Monthly Archives: février 2008

du femtomètre aux années-lumière

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universcale

Nikon propose sur son site anglais une belle animation pour illustrer les différentes échelles de notre univers : universcale. Cela rappelle le film sur les puissances de 10.

L’animation est en anglais, mais la navigation est assez facile : en cliquant sur les textes, ceux-ci disparaissent. Pour « zoomer » ou « dézoomer », il suffit d’utiliser la molette centrale de sa souris.

Elle illustre parfaitement le caractère « lacunaire » de la matière : il y a parfois de grandes plages d’échelles sans aucun objet. Par exemple, la taille de notre galaxie est de 1021m et la taille d’une nébuleuse est de l’ordre de 1018 m. On ne connait pas d’objet dont la taille est intermédiaire. De la même façon, notre système solaire s’étend sur 1014 m et contient une étoile de 109 m et des planètes de l’ordre de 108 m mais il n’y a pas d’objet entre 109 m et 1014 m. Cette structure lacunaire se retrouve également au niveau microscopique. En effet, à partir de 10-10 m, il ne semble plus y avoir « d’objet » mais en continuant à zoomer, on finit par trouver le noyau de l’atome à 10-15 m (cela répond aux interrogations de Lélia dans les commentaires de « ce produit est en fait constitué à 99,9999999999 % d’espace vide« ). La diversité d’objet que nous connaissons de 105 m à 10-9 m n’existe donc pas à toutes les échelles.

Oscillations libres dans un dipôle RLC série

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Continuons avec les connaissances et savoir-faire exigibles pour l’épreuve de physique du bac avec ce qu’il faut retenir du dipôle RLC. Comme d’habitude, les connaissances et savoir-faire exigibles du programme sont en gras :

Lorsqu’on branche un condensateur chargé à une bobine, celui-ci tend à vouloir se décharger (voir le cas du dipôle RC). Des charges ont donc tendance à se déplacer dans le circuit. Mais une bobine « n’aime » pas que le courant qui le traverse varie (voir l’étude du dipôle RL). Elle va donc avoir tendance à ralentir cette décharge. Cependant, progressivement, le condensateur arrive à imposer un courant et il va progressivement se décharger. Lorsque la charge qu’il porte est nulle, le transfert de charge pourrait s’arrêter là mais comme la bobine impose une continuité du courant, elle va obliger le condensateur à se charger dans l’autre sens et ainsi de suite : on observe des oscillations de la tention aux bornes du condensateur.

Définir et reconnaître les régimes périodique, pseudo-périodique et apériodique.
Savoir tracer l’allure de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps pour les régimes périodique, pseudo-périodique et apériodique.

Pour le processus qui vient d’être décrit, 3 régimes sont possibles selon la valeur de la résistance totale du circuit. Dans le cas où la résistance est nulle, on observe un régime périodique :


source : http://montblancsciences.free.fr

Dans le cas où la résistance du circuit est faible, on observe un régime pseudo-périodique :


source : http://montblancsciences.free.fr

Dans le cas d’une grande résistance, on observe un régime apériodique :

source : http://montblancsciences.free.fr

Dans le cas d’un amortissement négligeable, effectuer la résolution analytique pour la tension aux bornes du condensateur ou la charge de celui-ci.
En déduire l’expression de l’intensité dans le circuit.

Envisageons un circuit constitué d’un condensateur de capacité C et une bobine idéale d’inductance L. A t=0, le condensateur est chargé, portant une tension U0. La résolution analytique s’effectue toujours selon la même méthodologie :

  1. Obtention de l’équation différentielle – condensateur et bobine sont en série et vérifient donc uC+uL=0. Pour obtenir l’équation vérifiée par uC, il faut exprimer uL en fonction de uC. On sait que uL=L.di/dt d’une part et que i=dq/dt donc on peut en déduire que uL=Ld²q/dt² où d²q/dt² est la dérivée seconde par rapport au temps de la charge (la dérivée de la dérivée : q »(t) en notation mathématique). Or q=C.uC dont uL=LCd²uC/dt et uC vérifie :
    uC+LC.d²uC/dt²=0.
  2. Résolution de l’équation différentielle – cette équation admet des solutions de la forme : uC(t)=Um.cos(2π.t/T0+Φ0) où Um représente l’amplitude (en Volt), T0 , la période (en s) et Φ0, la phase à l’origine (en rad). La détermination de ces grandeurs se fait en 2 étapes : en injectant cette expression dans l’équation différentielle puis en appliquant les conditions initiales. La dérivée de uC(t) par rapport au temps est
    duC/dt= -2π/T0.Um.sin(2π.t/T0+Φ0).
    La dérivée seconde est donc d²uC/dt²= -(2π/T0)².Um.cos(2π.t/T0+Φ0). Si l’on injecte cette dernière expression dans l’équation différentielle ainsi que celle de uC(t), on obtient :
    Um.cos(2π.t/T0+Φ0) -LC(2π/T0)².Um.cos(2π.t/T0+Φ0)=0
    ce qui est équivalent à :
    (1-LC(2π/T0)²)Um.cos(2π.t/T0+Φ0) =0 qui n’est possible pour tout t que si T0=2π.√(LC)
  3. Obtention de i(t) – De l’expression de uC(t), on peut déduire i qui est égale à dq/dt donc à C.duC/dt → i(t)=-2π/T0.C.Um.sin(2π.t/T0+Φ0)
  4. Conditions initiales – Les conditions initiales sont uC(t=0)=U0 et i(t=0)=0. Si l’on applique les expressions trouvées précédemment, on obtient :
    Um.cos(Φ0)=U0 et Um.sin(Φ0)=0 qui implique que Φ0=0 et Um=U0.

Pour finir, nous avons donc les expressions suivantes :

uC(t)=U0.cos(2π.t/T0) où T0=2π.√(LC)
q(t)=C.uC(t)=Q0.cos(2π.t/T0) où Q0=C.U0
i(t)=dq/dt=-Im.sin(2π.t/T0) où Im=2π.Q0/T0

Connaître l’expression de la période propre, la signification de chacun des termes et leur unité.

De la résolution analytique, on a déduit T0=2π.√(LC) où L est l’inductance de la bobine et C, la capacité du condensateur.

On peut vérifier que cette expression est homogène :

  • de l’étude du dipôle RC, on avait déduit que RC est homogène à un temps,
  • de l’étude du dipôle RL, on avait déduit que L/R est homogène à un temps,
  • on en déduit que LC est homogène à L/R.RC=Temps²
  • donc √(LC) est homogène à un temps.

Savoir que le dispositif qui entretient les oscillations fournit l’énergie évacuée par transfert thermique.
Savoir interpréter en terme d’énergie les régimes périodique, pseudo-périodique, apériodique et entretenu.

Les oscillations observées dans le cas où l’amortissement est nul (pas de résistance), correspondent en fait à un échange d’énergie entre le condensateur et la bobine : le condensateur a initialement emmagasiné une énergie sous forme électrique (1/2.C.uC²) qu’il transmet à la bobine (1/2.L.i²).

A chaque transfert,  la résistance dissipe de l’énergie puisqu’elle est traversée par un courant électrique (une résistance dissipe une énergie R.i² à chaque instant). Ainsi, l’énergie totale du circuit électrique diminue progressivement à chaque transfert d’énergie entre le condensateur et la bobine et les oscillations s’amortissent.

Dans le cas où la résistance est très élevée, toute l’énergie est dissipée dès le premier transfert et la partie de ping-pong avec l’énergie entre condensateur et bobine ne se fait pas.

Pour entretenir les oscillations, il est nécessaire de « réinjecter » de l’énergie à chaque transfert, ce qui se fait à l’aide d’un dispositif qui fournit l’énergie dissipée  par la résistanc.

Savoir exploiter un document expérimental pour:

  • identifier les tensions observées,
  • reconnaître un régime
  • montrer l’influence de R et de L ou C sur le phénomène d’oscillations
  • déterminer une pseudo-période.

La tension aux bornes du condensateur est initialement égale à U0. Aux bornes de la résistance, elle est nulle initialement puisqu’il n’y a pas de courant.

L’influence de R, L et C a été discutée dans les points précédents.

La pseudo-période se détermine en prenant 2 passages par zéro dans le même sens de la tension aux bornes du condensateur. Cette pseudo-période est voisine de la période propre calculée précédemment (T0=2π.√(LC)).

Sur le site de l’académie de Caen, on trouve une petite application qui simule la tension aux bornes d’un condensateur.

« Le dipôle RL » : ce qu’il faut en retenir

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Les compétences et savoir-faire exigibles correspondant au dipôle RL sont :

Connaître la représentation symbolique d’une bobine.
En utilisant la convention récepteur, savoir orienter le circuit sur un schéma et représenter les différentes flèches-tension.

On remarque tout de suite que ces compétences sont très proches (dans leur formulation tout au moins) de celles exigées pour le dipôle RC.

La représentation symbolique d’une bobine est la suivante :

Dipôle RL

Sur ce schéma on voit que la bobine est symbolisé par une bobine idéale caractérisée par son inductance L et une résistance r.

Pour l’orientation d’un circuit, c’est toujours la même histoire : le courant est compté positif à partir de la borne + du générateur, traverse le circuit et retourne au générateur par la borne -.

Connaître l’expression de la tension aux bornes d’une bobine; connaître la signification de chacun des termes et leur unité. Savoir exploiter la relation.

La différence de tension aux bornes d’une bobine est la somme de 2 termes :

uL=L.di/dt+r.i

Le premier terme caractérise les bobines.Une bobine idéale n’a pas de second terme. Ce dernier correspond simplement au fait qu’une bobine est un fil enroulé sur lui-même qui possède donc une petite résistance.

L est l’inductance de la bobine, exprimée en Henry (H) tandis que r correspond à la résistance de la bobine, exprimée en Ohms (Ω).

Effectuer la résolution analytique pour l’intensité du courant dans un dipôle RL soumis à un échelon de tension.
En déduire la tension aux bornes de la bobine.
Connaître l’expression de la constante de temps et savoir vérifier son unité par analyse dimensionnelle.

Partant du montage classique constitué d’un générateur de tension (délivrant U0), d’un interrupteur que l’on ferme à l’instant t=0, d’une résistance et d’une bobine, on peut écrire :

U0=uL+uR
et i(t=0)=0

La suite est très classique et la méthode de calcul est toujours la même :

  1. remplacer les différentes tensions par leur expression en fonction de la variable demandée (ici i) : uR=R.i et uL=L.di/dt+r.i ce qui nous permet d’obtenir l’équation différentielle vérifiée par la variable demandée : U0=L.di/dt+r.i+R.i ↔ U0=L.di/dt+i.(r+R)
  2. Déterminer les paramètres de la solution mathématique de cette équation. Ici, la solution est de la forme i(t)=A.e-t/τ+B. Pour déterminer τ et B, il faut calculer la dérivée de i(t) et remplacer di/dt par sa dérivée et i par son expression. On arrivera ici à B=U0/(r+R) et τ=L/(r+R). Pour les détails du calculs, je vous laisse vous reporter à votre cours (je vais quand même pas faire tout le travail !)
  3. Déterminer les inconnues restantes en utilisant les conditions initiales. Ici i(t=0)=0 ce qui se traduit par A+B=0 d’où A=-B ce qui donne en remplaçant B par l’expression trouvée précédemment : A=-U0/(r+R)
  4. Recoller les morceaux pour écrire la solution : i(t)=A.e-t/τ+B s’exprime i(t)=U0/(r+R).(1-e-t/τ) où τ=L/(r+R)

Ayant l’expression de i(t), il suffit de se rappeler que uL=L.di/dt+r.i pour calculer uL, ce qui donne après simplification : uL(t)=U0/(r+R).(Re-t/τ+r)

Au passage, nous avons obtene l’expression de la constante de temps : L/(R+r) c’est à dire la valeur de l’inductance divisée par la somme de toutes les résistances du circuit. Comme d’habitude, il faut être capable de vérifié que cette expression est « dimensionnellement » juste :

L.di/dt est homogène à une tension donc [L]=Volt.Temps/Ampère tandis que U=R.i implique que [R]=Volt/Ampère. Ceci permet d’affirmer que [L/(R+r)]=Temps.

Connaître l’expression de l’énergie emmagasinée.
Savoir qu’une bobine s’oppose aux variations du courant du circuit où elle se trouve et que l’intensité de ce courant ne subit pas de discontinuité.

Lorsqu’une bobine est traversée par un courant électrique, elle emmagasine de l’énergie sous forme magnétique. L’énergie emmagasinée a pour expression :

Em=1/2.Li²

Par conséquent, pour assurer la continuité des transferts d’énergie, il est impossible d’avoir de brusque variation de courant au sein d’une bobine.

Cela est en accord avec les résultats de l’analyse dimensionnelle. En effet, nous avons obtenu : i(t)=U0/(r+R).(1-e-t/τ) et uL(t)=U0/(r+R).(Re-t/τ+r). Lorsque t est égal à 0, cela donne i=0 et uL=U0. Ce qui signifie que lorsqu’on ferme l’interrupteur, la bobine assure la continuité de i en « prenant » toute la tension fournie par le générateur. Ainsi, la résistance ne porte aucune tension (uR=0 car i=0).

Pour un temps infini, i tend vers U0/(r+R)=I0 qui est la valeur de l’intensité qui traverse 2 résistances r et R soumise à U0 tandis que la bobine porte une tension uL(t)=r.U0/(r+R)=r.I0 : la bobine se comporte comme une simple résistance r.

Savoir exploiter un document expérimental pour:
- identifier les tensions observées
- montrer l’influence de R et de L lors de l’établissement et de la disparition du courant
- déterminer une constante de temps.

Encore une fois on retrouve les grands classique du programme : dans le cas de l’établissement du courant dans le dpôle RL, l’intensité qui traverse la bobine étant continue, on identifie facilement la tension aux bornes de la résistance (c’est celle qui est nulle et continue en t=0) tandis que la tension aux bornes de la bobine est discontinue (elle est nulle pour t<0 et égale à U0 pour t>0).

La mesure de la constante de temps se fait toujours de la même façon :

  • soit à l’aide de la tangente à l’origine,
  • soit en déterminant le temps tel que i(τ)=I0.(1-e-1)=0,63.I0 c’est à dire i égal à 63 % de sa valeur finale.

Compte tenu de l’expression de τ, une forte résistance diminue le temps d’établissement du régime permanent tandis qu’une forte inductance l’augmente.

Les bacs blancs approchant, j’essaierai de poster rapidement ce qu’il faut retenir du chapitre RLC.