Jean-Pierre KAHANE
Coup d’œil sur l’analyse de Fourier
Embrasser l’analyse de Fourier d’un coup d’œil est hors de ma portée. Je promènerai le regard sur l’histoire et sur certains des termes en usage. L’histoire est ancienne et elle est instructive. Je commencerai par Platon.
Chez Platon, les mathématiques comprennent cinq parties : les nombres, les figures planes, les solides, la musique et l’astronomie. La musique et l’astronomie sont comme deux sœurs, liées par la musique des sphères. Et le programme astronomique de Platon est de rendre compte du mouvement des astres errants, les planètes, pour le rendre conforme à l’harmonie du monde et à la dignité des dieux.
Le système de Ptolémée a réalisé ce programme, par une superposition de mouvements circulaires uniformes, le grand cycle et les épicycles. Et quoique le système de Ptolémée soit abandonné, la décomposition d’un mouvement en mouvements périodiques et l’utilisation des fonctions trigonométriques a été une constante de l’astronomie jusqu’à nos jours. Aujourd’hui l’astrophysique double et dépasse l’astronomie dans l’approche des phénomènes cosmiques. Mais la perle de l’astronomie qu’est la découverte des exoplanètes repose sur l’analyse de Fourier des spectres émis par les étoiles.
Quant à la musique, son lien aux mathématiques est multiple. Le principal est la décomposition d’un son en harmoniques et sa reconstitution comme somme d’harmoniques. C’est au sens propre l’analyse et la synthèse harmoniques. A cela s’attachent les gammes, la distinction des timbres, les cordes vibrantes et la grande controverse qui au XVIIIe siècle a opposé Daniel Bernoulli à d’Alembert, Euler et Lagrange sur la possibilité de représenter une fonction par une série trigonométrique. Aujourd’hui l’analyse par ondelettes complète ou supplante l’usage des fonctions trigonométriques pour tenir compte des échelles de temps aussi bien que des fréquences, et le champ de l’analyse de Fourier s’étend par ses méthodes comme par ses usages.
Fourier, selon Riemann, est le premier à avoir compris complètement la nature des séries trigonométriques, en associant ce que j’appellerai l’analyse, les formules intégrales donnant les coefficients, et la synthèse, la représentation d’une fonction par une série trigonométrique. C’est à cause de Riemann que nous parlons aujourd’hui de séries de Fourier. En France, Fourier a été longtemps méconnu. Arago, dans son éloge de Fourier, vante grandement le savant et le politique, explique l’importance de sa théorie analytique de la chaleur, mais ne dit pas un mot des séries trigonométriques, c’est-à-dire de l’outil que Fourier a forgé pour calculer des solutions des équations intégrales de la chaleur. Fourier y accordait une grande importance et, contrairement à une idée reçue, il a développé cet outil en véritable théorie, exemples, applications et démonstrations, avec une grande rigueur. Mais il s’est heurté à l’incompréhension persistante de Lagrange, et deux pages dans les manuscrits de Lagrange, que j’ai consultées et commentées, confirment que Fourier avait raison contre Lagrange. Mais Lagrange était à l’époque de Fourier le plus respecté des mathématiciens français, et son jugement négatif sur Fourier a traversé les siècles. Dans l’édition que je possède d’Encyclopedia universalis il n’y a pas d’article sur Fourier.
Fourier attachait une portée universelle à ses formules. Il précisait bien, et le premier, que la donnée d’une fonction était celle de son domaine de définition en même temps que d’une loi ou une figure ; et, sans utiliser ces termes, il distinguait soigneusement les intervalles ouverts et les intervalles fermés. Mais, après avoir multiplié les exemples et donné quelques preuves, il s’était aventuré à dire que toute fonction était sujette à cette analyse et représentable par une série trigonométrique qui converge vers la fonction. Littéralement c’est faux. Pour appliquer les formules intégrales, il faut que la fonction soit intégrable ; et la convergence des séries est un sujet difficile. Les premiers pas pour éclaircir la question sont dus à Dirichlet, avec le premier théorème général de convergence et le premier exemple de fonction non intégrable dans la conception de l’époque. Tous les concepts d’intégration, à commencer par l’intégrale de Riemann, sont liés aux formules de Fourier et à leurs conditions de validité. Au delà de Riemann, on pense à Lebesgue, Denjoy, Laurent Schwartz. Quant à la convergence, elle est mise en question par les contre-exemples : une fonction continue dont la série de Fourier diverge en un point (du Bois-Reymond) ou même sur un ensemble donné de mesure nulle (Kahane-Katznelson), et une fonction intégrable au sens de Lebesgue dont les série de Fourier diverge partout (Kolmogorov). Le théorème de convergence de Carleson, inattendu à son époque (1966), dit que la convergence a lieu presque partout quand la fonction est de carré intégrable ; on peut améliorer cette condition, sans parvenir bien sûr aux fonctions intégrables.
De même que le concept d’intégrale, c’est le concept de série qui est en cause. Pourquoi s’attacher à la convergence, qui a d’ailleurs plusieurs significations dès qu’on passe à plusieurs variables et à des séries multiples, alors qu’il y a des procédés de sommation utilisables ? Le tournant est pris avec le théorème de Féjer de 1900 : pour les fonctions continues, les moyennes arithmétiques des sommes partielles convergent. Elles convergent même uniformément. La convergence dans les espaces fonctionnels apparaît peu après ; les fonctions sont des points, les sommes partielles d’autres points, et l’espace des fonctions de carré intégrable s’impose à l’attention avec la formule de Parseval, établie dans ce cadre par Fatou, et surtout le théorème de Riesz-Fischer, qui établit l’isomorphisme isométrique de L2 et de l2 par transformation de Fourier.
Fischer et Frédéric Riesz, indépendamment, ont pensé à une géométrisation des espaces de fonctions, et le lemme fondamental pour la preuve de leur théorème est le même ; nous l’exprimons aujourd’hui en disant que L2 est complet. Mais cette formulation ne date que de Banach dans sa théorie des opérations linéaires de 1930. Il fallait jusque là une longue phrase pour le dire. C’est un exemple où les définitions, tardives, viennent exprimer le suc d’une méthode, avant de servir de base à de nouveaux développements.
Autre exemple, toujours tiré de l’analyse de Fourier. Au lieu de L2 et de l2, Norbert Wiener s’est attaché à L1 et l1. Leurs transformées de Fourier sont un champ d’étude toujours ouvert, avec des applications surprenantes en théorie du signal (Donoho, Candès etc). Les problèmes d’analyse et de synthèse y prennent un aspect différent, plus algébrique : dans l’algèbre des fonctions sommes de séries trigonométriques absolument convergentes, les fonctions nulles sur un ensemble donné forment un idéal fermé ; y en a t-il d’autres ? C’est bien la cas, comme Malliavin l’a montré en 1959. Le point de départ est l’algèbre de Wiener, qui se voit soit comme l’algèbre multiplicative des fonctions sommes de séries trigonométriques absolument convergentes, soit comme algèbre de convolution l1. La dernière expression est plus rapide, et la notion de convolution, si fondamentale en analyse, la rend très parlante. Mais en 1930, et même quand Laurent Schwartz a élaboré sa théorie des distributions, on ne parlait pas encore de convolution ; c’était Faltung en allemand, produit de composition en français. Dans le traité de Widder « Laplace transforms », qui date de 1941 , c’est comme « Stieltjes transforms » que sont introduites les convolutions de mesures, avec une note en bas de page qui indique le terme de convolution comme une timide nouveauté parallèlement au terme de Faltung, aussi utilisé en anglais. La convolution apparaît partout, mais c’est Wiener qui a dégagé son caractère fondamental , et c’est pourquoi Faltung est devenu pour un temps l’expression de la notion. Aujourd’hui il est raisonnable de placer la convolution au départ d’un cours d’analyse de Fourier.
S’agissant du vocabulaire, comment situer l’analyse harmonique ? C’est un champ largement ouvert sur l’ensemble des mathématiques. Historiquement, on vient de voir ses relations avec les équations différentielles de la mécanique céleste, avec les équations aux dérivées partielles des cordes vibrantes et de la chaleur, avec la théorie des fonctions d’une variable réelle, et on a évoqué ses relations actuelles avec la statistique et le traitement des données. Le lien aux probabilités est ancien et profond. Le cadre de l’analyse harmonique commutative est celui des groupes abéliens localement compacts, et la dualité entre ces groupes est exprimée par la transformation de Fourier. La thèse de Tate a montré l’importance de cette approche en théorie des nombres. L’analyse harmonique non commutative est liée aux groupes non commutatifs et à leurs représentations. L’analyse harmonique abstraite part de la théorie de Gelfand des anneaux normés, autrement dits algèbres de Banach. L’analyse de Fourier classique traite de transformations intégrales, transformation de Fourier d’abord, et aussi intégrales singulières. Ses usages dans toutes les sciences ont été multipliés par la transformation de Fourier rapide puis par les ondelettes et leurs variantes. Il est clair que toute définition de l’analyse harmonique en serait une limitation injustifiée. Mais outre son étendue, on peut repérer des questions, des méthodes, des théories qui, elles, peuvent être identifiées et formalisées.
Les formules de Fourier sont l’exemple de base. Leur énoncé par Fourier exprime leur généralité, de façon formellement incorrecte. Elles ne constituent pas un théorème, mais elles ont engendré des théorèmes et permis de définir d’importantes notions. Mieux qu’un théorème, elles ont constitué un programme, à savoir, donner des conditions de leur validité. Elles ont ensuite constitué un paradigme pour tous les développements orthogonaux. Une raison de leur succès est sans doute qu’elles établissent un pont entre deux classes d’objets, en l’occurrence des fonctions et des suites. La dualité de Fourier est un modèle de traduction d’un langage dans un autre, un trait commun à d’autres grands programmes.
Le coup d’œil pourrait se poursuivre, aussi bien sur l’histoire que sur l’actualité de l’analyse de Fourier. Ce sera pour une part l’objet des exposés oraux.
Jean-Pierre Kahane 20.04.2011
Laboratoire de Mathématique d’Orsay, UMR 8628, Bâtiment 425, Faculté des Sciences d’Orsay, Université Paris-Sud 11,
F-91405 Orsay Cedex
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