Fonctions périodiques

  FONCTIONS PERIODIQUES

On peut accéder au texte pdf de cet article ici : FONCTIONS PERIODIQUES .

L’objet de ce texte est de rappeler succinctement quelques propriétés élémentaires des fonctions périodiques. Ces fonctions sont essentielles en particulier pour pouvoir accéder au développement d’une fonction périodiques en série de Fourier. Quitte à irriter quelques puristes on s’appuiera beaucoup sur les représentations graphiques et on évitera autant que faire se peut toute technicité inutile à une compréhension élémentaire de la situation.

On suppose connu la notion de fonction. Ici, sauf mention contraire, la variable sera désignée par la lettre t (sous-entendu : t est le temps). Ces fonctions peuvent être définies par une formule mathématique (Exemple : f(t) = + 5t -3) ou par la donnée d’un enregistrement numtérique ou graphique d’un phénomène physique (Exemple : ?(t)=température d’un patient enregistré en continu, C(t)=courbe du chômage,…).

Pour une bonne perception des choses on fera très souvent appel à la représentation graphique d’une fonction.

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 Définition d’une fonction périodique. 

On dit qu’une fonction f est périodique, de période P, si pour toute valeur de t on a f (t + P) = f (t)

Soit, graphiquement :

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On peut dire plus savamment que la courbe représentative de la fonction f est invariante par la translation de vecteur :P_ivect

–   img_vecteur i est le vecteur unitaire de l’axe des t.

La quantité h=1/P s’appelle la fréquence de f. C’est en quelque sorte le nombre de périodes par unité de temps. Ex : Si P = 0,2  alors h = 5 hertz (hertz est l’unité utilisée pour les fréquences)

Remarque 1 

Si f est périodique, de période P, f sera aussi périodique de périodes 2P, 3P, …., kP. ( P est souvent la « plus petite période »)

Remarque 2 

Dans la réalité beaucoup de fonctions ne sont connues ou utilisées que sur un intervalle  et ne sont donc pas périodiques. Afin de pouvoir appliquer à une telle fonction les outils relatifs aux fonctions périodiques, le mathématicien va la rendre périodique en la reproduisant « périodiquement par translation » comme on le voit sur la figure ci-dessous. La période sera alors P=b-a.

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Sur la figure, la fonction n’était défini que sur l’intervalle [2;6]

Somme de deux fonctions périodiques 

Il est facile de voir que la somme de deux fonctions de même période P est encore une fonction de période P.

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Sur la figure les deux fonctions bleue et rouge ont pour période 2. Leur somme, courbe vert gras, est elle-même de période 2.

 Si on est en présence de deux fonctions périodiques, l’une de période P, l’autre de période P‘ et si (cf remarque 1) P et P’ ont un multiple commun P*, alors leur somme est une fonction périodique de période P*.

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La courbe bleu est de période 2, la rouge de période 3. La courbe vert gras « somme des deux courbes » bleue et rouge, est périodique de période 6, multiple commun de 2 et 3.

 Fonctions trigonométriques

Parmi les fonctions périodiques les plus fréquentes et les plus utiles figurent les fonctions trigonométriques sinus et cosinus. Peu importe ici leur définition mathématique. Rappelons simplement leurs représentations graphiques, sinus en rouge, cosinus en bleu.

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Elles sont toutes deux de périodes 2? et la courbe représentative de l’une se déduit de l’autre par une translation de vecteur :

img vecteur

 Dans la pratique on se sert plutôt de la forme : f(t)= sin 2?t      f(t)= cos 2?t 

Elles sont alors de période et de fréquence 1 et aussi de la forme : f(t) = sin ?t           f(t) = cos ?t

dont la période 2 ?/? peut s’adapter à toute valeur par un bon choix de ?

 

Un peu de musique: Fondamentale et harmoniques.

    Ce qui va suivre est tout à fait général mais, afin de fixer les idées, on va s’appuyer sur les sons musicaux pour mettre en place les notions de fondamentale, d’harmoniques, puis de spectre. 

    Lorsqu’on entend une même note, jouée avec la même intensité, sur une flûte, un saxophone ou un hautbois, on reconnaît chacun des instruments. La hauteur et l’intensité ne suffisent donc pas pour caractériser un tel son. La hauteur correspond à une vibration sinusoïdale appelée fondamentale. On appelle harmoniques de cette fondamentale les vibrations dont les fréquences sont multiples de la fréquence fondamentale. Lorsque un instrument joue une note fondamentale, différentes parties de l’instrument entrent en résonance plus ou moins fortes selon des vibrations harmoniques et c’est l’ensemble de la fondamentale et de ces harmoniques qui va donner le timbre qui caractérisera le son d’une flûte , par rapport à celui d’un saxophone ou d’un hautbois.. Un synthétiseur sait quelles sont les harmoniques caractéristiques de tel ou tel instrument et, modulo un réglage, saura reproduire « synthétiquement » le timbre de chacun d’eux. Pour figurer cela on utilise souvent le spectre de la vibration analysée. Ci-dessous deux spectres distincts de la même fondamentale de fréquence h. En abscisse sont alignés les harmoniques de cette fondamentale: 2h, 3h, 4h, 5h,… Chaque segment vertical est proportionnel à l’intensité avec laquelle cette harmonique intervient pour faire le timbre.. Les deux spectres sont différents et rendent donc compte de deux timbres différents.

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On a fait là une toute petite intrusion dans ce qu’est l’analyse spectrale, partie essentielle de l’analyse de Fourier. On a aussi mis en place un certain nombre de notions qui vont nous permettre de comprendre le chapitre : Décomposition d’une fonction périodique en Série de Fourier.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Category(s): pédagogie

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