع ساعة، خمس ساعة،…

37
– أحسب محيط مربع ضلعه : …. ; 150,2m ; 82,25m , 10,5cm , 2,5cm

38
– أحسب ضلع مربع محيطه :…64,4cm ; 16,16m ; 32,08m

39
– أحسب الخارج العشري لما يلي : 25،5 على 5 ؛ 210 على 5 ؛….

40
لاحظ أن 165 = 6 × 27،5 ، واحسب : 6 ×275 ؛ 60 × 0،275 ؛ 6 خ 2،75 .

41
– أكتب مضاعفات العدد 3 المحصورة بين 29 و 42 ؛…

42
– أكتب على شكل عدد عشري :100/525 ؛ 10/1 + 5 ؛ 2/1 + 7 ؛…

43
– أكتب مكمل 4/1 للحصول على 1 ؛….

44
– أكتب مقلوب كل من الأعداد :2/7 ؛ 8/1 ؛ 5 ؛….

45
– أحسب 8/3 العدد 72 ؛ 7/4 العدد 280 ؛ ….

46
– كم يمثل: 10°/° من العدد 520؛ 20°/°من العدد 650؛ 30°/° من العدد 900؛ 40°/° من العدد 2400 ؟

47
– حول إلى نسبة مأوية ما يلي : 2/1؛ 4/1؛ 10/1 ؛…

48
– 52 هو 10°/° من عدد. ماهو هذا العدد؟ – 300 هو 50°/° من عدد. ما هو هذا العدد؟

الميثاق الوطني إطار مرجعي للإصلاح :

يتضمن الميثاق الوطني للتربية والتكوين المبادئ الأساسية المحددة للمرتكزات الثابتة والغايات. ففي توجهاته يجعل المتعلم بوجه عام، والطفل على الأخص مركز الاهتمام والتفكر والفعل خلال العملية التربوية التكوينية، ولتحقيق ذلك لابد من توفير الشروط وتحديد الطرائق أمام التلاميذ لصقل ملكاتهم وجعلهم قادرين على التعلم باستمرار.

إن ما ننتظر من المدرسة الحديثة مفعمة بالحياة باستخدام طريقة تربوية نشيطة يتحدى التلقي السلبي والعمل الفردي إلى اعتماد التعلم الذاتي والقدرة على المشاركة وأخذ المبادرة.

نجد في المجال الثاني من القسم الثاني من الميثاق الوطني للتربية والتكوين الأهداف العامة للتعليم الأولي والابتدائي:

أ‌- ضمان أقصى حد من تكافؤ الفرص لجميع الاطفال منذ سن مبكرة للنجاح في سيرهم الدراسي وبعد ذلك في الحياة المهنية.

ب‌- ضمان المحيط والتأطير التربويين القيمين بحفز جميع التلاميذ تيسيرا لما يلي :

– التفتح الكامل لقدراتهم.

– التشجيع بالقيم الدينية والخلقية والوطنية والانسانية الأساسية…

– اكتشاف المعارف والمهارات التي تمكنهم من إدراك اللغة العربية والتعبير بها مع الاستئناف في البداية باللغات واللهجات المحلية.

– التواصل الوظيفي بلغة أجنبية أولى ثم بلغة ثانية من أجل التفتح على العالم الخارجي.

– استيعاب المعارف الأساسية والكفايات التي تنمي استقلالية المتعلم.

– التمكن من المفاهيم ومناهج التفكير والتعبير والتواصل والفعل والتكيف…

المقارنة بالكفايات، نموذجا لإعداد البرامج والمناهج، وهي ملائمة للغايات الكبرى للميثاق الوطني والمتمثلة في جعل الطفل محور الاهتمام والرفع من جودة أداء المدرسة.

إلى جانب التربية على القيم ثم اعتماد مقاربة المناهج بالكفايات كمدخل بيداغوجي استراتيجي تتمركز فيه جميع الممارسات التربوية حول التلميذ وحاجاته في تفاعلها مع البيئة المحلية والجهوية، والوطنية والدولية.

من الصعب تحديد مفهوم أدق وموحد للكفاية. إلا أنه في مجال التربية تكاد التعاريف المعتمدة للمفهوم تتكامل فيما بينها ليخلص الجميع تقريبا إلى أن الكفاية هي تعبئة وتجنيد لمجموعة من الموارد المتمثلة في مختلف الاتجاهات والمواقف وأشكال الأداء والفهم والاستعداد لدى الفرد والتي تمكنه من حسن التصرف وإنجاز الأفعال بنجاح، وبالتالي يستطيع تجنيد تلك الموارد بفعالية لا يعاد أو اقتراح حلول ملائمة لوضعية خاصة، مع القدرة على توظيفها في وضعيات مشابهة وفي سياقات أخرى. وتتميز الكفاية بقابليتها للتقويم لأنه بالإمكان قياس نوعية تنفيذها ونوعية النتيجة المحصلة.

ففي تعريف دوكيتل وروجيزرا (Deketel et Roegiers ) نجد أن  » الكفاية هي إمكانية تعبئة بكيفية باطنية لمجموعة مندمجة من الموارد بهدف حل صنف من وضعيات – مسألة ».

مفاهيم تربوية :

– المهارة L’habiletés : التمكن من أداء مهمة محددة بشكل دقيق يتسم بالتناسق والنجاعة والثبات النسبي.

– الأداء Performance : يعتبر الأداء أو الانجاز ركنا أساسيا لوجود الكفاية، والمقصود منه القيام بمهام في شكل أنشطة أو سلوكات آنية ومحددة وقابلة للملاحظة والقياس.

– الاستعداد L’aptitude : مجموعة من الصفات الداخلية التي تجعل الفرد قابلا للاستجابة بطريقة معينة وقصدية تؤهل لأداء معين بناء على مكتسبات سابقة، منها القدرة على الانجاز والمهارة في الأداء، لذلك يعتبر الاستعداد دافعا للانجاز.

– القدرة La capacité : هي الحالة التي يكون فيها الفرد متمكنا من الفهم أو النجاح في إنجاز معين، كالقدرة على الحفظ أو على الكتابة. وترتبط القدرة بامتداد المعارف والمهارات والسلوكات، كالقدرة على التحليل والتركيب والمقارنة والتوليف، وهي بخلاف الكفاية غير قابلة للتقويم. وهي بين صنافات القدرات :

· التصنيف حسب الجوانب الشخصية (قدرات معرفية كالقراءة والتلخيص …، قدرات الحس – حركية كالرسم والتلوين، القدرات السوسيوعاطفية كالإنصات والتواصل).

· التصنيف حسب ربط القدرات بأنواع الذكاء : اللغوي – المنطقي – البصري ، الفضائي – الموسيقى – التواصلي مع الآخرين – الذاتي (معرفة وتقدير الذات).

· التصنيف حسب نوعية الفعل والمعارف : معارف إعادة الفعل وتذكر القول « معرفة الفعل » المعرفي وهي أنشطة تطلب عملا معرفيا لتحويل خطاب معين كالمقارنة، الجمع، الترتيب … « معرفة الفعل – الحركي كدقة استعمال الأدوات الهندسية  » معرفة وجدانية وهي الانشطة التي يعبر بها الشخص عن الطريقة التي يدرك بها شخصيته  » معرفة – الصيرورة (dernier – savoir ) .

دواعي اختيار مقاربة المنهاج بالكفايات

تعتبر مقاربة المنهاج بالكفايات اختيارا تربويا استراتيجيا يستند إلى نظام متكامل من المعارف والادعاءات والمهارات المنظمة التي تتيح للمتعلم القيام بالانجازات والأداءات الملائمة خلال وضعية تعلمية.

وهكذا تمحور جميع الأفعال التعليمية – التعليمية، وما يرتبط بها حول المتعلم باعتباره فاعلا أساسيا.

ومن أنواع الكفايات البيداغوجية نذكر :

1) الكفايات البيداغوجية النوعية وهي المرتبطة بمادة دراسية كالرياضيات أو مجال تربوي معين.

بعض نماذج الكفايات النوعية في الرياضيات :

– تأطير عدد بالعشرات والمئات والآلاف.

– حل مسائل حول التناسلية في وضعيات مألوفة .

– وصف أشكال هندسية وإنشاؤها.

2) الكفايات البيداغوجية المستعرضة أو الممتدة :

وهي الكفايات العامة التي لا ترتبط بمادة دراسته أو بمجال تربوي محدد، بل يمتد توظيفها إلى عدة مجالات أو مواد دراسية مختلفة ويتطلب لحصيلها مدة زمانية أطول، ومن نماذجها :

– ترييض وضعيات حقيقية وصياغة وعرض المراحل المتبعة في حل مسألة .

– تحليل وتركيب المعطيات وتقدير التوقعات .

– اكتساب منهجية لتنظيم العمل.

ومن الكفايات الممكن بناؤها هناك الكفايات المرتبطة بالجوانب الاستراتيجية والتواصلية بما فيها المعلوماتية والمنهجية والثقافية والتكنولوجية. وتجدر الإشارة إلى أن التركيز على هذه الجوانب، من شأنه أن يشكل لدى التلاميذ اتجاهات ومهارات تمكنهم من إقامة روابط بين التعلمات المدرسية والمواقف المتعددة للحياة اليومية المعيشة، وذلك من خلال التفاعل والتواصل مع الآخرين مما يتطلب العمل داخل مجموعات.

أهداف تدريس الرياضيات

إن تدريس الرياضيات بمختلف مكوناتها تعتبر عملية أساسية تهدف إلى تكوين التلميذ تكوينا يتكامل فيه الجانب المعرفي والمجداني والسلوكي قصد تمكينه من :

– القدرة على التفاعل مع العالم الخارجي.

– الاستقلال المعنوي، والثقة بالنفس والاعتماد على الذات.

– تنمية روح الإبداع والمبادرة والتنافس الشريف.

– القدرة على تحقيق الذات، وإنماء الشخصية، والثقة بالمؤهلات الشخصية، وعلى التواصل والاستعداد للعمل الجماعي.

– بناء واكتساب المفاهيم والمعارف والمهرات والتقنيات.

– تنمية الاستعداد وإغناء القدرات فغي مجالات البحث والملاحظة والتجريد والاستدلال والدقة في التعبير.

– فهم واستيعاب مضامين باقي المواد خاصة منها العلمية والتكنولوجية.

– اتخاذ اتجاهات ايجابية نحو مادة الرياضيات

– التوزيع السنوي للأسابيع التربوية حسب وظائفها

الدورة الأولى
الدورة الثانية

الأسبوع التربوي
وظائفه
الأسبوع التربوي
وظائفه

1
تشخيصي، تهيئي وعلاجي
18 – 23
تقديم تعلم جديد أو تثبيت وإغناء

لمكتسبات سابقة

2 – 7
تقديم تعلم جديد أو تثبيت وإغناء

لمكتسبات سابقة
24
تقويم ودعم

8
تقويم ودعم
25
دعم خاص

9
دعم خاص
26 – 31
تقديم تعلم جديد أو تثبيت وإغناء

لمكتسبات سابقة

10 – 15
تقديم تعلم جديد أو تثبيت وإغناء

لمكتسبات سابقة
32
تقويم ودعم

16
تقويم ودعم
33
دعم خاص

17
دعم خاص
34
إجراءات آخر السنة الدراسية

توزيع الدروس على الأسبوع التربوي

الدرس
مدته

الدرس الأول
135 دقيقة

الدرس الثاني
135 دقيقة

فترة التقويم الأسبوعي للتعليمات
30 دقيقة

الغلاف الزمني الأسبوعي
5 ساعات

توزيع الحصص على الأسبوع التربوي

الأسبوع التربوي
طبيعة الأنشطة
رتبة الحصة
المدة

– الدرس الأول
مرحلة البناء والترييض أو (تثبيت وإغناء)
الحصةالأولى
45 دقيقة

مرحلة التمرن والتقويم
الحصةالثانية
45 دقيقة

مرحلة الدعم والإغناء
الحصة الثالثة
45 دقيقة

– الدرس الثاني
مرحلة البناء والترييض أو (تثبيت وإغناء)
الحصةالرابعة
45 دقيقة

مرحلة التمرن والتقويم
الحصةالخامسة
45 دقيقة

مرحلة الدعم والإغناء
الحصةالسادسة
45 دقيقة

– التقويم الأسبوعي للتعليمات
تمارين لتقويم الدرسين
الحصةالسابعة
30 دقيقة

يقصد بالمراحل الخطوات التي يتبعها الأستاذ(ة) في إنجاز الدرس – من بدايته إلى نهايته – بشكل متدرج ومترابط شكلا ومضمونا، فمن حيث الشكل تعني احترام التصميم المتكامل للدرس، ومن حيث المضمون تعني التحكم في معلومات ومعارف الدرس لتحقيق الكفايات المسطرة له إجرائيا حسب ما يناسب خصوصية مادة الرياضيات والمستوى العقلي والإدراكي للمتعلمين وميولهم وحاجاتهم.

إن المعرفة في مجال الرياضيات لا تقدم كبناء جاهز يكون فيه التلميذ(ة) مجرد متلق أو منفذ
بل تشيد عبر مراحل ضرورية لبناء واكتساب هذه المعرفة.

وهكذا، وانسجاما مع روح الإطار البيداغوجي والديدكتيكي فإن درس الرياضيات سيقدم في مراحل متدرجة وفق التسلسل التالي: مرحلة البناء والترييض (أو التثبيت وإغناء)، مرحلة التمرن والتقويم، مرحلة للدعم والإغناء.

* الحساب الذهني

يمارس الحساب الذهني مع دراسة العداد وبعض خاصيات العمليات وذلك بهدف الوصول إلى حسابات تتطلب توظيف هذه الخاصيات، بحيث تجعل هذه الممارسة التلميذ (ة) في وضعية تنشط عقله، وتنمي قدرات تعامله مع الأعداد والعمليات وخاصياتها، وهو بهذه الصفة، ليس تحفيظا أو استظهارا لبعض النتائج الجزئية ( المجاميع أو الجداءات (، كما أنه ليس من الضروري أن يكون الحساب الذهني شفويا، بل يمكن استخدام الورقة والقلم (أو اللوحة والطباشير) لاستكشاف قاعدة أو إجراء حسابات، كما أن ربط الحساب الذهني السريع دائما بسرعة الانجاز، أو بتطبيق قواعد محفوظة يتعارض مع الدور المنوط به في تنشيط ذهن الطفل، أما فترات ممارسته فهي بداية الحصة الثالثة من كل درس.

تتميز الممارسة الرياضية وعلى مختلف مستوياتها، بكونها نشاطا ذهنيا تفكيريا والحساب الذهني يندرج ضمن هذه الممارسة.فالهدف من الأنشطة التي يمارسها التلميذ(ة) في الحساب الذهني، هو إرساء وتثبيت لتعلماته العددية والحسابية، هو ممارسة تغني فهمه للأعداد ولبنيتها، باعتبارها كائنات رياضية، كما تغني أساليبه في إجراء حسابات عليها بانتباهه لنوعية العلاقات بين الأعداد والتحويلات التي تطرأ عليها عندما يتم الربط بينها وبين العمليات التي تجري عليها.

هكذا تكون ممارسة الحساب الذهني ووفق الانتظام والإيقاع الذي تتم به، مناسبة لإنماء كفايات الانتباه و التوقع والتكيف مع تغير المعطيات بسرعة من نشاط لآخر، هذه الكفايات يجوز أن نسميها كفايات حسابية أو ذكاء حسابيا. كفايات مطلوبة في الممارسة الرياضية للتلميذ(ة)، وفي سياقات اجتماعية متعددة، باعتبارها أداة لحل مشاكل ترتبط بالمعيش اليومي، مما ييسر التفاعل الإيجابي مع معطيات الواقع المتجددة دوما.

* أنواع الحساب الذهني.

تبين في هذا التقديم المقتضب للحساب الذهني، ممارسته هي استثمار لتعلمات التلميذ (ة) العددية والحسابية، من أجل تمتين فهمه لهذه التعلمات، وكذلك لإرسائها والتمكن منها. ومن هنا، فأنشطة الحساب الذهني لا تقدم تعلما جديدا، أي لا يتم فيها بناء مفاهيم أو معارف جديدة.

إن العبارة « الحساب الذهني  » تشير على مستوى الممارسة إلى نوعين من الحساب الذهني: حساب ذهني تفكيري وحساب ذهني وسريع.

– الحساب الذهني التفكيري: هو حساب تكون فيه الكتابة أداة مساعدة على إجراء الحسابات. فالتلميذ (ة) يوظف فيه معرفته للإعداد والعمليات وخصائصها للوصول إلى الطريقة تقوده لحساب المطلوب، باستخدام أساليب خاصة به وليس بتطبيق طريقة معروفة سلفا، أو اللجوء إلى التقنية الاعتيادية.

أو بطريقة أخرى حسب معرفته للإعداد أو المجاميع، ففي الحساب الذهني التفكري، تتم متابعة الحساب بشكل مكتوب، مما يتيح للتلاميذ القيام باختيارات متعددة، ومن ثم، قد يلجؤون إلى أساليب مختلفة للوصول إلى الحل، إنه حساب يتطلب تفكيرا ولا يلجأ فيه التلميذ(ة) إلى تقنية جاهزة.

أو بطريقة أخرى حسب معرفته للأعداد أو المجاميع، ففي الحساب الذهني التفكري، تتم متابعة الحساب بشكل مكتوب، مما يتيح للتلاميذ القيام باختبارات متعددة، ومن ثم قد يلجؤون إلى لأساليب مختلفة للوصول إلى الحل، إنه حساب يتطلب تفكيرا ولا يلجأ فيه التلميذ (ة) إلى تقنية جاهزة.

يتم إجراء هذا النوع من الحساب داخل الدرس. ويكون أحد مكونات دروس الأعداد العمليات. ومن ثم، فالنتائج المتوصل إليها تناقش ويتم تصحيحها، وزمن إجرائه غير محدد كما هو الحال في الحساب الذهني السريع.

– الحساب الذهني السريع: الميزة الأساسية لهذا الحساب، هو أنه يتم دون ان يستعين التلاميذ فيه بالكتابة، أما ميزته الثانية فتتجلى في كونه يتم في زمن قصير.

إن ممارسة الحساب الذهني والسريع تتطلب توفر التلميذ (ة) على مجموعة من القواعد، المعلومات العددية، ومعرفة بالعمليات الحسابية، سواء أكانت هذه المعرفة صريحة أم ضمنية، وتتطلب أيضا معرفة طرق أخرى للحساب، سواء أكانت هذه المعرفة صريحة أم ضمنية، وتتطلب أيضا معرفة طرق أخرى للحساب.

إن المطلوب في الحساب الذهني والسريع، هو توصل التلميذ(ة) إلى الجواب ولا تهم الطريقة التي تم التوصل بها إليه، شريطة إنجاز وإتمام هذا الحساب في زمن قصير. ويطلب تقديم الإجابة كتابة على الألواح.

فالحساب الذهني والسريع يعتمد في جزء منه على الحساب التفكيري، وعلى معرفة بالأعداد الصحيحة الطبيعية والعشرية والكسرية، وبالعمليات حتى التي لها طبيعة عامة، كالعمليات الأربع، توحيد مقامات الأعداد الكسرية واختزالها، النسبة المئوية، التقريب والحصر،…

فممارسته من طرف التلميذ(ة) تتم في البداية عن وعي بالمعلومات التي تستخدم، وبالطرق والأساليب التي يحل بها، لكن المران والتدريب والتكرار يحولها، فيما بعد، إلى عمل آلي يقلل من الجهد والزمن اللازمين لإجراء الحسابات، ليتفرغ التلميذ(ة) إلى نشاط تفكيري، عندما يكون في ممارسة تعلمية جديدة.

يمكن أن نقيم تقابلا بين الحساب الذهني والتفكيري والحساب الذهني والسريع في جدول كالتالي:

الحساب الذهني التفكيري
الحساب الذهني السريع

الاستعانة بالكتابة
تتم الاستعانة بالكتابة
يمنع الاستعانة بالكتابة إلا عند تقديم الجواب

المدة الزمنية
غير محددة أثناء القيام بحساب
مدة القيام بالحساب قصيرة ومحددة

* أهداف الحساب الذهني والسريع

يمكن إجمال أهداف الحساب الذهني والسريع فيما يلي:

– التدرب على إجراء حسابات على الأعداد دون سياق، أي أن الحسابات التي تجري على الأعداد تتم في مجال عددي صرف.

– استعمال التقنيات الأربع في الحساب الذهني والسريع.

– التدرب على السرعة في الحساب دون اللجوء إلى الكتابة.

– القدرة على توظيف الآليات والخوارزميات المكتسبة كلما تطلب الأمر ذلك.

* ترتيبات وإجراءات تنظيمية

تتكون السنة الدراسية من 34 أسبوع عمل فعلي، يخصص الأسبوع الأول منها لتقويم تشخيصي قبلي والأسبوع الأخير لتقويم إجمالي نهائي للسنة الدراسية برمتها، كما تنتظم الدراسة في دورتين (فترتان في كل دورة ) من 17 أسبوع عمل فعلي.

1.12 – التوزيع السنوي للدروس:

الدورة الأولى – الفترة الأولى

الأسبوع
الدرس
عنوان الدرس

أو موضوع الأنشطة
عدد الحصص
المدة الزمنية

1
أنشطة تهييئية
7
5 ساعات

2
1
الأعداد الصحيحة الطبيعية (الملايين والملايير)
3
ساعتان وربع

2
مفاهيم أولية في الهندسة
3
ساعتان وربع

تمارين مقترحة لتقويم الدرسين (1) و (2)
1
30 دقيقة

3
3
المحسبة
3
ساعتان وربع

4
الأعداد العشرية
3
ساعتان وربع

تمارين مقترحة لتقويم الدرسين (3) و (4)
1
30 دقيقة

4
5
الزوايا
3
ساعتان وربع

6
جمع وطرح الأعداد الصحيحة الطبيعية والعشرية
1
ساعتان وربع

تمارين مقترحة لتقويم الدرسين (5) و (6)
3
30 دقيقة

5
7
التوازي والتعامد
3
ساعتان وربع

8
ضرب الأعداد الصحيحة الطبيعية والعشرية
3
ساعتان وربع

تمارين مقترحة لتقويم الدرسين (7) و (8)
1
30 دقيقة

6
9
التماثل المحوري
3
ساعتان وربع

10
المضاعفات والقواسم وقابلية القسمة على 2، 3، 5، 9.
3
ساعتان وربع

تمارين مقترحة لتقويم الدرسين (9) و (10)
1
30 دقيقة

7
11
وحدات قياس الأطوال
3
ساعتان وربع

12
المسائل (1)
3
ساعتان وربع

تمارين مقترحة لتقويم الدرس (11)
1
30 دقيقة

8
– أسبوع التقويم والدعم (1) يستفيد منه جميع التلاميذ حيث يتم استثمار نتائج شبكة تقويم التعلمات الخاصة بالكفايات المستهدفة خلال الفترة الأولى.
7
5ساعات

9
– أسبوع الدعم الخاص (1) يستفيد منه فئة من التلاميذ الذين هم في حاجة إلى ذلك
7
5 ساعات

63
45 ساعة

الدورة الثانية – الفترة الرابعة

الأسبوع
الدرس
عنوان الدرس أوموضوع الأنشطة
عدد الحصص
المدة الزمنية

26
37
التناسلية (1) : معامل التناسب
3
ساعتان وريع

38
اموشور القائم والأسطوانة القائمة : المساحة الجانبية الكلية
3
ساعتان وربع

تمارين مقترحة لتقويم الدرسين (37) و (38)
1
30 دقيقة

27
39
التناسلية (2) : النسبة المئوية
3
ساعتان وربع

40
وحدلت قياس الحجوم (1) : المتر المكعب وأجزاؤه
3
ساعتان وربع

تمارين مقترحة لتقويم الدرسين (39) و (40)
1
30 دقيقة

28
41
التناسلية (3) : الرأسمال وسعر الفائدة
3
ساعتان وربع

42
الموشور القائم والأسطوانة القائمة : حساب الحجوم (1)
3
ساعتان وربع

تمارين مقترحة لتقويم الدرسين (41) و (42)
1
30 دقيقة

29
43
التناسلية (4) : السرعة المتوسطة
3
ساعتان وربع

44
وحدات قياس الحجوم (2) : وحدات الحجم ووحدات السعة
3
ساعتان وربع

تمارين مقترحة لتقويم الدرسين (43) و (44)
1
30 دقيقة

30
45
التناسلية (5) : سلم التصتميم والخرائط
3
ساعتان وربع

46
الموشور القائم والاسطوانة القائمة : حساب الحجوم (2)
3
ساعتان وربع

تمارين مقترحة لتقويم الدرسين (45) و (46)
1
30 دقيقة

31
47
التناسلية (6) : الكتلة الحجمية
3
ساعتان وربع

48
المسائل (4)
3
ساعتان وربع

تمارين مقترحة لتقويم الدرس (47)
1
30 دقيقة

32

– أسبوع التقويم والدعم (4) يستفيذ منه جميع التلاميذ حيث يتم استثمار نتائج شيكة تقويم التعلمات الخاصة بالكفايات المستهدفة خلال الفترة الرابعة.
7
5 ساعات

33

– أسبوع الدعم الخاص (4) يستفيد منه فئة من التلاميذ الذين هم في حاجة إلى ذلك.
7
5 ساعات

34
ترتيبات وإجراءات آخر السنة
7
5ساعات

63 حصة
45 ساعة

الدورة الأولى – الفترة الثانية

الأسبوع
الدرس
عنوان الدرس أو موضوع الأنشطة
عدد الحصص
المدة الزمنية

10
13
القسمة الاقليدية (1)
3
ساعتان وريع

14
المضلعات الرباعية
3
ساعتان وربع

تمارين مقترحة لتقويم الدرسين (13) و (14)
1
30 دقيقة

11
15
القسمة الاقليدية (2)
3
ساعتان وربع

16
متوازنات الأضلاع
3
ساعتان وربع

تمارين مقترحة لتقويم الدرسين (15) و (16)
1
30 دقيقة

12
17
الخارج العشري المضبوط والمقرب (1)
3
ساعتان وربع

18
الدائرة والقرص
3
ساعتان وربع

تمارين مقترحة لتقويم الدرسين (17) و (18)
1
30 دقيقة

13
19
الخارج العشري المضبوط والمقرب (2)
3
ساعتان وربع

20
الأعداد الكسرية (1) : التساوي
3
ساعتان وربع

تمارين مقترحة لتقوين الدرسين (19) و (20)
1
30 دقيقة

14
21
إنشاءات هندسية (1)
3
ساعتان وربع

22
قياس الكتل
3
ساعتان وربع

تمارين مقترحة لتقويم الدرسين (21) و (22)
1
30 دقيقة

15
23
الأعداد الكسرية (2) : الإختزال وتوحيد المقامات
3
ساعتان وربع

24
المسائل (23)
3
ساعتان وربع

تمارين مقترحة لتقويم الدرسين (23)
1
30 دقيقة

15
– أسبوع التقويم والدعم (2) يستفيد منه جميع التلاميذ حيث يتم استثمار نتائج شبكة تقويم التعلمات الخاصة بالكفايات المستهدفة خلال الفترة الثانية.
7
5 ساعات

16
– أسبوع التقويم والدعم (2) يستفيد منه جميع التلاميذ حيث يتم استثمار نتائج شيكة تقويم التعلمات الخاصة بالكفايات المستهدفة خلال الفترة الثانية.
7
5 ساعات

17
– أسبوع الدعم الخاص (2) يستفيد منه فئة من التلاميذ الذين هم في حاجة إلى ذلك.
7
5ساعات

56حصة
40ساعة

الدورة الثانية – الفترة الثالثة

الأسبوع
الدرس
عنوان الدرس أوموضوع الأنشطة
عدد الحصص
المدة الزمنية

18
25
الأعداد الكسرية (3) : المقارنة والترتيب
3
ساعتان وريع

26
المثلثات
3
ساعتان وربع

تمارين مقترحة لتقويم الدرسين (25) و (26)
1
30 دقيقة

19
27
الأعداد الكسرية (4) : الجمع والطرح
3
ساعتان وربع

28
إنشاءات هندسية (2)
3
ساعتان وربع

تمارين مقترحة لتقويم الدرسين (27) و (28)
1
30 دقيقة

20
29
وحدات قياس المساحة
3
ساعتان وربع

30
الأعداد الكسرية (5) : الضرب
3
ساعتان وربع

تمارين مقترحة لتقويم الدرسين (29) و (30)
1
30 دقيقة

21
31
حساب محيطات ومساحات المضاعات
3
ساعتان وربع

32
الأعداد الكسرية (6) : القسمة
3
ساعتان وربع

تمارين مقترحة لتقويم ادرسين (31) و (32)
1
30 دقيقة

22
33
حساب محيط الدائرة ومساحة القرص
3
ساعتان وربع

34
الأعداد الكسرية (7) : القيم المقربة لعدد كسري غير عشري
3
ساعتان وربع

تمارين مقترحة لتقويم الدرسين (33) و (34)
1
30 دقيقة

23
35
إنشاءات هندسية (3)
3
ساعتان وربع

36
المسائل(3)
3
ساعتان وربع

تمارين مقترحة لتقويم الدرس (35)
1
30 دقيقة

24
– أسبوع التقويم والدعم (3) يستفيد منه جميع التلاميذ حيث يتم استثمار نتائج شبكة تقويم التعلمات الخاصة بالكفايات المستهدفة خلال الفترة الثالثة.
7
5 ساعات

25
– أسبوع الدعم الخاص (3) يستفيد منه فئة من التلاميذ الذين هم في حاجة إلى ذلك.
7
5 ساعات

56 حصة
40 ساعة

جدول إجمالي لمضامين الرياضيات والكفايات المرتبطة بها بالسنوات : الخامسة والسادسة من التعليم الابتدائي والأولي من التعليم الثانوي الإعدادي

السنة الخامسة الابتدائية

الـمـضـامـيـن
الـكـفـايـات الـمـسـتـهـدفـة

1- الأعداد واتلحساب

– الأعداد الصحيحة الطبيعية والعشرية

– الأعداد الكسرية

تقنيات العمليات الأربع على الاعداد الصحيحة الطبيعية والعشرية والكسرية

– المضعفات والقواسم

– التناسلية (جداول – تمثيلات. مقاربة مفهومي السلم والسرعة المتوسطة. النسبة المئوية).
-التعامل بالأعداد الكبيرة(الملايين والملايير) تسمية وكتابة (رقمية وحرفية)

– التمييز بين الوحدات والعشرات والمئات والآلاف والملايين والملايير في عدد معلوم.

– تفكيك عدد في نظمة العد العشري أو التعبير عنه بكتابتهع الاعتبادية .

– التمكن من القواعد الاساسية لكتابة وقراءة الاعداد العشرية

– مقاربة وترتيب وتأطير الاعداد الصحيحة والعشرية

– تقريب عدد إلى 1 و 01 أو 001

– التغيير عن العدد بكتابات كسرية مختلفة

– تعرف واستعمال الكتبات العشرية والكسرية لبعض الأعداد مثل 01 و 10/1 و 05 و 2/1 ة 025 و 4/1

– توحيد مقامي عددين كسريين في وضعيات بسيطة

– ترتيب عددين كسرين لهما المقام نفسه

– التمكن من التقنيات الاعتبادية للجمع والطرح والضرب

– تعرف مراحل التقنية الاعتبادية القسمة

– حساب الخارج العشري لعددين طبيعيين

– تعرف مضاعفات وقواسم عدد وتقنيات الحصول عليها

– تعلرف وتوظيف معامل التناسب

– تعرف النسبة المئوية وإجراء حسابات عليها

– تعرف قسمة عدد عشري على عدد صحيح أو عدد عشري وحساب القيم العشرية المقربة إلى 1 0.1 : 0.01

– استعمال القسمة في حل بعض المسائل.

II – القياس

– قياس الأطوال والكتل والمساحات والسعات

– تحديد الزمان : اليومية والساعة والمدة الزمنية
– تعرف وحدات قياس الأطوال والمساحات والسعات (الوحدات الأساسية – مضاعفاتها – أجزاؤها)

– التعبير عن نتيجة قياس بتأطير إذا كانت الوحدة مختارة.

– كتابة مدة زمنية بالساعات الدقائق والثواني .

– .القيام بالتحويل إلى الساعة والدقيقة والثانية

– التمييز بين الميلادية البسيطة والكبيسة.

إنجاز حسابات بسيطة على القياسات مع الأخذ بعين الاعتبار العلاقات الموجودة بين مختلف الوحدات.

III – الهندسة ومفهوم الفضاء

– التوازي والتعامد

– الزوايا

– الأشكال المستوية : المثلث، المثلث القائم والمثلث المتساوي الساقين والمثلث المتساوي الأضلاع والمربع والمستطيل ومتزاوي الاضلاع والمعين وشبه المنحرف والدائرة والفرص.

– محيطات ومساحات بعض المضلعات والدائرة والقرض .

– ترصيف السطوح المنتهية

– التعامل المحوري ومحور تماثل الشكل

– إزاحة الأشكال

– تكبير وتصغير الأشكال

– الموشور القائم والاسطوانة القائمة
– إنشاء مستقيمات متوازية أو متعامدة باستعمال الأدوات الهندسية.

– التأكد من إستقامية النقط أو توازي مستقيمين أو تعامد مستقيمين باستعمال الأدوات الهندسية.

– تعرف الزوايا الخاصة.

استعمال المنقلة لقياس الزوايا (مفهوم الدرجة)

– تعرف العناصر الأساسية لهذه الأشكال المستوية

– تعرف العلاقات بين زوايا الرباعيات الاعتيادية

– حساب محيطات ومساحات المضلعات الاعتيادية والدائرة والقرص.

– تعرف محاور تماثل شكل

– تعرف مفهوم الإزاحة

– تعرف متوازي المستطيلات والمكعب والموشور القائم والاسطوانة القائمة وعلى عناصرها

– نشر وتركيب المجسمات السابقة

– حساب المساحات الجانبية والكلية لمتوزاي المستطيلات والمكعب والموشور القائم والأسطوانة القائمة

السـنـة السـادسـة الابـتـدائـيـة

الـمـضـامـيـن
الـكـفـايـات الـمـسـتـهـدفـة

I- الأعداد والحساب:

– الأعداد الصحيحة الطبيعية والعشرية والكسرية.

– تقنيات العمليات الأربع على الأعداد الطبيعية والعشرية والكسرية.

– القسمة الاقليدية.

– التناسبية(جداول- تمثيلات- مقاربة مفهومي سلم التصاميم والخرائط والسرعة المتوسطة، السعر، الفائدة، الكتلة الحجمية، الآلة الحاسبة أو المحسبة، النسبة المئوية).
– التمكن من القواعد الأساسية لكتابة وقراءة الأعداد العشرية.

– مقارنة وترتيب وتأطير الأعداد الصحيحة الطبيعية والعشرية.

– تقريب عدد.

– التعبير عن عدد بكتابات كسرية مختلفة.

– تعرف واستعمال كتابات كسرية مختلفة.

– توحيد مقامي عددين كسريين في حالات بسيطة.

– اختزال عدد كسري.

– ترتيب عددين كسريين لهما نفس المقام.

– التمكن من التقنيات الاعتيادية للجمع والطرح والضرب.

– تعرف مراحل التقنية الاعتيادية للقسمة.

– حساب الخارج العشري لعددين صحيحين طبيعيين.

– تعرف مضاعفات وقواسم عدد.

– تعرف وتوظيف معامل التناسب ودراسة بعض الجداول وتمثيلها.

– استخدام معامل التناسب لحل مسائل من نوع « القاعدة الثلاثية ».

– تعرف وإنشاء رسم مبياني يمثل وضعية أعداد متناسبة.

– تعرف النسبة المئوية وإجراء حسابات عليها.

– تعرف مختلف وظائف الآلة الحاسبة العادية واستعمالها.

II- القياس:

– قياس الأطوال والكتل والمساحات والسعات.

– الوحدة الزراعية.

– قياس الحجوم.

– المتر المكعب وأجزاؤه.
– تعرف وحدات قياس الأطوال والمساحات والسعات.

– الاستعمال وتحويل الوحدات الزراعية.

– تعرف وحدات قياس الحجوم.

– الربط بين وحدات قياس الحجوم ووحدات قياس السعات.

III- الهندسة ومفهوم الفضاء:

– التوازي والتعامد.

– الزوايا.

– قياس زاوية.

– المضلعات.

– الدائرة والقرص.
– تعرف بعض الخاصيات حول التعامد والتوازي.

– التمكن من بعض الإنشاءات الهندسية باستعمال المسطرة والبركار والمزواة والمنقلة.

– تعرف العناصر الأساسية لكل من المثلث والمربع والمستطيل ومتوازي الأضلاع والمعين وشبه المنحرف والدائرة والقرص.

– تصنيف المضلعات.

الوضعية

دور الأستاذ (ة)
دور التلميذ (ة)

التفويض

(DEVOLUTION)
إخبار التلاميذ بالهدف من الحصة وإثارة فضولهم لجعلهم يحسون بضرورة الانخراط في البحث، وتنظيم العمل داخل الفصل إما يشكل جماعي أو في مجموعات أو فردي حسب طبيعة النشاط المقترح ليتحكم في إدارته.
– الإحساس بالمشكلة.

– تبني الوضعية المسألة والاستعداد للدخول في سيرورة البحث عن حل لها.

الفعل والتجريب أو البحث الأولي

(ACTION)
– يعتبر دور الأستاذ(ة) في هذه المرحلة حاسما إذ يجب أن يعد له ما يكفي من المرونة والخبرة، ويكون على استعداد لأن يواجه أكبر عدد من الاحتمالات وإلا أفلت زمام الدرس من يده.

– يتجنب تقديم أية مساعدة للتلاميذ أثناء محاولتهم وتلمساتهم الأولية، إلا إذا تبين له أن تدخله أمر ضروري، ويجب أن يتعدى تدخله تغيير قيم المتغيرات الديدكتيكية المتحكمة في توجيه أساليب تفكير التلاميذ.
– دور التلميذ رئيسي ومحوري، فهو يحلل وينظم ويعالج المعطيات مستعملا تمثلاته ومعارفه المكتسبة لينتج فرضية ومظنونة شخصية.

الصياغة

(FORMULATION)
– الاقتصار على في مراقبة أعمال التلاميذ وتتبع سيرهم وتقدمهم في البحث.

– يقبل الصيغ والتعابير التي يستعملها التلاميذ ويشجعهم على تدقيقها.
– ينجز مجموعة من العمليات التي تسمح له بالحكم على مدى صدق وصحة نموذجه الشخصي، وذلك بإجراء مجموعة من الاختيارات المنطقية والتجريبية، لمعرفة الفرضية التي ينبغي الاحتفاظ بها.

المصادقة أو الاستنتاج والتبرير

(VALIDATION)
– تشجيع التلاميذ على عرض نتائجهم مصحوبة بالتبريرات الضرورية والمناسبة حتى ولو لم تكن مصاغة بشكل جيد.

– تنظيم النقاش حول حلول التلاميذ بهدف قيادتهم إلى الحل الصحيح، مع عدم إبداء أي رأي يمكن أن يِثر على اختيارات التلاميذ وأحكامهم.
– تأويل وتركيب النتائج والمعطيات التي لأسفرت عنها التجارب السابقة، وسواء كانت الفرضية صائبة أو خاطئة فإن الأمر يعتبر في كلتا الحالتين نشاطا معرفيا ذا قيمة بيداغوجية، إذ ليس من الضروري أن يتم التوصل دائما إلى تأكيد وإثبات معارف وفرضيات، لأن نفيها يقدم أيضا وفائدة تتجلى في استبعاد وإقصاء العناصر المعرفية الخاطئة.

المأسسة

(INSTITUTIONNALISATION)
– توحيد المعارف ومجانستها، وتحديد المصطلحات والرموز والتعابير وما ينبغي الاحتفاظ به وبأي شكل.
– يتعرف التلميذ(ة) على المعرفة موضوع التعلم في شكلها الرياضي خارج سياق الوضعية، ويدون في دفتره المعارف الأساسية.

إعادة الاستثمار

(RE – INVESTISSEMENT)
– باقتراح تمارين ومسائل جديدة في وضعيات وسياقات مختلفة.
– يوظف التلميذ(ة) المعارف والمهارات والتقنيات المكتسبة في وضعيات جديدة ذات سياقات متنوعة.

ملاحظات:

1-يجب عدم الإسراع في « مأسسة التعلم  » تفاديا لتقديم المفاهيم الرياضية خارج إطار تدبير الوضعيات – المسائل، الشيء الذي قد يعيق حصول التعلم وعدم القدرة على إعادة الاستثمار.

2-نظرا لكون المعرفة خلال الوضعيات الثلاث (الفعل، الصياغة، المصادقة) تكتسي طابعا ذاتيا ناتجا عن محاولات التلميذ الموفقة وغير الموفقة، فإن وضعية المأسسة تمكننا من تجاوز الطابع الذاتي للتلميذ المرتبط ببناء المعرفة.

3-لقد تم تقديم الوضعيات السابقة في ترتيب وتسلسل زمني قصد توضيح أدوارها في بناء المعرفة الرياضية داخل الأقسام، إلا أن الممارسة أبانت أن تدبيرها يجب أن يتم في تفاعل دينامي فيما بينها يفضي إلى بناء المعرفة المستهدفة.




الضرب ب 10 او 100 او 1000 او ….

4 09 2008

الحساب الذهني

عملية الضرب

الضرب ب 10 او 100 او 1000 او ….
قاعدة
لضرب عدد عشري ب 10 أو 100 أو 100 نزيح الفاصلة برتبة أو برتبتين او بثلاث رتب لليمين ، مع وضع اصفار على يمين هذا العدد عند اللزوم
مثلا 12 ×10= 120
23 ×100 =2300
5.3214 × 1000 = 5321.4
قسمة عدد عشري على 10 أو 100 أو 1000
لقسمة عدد عشري على 10 أو 100 أو 1000 نزيح الفاصلة برتبة أو برتبتين أو ثلاث رتب الى يسار هذا العدد مع وضع أصفارعلى يسار هذا العدد عند اللزوم

الضرب بـ 0.1 أو 0.01 أو 0.001 أو ….
قاعدة:
ضرب عدد بـ 0.1 أو 0.01 أو 0.001 هو قسمة هذا العددعلى 10 أو 100 أو 1000 مثلا
385 ×0.1 = 385 ÷ 10
=38.5
17 × 0.001= 15 ÷ 1000 = 0.015
الضرب بـ 0.2 أو 0.3 أو 0.3 أو 0.4 … وبـ 0.02 أو 0.03 أو 0.04 مثلا
348 × 0.03 = [348÷ 100] ×3
= 3.48 × 3
= 10.44
40 × 0.4 = [40 ÷ 10 ] × 4
=4 × 4
= 16
الضرب بـ : 9 أو 99 أو 999 أو ….
مثال 21 × 9 = [ 21 × 10 ] – 21
= 210 – 21
= 189
مثال 2
213 × 99 = [ 213 × 100] – 213
= 21300 – 213
= 21087
الضرب بـ : 11 أو 101 أو 1001 ….
مثال 679 × 11 = [ 679 ×10 ] +679
= 6790 + 679
=7469
او بهذه الكيفية
679 × 11 = الناتج المحصل عليه يكون كما يلي

نكتب رقم الاحاد 9
ثم نجمع 9+7 = 16 نكتب 6 الى يسار9 ونحتفظ بـ 1
ثم 7 +6 + (1) = 14 نكتب 4 الى يسار 6 و نحتفظ بـ 1
ثم 6+ (1) = 7 تكتب الى يسار 4 وعليه الناتج يكون
7469 أي 679 × 11 = 7469

الضرب بـ : 19 أو 29 أو 39 …
مثال 352 × 19 = [352 × 20 ] – 352
= 7040 – 352
= 6088

الضرب بـ 21 أو 31 أو 41 أو ….
مثلا 243 × 21 = [ 243 × 20 ] +243
= 4860 + 243
= 5103

الضرب بـ 5 أو 50 أو 500 مثال 642 × 5 = [642 × 10 ] ÷ 2
= 6420 ÷ 2
= 3210
الضرب بـ 0.5 أو 0.05 أو 0.005 أو …
724 × 0.05 = [ 724 ÷ 2 ] ÷ 10
= 362÷ 10
= 36,2

الضرب بـ 0.25
484 × 0.25 = [ 484 ÷ 4 ]
= 121
الضرب بـ : 2.5 أو 25 أو 250 أو …88 × 2.5 = [ 88 × 10 ] ÷ 4
= 880 ÷ 4
= 220
الضرب بـ 0.125
48 ×0.125 = 48 ÷ 8
=6
الضرب بـ 1.25 أو 12.5 أو 125 أو …
مثال 0.72 × 12.5 = [ 0.72 ×100] ÷8
=72 ÷8
= 9
الضرب بـ 0.75
مثال 32 × 0.75 = [32÷4] × 3
=8 × 3
=24

الضرب بـ 7.5 أو 750 أو 750 ….
مثال 4.8 × 7.5 = [(48 ×10)÷4]×3
= [ 480÷4] ×3
= 120 × 3
= 360
الضرب بـ 1.5
مثلا 14 ×1.5 = 14 +7
= 21
الضرب بـ 15 أو 150 …
مثال 24 × 150 = [ 24 × 100] +
= 2400 + 1200
= 3600
الضرب 1.75
مثال 492 × 1.75 = [( 492÷ 4 ) ×3] +492
= [123×3] +492
=392+492
= 861

الضرب بـ 0.25 أو 0.5 أو 0.75 …. مثال 48 × 3.25 = [ 48× 3 ]+ [ 48÷ 4 ]
= 144 + 12
= 156
جداء عددين محصورين بين 10 و 20
مثال 13 ×17 = ؟
الطريقة [ 13+7 ] ×10 =200
7×3 = 21 +
ـــــــ
13 ×17 = 221
شرح الطريقة:
[ احد العددين +رقم اتحاد العدد الاخر] × 10 + جداء رقمي اتحادهما

جداء عددين من رقمين لهما نفس العشرات
مثال 49 × 46 = ؟
الطريقة [ ( 49+6 ) × 4 ] × 10 = 2200
9 × 6 = 54 +
ـــــ
49 ×46 = 2254
ملاحظة: إذا كان رقم العشرات = 9 يمكن ان نقوم بما يلي
مثال 95 × 98 = ؟
100-95 = 5
100- 98 = 2
5 × 2 = 10
ثم نحسب 95 – 2 = 98 -5 = 93
ومنه 95 × 98 = 9310

جداء عددين من رقمين و لما نفس الاحاد
مثال 94 × 54 = ؟
[ 9×5 ] × 100 = 4500
نحسب 9+5 = 14 ومنه [ 14 × 4 ] × 10= 560 +
4 ×4 = 16 +
ـــــــ
94 × 54 =5076
جداء عددين من رقمين لهما رقم الاحاد 5
75 × 35 = ؟
3×7 =21
= 5 +
ــــ
36 : الذي هو عدد المئات الذي يضاف الى 25 الناتج من ضرب رقم الاحاد 5 في نفسه
إذاكان مجموع العشرات فرديا نقوم بما يلي
مثال
65 ×35 = 18
= 4.5 +
ــــــ
22.5
في هذه الحالة نضيف ناخذ الجزء الصحيح للناتج ونضيف له 75 فنتحصل على النتيجة 2275 أي ان 65 ×35 = 2275

مربع عدد ينتهي بالرقم 5 مثال
75 2 =؟
نحسب الجداء 7 ×8 =56 ثم نضيف هذا الناتج للعدد25 فنحصل على 75 2 = 5625
عملية القسمة

القسمة على العدد 2 مثال 158 ÷ 2 = [140 ÷ 2] + [ 18 ÷ 2]
= 70 + 9 = 79
ملاحظة 140 هو عدد العشرات الاصغر تماما من 15 و المضاعف ل 2
القسمة على 3
255 ÷ 3 =[ 240 ÷3] +[ 15÷ 3 ]
= 80 +5 = 85
240 عدد العشرات الاصغر من 25 و المضاعف ل 3

القسمة على 4
مثال
538÷ 4 = [ 538÷ 2] ÷ 2
=[ [520÷2] + [ 18÷ 2 ] ]
= [ 260 +9 ] ÷ 2
= [260 ÷ 2 ] +[9+2 ]
= 130 + 4,5
= 134,5
القسمة على 10 أو 100 أو 1000
القاعدة

لقسمة عدد عشري على 10 أو 100 أو 1000 نزيح الفاصلة الى اليسار بمقدار رتبة او رتبتين او ثلاث مع وضع صفر او اصفار على يسار العدد عند اللزوم
مثال
235 ÷ 100 = 2,35
37,53÷ 1000 = 0,03753

القسمة على 0.1 أو 0.01 أو 0.001 …
لقسمة عدد عشري على 0.1 أو 0.01 أو 0.001 نضرب هذا العدد ب 10 أو 100 أو 1000
مثال
12 ÷0.1 = 12×10 =120
30,56 ÷100 =30,56 ×100 = 3056

القسمة على 0.2
لاحظ ان 0.2 =
مثال 238 ÷ 2 = [238 × 10 ] ÷ 2
= 2380 ÷2 =1190
القسمة على 5 أو 50 أو 500 ..
مثال
480 ÷ 50 = [ 480 ÷100] × 2
= 4.8 × 2 =9.6

القسمة على 0.5 أو 0.05 أو 0.005
537 ÷ 0.05 =537×20 = 10740

القسمة على 0.25 مثال 125 ÷ 0.25 = 125 × 4 =500

القسمة على 2.5 أو 25 أو 250 …
مثال 1000 ÷ 25 = [ 1000 ÷ 100 ]× 4 =10×4 = 40

القسمة على 0.125
مثال
24 ÷0.125 + 24 ×8 = 192

القسمة على 1.25 أو 12.5 أو 125 …مثال 60 ÷ 12.5 [ 60 ÷100] × 8 = 0.6 × 8 = 4.8
القسمة على 0.75
مثال
63 ÷ 0.75 = [ 63 ÷ 3 ] × 4 = 21 ×4 = 84

القسمة على 7.5 أو 75
2400÷ 75 = [ [ 2400÷ 100 ] ÷3 ] × 4
= [ 24 ÷ 3 ] × 4
= 8 × 4
= 32

القسمة على 1.5

75 ÷ 1.5 = [ 75 ÷ 3 ] × 2 = 25 × 2 = 50

القسمة على 15 أو 150 أو …

مثال 6.3 ÷ 15 = [ [ 6.3 ÷ 10 ] ÷ 3 ] × 2
= [ 0.63 ÷ 3 ] × 2
= 0.21 × 2
= 0.42




النظام العشري و الثنائي و التحويل بينهم

4 09 2008

النظام العشري و الثنائي و التحويل بينهم

في بداية مشوارنا , من المهم ان نفهم ماهو النظام العشري Decimal system و النظام الثنائي Binary system و حتى النظام الست عشري Hexadecimal system.

النظام العشري

نسخدم النظام هذا يوميا في حياتنا و في اغلب امورنا و هو بكل بساطة نظام الارقام على الاساس العشري و يحتوي على :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

عدد مكونات النظام العشري هو عشرة ارقام , و هذا هو سبب تسميته بهذا الاسم حيث انه يكبر بعد كل عشرة ارقام, مثل بسيط هو التالي:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

لاحظتم الاختلاف بين ال9 و ال10 , حيث انه عندما انتهينا من الارقام ( اخر رقم هو 9) رجعنا للرقم الاول و هو صفر و اضفنا واحد بجواره, و لو واصلنا العد لوصلنا الى ال19 و ثم نرجع الرقم 9 الى صفر و نضيف واحد الى الرقم 1 فيصبح الرقم 20 و هكذا دواليك.

النظام الثنائي

كما قلنا ان النظام العشري يعتمد على اساس عشرة ارقام , فارقم الثنائي يعتمد على رقمين فقط و هما صفر وواحد

1 0

و بنفس الطريقة , عند الانتهاء من الارقام نضيف الرقم صفر و نزيد واحد , كما هو الحال

0 1 10 11 100 101 110 111

نلاحظ ان النظام يتكون من رقمين فقط , صفر وواحد نبدا بالصفر ثم واحد ثم نضيف واحد مكانالصفر و نضيف واحد بجوار الرقم عند انتهاء الارقام ( في حالتنا انتهاء الارقام هما صفر وواحد)

ملاحظة مهمة:

الرقم التالي 101100 في النظام الثنائي لا يلفظ ب مئة وعشرة الالاف و مئة! بل يلفظ كالتالي:

واحد صفر واحد واحد صفر صفر

و القاعدة هي : عندما نصل الى رقم صاحب الترتيب الذي يساوي اساس نظام العد ( في حالتنا هنا النظام الثنائي مثلا) نقوم بوضع الرقم صفر في الخانة الحالية و نضيف الرقم واحد في الجهة التالية له.

الآن بعد ان عرفنا ما هو النظام العشري و النظام الثنائي , سنقوم بالتحويل بينهم .

التحويل من النظام الثنائي الى العشري

سندرس معاً كيفية تحويل الرقم الثنائي الصحيح فقط لانه هو ما يهمنا في هذه الدورة و سأحوال قدر الامكان ان لا اتطرق الى اي شي خارج محتوى الدورة حتى لا اخرج عن صلب الموضوع ولا اتوّه القارئ الكريم.

اولا, لنتكلم عن النظام العشري, مثلا الرقم 134 يتكون من التالي :

= 10 ^0 ضرب 4 + 10^1 ضرب 3 + 10^2 ضرب 1

= 4 + 30 + 100

= 134

اليست الطريقة صحيحة؟

لاحظتم اننا استخدمنا اساس النظام العشري و هو الرقم عشرة و في المرحلة الاولى رفعناه للأس صفر ثم واحد ثم اثنان و هكذا ثم نضربه في الرقم التالي و نجمعهم في النهاية حتى نحصل على الناتج.

التحويل الى الرقم الثنائي شبيه جدا , و بما ان اساس النظان الثنائي هو 2 فنستبدل الرقم 10 ب 2 , لنأخذ رقما معيناً لنحوله, فليكن الرقم 111 مثلا

111

= 2^0 ضرب 1 + 2^1 ضرب 1 + 2^2 ضرب 1

= 1 + 2 + 4

= 7

جميل! الرقم 111 ( واحد واحد واحد) يساوي 7 في النظام العشري.

لنجرب رقماً اخر و ليكن 1010101

1010101

= 2^0 ضرب 1 + 2^1 ضرب 0 + 2^2 ضرب 1 + 2^3 ضرب صفر + 2^4 ضرب واحد + 2^5 ضرب صفر + 2^6 ضرب واحد

= 1 + 0 + 4 + 0 + 16 + 0 + 64

= 85

اعتقد ان المسألة اصبحت سهلة الآن ، بامكانكم التأكد من الناتج بواسطة الآلة الحاسبة الموجودة في الوندوز مثلا.

start>>programs>>accessories>>calculator

بعد تحويلها الى الالة الحاسبة العلمية طبعا.

التحويل من النظام العشري الى الثنائي

الطريقة اسهل هنا, لنأخذ مثلا الرقم 400 , لتحويله نقسمه على 2 , فاذا كانت الناتج يحتوي على كسور فيكون الرقم الاول من الرقم الثنائي هو 1 و اذا لم يتحوي على كسور فيكون الرقم صفر

يعني :

400 / 2 = 200 , اذن الرقم الاول هو صفر

200 / 2 = 100 , صفر

100 / 2 = 50 , صفر ايضا

50 / 2 = 25 , صفر

25 / 2 = 12 , واحد

12 / 2 = 6 , صفر

6 / 2 = 3 , صفر

3 / 2 = 1 , واحد

1 / 2 = 0 , واحد

يصبح الناتج هو = 110010000

تبدأ من الاسفل و تصعد للاعلى .

هذه باختصار عملية تحويل الرقم العشري الى الثنائي و الثنائي الى العشري, و بهذا نكون قد انتهينا الدرس الاول من هذه الدورة , امل ان يكون الشرح واضحاً.

نظام العد الثنائي
طبعا هناك في العالم أنظمة عد مختلفة واشهرها هو النظام العشري ولكن منذ اختراع الحاسوب (Computer) استخدم نظام عد يناسب الخواص التقنية له وهو النظام الثنائي

يتكون أي نظام للعد من عدد من الرموز وحسب عدد الرموز يطلق على النظام الاسم الموافق ونظام العد العشري سمي عشريا لأنه يستخدم عشرة رموز , والنظام الثنائي يستخدم رمزان فقط هما الصفر والواحد (1,0) ويبين الجدول التالي الخصائص الأساسية للنظامين

اكبر قيمة في الرمتبة الواحدة عدد الرموز N أساس نظام نظام العد

9 10 10 النظام العشري

1 2 2 النظام الثنائي

تمثيل الأعداد من 1 إلى 16 في النظام الثنائي

النظام العشري 1116 النظام الثنائي النظام العشري النظام الثنائي
0 0000 8 1000
1 0001 9 1001
2 0010 10 1010
3 0011 11 1011
4 0100 12 1100
5 0101 13 1101
6 0110 14 1110
7 0111 15 1111

تحويل العدد العشري إلى ثنائي
طبعا يوجد أكثر من طريقة ولكن سوف نستخدم طريقة الباقي

مبدأ هذه الطريقة هو القسمة على 2 وتكرار هذه العملية حتى تنتهي العملية مع الاحتفاظ بالباقي . وتشكل البواقي العدد الثنائي المكافئ

مثال : تحويل العدد العشري 15 إلى ثنائي بطريقة الباقي

0 1 3 7 15 العدد
2 2 2 2 المقسوم عليه
1 1 1 1 الباقي

الناتج هو : 1111

مثال : تحويل العدد العشري 25 إلى ثنائي

0 1 3 6 12 25 العدد
2 2 2 2 2 المقسوم عليه
1 1 0 0 1 الباقي

الناتج هو : 11001

تحويل العدد الثنائي إلى عدد عشري
سيتم تحويل الأعداد الثنائي إلى أعداد عشرية باستخدام مفهوم قيمة المرتبة حيث نضرب كل رقم من أرقام العدد الثنائي بقيمة المرتبة المقابلة ونجمع الجداءات ونعلم أن قيمة المرتبة الأولى في النظام الثنائي 1 والثانية 2 والمرتبة الثالثة 4 والرابعة 8 وهكذا

مثال : تحويل الرقم الثنائي (1111) إلى عشري باستخدام مفهوم قيمة المرتبة

نكتب : ( 1* 1)+( 1* 2)+( 1* 4)+( 1* 8) = 15

1 + 2 + 4 + 8 = 15

مثال : تحويل الرقم الثنائي (11001) إلى عشري باستخدام مفهوم قيمة المرتبة

نكتب : ( 1 * 1)+( 0 * 2)+( 0 * 4)+(1 * 8) +( 1 * 16 ) = 25

1 + 0 + 0 + 8 + 16 = 25

العمليات المنطقية في النظام الثنائي

AND

القيمة الاولى العملية القيمة الثانية الناتج
0 AND 0 0
0 AND 1 0
1 AND 0 0
1 AND 1 1

NAND

القيمة الاولى العملية القيمة الثانية الناتج
0 NANAD 0 1
0 NANAD 1 1
1 NANAD 0 1
1 NANAD 1 0

OR

القيمة الاولى العملية القيمة الثانية الناتج
0 OR 0 0
0 OR 1 1
1 OR 0 1
1 OR 1 1

XOR

القيمة الاولى العملية القيمة الثانية الناتج
0 XOR 0 0
0 XOR 1 1
1 XOR 0 1
1 XOR 1 0

NOT

القيمة الاولى العملية القيمة الثانية
0 NOT 1
1 NOT 0

يعتبر البت والبايت الحجر الأساسي للحاسوب الي ي …..
يعتبر البت خانة ثنائية واحدة تمثل أصغر وحدة تخزين فهي تحمل قيمة 1 اذا تمت مغنطتها ( الحالة on ) وتحمل القيمة 0 اذا لم تمغنط ( الحالة off) وينشأ عن تجميعها مع الخانات الثنائية ا البت والبايتلاخري القدرة علي تمثيل البايتات التي تتكون بايت واحد من ثمان بتات .. وفي الحقيقة البايت تمثل داخليا بتسع بتات الثمانية منها لتمثيل المعطيات والتاسعة تمثل خانة التحقق parity bit …
1 1 1 1 1 1 1 1 | 1 ّ|
data المعطيات parity التحقق

وتجري العمليات الحسابية علي ثمان بتات الاولي ويمكن من خلالها تمثيل المحارف characters والرموز symbols او الارقام مثلا حرف A يمثل بــ 01000001 والرمز * بــ 00101010
تسمح هذه الخانات الثمانية بالحصول علي تركيب مختلفة من القيمتين 1 و 0 وذاك ابتداءا من التركيب 0000000 حتي 11111111
فلنقل ان لدينا عددان 123 و 76 فيتم تمثيلها هكذا :
123 76

1 1 0 1, 1 1 1 1 | 0 0 1 1, 0 0 0 1
وعند التخزين : اذا كان عدد البتات اقل من 8 يضاف اليها اصفار ، فمثلا القيمة 1010 تخزن 0000,1010

العدد الثنائي Binary or Base2
————–
يستطيع الحاسوب ان تميز بين القيمتين 0 و 1 فقط ولذلك كما قلنا يتم تمثيل المعطيات ومعالجتها بنظام الثنائي ذي الاساس 2 وهو نظام يسمح بتمثيل كافة الاعداد بواسطة القيمتين 0 و 1 ( اي نستطيع تخزين احدي القيمتين فى خانة bit واحدة bit = binary digit )
يحمل اي عدد ثنائي قيمة تعتمد علي الموقع النسبي ( فلنقل مثلا هناك 4 خانات من العدد الثنائي في موقع ما ) اول خانة منها اذا كان يحتوي علي 1 يكون قيمته 1*1 والثاني رفع قيمتها الي اثنين ( اذا كان يحمل 1 يكون 1 * 2 والا 0 * 2 ) والثالثة رفع قيمتها الي 3 هكذا والرابعة رفع قيمتها الي 4 ….
2 ^ 1 = 2
2 ^ 2 = 4
2 ^ 4 = 8
2 ^ 8 = 16
2 ^ 16 = 32
2 ^ 32 = 64
2 ^ 64 = 128
( ملحوظة : سنستعمل علامة ^ لعملية الرفع power وعلامة * لعملية ضرب وعلامة / لعملية القسمة ، وعلامة # القيمة التي تحملها الخانة، الرفع مثلا 10^2 = 10 * 10 = 100، 10^4 = 10 * 10 * 10 * 10 = 1000 )

مثلا ناخذ الرقم الثنائي 1101 = 13 اربع خانات ( او اربع بتات متتابعات فى الذاكرة مثلا )

| 1 | 2 | 4 | 8 |
——————————————————-
1 0 1 1
ويتم حسابها هكذا
1 ^ 1 = 1 اول خانة
0 ^ 2 = 0 ثاني
1 ^ 4 = 4 ثالث
1 ^ 8 = 8 رابع
———
13 =
اذن الموقع التي توجد فيها البتات الاربع تمثل القيمة 13

واليك مثل آخر الرقم 10001 = 17 خمسة خانات
1 ^ 1 = 1
0 ^ 2 = 0
0 ^ 4 = 0
0 ^ 8 = 0
1 ^ 16 = 16
———
=17
والموقع التي فيها الخانات تمثل الرقم 17

( لا ينحصر تعامل الحاسوب مع الاعدادالثنائية المؤلفة من ثماني بتات ( خانات ) فقط فهذا الامر يختلف تبعا لبنية المعالج ، المعالج ذو البنية 16 خانة او 32 خانة تستطيع التعامل مع الاعداد المؤلفة من 16 بت او 32 بت بشكل آلي اذا كان نستطيع الحصول من 8 خانات ثنائية علي القيمة 256 فمن خلال 16 خانة يمكن الحصول علي 1-2 ^ 16 = 65635 ومن 32 خانة نحصل علي القيمة 4294967295 )

العدد العشري Decimal or Base10
————-
كلنا نعرف العدد العشري ونستطيع نعدها كالتالي
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
يعني الرقم 10 يكون الأساس ( كما ان 0 و1 اي الاثنان اساس فى النظام الثنائي )

10 ^ 0 = 0
10 ^ 1 = 10
10 ^ 2 = 100
10 ^ 3 = 1000
10 ^ 4 = 10000
10 ^ 5 = 100000

فلناخذ الرقم 1040 ويكون تمثيله :
| رقم عادي | عشر | مئة | الف |
————————————————–
0 4 0 1
اول خانة رقم تحت 10 وهي هنا 0 ، والقيمة تكون 10 ^ 0 * 0 والثانية خانة تحمل 10 ^ 1 * القيمة والثالثة تحمل 10 ^ 2 * القيمة والرابعة تحمل 10 ^ 3 * القيمة

10 ^ 0 * 0 = 0
10 ^ 1 * 4 = 40
10 ^ 2 * 0 = 0
10 ^ 3 * 1 = 1000
1040

العدد الستعشري Hexadecimal or BASE16
—————————
اممممم
14، هذا رقم عشري وتمثيله بالعدد الثنائي 1110 اما تمثيله فى الستشعري هي E
لأن تمثيل الستشعري هكذا :
F , E , D , C , B , A , 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0
لاحظ انه
A = 10
B = 11
C = 12
D = 13
E = 14
F = 15
هـ = ستعشري
16 ^ 0 = 0
16 ^ 1 = 16 = 10هـ
16 ^ 2 = 256 = 100هـ
16 ^ 3 = 4096 = 1000هـ
16 ^ 4 = 65536 = 1000 هـ

اذن عندما نصل الرقم 16 تمثل بـ 10 لانه كما قلنا الاساس هنا 16 وليست 10
ورقم 20 ستعشري تساوي 32 ( 16 * 2 ) في العدد العشري…
100 ستعشري تساوي 256 ( 16 ^ 16 = 16 * 16 وليست 10 * 10 )
ولناخذ رقم 1211 ( ستعشري ونري مقابلها فى النظام العشري يطلع كم ؟ )
| 1 | 16 | 256 * 2 | 4096 |
——————————————–
1 1 2 1
16 ^ 0 * 1 = 0
16 ^ 1 * 1 = 16
16 ^ 2 * 2 = 512
16 ^ 3 * 1 = 4096
= 4625

النظام الثماني Octal or Base8
————————————–
هذا النظام الاساس فيها 8 وهو قليل الاستخدام
0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ،5 ، 6 ، 7 ، 8
8 ^ 0 = 0
8 ^ 1 = 16 = 20 ثماني
8 ^ 2 = 64 = 100 ثماني
8 ^ 3 = 512 = 1000 ثماني
الخ

———————————————-
التحويل بين بعض انظمة العد :
التحويل من العشري الي الستشعري :
———————————————-
للتحويل اجر عملية القسمة علي 16 بشكل متكرر إلي أن يصبح ناتج القسمة الصحيح بدون باق مساويا صفر، وعنئذ يمثل باقي القسمة الصحيح في كل مرة رقما ستشعريا ، الباقي الاول يمثل الرقم الستعشري الادني والاخير يمثل الرقم الستعشري
الاعلي فمثلا لدينا الرقم 42936 نحوله الي مقابله الستعشري
العملية ناتج القسمة باقي القسمة الصحيح الرقم الستعشري
42936/16 2683 8 8 ( الرقم الادني )
2683/16 167 11 B
167/16 10 7 7
10/16 0 10 A ( الرقم الاعلي )
فالرقم العشري 42936 مقابله الستعشري A7B8
( عادة تميز الرقم الستعشري فى نظام ويندووز باضافة حرف H علي آخره واما فى انظمة يونكس/لينكس فتضاف x0 ( صفر ثم حرف x أمام الرقم )، أما عندما تبرمج في دلفي تضاف علامة $ )

التحويل من الستعشري الي العشري
———————————————-
لتحويل الرقم الستعشري ابدا من الرقم الأعلي واضرب كل رقم بالعدد 16 ثم اجمع النتائج خلال ذلك وتذكر انه يتم تحويل الارقام الستعشرية من A الي F الي مقابلها العشري من 10 حتي 15 فمثلا نحول الرقم الستعشري A7B8 الي مقابله العشري
ناخذا الرقم الاول وهي A ونضربه بـ 16 10 * 16 = 160
نضيف الرقم الثاني 7 اليه (160+7=167) ثم نضربه بــ 16 167 * 16 = 2672
نضيف الرقم الثالث B وهي (2672+11=2683) ثم نضربه بـ 16 2683 * 16 = 42928
ثم نضيف الرقم التالي وهي 8 42928+ 8 = 42936

التحويل من عشري الي الثنائي
—————
اقسم العدد الي 2 اذا لم يبق باقي من القسمة ناخذ رقم 0
ثم ناخذ ناتج القسمة السابقة ونقسمها الي 2 ايضا ونري اذا كان هناك باقي القسمة ام الا، واذا كان هناك باقي القسمة ناخذ رقم 1 والا ناخذ رقم 0 وهكذا نستمر في القسمة حتي لا يبقي هناك ناتج
مثلا نحول العدد 238 الي مقابله الثنائي
238 / 2 = 119 : 0
119 / 2 = 59 : 1
59 / 2 = 29 : 1
29 / 2 = 14 : 1
14 / 2 = 7 : 0
7 / 2 = 3 : 1
3 / 2 = 1 : 1
1 / 2 = : 1
0 / 2 : 0
= 11101110 لاحظ اننا حذفنا اول صفر وهي لا قيمة لها اصلا …

التحويل من الثنائي الي العشري
=———————–
ناخذ الرقم فى اقسي اليسار وننظر لترتيبها ثم نرفعها
مثلا 10110
2 ^ 4 * 1= 16
2 ^ 3 * 0 = 0
2 ^ 2 * 1 = 4
2 ^ 1 *1 = 2
2 ^ 0 * 0 = 0
= 22

وللعلم انا نقلت هذه المشاركه للفائده
مكننا من خلالها تمثيل المعطيات وشكرا

نظام العد الثماني وأنظمة التحويلات

يعتبر نظام العد الثماني حلقة وسطي بين نظام العد السادس عشري ونظام العد الثنائي ، وهو كغيره من الأعداد يتكون من ثمانية أرقام هم : 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 فقط ، كما أن القيمة المكانية لآى عدد تساوي = 8 أضعاف الخانة التي تقع علي يمينه

فمثلاُ

1 ، 8 ، 64 ، 512 ، 4096 ، 32768 ، ……

وأحد الطرق البسيطة في التعبير عن النظام الثماني هي باستخدام الأس .

تذكر أن أى قيمة أس 0 =1

ويمكنك أن تري علاقة بسيطة بين كل من نظام الأعداد الثماني ونظام الأعداد الثنائي.

ولعل ميزة النظام الثماني هو سهولة التحويل من النظام الثماني إلي النظام الثنائي وبالعكس كما يلي

نقسم الأعداد الثنائية لثمانيات

7
6
5
4
3
2
1
0

111
110
101
100
011
010
001
000

ويصبح العد كما يلي :

التحويل بين النظامين الثماني والعشري

20 ثماني = 8 x 2 + 0 x 1 = 8 + 0 =8 عشري .

203 ثماني = = 64 x 2 + 8 x 0 + 3 x 1 128 + 0 + 3 = 131 عشري .

375 ثماني = 64 x 3 + 8 x 7 + 8 x 5 = 192 + 56 + 40 = 253 عشري .

وللتحويل من النظام العشري للنظام الثماني نوالي القسمة علي 2 مع حمل الباقي

مثال :

حول العدد العشري 254 إلي عدد ثماني :

باقي القسمة
القسمة علي 8
العدد
نوالي القسمة علي 8 فنجد أن 254 ÷ 8 = 31 و الباقي 6 أو

=31 × 8 + 6

31 ÷ 8 = 3 × 8 + 7

7 ÷ 8 = 0 × 8 + 7

نقرأ السلسلة من أسفل لأعلي أى أن 254 العشري = 376 ثماني

6
8
254

7
8
31

3
8
3

الطريقة الثانية :

للتحويل من النظام العشري للنظام الثماني نوالي طرح سلسلة الأعداد التالية :

القيم المكانية للعدد الثماني

خ6
خ5
خ4
خ3
خ2
خ1
خ0

262144
32768
4096
512
64
8
1

نبحث في الجدول عن أقرب عدد للعدد 254 فنجده 64 و نستمر في طرح هذا العدد فنجده 3 × 64 + 62

أى أن خ2 = 3 و الباقي 62 ثم

نوالي طرح 8 من 62 فنجده = 7 × 8 + 6

أى أن خ1 = 7 و الباقي 6

و بالطبع 6 = 6 × 1

= 6

و بالتالي فالعدد العشري 254 = 376 ثماني

التحويل بين النظامين السادس عشري والعشري
نظام العد الثنائي
لكي تدخل إلى عالم البرمجة تحتاج إلى الكثير من الأمور التي يجب أن تعرفها لحسن الحظ فإن أغلبها أمور تعرفها من قبل، وإذا لم تكن تعرف أيا منها فما من مشكلة، فنحن هنا لنعرفك بها.

نظام العد الذي نستخدمه في حياتنا اليومية يسمى نظام العد العشري، نقوم فيه بترتيب الأرقام بجانب بعضها البعض وتكون الأرقام عبارة عن 0 و 1 و .. و 9، والرقم الأول يحدد قيمة الآحاد والثاني يحدد قيمة العشرات فالمئات، في كل مربع نقوم بوضع قيمة ما نضربها في قيمة الخانة ونجمع الناتج لنحصل على الرقم النهائي فمثلا 365 يتم حسابه كالآتي :

1 10 100
5 6 3

العدد = 1 × 5 + 10 × 6 + 100 × 5

الأمر لا يختلف كثيرا في نظام العد الثنائي، إلا أنك لا تستخدم إلا الرقمان 0 و 1 لتحديد قيمة كل خانة، وقيمة كل خانة تختلف في تسلسلها عن قيم الخانات في نظام العد الستعشري، فهي تكون عبارة عن 1 ثم 2 ثم 4 ثم 8 وهكذا في كل مرة تضرب الرقم 2 في العدد الأخير لتحصل على العدد التالي، في المثال السابق كان العدد الذي أخذناه هو 365 أما نظيره في نظام العد الثنائي فهو 101101101 دعنا نتحقق من ذلك :

1 2 4 8 16 32 64 128 256
1 0 1 1 0 1 1 0 1

العدد = 1 × 1 + 2 × 0 + 4 × 1 + 8 × 1 + 16 × 0 + 32 × 1 + 64 × 1 + 128 × 0 + 256 × 1
= 1 + 4 + 8 + 32 + 64 + 256
= 365

يقوم الكمبيوتر بجميع عملياته باستخدام نظام العد الثنائي، لأنه يعطي كل خانة أحد قيمتين فقط إما 0 أو 1 وذلك عن طريق التمييز بين عمليتين فيزيائيتين تحدثان داخل الكمبيوتر هما توصيل التيار ( 1 ) وقطع التيار ( 0 )، وفي الأقراص الصلبة تخزن المعلومات في صورة مغناطيسات صغيرة منتشرة عى سطح من مادة خاصة ( فيرومغناطيسية ) وهي تميز أيضا بين حالتين فقط الأولى عندما يكون اتجاه قطب المغناطيس الصغير الموجب إلى الأعلى، والحالة الثانية هي الحالة المعاكسة، لهذا السبب فإن الكمبيوتر لا بد له من استخدام نظام العد الثنائي.

تخزين البيانات
في الأعداد العشرية إذا قلنا أننا نستطيع كتابة 5 خانات فهذا يعني أننا نستطيع كتابة الأرقام من 0 إلى 99999 أي تفسير ذلك أننا نستطيع ترتيب الأرقام من 0 إلى 9 ( عشرة أرقام ) في خمس خانات فذلك يعني أننا نستطيع تغيير الأرقام وترتيبها للحصول على العديد الإحتمالات، عدد هذا الإحتمالات هو 10 × 10 × 10 × 10 × 10 لأن كل خانة تحتمل 10 احتمالات، وكل احتمال منها يحتمل عشر احتمالات معه في الخانة المجاورة وهكذا حتى الخانة الأخيرة، وهذا يعني أننا نمتلك عدد من الاحتمالات يساوي 10 أس 5 أي عدد الأرقام في كل خانة أس عدد الخانات، ويكون الناتج هو 100000 احتمال كل منها يعبر عن رقم وهذه الأرقام تبدأ من 0 إلى 99999.

الأمر ينطبق هنا أيضا على الأعداد الثنائية، فإذا قلنا أن عدد الخانات هو 5 فإن عدد الإحتمالات الكلية = عدد الإحتمالات في كل خانة أس عدد الخانات = 2 أس 5 = 32 وهي 32 احتمال تعبر عن الأرقام من 0 إلى 31، ويسمى عدد الخانات بطول الرقم، فالمتغيرة أو العداد أو أي شيء طوله 5 يعني أنه يتكون من 5 خانات ثنائية.

وقد تم الإتفاق على أن كل خانة تسمى ( بت ) وكل 8 خانات ( 8 بتات ) تسمى بايت، والبايت الواحد عبارة عن خانة كبيرة عدد احتمالاتها هو 2 أس 8 = 256 أي أنها تأخذ الأرقام من 0 إلى 255، وقد تم الإتفاق على أن يتم إعطاء كل رقم وحرف ورمز قيمة مقابلة بين الرقمين 0 و 255، حسب ما يسمى بصفحة المحارف، أشهر صفحات المحارف الإنجليزية هي صفحة الأسكي ASCII والأنسي ANSI، ولكن هذا العدد من الخانات في جدول الأسكي سرعان ما يمتلأ بالحروف والأرقام، فلا يبقى أماكن شاغرة فيه للرموز الإضافية كالرموز العربية ورموز اللغات الأخرى، وهنا قامت كل لغة بعمل صفحة محارف خاصة بها، وقامت عدة هيئات عربية بإنشاء صفحات محارف مختلفة منها صفحة محارف DOS العربي، وصفحة محارف صخر إلا أن أكثرها انتشارا هي صفحة محارف windows العربية ورمزها windows-1256 وهنالك أيضا صفحة محارف ISO العربية، وبعد ظهور انترنت أصبح أمر صفحات المحارف المختلفة مربكا جدا، وسبب العديد من المشاكل، فمثلا إذا فتحت صفحة ما مكتوبة على أساس صفحة محارف عربية وفتحتها في متصفح صيني فسوف تظهر الرموز الصينية لأن الرقم 23 فرضا يشير إلى حرف أ العربي في جدول الرموز العربي، ويشير إلى الحرف ! في جدول الرموز الصيني، فتحدث التضاربات، والمشكلة الأكبر هي اختلاف صفحات المحارف للغة الواحدة كما في اللغة العربية، ولحل هذه المشكلة تم عمل هيئة لتوحيد صفحات محارف العالم في صفحة محارف وحيدة وضخمة بحيث تسع جميع الحروف والرموز المستخدمة في العالم، وبالتالي لن تحصل التضاربات لأن لكل حرف رمز مختلف وتسمى صفحة المحارف هذه بصفحة محارف اليونيكود