Mathématiques au LEG

Télécharger -> Point clé lecture graphique du nombre dérivé

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Idée provenant d’ICI

Planche de Galton animée

Une planche de Galton locale et en bois…

Le fonctionnement du plugin

Il est maintenant possible d’insérer des caractères mathématiques dans des textes, comme par exemple   au sein même de cette phrase.

Le plugin WordPress WP Latex est dorénavant disponible sur la plateforme du Web Pédagogique. Pour utiliser correctement ses fonctionnalités, il faut se familiariser un peu avec le LaTex. Nous le verrons plus loin. La syntaxe LaTex devra être placée entre des balises du type :

ou un peu plus simplement :

qui sera interprété par le plugin en :  . N’oubliez pas latex après le premier $.

Dans la colonne de gauche du tableau de bord de votre blog, dans la rubrique Réglages apparait WP LaTex. Il suffit de cliquer dessus pour afficher les options et le lien de l’aide en anglais. La principale modification à apporter est de cocher la case Comments afin que le plugin soit aussi  actif dans les commentaires.

La syntaxe Latex

Des documentations complètes existent sur Latex, mais elles sont souvent bien trop conséquentes pour éditer seulement quelques fragments de mathématiques dans un billet de blog. Une façon simple et rapide de se familiariser avec Latex et d’éditer directement le code à placer entre les balises est de se rendre sur le site CodeCogs et d’y construire le texte mathématique que l’on veut insérer. Ainsi aucune connaissance n’est requise en LaTex et les syntaxes usuelles seront mémorisées facilement. On utilise les symboles en haut de page, la syntaxe se construit dans le champ ( c’est le code que l’on va recopier dans les balises), l’image apparait en bas de page. Il est aussi possible de récupérer directement un image au format souhaité, ainsi qu’un code à implanter directement dans le billet. Cependant si vous souhaitez placer directement les caractères mathématiques au sein d’un texte, le passage par le plugin  est incontournable.

devient : ou en caractères plus gros :  et en couleur:

Vous pouvez cliquer directement sur le texte mathématique suivant et vous rendre sur CodeCogs. Le code que vous lisez (sauf les instructions liées à la taille et à la couleur du fond)  a été recopié entre les balises. Les réglages de taille et de couleur sont expliqués dans l’aide du plugin.

Attention, certaines syntaxes LaTex ne sont pas reconnues par le plugin mais les plus usuelles le sont. Par exemple, pour créer un système il faut passer par la commande {cases} et non {matrix} qui n’est pas reconnue.

Question 1: Soit M(x;y) un point quelconque du plan.On veut montrer que M appartient à l’arc EF si et seulement si 0 < x < r et y=(r² -x²)^1/2

M appartient à EF si et seulement si M appartient à Γ et que x_F< x <x_E

Ce qui équivaut à x²+y²=r² avec 0< x< r et donc à y=(r²-x²)½ avec 0< x <r QED

Question2: Cette fois, on veut ∫₀^r/2 (r²-x²)^1/2 dx= 1/12*A(Γ)+ (3^1/2 *r²)/8 (pardonnez moi)

Cette intégrale que l’on va noter L pour plus de lisibilité , vous l’aurez remarqué, vaut en fait l’aire sous le quart de cercle FG. Elle vaut donc l’aire délimitée par l’arc FG ajoutée à celle du triangle OGH rectangle en H.

Or, puisque l’angle HOG vaut π/3 (car OGE est équilatéral) on a FOG= π/6, on a donc affaire à un douzième de cercle, ce qui facilite les calculs.

Donc, L= 1/12*A(Γ)+1/2(OH*HG) Par hypothèses, OH=r/2 et d’après les relations trigonométriques dans un triangle rectangle on a HG= tan(HOG)*OH=1/2(3^1/2r)

D’où le résultat voulu puisque l’aire du triangle rectangle vaut 1/2(HG*OH)

Question3:(Enfin!) On pose f(x)=(r²-x²)^1/2

On veut démontrer p=12r ∫₀^r/2 1/f(x) dx

On admettra que la longueur de l’arc FG vaut l= ∫₀^r/2 (1+ f’(x)²)^1/2 dx

Puisque l’arc FG délimite un douzième de cercle, on a p=12 l

Ainsi p= 12 ∫₀^r/2 (1+ f’(x)²)^1/2 dx

Et, d’après les théorèmes de dérivation, f’(x)= -x/f(x)

Par conséquent on a p=12∫₀^r/2(r²/r²-x²)^1/2 dx

Par linéarité de l’intégrale on obtient finalement p=12r ∫₀^r/2 1/f(x) dx QED

Question4: On pose I=∫₀^r/2 (r²-x²)^1/2 dx

J=∫₀^r/2 1/((r²-x²)^1/2) dx

K=∫₀^r/2 x²/((r²-x²)^1/2) dx

a) On veut démontrer que I+K=r²J

En utilisant la linéarité de l’intégrale on obtient I+K= ∫₀^r/2 r²/((r²-x²)^1/2) dx

En extrayant le r² on a bien le résultat voulu.

b) On va ensuite intégrer par partie en utilisant la fonction identité dont la dérivée est 1

Ce qui nous donne I= [x(r²-x²)^1/2]₀^r/2 – ∫₀^r/2 -x/((r²-x²)^1/2) dx

En extrayant le – on a I=[x(r²-x²)^1/2]₀^r/2+ K

(on laissera les calculs au lecteur) d’où I= 1/4 (3^1/2 r²)+ K

Question5: Déduire des égalités précédentes que A(Γ)= rp/2

Comme I+K= r²J on a I=r²J-K ainsi, d’après 4.b) I = r²J-I+ 1/4 (3^1/2 r²)

Ainsi d’après 2. et en simplifiant par 1/4 (3^1/2 r²) on obtient

1/6A(Γ)= rp/12 puisque J=p/12r ( car l’arc FG est un douzième de cercle)

Par conséquent on a bien l’égalité voulue.

C’est ICI