Supports :

- l’énoncé du célèbre problème des lapins de Fibonacci

- une biographie du mathématicien

Matériel :

dessins de lapins en couples (des adultes et des bébés) à coller sur des feuilles

Compétences travaillées :

- compréhension d’un énoncé ;

- résoudre des problèmes en utilisant un raisonnement logique ;

- contrôler et discuter la pertinence ou la vraisemblance d’une solution ;

- argumenter à propos de la validité d’une solution ;

- notion de double ;

- lire des grands nombres.

Énoncé :

Le mathématicien toscan Fibonnacci, dit aussi Léonard de Pise, pose en 1202 le « problème des lapins » :

un couple de lapins, né le 1^er janvier, donne naissance à un autre couple de lapins chaque mois, dès qu’il a atteint l’âge de deux mois. Les nouveaux couples suivent la même loi de reproduction.

Combien y aura-t-il de lapins le 1^er janvier de l’année suivante, en supposant qu’aucun couple n’ait disparu entre temps ? ».

On note A₁ le nombre de couples au départ (c’est-à-dire que A₁ = 1) et A_n le nombre de couples de lapins au cours du n-ième mois.

1° Donner A₂, A₃, A₄, et A₅

2° Expliquer pourquoi pour n ≥ 3, A_n = A_n-1 = A_n-2.

3° Calculer alors A₆, A₇, A₈… A₁₃. Répondre au problème de Fibonacci.

Déclic 1èreS Hachette Éducation

Bien entendu on peut ne présenter que la première partie de l’énoncé !

Pour ma part j’ai choisi de leur donner à lire l’énoncé entier, pour que les élèves entrevoient qu’il existe d’autres manières de résoudre des problèmes qu’ils découvriront « plus tard ».

Tout de suite après la première lecture ils m’ont dit : « On ne comprend rien. », « Vraiment rien du tout ? » leur ai-je répondu. Ils ont donc admis pouvoir comprendre le début. Il a fallu clarifier quelques mots de vocabulaire : couple, reproduction et éclaircir le « en supposant qu’aucun couple n’ait disparu entre temps » qui fait ici la différence entre « la vraie vie » et le « monde des mathématiques » (de même pour la régularité supposée de la reproduction).

Déroulement :

- lecture et échanges pour comprendre l’énoncé

- représentation en collant sur des feuilles le couple de lapins en janvier (petits lapins), sur une autre feuille celui de février (encore trop petits pour se reproduire), puis chercher ce qui se passe en mars et le représenter (le premier couple est devenu adulte et a donné naissance à 2 nouveaux petits lapins)… Noter à chaque fois clairement le nombre de couples et de lapins

Il devient vite nécessaire de faire le point sur comment compter les lapins, certains élèves n’hésitant pas à compter les mêmes lapins représentés sur des mois différents. Mes élèves ont choisi de leur mettre des tâches de naissance de couleur pour les reconnaître (on peut aussi les nommer…) Cette précaution permet en outre de vérifier au cours du travail que certains lapins ne sont pas oubliés d’un mois sur l’autre (aucun ne meurt)

- quand la représentation sur feuille commence à devenir laborieuse il est temps d’amener les élèves à découvrir que les nombres de couples trouvés sont ceux de la suite de Fibonacci en leur faisant par exemple lire la biographie du mathématicien

Bien évidemment on ne peut attendre d’élèves de l’école primaire qu’ils découvrent seuls le fonctionnement de la suite.

- on vérifie que cela « marche vraiment » en cherchant encore un ou deux mois puis on termine le problème en utilisant la suite

Vous trouverez dans cet article de la revue « Animation & Éducation » de l’OCCE un descriptif très complet de la première séance. Merci à Marie-France RACHEDI qui a su apprécier et décrire finement cette séance de travail.

Tentative d’explication :

Pourquoi le nombre de couples (et de lapins aussi d’ailleurs) suit-il la suite de Fibonacci ?

On peut tenter de l’expliquer aux élèves (avec l’aide du support des affiches) : chaque mois on retrouve les lapins du mois précédent + leurs enfants. Ces enfants sont aussi nombreux que les lapins ayant au moins 2 mois, soit le nombre de lapins présents 2 mois auparavant.

Nombre de lapins du mois n = nombre de lapins du mois n-1 + nombre de lapins du mois n-2

Prolongement possible :

À l’aide du petit programme concocté par mon fils (qui m’a donné l’excellente idée de traiter ce problème avec mes élèves, merci Florian ) on peut faire chercher aux élèves au bout de combien de mois on dépasse 1 000 000 de lapins puis 1 000 000 000. Comme les espaces ne sont pas marqués dans le programme, c’est une situation idéale pour travailler la lecture de grands nombres et prendre conscience de la grande utilité d’espacer les différentes classes. Le programme ayant une présentation austère, Florian a aussi prévu un joli fond d’écran sur le thème des lapins pour égayer l’ordinateur pendant le travail.

Cette situation va être présentée par mes élèves dans le cadre du 6^ème forum des sciences[1] organisé par la Maison des sciences de Châtenay-Malabry les 30 et 31 mai prochains.

Il s’agit de compter tous les doigts de l’école.

Références :
Article de Françoise Paletou IMF dans le Journal des Instituteurs n°9 Mai-Juin 1987 Nathan
On trouve l’intégralité de cet article sur Internet là

Compétences travaillées :
- compter de 10 en 10
- organiser et traiter des calculs additifs
- dénombrer une quantité en utilisant des groupements par 10
- utiliser la table de multiplication par 10

Déroulement possible :
- combien de doigts dans le groupe de travail, dans la classe : compter 1 à 1, de 10 en 10, reproduire le contour des mains au feutre puis compter…
- combien de doigts dans l’école : chercher classe par classe puis additionner les doigts ; additionner tous les élèves de toutes les classes ; demander au directeur le nombre d’élèves de l’école… (on peut suivant les idées des élèves des différents groupes tenter plusieurs méthodes et comparer les résultats obtenus)
- si un nouvel élève arrive en cours de travail dans l’école il est particulièrement intéressant de voir comment le prendre en compte ; faut-il ajouter 1 ou 10 ? Cela dépend bien sûr de la méthode choisie et de là où l’on en est…
- en cours de travail, après plusieurs observations et vérifications, l’utilisation de la table de multiplication par 10 allège le travail et permet une vérification finale simple

Une mise en œuvre plus précise est proposée dans ce document (les trois dernières séances) : 10 séances de problèmes ouverts clé en main

Prolongements possibles :
- Compter tous les doigts de la ville, du monde entier (compteurs sur Internet http://www.populationmondiale.com/ ou http://www.abacom.com/~pdescham/natmond.html)

Vous trouverez plus de détails sur cette activité ici.

Niveau : CM

Le principe :
Faire calculer aux élèves combien il faut de sucres pour construire une pyramide (ici base de 20 sucres sur 20, étage suivant de 19 sur 19…).
Construire la pyramide et faire faire le calcul à d’autres.

J’ai mené cette activité avec 3 élèves de CM2 en difficulté en vue d’animer un atelier mathématique dans un « Forum des sciences » organisé sur la commune où je travaille. Cette activité peut aussi donner lieu à un stand pour la fête de fin d’année de l’école.

Pour plus de facilité il faut utiliser des sucres carrés.
Il faut compter 2 heures environ pour monter la pyramide.
Cette activité a eu beaucoup de succès auprès des élèves visiteurs et a beaucoup valorisé les élèves organisateurs.

Compétences travaillées :
- approcher la notion de carré
- organiser et traiter des calculs (multiplicatifs et additifs)
- utiliser à bon escient sa calculatrice
- effectuer une division pour déterminer le nombre de boîtes nécessaires
- penser et mettre en œuvre des aides et adaptations possibles pour les élèves qui participeront à l’atelier en fonction de leur niveau de classe
- devenir « expert »

Déroulement possible :
- présenter le projet aux élèves, construire avec des cubes une petite pyramide pour qu’ils comprennent la structure et préciser qu’avec les sucres la base sera un carré de 20 sucres de côté
- calcul du nombre de sucres nécessaires pour la base, ne pas hésiter à leur faire dessiner un carré de 20 carreaux de côté sur papier quadrillé pour qu’ils visualisent et évitent de faire 20 + 20 + 20 + 20 (au passage revoir la règle des zéros qui permet le calcul de tête de 20 x 20)
- calcul des étages suivants puis addition des 20 résultats obtenus
- combien va-t-il falloir acheter de boîtes ? Calculer d’abord le nombre de sucres dans une boîte (cf ERMEL CM1 p 239) puis effectuer la division. ATTENTION, il faut prévoir une boîte de plus que le résultat trouvé !!! Pour que les élèves en prennent conscience leur faire calculer le nombre de sucres dans le nombre de boîtes trouvé pour vérifier qu’on en aura assez.

Pour que le stand soit accessible à tous, on peut proposer aux CE1/CE2 d’annoncer le nombre de sucres auquel ils pensent, un élève qui anime le stand annonce alors « plus » ou « moins », celui qui trouve le nombre exact gagne… un sucre !
Pour les CM des calculettes à disposition permettent de réaliser le calcul en une dizaine de minutes.

Des étudiants de Centrale, présents au forum des sciences où nous avons présenté cette activité, nous ont étonnés en faisant le calcul de tête en quelques secondes.
Ils utilisent la formule suivante :
n (n + 1) (2n + 1) /6 où n est le nombre de sucres sur un côté de la base de la pyramide.

Pour décorer votre stand, le CEDUS (Centre d’Etude et de Documentation du Sucre) propose pour un prix symbolique 2 magnifiques affiches là : http://www.lesucre.com (documentation – le catalogue – je désire recevoir le catalogue)

Un éléphant fait une crotte par jour la 1ère année de sa vie, 2 par jour la seconde année et ainsi de suite jusqu’à ses 50 ans puis ses crottes diminuent d’une par jour et par an jusqu’à sa mort au bout de sa 100 ème année.
Combien de crottes a-t-il fait jusqu’à ses 50 ans ? jusqu’à sa mort ?

C’est un thème qui plait beaucoup aux élèves ! ! !

Références :
« Un éléphant, ça compte énormément », Helme Heine (Folio Benjamin, Gallimard, 1981)
Ce livre n’est plus édité mais on le trouve assez facilement dans les BCD et les bibliothèques municipales.

Ce livre est décrit ainsi par Dominique Valentin dans un article sur les livres à compter :
«Que compte chaque matin avec tant d’attention et de fierté cet éléphant ? Il compte ces « beaux paquets bien ronds » que sont ses crottes. Pendant cinquante années, au jour de son anniversaire, il émet une crotte de plus, mais durant les cinquante années suivantes, il devra se résoudre à ne voir arriver, à chaque anniversaire qu’une crotte de moins, jusqu’à…
On l’aura compris, on est, là aussi, très loin d’un livre à compter classique ! Conte philosophique dans lequel la mort se profile discrètement, livre de compte quant on veut calculer le nombre de crottes faites par notre éléphant durant toute sa vie…, chacun le prendra comme il veut, mais ce serait dommage de ne pas le méditer. »
(On peut trouver l’intégralité de cet article dans la revue « Grand N » nº52 pp.11-21, 1992-1993 ou là : http://www.grenoble.iufm.fr/departe/francais/livreaco/grandn.htm )

ATTENTION ! Le livre comporte 2 erreurs mathématiques : il y a d’abord une confusion entre avoir 1 an et la première année. Ensuite, une fois les 50 premières années calculées il y a multiplication par 2 du résultat pour obtenir le nombre de crottes jusqu’à sa mort (or il ne fait 50 crottes par jour que pendant la 50ème année puis repasse à 49, puis 48… crottes par jour, il faut donc multiplier par 2 le résultat des 49 premières années et ajouter la 50ème ).

Compétences travaillées :
- associer désignations orales et écrites des nombres (jusqu’à 800 000)
- organiser et traiter des calculs additifs très longs
- utiliser à bon escient sa calculatrice
- utiliser la multiplication au lieu de l’addition réitérée

Déroulement possible :
- si les élèves n’ont pas intégré le nombre de jours qu’il y a dans une année, on peut utiliser un calendrier, dessiner une crotte sur chaque jour et compter (un à un, en additionnant le nombre de jours de chaque mois) ; bien sûr on ignore les années bissextiles
- calculer les crottes faites la première année puis la seconde …. jusqu’à la 50ème (organiser ces résultats dans ce tableau)
- additionner les 50 résultats obtenus (à la calculatrice en répartissant le travail ; si un élève dicte les nombres à un autre qui les tape on travaille ++ sur les désignations écrites et orales des nombres)
- observer que pour les 50 années suivantes on a déjà calculé les résultats (51ème = 49ème ; 52ème = 48ème ….100ème année = 0 crottes)
- le résultat est donc : (le total des crottes des 49 premières années X 2) + le total des crottes de la 50ème année