Niveau : CE2/CM

 

Supports :

– l’énoncé du célèbre problème des lapins de Fibonacci

– une biographie du mathématicien

 

Matériel :

dessins de lapins en couples (des adultes et des bébés) à coller sur des feuilles

 

Compétences travaillées :

– compréhension d’un énoncé ;

– résoudre des problèmes en utilisant un raisonnement logique ;

– contrôler et discuter la pertinence ou la vraisemblance d’une solution ;

– argumenter à propos de la validité d’une solution ;

– notion de double ;

– lire des grands nombres.

 

Énoncé :

Le mathématicien toscan Fibonnacci, dit aussi Léonard de Pise, pose en 1202 le « problème des lapins » :

un couple de lapins, né le 1^er janvier, donne naissance à un autre couple de lapins chaque mois, dès qu’il a atteint l’âge de deux mois. Les nouveaux couples suivent la même loi de reproduction.

Combien y aura-t-il de lapins le 1^er janvier de l’année suivante, en supposant qu’aucun couple n’ait disparu entre temps ? ».

On note A₁ le nombre de couples au départ (c’est-à-dire que A₁ = 1) et A_n le nombre de couples de lapins au cours du n-ième mois.

1° Donner A₂, A₃, A₄, et A₅

2° Expliquer pourquoi pour n ?3, A_n = A_n-1 = A_n-2.

3° Calculer alors A₆, A₇, A₈… A₁₃. Répondre au problème de Fibonacci.

Déclic 1èreS Hachette Éducation

 

Bien entendu on peut ne présenter que la première partie de l’énoncé !

 

Pour ma part j’ai choisi de leur donner à lire l’énoncé entier, pour que les élèves entrevoient qu’il existe d’autres manières de résoudre des problèmes qu’ils découvriront « plus tard ».

 

Tout de suite après la première lecture ils m’ont dit : « On ne comprend rien. », « Vraiment rien du tout ? » leur ai-je répondu. Ils ont donc admis pouvoir comprendre le début. Il a fallu clarifier quelques mots de vocabulaire : couple, reproduction et éclaircir le « en supposant qu’aucun couple n’ait disparu entre temps » qui fait ici la différence entre « la vraie vie » et le « monde des mathématiques » (de même pour la régularité supposée de la reproduction).

 

Déroulement :

– lecture et échanges pour comprendre l’énoncé

– représentation en collant sur des feuilles le couple de lapins en janvier (petits lapins), sur une autre feuille celui de février (encore trop petits pour se reproduire), puis chercher ce qui se passe en mars et le représenter (le premier couple est devenu adulte et a donné naissance à 2 nouveaux petits lapins)… Noter à chaque fois clairement le nombre de couples et de lapins

 

Il devient vite nécessaire de faire le point sur comment compter les lapins, certains élèves n’hésitant pas à compter les mêmes lapins représentés sur des mois différents. Mes élèves ont choisi de leur mettre des tâches de naissance de couleur pour les reconnaître (on peut aussi les nommer…) Cette précaution permet en outre de vérifier au cours du travail que certains lapins ne sont pas oubliés d’un mois sur l’autre (aucun ne meurt)

 

– quand la représentation sur feuille commence à devenir laborieuse il est temps d’amener les élèves à découvrir que les nombres de couples trouvés sont ceux de la suite de Fibonacci en leur faisant par exemple lire la biographie du mathématicien

 

Bien évidemment on ne peut attendre d’élèves de l’école primaire qu’ils découvrent seuls le fonctionnement de la suite.

 

– on vérifie que cela « marche vraiment » en cherchant encore un ou deux mois puis on termine le problème en utilisant la suite

 

Vous trouverez dans cet article de la revue « Animation & Éducation » de l’OCCE un descriptif très complet de la première séance. Merci à Marie-France RACHEDI qui a su apprécier et décrire finement cette séance de travail.

Tentative d’explication :

Pourquoi le nombre de couples (et de lapins aussi d’ailleurs) suit-il la suite de Fibonacci ?

 

On peut tenter de l’expliquer aux élèves (avec l’aide du support des affiches) : chaque mois on retrouve les lapins du mois précédent + leurs enfants. Ces enfants sont aussi nombreux que les lapins ayant au moins 2 mois, soit le nombre de lapins présents 2 mois auparavant.

 

Nombre de lapins du mois n = nombre de lapins du mois n-1 + nombre de lapins du mois n-2

Prolongement possible :

À l’aide du petit programme concocté par mon fils (qui m’a donné l’excellente idée de traiter ce problème avec mes élèves, merci Florian ;-)) on peut faire chercher aux élèves au bout de combien de mois on dépasse 1 000 000 de lapins puis 1 000 000 000. Comme les espaces ne sont pas marqués dans le programme, c’est une situation idéale pour travailler la lecture de grands nombres et prendre conscience de la grande utilité d’espacer les différentes classes. Le programme ayant une présentation austère, Florian a aussi prévu un joli fond d’écran sur le thème des lapins pour égayer l’ordinateur pendant le travail.

 

Cette situation va être présentée par mes élèves dans le cadre du 6^ème forum des sciences[1] organisé par la Maison des sciences de Châtenay-Malabry les 30 et 31 mai prochains.

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[1] Le forum des sciences est une manifestation qui a lieu tous les ans, depuis 6 ans en fin d’année scolaire sur la ville de Châtenay-Malabry. Il est organisé par l’association « La Maison des Sciences » en partenariat avec le Réseau Réussite Scolaire de Châtenay-Malabry, l’École Centrale de Paris, l’École supérieure d’optique, l’Inspection académique des Hauts-de-Seine, la ville de Châtenay-Malabry, le CNRS, la Main à la Pâte, l’Andra, l’Observatoire de Paris à Meudon. Tout au long de l’année scolaire les classes de la commune sont invitées à travailler en sciences avec « La maison des sciences » (lieu avec un enseignant et du matériel scientifique) et/ou des élèves d’écoles supérieures qui viennent animer des ateliers scientifiques dans les écoles. Ensuite ces classes présentent leur travail au forum des sciences pendant une journée et demie, sous la forme d’une ou plusieurs expériences proposées aux visiteurs. Les visiteurs sont les élèves des autres classes, les enseignants, les étudiants et les parents. Depuis 3 ans, quelques classes présentent aussi des activités mathématiques.