Fourier et Lena
Histoire d’une Transformation
Longtemps, très longtemps, j’ai été perplexe devant ces images que l’on annonce comme équivalentes :
Je ne comprenais pas le mode de passage d’une image à l’autre. Il est vrai que je suis très ignorant des mathématiques supérieures, que la théorie des dérivées partielles m’est étrangère, néanmoins mes souvenirs de bachelier auraient dû me permettre de comprendre au moins le principe de la transformation.
Au départ, il y a l’image de Lena [1], initialement publiée dans Playboy avant d’être accaparée par les chercheurs. A l’époque, c’était une image argentique ; aujourd’hui, ce serait une image numérique obtenue avec un appareil photo ou par passage au scanner d’une reproduction de l’image originale. Cette image est donc transformable en un fichier numérique : une fois numérisée l’image se traduit par une fonction qu’on peut schématiser de la façon suivante : au pixel de coordonnées (x ;y) on fait correspondre un niveau de gris, g(x ;y) traduit par un entier entre 0 (blanc) et 255 (noir). On est donc en présence d’une fonction à 2 variables (x ;y) prenant ses valeurs entières entre 0 et 255 et qui peut se représenter par un fichier numérique.
La démonstration de Fourier :
Après avoir établit qu’une fonction périodique peut s’écrire de façon équivalente en une somme infinie de sinus et cosinus (une série de Fourier), Fourier généralise cette approche à toute fonction, périodique ou non (c’est la Transformée de Fourier). Ainsi, « Toute fonction est peut s’écrire comme une somme infinie de sinus et cosinus, affectés de coefficients »
toute : Fourier énonce un résultat de portée universelle. Les analystes de la fin du XIXème siècle (Dirichlet, Jordan, Riemann,…) apporteront plus de rigueur à la démonstration de Fourier et introduiront quelques contraintes sur les fonctions. Elle reste vraie pour des fonctions que Fourier ne connaissait pas en 1822 lorsqu’il a publié sa démonstration.
peut s’écrire comme : la transformation fonctionne dans les deux sens ; en partant de la somme infinie des sinus et cosinus il est possible de revenir à la fonction initiale.
somme infinie de sinus et cosinus : L’intérêt est ici que l’on peut facilement intégrer ou dériver cette série. Ce qui fait le succès de la Transformée de Fourier : une fois les coefficients déterminés, elle utilise des notions élémentaires.
Un point d’achoppement entre Fourier et les mathématiciens et les physiciens de son temps était de savoir si ces séries convergeaient bien vers la fonction initiale, y compris aux points de discontinuité. Au cours du XIXe siècle, les mathématiciens ont tranché le débat en précisant la notion d’intégrale.
Sinus et cosinus : On s’y initie bien avant le baccalauréat ; ils ne posent pas de problèmes tant qu’ils ondulent mollement de 0 à 2?, ils deviennent un peu urticants, mais les candidats bacheliers s’y font, lorsqu’il faut trouver une équivalence à sinus (2x) ou à cosinus (a + b).
Coefficients : leur calcul n’est pas évident. De nos jours des calculateurs dédiés fournissent des valeurs aussi précises que nécessaires en quelques secondes.
Cela dit, il n’est pas si simple sans bases mathématiques solides d’aborder la transformation de Fourier. On pourra le voir dans ce dialogue entre un lycéen et des étudiants-enseignants ; dialogue extrait d’un forum actif en 2011.
Spectre d’une fonction sinus :
Il n’est pas nécessaire de représenter complètement la courbe des fonctions sinus et cosinus, que l’amplitude et la fréquence suffisent à définir entièrement :
Le spectre (ici au bas de l’image) permet de retrouver le graphe.
L’université de Lyon a créé une animation qui permet de visualiser la représentation d’une fonction par son spectre :
http://spiral.univ-lyon1.fr/files_m/M5423/WEB/acoustique/anim/fourier/fourier.swf
Sans perte d’information, on peut simplifier encore davantage la représentation en n’indiquant que l’extrémité du segment (III) et aux conventions de représentation près, ces trois graphiques sont équivalents :
I II III
Image et transformée :
Revenons à Lena maintenant :
- a) Le fichier de l’image de Léna (qui est représentée, avec les technologies courantes, par 4 Mo des données) est transformé en une somme de fonctions sinus et cosinus (à ce stade, il n’y a pas d’allégement du fichier, la quantité de données est équivalente ; les données sont fonction de la précision des calculs).
- b) La transformation de Fourier du fichier est représentée sur la seconde image. Chaque pixel est l’image du spectre d’une des fonctions de la Transformée de Fourier de l’image initiale. On l’a compris, il n’y a pas correspondance entre un point de l’image initiale et un point de la Transformée. Chaque point de la Transformée rend compte d’une composante en sinus ou cosinus de l’image initiale et influe sur l’ensemble de la fonction (image initiale).
Si les deux représentations sont aussi encombrantes l’une que l’autre (4 Mo pour fixer les idées), on peut s’interroger sur l’avantage qu’il y a transformer l’image qui n’est même plus directement lisible.
Il est possible (et relativement facile) d’expérimenter sur chacune des représentations et de recueillir des informations précieuses de la comparaison des résultats. Ces expérimentations s’effectuent par le moyen de programmes informatiques assez courts, voir par exemple le site de Dimitri Bonnet :
http://kmdb.pagesperso-orange.fr/_src/_python/_formation_2010/python_formation_images.html
Le site de Caroline Petitjean donne aussi, sans entrer dans le détails de la programmation, quelques exemples d’expérimentation :
http://carolinepetitjean.free.fr/enseignements/ti/part4_M1M2_TI.pdf
On peut ainsi intervenir sur des images pour les modifier, voici un exemple trouvé sur le site de Guillaume Cheron [2] :
http://guilhem-cheron.voila.net/filtrage_echantillonnage_tf.html
On bruite Lena afin de dégrader l’image. La voici, elle, et son spectre.
Pour « débruiter » on applique un masque sur le spectre aux endroits qui semblent être dégradés. On obtient le résultat suivant (avec son spectre couvert par le masque)
Les illustrations ci-dessus permettent de comprendre l’intérêt de la transformation de Fourier dans le traitement des fichiers numériques (image, son ou autres).
Des applications multiples
Outre la retouche d’image, il est simple de supprimer certaines fréquences qui alourdissent le fichier sans apporter d’information pertinente : pour un fichier audio, par exemple, la suppression des fréquences qui ne sont pas perçues par l’oreille n’altère pas la perception. Avec cette suppression, le gain en terme de volume du fichier devient intéressant. Le codage MP3 des fichiers audio exploite cette propriété.
Les applications sont multiples : compression de fichiers numériques (image : suppression du bruit, des fréquences inutiles ; musique : suppression des fréquences inaudibles), mais aussi maintenance des systèmes rotatifs, imagerie scientifique ou médicale, en spectroscopie…
Faute de connaître les technologies développées après sa mort, Fourier n’a pas pu imaginer qu’on leur applique cette Transformation dont il était l’inventeur et qui cependant leur apporte beaucoup. Un article consacré aux grandes équations de la science a ainsi pu titrer : la Transformation de Fourier est le couteau suisse de la physique mathématique. La Transformation de Fourier est ainsi utile en cristallographie, domaine dans lequel la découverte des quasi-cristaux valut à Dan Shechtman son prix Nobel.
[1] Le nom « Lenna » est le nom donné dans l’article original de Playboy, le prénom de Lena Sjööblom ayant été changé par le magazine pour que le nom soit correctement prononcé par des anglo-saxons.
Lena Söderberg (née Sjööblom, le 31 mars 1951 en Suède) est apparue comme modèle Playmate dans l’édition du magazine de Playboy en novembre 1972. Elle fut photographiée par Dwight Hooker. L’utilisation de cette image a connu quelques controverses en raison de la nudité de l’image d’origine, et surtout Playboy tenta une fois de poursuivre les utilisations non autorisées de l’image. Le magazine a depuis abandonné les poursuites et accepté l’utilisation de « Lenna » pour des raisons publicitaires.
David C. Munson, éditeur en chef lors des discussions de l’IEEE sur le traitement d’image de janvier 1996, cite deux raisons pour expliquer la popularité de cette image dans le monde de la recherche :
« Tout d’abord, cette image contient un mélange intéressant de détails, de régions uniformes, et de textures, ce qui permet de bien tester les différents algorithmes de traitement d’image. C’est une bonne image de test ! Ensuite, « Lenna » est l’image d’une femme attirante. Ce n’est pas une surprise que la communauté de la recherche dans le traitement d’image (principalement masculine) gravite autour d’une image qu’elle trouve attirante. » La coïncidence fait que Playboy a déclaré que ce numéro était sa meilleure vente : 7 161 561 exemplaires.
[2] Sur ce site, en plus de l’exemple extrait, reproduit sur cette page, l’on pourra trouver plusieurs exemples d’application de masques au traitement d’une image
