Bonjour tout le monde !

Non classé 1 commentaire »

Bienvenue sur mon blog !

Je viens de créer ce blog éducatif sur LeWebPédagogique. Encore un peu de patience et vous retrouverez mes articles.

A bientôt.

Consultation sur les programmes de terminale générale

Actualités, Pour les profs, Terminale S 0 commentaire »

Les projets de programmes pour la terminale sont enfin en consultation sur Eduscol : consultation projets de programmes pour la terminale


Ces programmes entreront en vigueur à la rentrée 2012.

On notera notamment en S la disparition des applications géométriques des nombres complexes et de nombreuses nouveautés en statistiques et probabilités.

Tags : , ,

Hamilton, un mathématicien irlandais

Culture mathématique 1 commentaire »

William Rowan Hamilton est surtout connu pour être l’inventeur des Quaternions. Il est né en 1805 à Dublin et est mort en 1865 à Dublin également.

Dès l’âge de 13 ans, Hamilton fait son initiation aux mathématiques avec l’étude du traité d’algèbre de Clairaut (en français). À l’âge de 15 ans, il commence à étudier les œuvres de Newton et Laplace . En 1822, Hamilton trouve une erreur dans la Mécanique céleste de Laplace. À la suite de cela, il retient l’attention de John Brinkley, l’astronome royal d’Irlande, qui a dit :

This young man, I do not say will be, but is, the first mathematician of his age.

Hamilton entre au Trinity College (Dublin) à l’âge de 18 ans.

Il s’est intéressé à la définition d’opérations sur les couples $latex (a,b)$ de nombres réels, définissant ainsi addition, multiplication et division prolongeant les opérations usuelles dans $latex \mathbb{R}$ (1833).

Pendant de nombreuses années, Hamilton a tenté de faire le même travail avec les triplets $latex (a,b,c)$ de nombres réels, sans y parvenir. Il était tellement pris pas ses recherches qu’il en négligeait ses enfants qui, chaque matin lui demandaient :

Well, Papa can you multiply triplets?

Il a été prouvé depuis qu’une telle construction avec les triplets de réels est impossible (théorème de Frobenius, 1877).

Le 16 Octobre 1843 (un lundi), Hamilton marchait le long du Canal Royal avec sa femme pour se rendre à une réunion du Conseil de l’ Académie royale irlandaise. Ce jour là, il avait l’esprit occupé par la découverte des quaternions, la première algèbre non commutative à être étudiée :

Et ici, il m’est apparu l’idée que nous devons admettre, dans un certain sens, une quatrième dimension de l’espace dans le but de calculer avec un triplet …

Il ne pu pas résister à l’envie de graver les formules relatives aux quaternions dans la pierre du pont de Broom :

i 2 = j 2 = k 2 = i j k = -1.

En 1958, l’ Académie royale irlandaise a érigé une plaque commémorant cet évènement.

Hamilton, estimant que sa découverte allait révolutionner la physique mathématique, passa le reste de sa vie à travailler sur les quaternions.

Compléments :

  • La page consacrée à Hamilton sur le site Chronomaths (dans la quelle j’ai trouvé ces timbres).

Sources : les éléments de biographie sont tirés de The MacTutor History of Mathematics et de Wikipedia (dont sont tirées également les illustrations).

Tags :

La dimension 4

Actualités 0 commentaire »

Un grand coup de chapeau pour le site d’un collègue récemment retraité qui a le temps de s’éclater avec les mathématiques :

Site de Philippe Huck

Tags : , , ,

Le triangle de Pascal

Pour les élèves, Terminale S 0 commentaire »

Dans l’article précédent, nous avons vu comment la recherche d’une formule permettant de développer le produit $latex (a+b)^n$ nous a amené à définir les coefficients binomiaux $latex \binom{n}{k}$ dont le calcul se fait de manière pratique dans un tableau qui prend une forme « triangulaire » :

C’est ce tableau que l’on nomme habituellement « Triangle de Pascal » parce que la mathématicien français Blaise Pascal (1623 – 1662) lui a consacré un ouvrage intitulé « Traité du triangle arithmétique » en 1654.

Néanmoins, le triangle arithmétique et la plupart de ses propriétés étaient connus bien avant Pascal. Il a été utilisé par les mathématiciens arabes du Xe siècle et par les chinois au XIIIe siècle.

Le triangle arithmétique en Chine (1303)

Le triangle arithmétique en Chine (1303)

On trouve la version intégrale de l’ouvrage de Pascal numérisée sur Google Books : Traité du triangle arithmétique

Lire l’article de Wikipédia consacré au triangle de Pascal : Triangle de Pascal (dont est tirée l’image chinoise ci-dessus).

Tags : ,

La formule du binôme de Newton

Pour les élèves, Terminale S 0 commentaire »

Le problème

On souhaite disposer d’une formule générale pour développer le produit

$latex \left(a+b\right)^n$

où $latex a$ et $latex b$ sont des complexes donnés et $latex n$ un entier naturel.

Lorsque $latex n=1$, on sait faire :

$latex \left(a+b\right)^1=1\times a + 1\times b$

Lorsque $latex n=2$, on sait aussi :

$latex \left(a+b\right)^2=1\times a^2 + 2\times ab+1\times b^2$

On a déjà utilisé également le développement correspondant à $latex n=3$ :

$latex \left(a+b\right)^3=1\times a^3 + 3\times a^2b+3\times ab^2 +1\times b^3$

Dans le cas général, on conçoit que pour développer $latex \left(a+b\right)^n$, il convient de choisir, dans chacun des $latex n$ facteurs égaux à $latex \left(a+b\right)$, soit $latex a$, soit $latex b$. Le résultat sera donc une somme de termes de la forme $latex a^kb^{n-k}$ (on a choisi $latex a$ dans $latex k$ facteurs et $latex b$ dans les autres), avec $latex k$ variant de 0 à $latex n$. Tout le problème est de compter combien de fois chacun de ces termes apparaît dans le développement.

Conjecture

Observons les premiers coefficients qui apparaissent dans les cas particuliers ci-dessus :

Les premiers coefficients

A l’observation de ces coefficients, on remarque une propriété qui permet de calculer les termes de la ligne suivante :

Règle de calcul

Pour écrire clairement la conjecture suggérée par la figure ci-dessus, nous avons besoin d’une nouvelle notation. Nous noterons $latex \binom{n}{k}$ le nombre d’apparition du terme $latex a^kb^{n-k}$ dans le développement.

On peut donc conjecturer la propriété suivante : pour tout entier naturel $latex n$, pour tout entier $latex k$ variant de 1 à $latex n$,

$latex \binom{n+1}{k}=\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}$

Preuve de la conjecture

Avec les notations adoptées, nous pouvons écrire :

$latex \left(a+b\right)^n=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^kb^{n-k}$

et au rang suivant :

$latex \left(a+b\right)^{n+1}=\sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k}a^kb^{n+1-k}$ (1).

Calculons cette deuxième somme d’une autre façon :

$latex \left(a+b\right)^{n+1} = \left(a+b\right)^n\times (a+b) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^kb^{n-k}\times (a+b)$

D’où $latex \left(a+b\right)^{n+1} =\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^{k+1}b^{n-k} + \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^{k}b^{n-k+1}$

Dans la première somme, effectuons le changement de numérotation des termes consistant à remplacer $latex k$ par $latex k+1$ :

$latex \left(a+b\right)^{n+1} =\sum_{k=1}^{n+1} \binom{n}{k-1}a^{k}b^{n-(k-1)} + \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^{k}b^{n-k+1}$

ou encore :

$latex \left(a+b\right)^{n+1} =\sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k-1}a^{k}b^{n+1-k} + \binom{n}{n}a^{n+1}b^0 + \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k}a^{k}b^{n-k+1} + \binom{n}{0}a^0b^{n+1}$.

Cette écriture permet de regrouper les deux sommes en une :

On a par ailleurs de façon évidente : $latex \binom{n}{n}=1=\binom{n+1}{n+1}$ et $latex \binom{n}{0}=1=\binom{n+1}{0}$.

D’où finalement :

(2) .

En comparant les égalités (1) et (2) ci-dessus, on obtient par identification des coefficients : $latex \binom{n+1}{k}=\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}$, pour tout entier naturel $latex n$, pour tout entier $latex k$ variant de 1 à $latex n$, ce qui prouve la conjecture.

Conclusion

La formule conjecturée étant vraie, on peut calculer de proche en proche les coefficients binomiaux $latex \binom{n}{k}$ pour développer des produits du type $latex \left(a+b\right)^n$.

Complément : lire le billet sur le triangle de Pascal.

Tags : ,

Essai de GeoGebra 3D

GeoGebra, Logiciels, TICE 0 commentaire »

La version expérimentale de GeoGebra 3D est disponible à partir du site officiel de GeoGebra.

Il s’agira de GeoGebra 5.0 béta. Lien vers le fichier : geogebra 3D

Il n’y a pas beaucoup de commandes pour l’instant, mais ça marche, comme le montre l’image ci-dessous que j’ai réalisée :

Image réalisée avec GeoGebra 5.0 béta avec la 3D

Tags :

Télécharger une vidéo à partir d'un site comme Youtube

Firefox, Logiciels, Pour les profs, TICE, Vidéos 1 commentaire »

Comment télécharger une vidéo à partir d’un site comme Youtube ?

Lorsqu’on veut projeter à une classe une vidéo en « streaming » depuis un site du type Youtube ou autre, il se peut que la vitesse de la connexion internet de l’établissement ne soit pas suffisante pour un affichage fluide et continu de la vidéo. Ou même que, ce jour là fait exprès, la connexion soit inexistante …

Voici donc quelques explications qui vous permettront de télécharger cette vidéo sous forme d’un fichier qui pourra être copié sur une clé USB par exemple. La diffusion pourra alors se faire sans connexion internent.

  1. Les explications qui suivent supposent que vous utilisez Firefox. Si ce n’est pas le cas, il est temps de s’y mettre et de le télécharger :
  2. Rendez-vous à l’adresser suivante pour télécharger l’extension de Firefox appelée Video DownloadHelper : https://addons.mozilla.org/fr/firefox/addon/video-downloadhelper/
  3. Cliquer sur le bouton « Ajouter à Firefox » :
  4. Une barre jaune apparaît juste sous la barre de menu de Firefox : cliquer sur « Autoriser » :
  5. Dans la fenêtre qui s’ouvre ensuite, cliquer sur « Installer » :
  6. Après installation, il faut redémarrer Firefox :
  7. Et voilà, l’extension est installée ! Rendez-vous maintenant à la page où apparaît la vidéo que vous voulez télécharger.
  8. Lorsque Video DownloadHelper détecte la possibilité de télécharger une vidéo, son petit bouton situé à gauche de la barre d’adresse s’anime :
  9. Cliquer sur la petite flèche noire à droite du bouton. Un menu s’ouvre dans lequel on peut choisir la qualité du fichier à télécharger. En cliquant sur le nom du fichier, un autre menu s’ouvre. Cliquer alors sur « téléchargement rapide ».
  10. Attendre la fin du téléchargement, …
  11. Une fois le téléchargement terminé, si vous ne savez pas où est passé le fichier, cliquer droit sur son nom dans le fenêtre de téléchargement et choisir « Ouvrir le dossier contenant le fichier ». Le fichier peut alors être copié où vous voulez …



Tags : ,

Exercices sur les nombres complexes

Pour les élèves, Terminale S 0 commentaire »

Voici une sélection d’exercices pour réviser et s’entraîner sur les nombres complexes. Niveau : Terminale S.

Tags : ,

Dates du bac 2011

Actualités, Pour les élèves, Pour les profs, Terminale S 0 commentaire »

Les dates du BAC 2011 sont parues au BO : http://www.education.gouv.fr/cid54293/page.html

Tags : ,