Continuons avec les connaissances et savoir-faire exigibles en physique. En ces périodes d’intense révision, je pense que c’est plutôt le bienvenu.

Savoir que, étant diffractée, la lumière peut être décrite comme une onde.

Tout est dit. Si on vous pose la question « comment savez-vous que la lumière est une onde ? » vous répondrez « parce qu’elle se diffracte ».

Connaître l’importance de la dimension de l’ouverture ou de l’obstacle sur le phénomène observé.

Le phénomène de diffraction intervient lorsqu’une onde rencontre une ouverture ou un obstacle dont la taille est de l’ordre de la longueur d’onde. Notons a cette dimension (largeur de la fente ou taille caractéristique de l’obstacle). Les ondes se diffractent lorsque a est de l’ordre de λ.
Pour la lumière visible, λ est compris entre 400 et 800 nm. Ainsi, le caractère ondulatoire de la lumière ne peut être mis en évidence que lorsque la lumière rencontre des obstacles ou des fentes de l’ordre du μm ce qui n’est pas courant dans la vie de tous les jours.

Connaître et savoir utiliser la relation λ= c/ν, la signification et l’unité de chaque terme.

Cette relation a déjà été évoquée dans le cas des ondes mécaniques progressives périodiques. Comme la lumière est une onde périodique, on peut écrire λ= c.T ce qui devient  λ= c/ν en se rappelant que T=1/ν où ν est la fréquence. Cette relation nous permet de calculer la fréquence de l’onde lumineuse lorsqu’on connait la longueur d’onde.

Par exemple, une radiation de longueur d’onde 450 nm dans le vide a une fréquence ν = c/λ = 3,00.10⁸/450.10^-9 = 6,67.10¹⁴ Hz

Connaître et utiliser la relation θ= λ/a, la signification et l’unité de chaque terme.

Dans une expérience de diffraction :

L’angle θ est l’angle de déviation correspondant à la tache principale. Cet angle ne dépend que de la largeur de la fente a et de la longueur d’onde de la radiation incidente λ suivant la relation θ=λ/a.
Dans cette relation, λ et a sont en mètre et θ en radians.

Exploiter une figure de diffraction dans le cas des ondes lumineuses.

Dans l’expérience précédente, on peut écrire tanθ=(l/2)/L = l/2L.

En faisant l’approximation tan θ ≈ θ et en utilisant la relation précédente, on peut écrire λ/a=l/2L ce qui nous permet de déterminer a si λ est connu ou λ si a est connu.

En guise d’entraînement, on pourra faire les 2 sujets suivant disponible sur labolycee.org : La lumière est un onde – métropole 2003 et caractère ondulatoire de la lumière – Amérique 2009.

Définir une lumière monochromatique et une lumière polychromatique.

Une lumière monochromatique est une lumière constituée d’une seule radiation (caractérisée par une longueur d’onde unique).

Une lumière polychromatique est une lumière constitué de plusieurs radiations (caractérisé par un ensemble continue ou non de longueurs d’onde).

Connaître les limites des longueurs d’onde dans le vide du spectre visible et les couleurs correspondantes.

Dans le vide, le spectre de lumière visible s’étend grosso modo de 400 (violet) à 800 nm (rouge). Pour les plus pointilleux, on pourra retenir de 380 à 780 nm.

Situer les rayonnements ultraviolets et infrarouges par rapport au spectre visible.

Comme son nom l’indique, les Ultra-violet sont au-delà du violet, c’est à dire en-dessous de 400 nm et les infra-rouges sont au-delà du rouge, au-dessus de 800 nm.

Savoir que la lumière se propage dans le vide et dans les milieux transparents.

Sans blague ? Non plus sérieusement, « la lumière se propage dans le vide » n’est pas si évident (voir l’article sur la nature de la lumière). Contrairement aux ondes matérielles, la lumière n’a pas besoin de matière pour se propager.

En ce qui concerne les milieux transparents, c’est la définition même : un milieu est dit transparent s’il n’est pas opaque à la propagation de la lumière.

Savoir que la fréquence d’une radiation monochromatique ne change pas lorsqu’elle passe d’un milieu transparent à un autre.

Celui-là n’est pas si évident. Lorsque la lumière passe d’un milieu à un autre, c’est la fréquence qui est inchangée, la longueur d’onde, elle, est modifiée. Voyons cela d’un peu plus prêt :

Imaginons une radiation monochromatique de longueur d’onde 450 nm dans le vide qui traverse un milieu d’indice n=1,5. La fréquence de cette radiation est ν = 6,67.10¹⁴ Hz (calculé plus haut). Dans le milieu d’incide n=1,5 cette fréquence est inchangée. Par contre, sa vitesse de propagation est diminuée d’un facteur 1,5.

Comment ça ?

Mais oui, rappelez-vous de vos cours de 2de, l’indice est défini par n=c/v donc v=c/n. Dans un milieu d’indice 1,5 la vitesse est 3,00.10⁸/1,5 = 2,0.10⁸ m/s (Vous avez remarqué pour les chiffres significatifs ?).
Ainsi, en vertu de la relation λ= c/ν, la longueur d’onde de la radiation dans le milieu d’indice 1,5 est λ = 2,0.10⁸/6,67.10¹⁴ = 3,0.10^-7 m = 300 nm et non pas 450 nm. Ce calcul est relativement important. Je vous invite à bien le refaire.

Savoir que les milieux transparents sont plus ou moins dispersifs.

Rappelons-nous qu’un milieu dispersif est un milieu dans lequel la vitesse de propagation d’une onde dépend de la fréquence de l’onde. Par conséquent, dans un milieu dispersif, l’indice n dépend de la fréquence. Ainsi, pour une lumière polychromatique qui traverse un milieu dispersif, chaque radiation monochromatique est réfracté d’une manière différente (en vertu de la loi de Snell-Descartes, apprise en 2de : n₁.sin i₁=n₂.sin i₂).

Sous certaines conditions, en particulier avec un prisme, une lumière polychromatique est dispersée en ses différentes couleurs à la sortie du prisme :

Faut-il connaître la relation de Snell-Descartes ? A priori, non. D’ailleurs dans les 2 sujets cités plus haut, elle est donnée. Par contre, il est bon de savoir ce qu’elle veut dire.

En l’occurence, un dessin vaut mieux qu’un long discours :

n₁.sinθ₁=n2.sinθ₂

Les connaissances et savoir-faire exigibles du programme officiel sont essentielles pour réussir son année de terminale. Comment réussir son épreuve de physique à coup sûr ? En les connaissant sur le bout des doigts. Après les ondes mécaniques progressives, voyons les ondes mécaniques progressives périodiques :

Reconnaître une onde progressive périodique et sa période.

Une onde périodique est caractérisée par le fait que chaque point a un mouvement périodique :

La période de l’onde est la période du mouvement de chaque point. On la note T. Attention, à ce niveau, le mouvement n’est pas forcément sinusoïdal (comme sur l’image), cela peut-être n’importe quel autre mouvement périodique.

Définir pour une onde progressive sinusoïdale, la période, la fréquence, la longueur d’onde.

Une onde progressive sinusoïdale est une onde telle que tous les points du milieu ont un mouvement sinusoïdal. Comme dans le cas général, la période T est la période du mouvement d’un point, la fréquence f est l’inverse de la période : T=1/f

Puisque le mouvement des points est périodique, certains points sont en phase (c’est  dire qu’ils ont le même mouvement à chaque instant). La distance la plus petite entre deux points en phase est la longueur d’onde, notée λ.

Connaître et utiliser la relation λ =v T, connaître  la signification et l’unité de chaque terme, savoir justifier cette relation par une équation aux dimensions.

On peut démontrer que la longueur d’onde telle qu’elle a été définie précédemment est la distance parcourue par l’onde pendant une période temporelle. Ainsi, λ =v.T où λ est la longueur d’onde (en m), v, la célérité de l’onde (en m/s) et T, la période (s). On vérifie aisément que v.T a pour unité des mètres ce qui correspond bien à l’unité de la longueur d’onde.

Exemple d’utilisation de cette relation : les ondes sonores audibles ont une célérité de 340 m/s et une fréquence comprise entre 20 Hz et 20 kHz. Ainsi, en utilisant λ = v.T = v/f, on peut montrer que leur longueur d’onde est comprise entre 340/20000=1,7 cm (pour les aïgues) et 17 m (pour les basses).

Savoir, pour une longueur d’onde donnée, que le phénomène de diffraction est d’autant plus marqué que la dimension d’une ouverture ou d’un obstacle est plus petite.

Le phénomène de diffraction peut se résumer ainsi :

L’angle de diffraction θ (défini dans le schéma ci-dessous) est de l’ordre de λ/a où a est la largeur de la fente.

Ainsi, plus la fente est petite, plus le rapport λ/a est grand, donc plus la diffraction est marquée.

Définir un milieu dispersif.

Un milieu dispersif est un milieu tel que la vitesse dépend de la fréquence.

Exploiter un document expérimental (série de  photos, oscillogramme, acquisition de données avec un ordinateur…) : détermination de la période, de la fréquence, de la longueur d’onde.

Pour s’entraîner à cette compétence, rien de tel qu’un petit sujet de bac, par exemple : la seconde partie d’Indonésie 2003 (merci labolycee.org) ou l’épreuve de bac blanc proposée par le webpedagogique.com en 2006

Reconnaître sur un document un phénomène de diffraction.

Par exemple, comment expliqueriez-vous la photo ci-dessous ?

Que faut-il retenir du cours sur les systèmes oscillants selon les connaissances et savoir-faire exigibles du programme officiel ?

Dans cet article comme dans tous les articles de mécanique, les vecteurs sont notés en gras.

Note : cet article est en cours de rédaction, je pense le finir dans la semaine.

D’abord, quelques faits autour du pendule simple

Définir un pendule simple.

Un pendule simple, est tout simplement :

• Un objet ponctuel suspendu à un point fixe par un fil inextensible.

C’est à dire ? une petite masse accroché à un fil de longueur fixe, sans élasticité.

Qu’est-ce que cela veut dire ponctuel ? Pour un mathématicien, ça veut dire infiniment petit (ils ont des définitions du genre : vous imaginez tout ce que vous avez de plus petit et c’est encore plus petit). Bien sûr qu’il n’y a pas grand chose qui vérifie le fait d’être « ponctuel » (hormis peut-être les particules élémentaires) mais pour nous en mécanique, on considérera que la masse est « ponctuelle » du moment que ses dimensions sont plus petites que la longueur du fil (et pas du moment qu’elle arrive à l’heure…).

Justifier la position d’équilibre dans le cas d’un pendule simple.

Comme le solide est soumis à 2 forces (le poids et la tension du fil), sa position d’équilibre est lorsque ces deux forces se compensent : lorsque le fil est vertical. Si l’objet est dans cette position sans vitesse, comme la somme des forces est nulle, l’accélération l’est aussi et le solide perdure dans cette position.

Définir l’écart à l’équilibre, l’abscisse angulaire, l’amplitude, la pseudo-période, la période propre et les mesurer sur un enregistrement.

Si l’on écarte l’objet de la position d’équilibre, le fil forme un angle avec la verticale. Cet angle, généralement noté θ, est une mesure de l’écart à l’équilibre. On l’appelle abscisse angulaire. Lorsque l’on trace les variations de cet grandeur en fonction du temps, on trouve quelque chose comme ça :

Qui s’étudie de la même façon que la dernière fois que nous avons rencontré ce genre d’évolution temporelle : avec le dipôle RLC. Sur le schéma ci-dessus, l’amplitude des oscillations diminue progressivement, il s’agit d’un régime apériodique. La pseudo-période se trouve en mesurant le temps mis pour que la courbe passe 2 fois par zéro dans le même sens, ici : 2 secondes.

Enoncer la loi d’isochronisme des petites oscillations.

Une petite loi toute simple à apprendre et à comprendre :

• Pour des oscillations de faible amplitude (on considère généralement θ inférieur à 15°), la période est indépendante de l’amplitude.

Ce qui veut dire que le pendule met toujours le même temps pour parcourir un aller-retour lorsque l’amplitude n’est pas trop élevée.

Savoir comment un système peut atteindre un régime apériodique.

Dans le cas idéal où il n’y a pas de frottement, le pendule oscille indéfiniment autour de sa position d’équilibre et l’amplitude reste toujours constante. Dès lors qu’il y a des frottements, il y a amortissement et l’amplitude des oscillations se met à diminuer. C’est le régime apériodique.

Savoir que dans le cas d’un amortissement faible, la pseudo-période est voisine de la période propre.

Tout est dit. Que dire de plus ?

Pour un pendule simple, justifier la forme de l’expression de la période propre par analyse dimensionnelle.

Ah, c’est là que les choses deviennent intéressantes. Pour le pendule simple, la période propre s’exprime T₀=2.pi.√(l/g) [2 pi racine de l sur g] où l est la longueur du fil.

Cette expression est homogène, c’est à dire que l’unité du membre de droite est égale à l’unité du membre de gauche.

En effet, g s’exprime en N/kg mais également en m/s² (mais si, rappelez-vous de ce que l’on a vu dans la chute libre, a=g donc g a la même unité que l’accélération). Ainsi, l/g est homogène à m/(m/s²)=s². La racine de l/g est donc homogène à des secondes. Comme 2.pi n’a pas d’unité, 2.pi.√(l/g) est bien homogène à du temps. CQFD !

À partir d’une série de résultats expérimentaux, vérifier la validité de l’expression de la période propre d’un pendule simple.

Il s’agit en fait de vérifier l’expression précédente. Pour cela, on procède généralement en mesurant la période propre pour plusieurs longueurs de fils. On obtient alors des valeurs de T₀ en fonction de l. Pour vérifier la validité de l’expression T₀=2.pi.√(l/g), il ne reste plus qu’à tracer T₀ en fonction de √(l). On devrait trouver une droite de pente 2.pi/√(g)

Et puis tout sur le système solide-ressort

Connaître les caractéristiques de la force de rappel exercée par un ressort.

La force de rappel d’un ressort est proportionnelle à l’élongation et dirigée vers la position de repos. Si l’on note l₀, la longueur du ressort « à vide » c’est à dire sans contrainte, la force de rappel est égale à k.(l-l₀) où k est la constante de raideur du ressort, qui s’exprime en N/m. Le point d’application de cette force est le point d’attache du ressort au solide.

Dans le cas d’un solide accroché à un ressort, celui-ci s’allonge de sorte à compenser le poids. Cela permet de mesurer la constante de raideur k. En effet, dans la position d’équilibre, les forces se compensent. Le poids est vertical dirigé vers le bas, tandis que la force de rappel du ressort est verticale dirigée vers le haut. Les normes des 2 vecteurs sont égales : m.g=k.(l-l₀) ce qui permet de calculer k=m.g/(l-l₀).

Dans le cas d’une configuration horizontale, on note généralement x, l’écart à la position d’équilibre du centre d’inertie de l’objet. Lorsque x est nul, le ressort à sa longueur à vide et la force de rappel est nulle. Dans ces conditions, la force de rappel du ressort s’exprime : F=-k.x.i où F est l’expression vectorielle de la force de rappel et i le vecteur unitaire. On peut vérifier que cette expression marche bien dans les 2 sens : si x est positif, F_x est négatif dirigée de sorte à diminuer x; si x est négatif, F_x est positif, de sorte à augmenter x. Ainsi F est toujours dirigé de sorte à ramener le solide vers la position x=0.

Appliquer la deuxième loi de Newton au solide et effectuer la résolution analytique dans le cas d’un dispositif oscillant horizontalement.

Voilà le coeur du problème, ce qui est technique et qu’il faut être capable de restituer :

1. On pose le problème :
   Envisageons un solide relié à un ressort. à t=0, on éloigne le solide de la position d’équilibre, et on le lache sans vitesse initiale. Notons u_x le vecteur unitaire horizontal, et prenons x=0 à la position d’équilibre, u_z le vecteur unitaire verticale. Ce solide est soumis à 4 forces :
   1. Le poids : P=-mg.u_z
   2. La réaction du support : R=R.u_z
   3. La force de rappel du ressort : F=-k.x.u_x
   4. Une force de frottement visqueux (optionnel) qui s’oppose au mouvement : f=-μ.v
2. On écrit la seconde loi de Newton : P+R+F+f=m.a
   Le mouvement étant horizontal, a=a_x.u_x et v=v_x.u_x
   Ainsi, le seconde loi de Newton peut se réécrire : -mg.u_z+R.u_z-k.x.u_x-μ.v_x.u_x=m.a_x.u_x
3. On regarde ce qui se passe sur chaque axe :
   Ce qui donne selon u_z : R-m.g=0 → la réaction du support compense le poids
   et selon u_x : -k.x-μ.v_x=m.a_x ↔ m.a_x+μ.v_x+k.x=0
   Dans le cas où l’on néglige les frottements (ce qui est demandé au niveau du programme), on trouve l’équation du mouvement, en se rappelant que a_x=d²x/dt² : m.d²x/dt²+k.x=0
4. On résout l’équation différentielle :
   On retrouve une équation d’un genre que l’on a déjà vu dans le cas du dipôle RLC. La solution est de la forme : x(t)=X_m.cos(2.pi.t/T₀+phi)
   Nous verrons au point suivant que la signification de chacun des termes de cette expression doit être connue.
   Pour la suite, c’est du classique, on l’a déjà fait plusieurs fois en électricité : après avoir dérivé 2 fois x(t) et injecter l’expression de d²x/dt² et de x(t) dans l’équation différentielle, on obtient : -m.(2.pi./T₀)².X_m.cos(2.pi.t/T₀+phi)+k.X_m.cos(2.pi.t/T₀+phi)=0 qui n’est possible à chaque instant que si -m.(2.pi./T₀)²+k=0 soit T₀=2.pi.√(m/k)
5. On regarde ce que ça donne avec les conditions initiales :
   x(0)=X₀ → X_m.cos(phi)=X₀
   dx/dt(0)=0 → X_m.sin(phi)=0 → phi=0 et donc  X_m.cos(phi)=X₀
6. On recolle tous les morceaux :
   La solution est x(t)=X₀.cos(2.pi.t/T₀) avec T₀=2.pi.√(m/k)

Connaître la signification de tous les termes intervenant dans la solution de l’équation différentielle et leur unité.

L’équation différentielle que nous avons obtenue est : m.a_x+μ.v_x+k.x=0

• m.a_x : correspond à l’inertie, c’est la produit de la masse (en kg) par l’accélération (en m/s²)
• μ.v_x : correspond aux frottements fluide, c’est le produit du coefficient de frottement (en N.s/m) par la vitesse (en m/s)
• k.x : correspond à la force de tension du ressort, c’est le produit du coefficient de raideur (en N/m) par la position du solide (en m)

Connaître et savoir exploiter l’expression de la période propre, vérifier son homogénéité par analyse dimensionnelle.

L’expression de la période propre est T₀=2.pi.√(m/k). Savoir exploiter cette relatin veut dire être capable de calculer T₀ lorsqu’on vous donne m ou k, ou bien déduire k si l’on mesure T₀ et m (k=(2.pi/T₀)².m).

Pour vérifier l’homogénéité de la relation, il faut se rappeler que k est en N/m et que des Newton sont équivalent à des kg.m/s². En effet, les forces (en N) sont égales au produit d’une accélération (en m/s²) par une masse (en kg). Ainsi, m/k a pour unité : kg/(kg.m/s²)=s². La racine de m/k est donc homogène à des secondes. Pour 2.pi, ce n’est qu’un coefficient numérique sans unité.

Savoir que la résonance mécanique se produit lorsque la période de l’excitateur est voisine de la période propre du résonateur.

Ce point concerne la résonnance, le phénomène qui apparaît lorsqu’on couple un excitateur avec un système oscillant (appelé dans ce cas résonateur) : l’amplitude du mouvement du résonateur est maximale lorsque la fréquence de l’excitateur est égale à la fréquence propre du résonateur. Autrement dit, lorsque la période de l’excitateur est égale à celle du résonateur. Tout est dit dans l’énoncé de la connaissance exigible.

Savoir que l’augmentation de l’amortissement provoque une diminution de l’amplitude.

Sans amortissement, le phénomène de résonance entraîne la destruction du résonateur (voir la vidéo de l’hélicoptère à la fin de l’article la résonance en vidéo). L’amortissement modère le phénomène et une augmentation de l’amortissement provoque une diminution de l’amplitude.

Connaître des exemples de résonance mécanique.

L’exemple classique est constitué d’un système excitant un système solide-ressort verticale (voir par exemple le sujet Réunion 2003 – merci labolycee.org) mais on trouvera d’autres exemples (plus ou moins classique) dans l’article la résonance en vidéo.