Continuons avec notre série « compétences et savoir-faire exigibles » du programme de Terminale S et voyons ce qu’il faut retenir du cours sur le dipôle RC. Comme d’habitude, les phrases en gras sont issue directement du programme de TS.

Connaître la représentation symbolique d’un condensateur.

Un condensateur est constitué de deux plaques conductrices séparées par un matériau isolant. Son symbole est :

Il est caractérisé par sa capacité C, dont l’unité est en Farad.

En utilisant la convention récepteur, savoir orienter un circuit sur un schéma, représenter les différentes flèches-tension, noter les charges des armatures du condensateur.

Par convention, le courant électrique sort de la borne + du générateur, traverse le circuit et rentre par la borne – du générateur. Pour un dipôle, la convention récepteur consiste à représenter la flèche-tension dans le sens inverse du courant, elle est donc dirigée en direction de la borne qui reçoit le courant. La borne par laquelle entre le courant électrique porte une charge positive +q. L’autre borne porte une charge -q :

Connaître les relations charge-intensité et charge-tension pour un condensateur en convention récepteur; connaître la signification de chacun des termes et leur unité.

Un condensateur dont la borne positive voit arriver une intensité i porte une charge q qui varie au cours du temps. La relation entre i et q est :

i=dq/dt où d/dt représente la dérivée (c’est à dire qu’on écrirait en mathématique i(t)=q’(t))

La relation entre la charge de la borne positive et la différence de tension, u, aux bornes du condensateur est :

q=C.u (relation 1)
Un moyen mémotechnique simple (on pourrait presque dire cul-cul) pour s’en souvenir : cette relation se lit « cu »= »cu ».

Dans ces deux expressions,

• i est l’intensité en Ampère (A);
• u, la tension aux bornes du condensateur en Volt (V);
• q, la charge en Coulomb (C);
• C, la capacité du condensateur en Farad (F).

Savoir exploiter la relation q = Cu.

Si l’on combine les 2 relations précédentes, on peut écrire i=dq/dt=d(C.u)/dt=C.d(u)/dt. Ainsi, l’intensité qui « traverse » un condensateur (en réalité il n’y a pas vraiment « traversée » de courant puisque les charges sont accumulées sur les armatures) est reliée à la tension aux bornes du condensateur par la relation :

i=C.d(u)/dt (relation 2)

Effectuer la résolution analytique pour la tension aux bornes du condensateur ou la charge de celui-ci lorsque le dipole RC est soumis à un échelon de tension.

Ce calcul se trouve dans tous les manuels de physique de terminale et facilement sur internet. Je vais donc essayer d’en dresser simplement les grandes lignes ici.

Imaginons un dipôle RC dans lequel le condensateur est déchargé, soumis à une tension égale à +E à l’instant t=0. C’est à dire qu’à l’instant t=0, on ferme l’interrupteur K du circuit ci-dessous :

A partir de l’instant t=0, E=u_R+u_c (relation 3) où u_R et u_c représentent les tensions aux bornes de la résistance R et du condensateur C.

On peut écrire que d’une part u_R=R.i et i=C.du_c/dt (relation 2 ci-dessous) d’où u_R=RC.du_c/dt. Ainsi, la relation (3) se réécrit :

E = RC.du_c/dt + u_c (4)

Cette dernière relation est une équation différentielle puisqu’elle relie u_c et sa dérivée du_c/dt (en mathématique, on l’aurait écrit E= RC.u_c‘(t) + u_c(t)). La solution d’une telle équation est de la forme u_c(t)=A.e^-t/τ+B dont la dérivée du_c/dt est égale à -A/τ.e^-t/τ.

Il nous faut maintenant relier les paramètres A, B et τ aux contextes de l’équation (4). Si l’on « injecte » cette solution dans l’équation (4), on trouve :

E = A.e^-t/τ.(-RC/τ+1)+B ↔ E-B = A.e^-t/τ.(-RC/τ+1)

qui n’est possible que si E-B=0 et -RC/τ+1=0 soit :

B = E
τ = RC

La détermination de A se fait par les conditions initiales (c’est à dire la valeur de u_c(t) lorsque t=0) :

u_c(t=0) = A+B obtenu grâce à l’expression de u_c(t)

et on sait que u_c(t=0) = 0 (le condensateur n’est pas chargé initialement : q=0 ↔ u_c=0)

D’où l’on peut déduire que A=-B donc A=-E. Ce qui nous permet de conclure que :

u_c(t)=E(1-e^-t/τ) où τ = RC.

ouf ! l’un des gros morceau du programme vient de passer. Lorsque vous avez abordé ce type de calcul en Décembre c’était la première fois que vous l’aviez rencontré mais par la suite, on refera ce type de calcul et je vous garantie que d’ici Juin cela devrait être plus facile.

En déduire l’expression de l’intensité dans le circuit.

Maintenant que nous avons u_c(t), il est facile d’obtenir i(t) en utilisant la relation (2) :

i = C.duc/dt = C.(-E/τ).e^-t/τ=-E/R.e^-t/τ

Un petit coup d’analyse dimensionnelle (voir le billet l’analyse dimensionnelle) nous permet de vérifier que nous ne nous sommes pas trompé : l’exponentielle est sans dimension et E/R à la dimension d’une intensité (rappelez-vous U=R.I donc I=U/R).

Connaître l’expression de la constante de temps et savoir vérifier son unité par analyse dimensionnelle.

Comme nous venons de le voir, τ=RC.

R a pour unité V/A (se rappeler de U=R.I donc R = U/I)
C a pour unité A.s/V (se rappeler de i=C.du/dt)

Donc l’unité de τ est (V/A)×(A.s/V)=s : la contante de temps porte bien son nom, c’est bien un temps.

Connaître l’expression de l’énergie emmagasinée dans un condensateur.

L’énergie emmagasinée dans un condensateur est le produite de sa charge par la différence de tension à ses bornes, divisé par 2 :

E_c =q.u/2 =C.u²/2

Savoir que la tension aux bornes d’un condensateur n’est jamais discontinue.

Ce principe découle directement de l’expression de l’énergie. En effet, il n’est pas possible que le condensateur se décharge instantanément de l’énergie qu’il a emmagasiné. Par conséquent, la tension à ses bornes est forcément continue.

Savoir exploiter un document expérimental pour :

• identifier les tensions observées,
• montrer l’influence de R et de C sur la charge ou la décharge,
• déterminer une constante de temps lors de la charge et de la décharge.

L’expression u_c(t)=E(1-e^-t/τ) donne (sur ce graphique, E est égal à 1) :

Tandis que i(t)=-E/R.e^-t/τ donne (même remarque que précédemment E/R=1) :

Pour reconnaître d’un coup d’oeil la bonne courbe, il faut se rappeler qu’initialement (à t=0), les deux grandeurs i et u sont nulles. Sur la première u(t) reste continue tandis que i(t) est discontinue, passant de 0 à E/R.

La mesure de τ est décrite sur le premier graphique.

Voilà une question qu’on entend beaucoup au début de l’année de terminale S, lorsqu’on fait le cours sur les équilibres chimiques.

Transformation chimique

Une transformation chimique est l’évolution d’un système chimique d’un état initial à un état final. Avant ce cours de terminale S toutes les réactions chimiques présentées sont totales. C’est à dire qu’elles ne cessent que lorsqu’il n’y a plus de réactifs. Ainsi, l’état final est défini comme l’état du système dans lequel un des réactif a complètement disparu. Dans cet état il n’y a plus de réaction car il n’y a plus de réactif pour maintenir la réaction.

En réalité, les choses ne sont pas aussi simples et comme on l’apprend en terminale, une transformation chimique traduit l’évolution du système d’un état initial hors équilibre vers un état d’équilibre dans lequel 2 réactions ont lieu dans le sens direct et indirect.

L’avancement de la réaction

Pour mesurer l’état d’avancement de la réaction, on défini une grandeur x qui est nulle initialement et qui croît tout au long de la réaction. Ainsi, dans le cas où la réaction est totale, cette grandeur atteint une valeur maximale, notée x_max. Dans le cas où la réaction n’est pas totale, celle-ci s’arrête avant que x n’atteigne cette valeur x. On note alors la valeur de l’avancement x_f.

Pour résumer :

xmax correspond au cas où la réaction est totale
x_f correspond au cas où la réaction n’est pas totale : x_f<x_max