Question 1: Soit M(x;y) un point quelconque du plan.On veut montrer que M appartient à l’arc EF si et seulement si 0 < x < r et y=(r2 -x2)1/2
M appartient à EF si et seulement si M appartient à Γ et que xF< x <xE
Ce qui équivaut à x²+y²=r² avec 0< x< r et donc à y=(r²-x²)½ avec 0< x <r QED
Question2: Cette fois, on veut ∫0r/2 (r²-x²)1/2 dx= 1/12*A(Γ)+ (31/2 *r²)/8 (pardonnez moi)
Cette intégrale que l’on va noter L pour plus de lisibilité , vous l’aurez remarqué, vaut en fait l’aire sous le quart de cercle FG. Elle vaut donc l’aire délimitée par l’arc FG ajoutée à celle du triangle OGH rectangle en H.
Or, puisque l’angle HOG vaut π/3 (car OGE est équilatéral) on a FOG= π/6, on a donc affaire à un douzième de cercle, ce qui facilite les calculs.
Donc, L= 1/12*A(Γ)+1/2(OH*HG) Par hypothèses, OH=r/2 et d’après les relations trigonométriques dans un triangle rectangle on a HG= tan(HOG)*OH=1/2(31/2r)
D’où le résultat voulu puisque l’aire du triangle rectangle vaut 1/2(HG*OH)
Question3:(Enfin!) On pose f(x)=(r²-x²)1/2
On veut démontrer p=12r ∫0r/2 1/f(x) dx
On admettra que la longueur de l’arc FG vaut l= ∫0r/2 (1+ f’(x)²)1/2 dx
Puisque l’arc FG délimite un douzième de cercle, on a p=12 l
Ainsi p= 12 ∫0r/2 (1+ f’(x)²)1/2 dx
Et, d’après les théorèmes de dérivation, f’(x)= -x/f(x)
Par conséquent on a p=12∫0r/2(r²/r²-x²)1/2 dx
Par linéarité de l’intégrale on obtient finalement p=12r ∫0r/2 1/f(x) dx QED
Question4: On pose I=∫0r/2 (r²-x²)1/2 dx
J=∫0r/2 1/((r²-x²)1/2) dx
K=∫0r/2 x²/((r²-x²)1/2) dx
a) On veut démontrer que I+K=r²J
En utilisant la linéarité de l’intégrale on obtient I+K= ∫0r/2 r²/((r²-x²)1/2) dx
En extrayant le r² on a bien le résultat voulu.
b) On va ensuite intégrer par partie en utilisant la fonction identité dont la dérivée est 1
Ce qui nous donne I= [x(r²-x²)1/2]0r/2 - ∫0r/2 -x/((r²-x²)1/2) dx
En extrayant le - on a I=[x(r²-x²)1/2]0r/2+ K
(on laissera les calculs au lecteur) d’où I= 1/4 (31/2 r²)+ K
Question5: Déduire des égalités précédentes que A(Γ)= rp/2
Comme I+K= r²J on a I=r²J-K ainsi, d’après 4.b) I = r²J-I+ 1/4 (31/2 r²)
Ainsi d’après 2. et en simplifiant par 1/4 (31/2 r²) on obtient
1/6A(Γ)= rp/12 puisque J=p/12r ( car l’arc FG est un douzième de cercle)
Par conséquent on a bien l’égalité voulue.
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