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Application du Produit Scalaire

0 Commentaire(s) Publié le 23 mai 2009 par simard dans Non classé

II - Application du produit scalaire

1- Relation Métrique dans un triangle .

Pour tout les triangles , les angles A , B et C sont respectivement opposés aux segments a , b et c

- Relation de Al Kashi : a²=b²+c²-2bc cos Â

- Théoreme de la médiane : ABC est un triangle , I est le milieu de [BC] .

Alors, AB²+AC²= 2 AI² + ( BC² / 2 )

- Aire d’un triangle : S = (1/2) bc sin Â

donc a /sin A = b / sin B = c / sin C

2 - Droites et Produit Scalaire

équation cartésienne : ax + by + c = 0

équation réduite : y = ax + b

- Dire qu’un vecteur n est normal à une droite d signifie que le vecteur n n’est pas nul et que sa direction est orthogonale à celle de d .

Soit A et M appartenant à d et le vecteur n = CD , AM.n = 0 ou AM.CD = 0

- Dans un repère orthonormal , si d a une équation ax +by + c = 0 telle que (a ; b) est différent de (0 ; 0), alors le vecteur n(a ; b) est normal à d .

Et réciproquement , si n(a ; b) est non nul est normal à d alors elle a comme équation ax+by+c = 0

- Droites perpendiculaires : Si dans un repère orthonormal , les droites d et d’ d’équation respectives

ax+by+c= 0 et a’x+b’y+c = 0 alors , dire qu’elles sont perpendiculaires équivaut à dire que aa’ + bb’ = 0

3 - Cercle et Produit Scalaire .

- Le cercle de diametre [AB] est l’ensemble des points M tels que MA.MB=0

-Le cercle C ,de centre I (xo;yo) et de rayon r, est donc l’ensemble des points M (x;y) tels que :

(x-xo)² + (y-yo)² = r² .

{Alexandre}

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ex 63 p378 : à l’aide

6 commentaire(s) Publié le 22 mai 2009 par silves dans Pages des Premières S

quelqu’un pourait-il me donner les étapes pour résoudre l’exo 63 p378 SVP.

Merci

c.s

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Semaine du 18 au 22 Mai

0 Commentaire(s) Publié le 19 mai 2009 par simard dans Non classé

Lundi :

Correction des exercices .

Début du cour sur les Limites des Suites .

Jeudi :

Vendredi :

{Alexandre}

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Un peu de maths

6 commentaire(s) Publié le 15 mai 2009 par paul.a dans Divers

Quelques images et vidéos que j’ai trouvé sur le net qui peuvent se montrer interessantes.

Tags : paradoxes, vidéo

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Twitter et un avatar pour vous motiver

0 Commentaire(s) Publié le 11 mai 2009 par olivier Leguay dans infos générales

Il y a du nouveau sur le(s) blog(s). J’ai créé un avatar qui parle ainsi qu’un compte Twitter destiné a vous communiquer des infos rapides, des conseils pour réviser les compos et le bac, des encouragements pour vous motiver. Vous trouverez le fil d’infos Twitter dans la colonne de droite des blogs. Je n’ai pas pu mettre l’avatar sur le Wiki-Blog, car il ne passe pas. Il est seulement présent sur Maths au LEG.

Pour utiliser le fil d’info twitter, vous pouvez l’agréger sur un lecteur de flux RSS, vous pouvez aussi l’agréger sur TweetGrid en faisant rechercher #votre_classe.

Il est aussi très simple d’utiliser le moteur de recherche Twitter, par exemple pour obtenir les infos de la première S1. Il est possible d’agréger les résultats de cette recherche en RSS. Vous trouverez le bouton orange en haut à droite de la page suivi de “Feed for this Query”. Vous pouver aussi mettre directement l’adresse Twitter dans vos signets.

Vous pouvez ouvrir un compte Twitter pour poster des messages en les taguant #votre_classe pour les messages généraux et @OlivierLeguay pour m’envoyer directement un message avec le tag associé à votre classe.

Attention, suites à quelques difficultés d’implantation sur ce blog, j’ai mis le flux RSS de mon flux Twitter qui est en retard. C’est OK sur Maths au LEG.

J’attends vos nombreuses remarques….

Tags : motivation, twitter

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semaine du 11 au 15 mai

0 Commentaire(s) Publié le 11 mai 2009 par paul.a dans Cahier de textes des Premières S, Non classé, Olympiades

Lundi

Rendu de l’interogation du 04/05/09
Correction du 71 page 348
Cours sur les applications du produit scalaire.

Pour jeudi:

DM: 64 page 354

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Sujet de l’interrogation du 04/05/2009

3 commentaire(s) Publié le 9 mai 2009 par simard dans Non classé, Sujets et Corrections

Correction :

1) f(x) = 2x√(3x+1)

f(x) est défini si 3x+1 ≥0

si x ≥ -¹/₃

D(f) = [-1/3 ; + ∞ [

D'après la formule (uv)' = u'v + uv'

Soit u (x) = 2x donc u'(x) = 2

Et v(x) = √(3x+1) donc v'(x) = ¹/ _2√(3x+1)

_{Ainsi , f'(x) = 2 × 1/ 2√(3x+1) + 2x × √(3x+1)}

f'(x) = 2√(3x+1) + 3x / √(3x+1)

D'où D(f') = ]-1/3 ; + ∞ [

2 ) P1, P3 , P5 est une suite arithmétique consécutive de raison 1/8 donc :

d'ou P3 = P1 + 1/8

d'ou P5 = P1 + 2/8

3 P1 = 2 P2 d'ou P2 = 3/2 P1

Or P2 , P4 , P6 est une suite géométrique consécutive de raison 1/2 alors :

P2 = 2 P4 = 4 P6

d'ou P4 = 3/4 P1 et P6 = 3/8 P1

La somme de toutes les probabilités est égale à 1 donc :

P1 + P2 + P3 + P4 + P5 + P6 = 1

alors P1 + P1 + 1/8 + P1 + 2/8 + 3/2 P1 + 3/4 1 + 3/8 P1 = 1

24/8 P1+ 3/8 + 12/8 P1 + 6/8 P1 + 3/8 P1 = 1

45/8 P1 = 1 - 3/8 = 5/8

donc P1 = 1/9

Ainsi P3 = 17 / 72 ; P5 = 13 /36 ; P2 = 1/6 ; P4 = 1/12 et P6 = 1/24 .

3 )

b \ a	-3	-2	-1	1	2	3
-3	(-3 ;-3)	(-2 ;-3)	(-1 ;-3)	(1 ;-3)	(2 ;-3)	(3 ;-3)
-2	(-3 ;-2)	(-2 ;-2)	(-1 ;-2)	(1 ;-2)	(2 ;-2)	(3 ;-2)
-1	(-3 ;-1)	(-2 ;-1)	(-1 ;-1)	(1 ;-1)	(2 ;-1)	(3 ;-1)
1	(-3 ;1)	(-2 ;1)	(-1 ;1)	(1 ;1)	(2 ;1)	(3 ;1)
2	(-3 ;2)	(-2 ;2)	(-1 ;2)	(1 ;2)	(2 ;2)	(3 ;2)
3	(-3 ;3)	(-2 ;3)	(-1 ;3)	(1 ;3)	(2 ;3)	(3 ;3)

a - Le barycentre des points (A,a) (B,b) existe si a+b est non nul .

Cela correspond à une probabilité de 24 / 36

b - G milieu de [AB] si il est l’isobarycentre de A et B . Donc si a = b

Cela correspond à une probabilité de 30 / 36

c - G appartient à [AB] si a et b sont de même signe

Cela correspond à une probabilité de 18 / 36

4 ) QCM :

27- a

28- c

29- a

30- b

31- b

{Alexandre}

{Alexandre: Ajout de la correction}

Tags : correction, interoogation

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Produit Scalaire

4 commentaire(s) Publié le 3 mai 2009 par simard dans Pages des Premières S

I - Produit Scalaire

1) Définition :

On appelle produit scalaire de deux vecteurs $\underset{u}{\rightarrow}$ et $\underset{v}{\rightarrow}$ le réel noté $\underset{u.v}{\rightarrow}$ , définit par :

- $\underset{u.v}{\rightarrow}$ = ║ $\underset{u}{\rightarrow}$ ║x ║ $\underset{v}{\rightarrow}$ ║x cos ( $\underset{u}{\rightarrow}$ , $\underset{v}{\rightarrow}$ ),si aucun des vecteurs $\underset{u}{\rightarrow}$ , $\underset{v}{\rightarrow}$ n’est nul

- $\underset{u.v}{\rightarrow}$ = $\underset{0}{\rightarrow}$ , si l’un au moins des vecteurs $\underset{u}{\rightarrow}$ , $\underset{v}{\rightarrow}$ est nul

2) Expressions du Produit Scalaire :

Pour tout vecteur $\underset{u}{\rightarrow}$ , $\underset{v}{\rightarrow}$ :

- 2 $\underset{u.v}{\rightarrow}$ = ║ $\underset{u}{\rightarrow}$ + $\underset{v}{\rightarrow}$ ║² - ║ $\underset{u}{\rightarrow}$ ║²-║ $\underset{v}{\rightarrow}$ ║²

En rapportant le plan à un repère orthonormé, si les vecteurs ont pour coordonnées

$\underset{u}{\rightarrow}$ (x,y) $\underset{v}{\rightarrow}$ (x’,y’) :

- $\underset{u.v}{\rightarrow}$ = xx’ + yy’

3) Propriétés :

Pour tous vecteurs $\underset{u}{\rightarrow}$ , $\underset{v}{\rightarrow}$ et $\underset{w}{\rightarrow}$ et pour tous réels a et b :

- $\underset{u.v}{\rightarrow}$ = $\underset{v.u}{\rightarrow}$

- (a $\underset{u}{\rightarrow}$ ).(b $\underset{v}{\rightarrow}$ ) = (ab) $\underset{u.v}{\rightarrow}$

- $\underset{u.}{\rightarrow}$ ( $\underset{v}{\rightarrow}$ + $\underset{w}{\rightarrow}$ ) = $\underset{u.v}{\rightarrow}$ + $\underset{u.w}{\rightarrow}$

Deux vecteurs $\underset{u}{\rightarrow}$ et $\underset{v}{\rightarrow}$ sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

Soient A et B , deux points distincts :

Un point M tel que $\underset{AM}{\rightarrow}$ $\underset{.BM}{\rightarrow}$ = $\underset{0}{\rightarrow}$ et seulement si , il appartient au cercle de diamètre AB