Continuons donc avec les connaissances et savoir-faire exigibles pour l’épreuve de physique du bac. Je sais que mes lecteurs qui ne passent pas le bac n’apprécient que moyennement ces articles un peu trop technique… un peu de patience, dans 15 jours c’est fini et on pourra à nouveau penser à d’autres choses…

Après l’exposé des lois de Newton vient l’application à quelques cas suffisamment simple pour permettre une résolution complète du mouvement : chute verticale d’un solide (avec ou sans frottement), mouvements plans (mouvements paraboliques et satellites) et système oscillant.

Commençons par la chute verticale d’un solide.

Attention dans cet article (comme tous ceux de la mécanique), les vecteurs sont notés en gras :
ainsi g = g.u_z est équivalent à

Définir un champ de pesanteur uniforme.

Le champ de pesanteur est un champ vectoriel. C’est à dire qu’en tout point de l’espace, on peut y définir le vecteur pesanteur. Un champ uniforme est un champ qui a la même valeur en tout point de l’espace.

Un champ de pesanteur uniforme est donc un ensemble de vecteur dont la direction, le sens et la valeur sont les mêmes en tout point de l’espace.

Connaître les caractéristiques de la poussée d’Archimède.

La poussée d’Archimède est une force qui s’exerce sur tout corps immergé dans un fluide (liquide ou gaz). Elle est donc définies par une direction, un sens et une valeur. En l’occurence :

• Direction : verticale
• sens : vers le haut
• valeur : égale au poids du fluide déplacé

Ainsi pour un objet de volume V₀ complètement immergé, ce poids est égal à ρ_fV₀g où ρ_f est la masse volumique du fluide.

Chute verticale avec frottement

Appliquer la deuxième loi de Newton à un corps en chute verticale dans un fluide et établir l’équation différentielle du mouvement, la force de frottement étant donnée.

Ah, enfin, c’est là que les choses sérieuses peuvent commencer.

Imaginons donc un corps, lâché à l’instant t=0 de sorte à ce que son centre d’inertie soit au point O à cet instant. On se munira d’un repère Oxyz tel que z soit dirigé positif vers le bas. Bien entendu le référentiel est galiléen sinon on ne pourra pas appliquer la 2ème loi de Newton.

Ce corps est soumis au poids (P=mg),à la poussée d’Archimède (P_a=-ρ_fV₀g) et à une force de frottement (f qui est opposée au mouvement, soit proportionnelle à v, soit proportionnelle à v² selon l’énoncé).

La seconde loi de Newton s’écrit : Σ f_ext=m a_G soit P + P_a + f = m a_G

Comme toutes les forces sont verticales, on peut projeter sur l’axe vertical et écrire mg – ρ_fV₀g – f=m a_G

a_G l’accélération est égale à la dérivée de v (vitesse verticale) que l’on note généralement dv/dt et f est soit égale à k.v soit égale à k.v². On obtient donc :

mg – ρ_fV₀g – k.v = m dv/dt
ou
mg – ρ_fV₀g – k.v²=m dv/dt
selon l’expression de la force de frottement.

Et voilà pour l’équation différentielle du mouvement.

Connaître le principe de la méthode d’Euler pour la résolution approchée d’une équation différentielle.

Lors des révisions avec mes élèves, il semble que ce point n’est pas laissé un souvenir impérissable…
Supposons que nous ayons une équation différentielle de la forme a + b.v = v’(t).

L’approximation d’Euler consiste à écrire que

v(t+Δt) = v(t) + v’(t). Δt

Ainsi, si l’on connait v(0), on peut écrire (en appliquant l’équation différentielle) que v’(0) = a + b.v(0).
On peut donc calculer la valeur de v à l’instant Δt en utilisant l’approximation d’Euler :

v(Δt) = v(0) + v’(0). Δt

Ce qui nous permet de calculer v’(Δt) = a + b.v(Δt) d’où l’on peut déduire v(2Δt) par Euler d’où l’on déduit v’(2Δt) par l’équation différentielle, d’où l’on déduit .v(3Δt).. etc. c’est une méthode itérative; c’est à dire que par une succession de petit calcul on peut finir par connaître v à chaque pas Δt.

Chute verticale libre

Définir une chute libre, établir son équation différentielle et la résoudre.

Une chute libre est une chute dans laquelle le système considéré n’est soumis qu’à son poids.

Dans l’étude d’un tel mouvement, on prendra encore une fois un axe vertical dirigé vers le bas. Le poids s’exprime donc P = mg avec g = g.u_z

On considérera un mouvement vertical, c’est à dire que la vitesse initiale est verticale.

Ainsi, si on applique la seconde loi de Newton, on n’aura simplement P = ma qui se réduit à a = g ce qui est la plus simple expression de la 2de loi de Newton que l’on puisse avoir sur Terre.

On considère un mouvement vertical : le vecteur accélération est donc simplement a = dv/dt.u_z. Ainsi, l’équation différentielle du mouvement est

dv/dt = g
qui s’intègre en v(t) = g.t + A où A dépend des conditions initiales

Imaginons que v(0) soit non nul et égal à une valeur v₀. Si l’on prend l’expression v(t) = g.t + A à t=0, on trouve A=v₀ et

v(t) = g.t + v₀

D’autre part, v = dz/dt on en déduit donc

dz/dt = g.t + v₀
qui s’intègre en z(t) = ½ . g.t² + v₀.t + B
où B est une constante d’intégration

Déterminer B est un jeu d’enfant, il suffit de considérer les conditions initiales :

z(0) = z₀ et z(t) = ½ . g.t² + v₀.t + z₀

Voilà qui est fait pour la chute libre verticale !

Définir un mouvement rectiligne uniformément accéléré.

Trop facile. Un mouvement rectiligne uniformément accéléré est un mouvement dont la trajectoire est une droite et dont l’accélération est constante, indépendante du temps.

Ex de mouvement rectiligne uniforme : la chute libre ! Voir ci-dessus.

Savoir exploiter des reproductions d’écrans d’ordinateur (lors de l’utilisation d’un tableur grapheur) correspondant à des enregistrements expérimentaux.

Savoir exploiter des courbes v =f(t) pour : reconnaître le régime initial et/ou le régime asymptotique, évaluer le temps caractéristique correspondant au passage d’un régime à l’autre, déterminer la vitesse limite

Pour ces deux points, puisqu’un schéma vaut mieux qu’un discours :

Sur le schéma ci-dessus, la vitesse limite est de 10 m/s et il faut 5 seconde pour passer du régime initial (mouvement rectiligne uniformément accéléré) au régime asymptotique (mouvement rectiligne uniforme)

Dans le cas de la résolution par méthode itérative de l’équation différentielle, discuter de la pertinence des courbes obtenues par rapport aux résultats expérimentaux (choix du pas de résolution, modèle proposé pour la force de frottement)

Il s’agit simplement d’être capable de faire le lien entre un graphique expérimental et un modèle.

Le pas de résolution est le Δt dont il a été question dans la méthode d’Euler. Dans l’idéal il faudrait qu’il soit tout petit pour que l’approximation d’Euler fonctionne. Le graphique ci-dessous montre 1 courbe obtenue par la méthode d’Euler (rouge) et une acquisition expérimentale (bleue) :

La courbe rouge a été calculée avec un pas trop grand et la vitesse atteint trop vite sa valeur limite. En diminuant le pas d’itération, on peut obtenir la courbe bleue par Euler.

Pour ce qui est de l’influence des forces de frottements, le graphique ci-dessous montre une modélisation en supposant une force de frottement en v² (courbe en rouge) :

Clairement, ce modèle ne convient pas et on testera le modèle « force de frottement proportionnelle à v » pour voir s’il colle à la courbe expérimentale.

Les compétences et savoir-faire exigibles correspondant au dipôle RL sont :

Connaître la représentation symbolique d’une bobine.
En utilisant la convention récepteur, savoir orienter le circuit sur un schéma et représenter les différentes flèches-tension.

On remarque tout de suite que ces compétences sont très proches (dans leur formulation tout au moins) de celles exigées pour le dipôle RC.

La représentation symbolique d’une bobine est la suivante :

Sur ce schéma on voit que la bobine est symbolisé par une bobine idéale caractérisée par son inductance L et une résistance r.

Pour l’orientation d’un circuit, c’est toujours la même histoire : le courant est compté positif à partir de la borne + du générateur, traverse le circuit et retourne au générateur par la borne -.

Connaître l’expression de la tension aux bornes d’une bobine; connaître la signification de chacun des termes et leur unité. Savoir exploiter la relation.

La différence de tension aux bornes d’une bobine est la somme de 2 termes :

u_L=L.di/dt+r.i

Le premier terme caractérise les bobines.Une bobine idéale n’a pas de second terme. Ce dernier correspond simplement au fait qu’une bobine est un fil enroulé sur lui-même qui possède donc une petite résistance.

L est l’inductance de la bobine, exprimée en Henry (H) tandis que r correspond à la résistance de la bobine, exprimée en Ohms (Ω).

Effectuer la résolution analytique pour l’intensité du courant dans un dipôle RL soumis à un échelon de tension.
En déduire la tension aux bornes de la bobine.
Connaître l’expression de la constante de temps et savoir vérifier son unité par analyse dimensionnelle.

Partant du montage classique constitué d’un générateur de tension (délivrant U₀), d’un interrupteur que l’on ferme à l’instant t=0, d’une résistance et d’une bobine, on peut écrire :

U₀=u_L+u_R
et i(t=0)=0

La suite est très classique et la méthode de calcul est toujours la même :

1. remplacer les différentes tensions par leur expression en fonction de la variable demandée (ici i) : u_R=R.i et u_L=L.di/dt+r.i ce qui nous permet d’obtenir l’équation différentielle vérifiée par la variable demandée : U₀=L.di/dt+r.i+R.i ↔ U₀=L.di/dt+i.(r+R)
2. Déterminer les paramètres de la solution mathématique de cette équation. Ici, la solution est de la forme i(t)=A.e^-t/τ+B. Pour déterminer τ et B, il faut calculer la dérivée de i(t) et remplacer di/dt par sa dérivée et i par son expression. On arrivera ici à B=U₀/(r+R) et τ=L/(r+R). Pour les détails du calculs, je vous laisse vous reporter à votre cours (je vais quand même pas faire tout le travail !)
3. Déterminer les inconnues restantes en utilisant les conditions initiales. Ici i(t=0)=0 ce qui se traduit par A+B=0 d’où A=-B ce qui donne en remplaçant B par l’expression trouvée précédemment : A=-U₀/(r+R)
4. Recoller les morceaux pour écrire la solution : i(t)=A.e^-t/τ+B s’exprime i(t)=U₀/(r+R).(1-e^-t/τ) où τ=L/(r+R)

Ayant l’expression de i(t), il suffit de se rappeler que u_L=L.di/dt+r.i pour calculer u_{L, ce qui donne après simplification} : u_L(t)=U₀/(r+R).(Re^-t/τ+r)

Au passage, nous avons obtene l’expression de la constante de temps : L/(R+r) c’est à dire la valeur de l’inductance divisée par la somme de toutes les résistances du circuit. Comme d’habitude, il faut être capable de vérifié que cette expression est « dimensionnellement » juste :

L.di/dt est homogène à une tension donc [L]=Volt.Temps/Ampère tandis que U=R.i implique que [R]=Volt/Ampère. Ceci permet d’affirmer que [L/(R+r)]=Temps.

Connaître l’expression de l’énergie emmagasinée.
Savoir qu’une bobine s’oppose aux variations du courant du circuit où elle se trouve et que l’intensité de ce courant ne subit pas de discontinuité.

Lorsqu’une bobine est traversée par un courant électrique, elle emmagasine de l’énergie sous forme magnétique. L’énergie emmagasinée a pour expression :

E_m=1/2.Li²

Par conséquent, pour assurer la continuité des transferts d’énergie, il est impossible d’avoir de brusque variation de courant au sein d’une bobine.

Cela est en accord avec les résultats de l’analyse dimensionnelle. En effet, nous avons obtenu : i(t)=U₀/(r+R).(1-e^-t/τ) et u_L(t)=U₀/(r+R).(Re^-t/τ+r). Lorsque t est égal à 0, cela donne i=0 et u_L=U₀. Ce qui signifie que lorsqu’on ferme l’interrupteur, la bobine assure la continuité de i en « prenant » toute la tension fournie par le générateur. Ainsi, la résistance ne porte aucune tension (u_R=0 car i=0).

Pour un temps infini, i tend vers U₀/(r+R)=I₀ qui est la valeur de l’intensité qui traverse 2 résistances r et R soumise à U₀ tandis que la bobine porte une tension u_L(t)=r.U₀/(r+R)=r.I₀ : la bobine se comporte comme une simple résistance r.

Savoir exploiter un document expérimental pour:
- identifier les tensions observées
- montrer l’influence de R et de L lors de l’établissement et de la disparition du courant
- déterminer une constante de temps.

Encore une fois on retrouve les grands classique du programme : dans le cas de l’établissement du courant dans le dpôle RL, l’intensité qui traverse la bobine étant continue, on identifie facilement la tension aux bornes de la résistance (c’est celle qui est nulle et continue en t=0) tandis que la tension aux bornes de la bobine est discontinue (elle est nulle pour t<0 et égale à U₀ pour t>0).

La mesure de la constante de temps se fait toujours de la même façon :

• soit à l’aide de la tangente à l’origine,
• soit en déterminant le temps tel que i(τ)=I₀.(1-e^-1)=0,63.I₀ c’est à dire i égal à 63 % de sa valeur finale.

Compte tenu de l’expression de τ, une forte résistance diminue le temps d’établissement du régime permanent tandis qu’une forte inductance l’augmente.

Les bacs blancs approchant, j’essaierai de poster rapidement ce qu’il faut retenir du chapitre RLC.

Continuons avec notre série « compétences et savoir-faire exigibles » du programme de Terminale S et voyons ce qu’il faut retenir du cours sur le dipôle RC. Comme d’habitude, les phrases en gras sont issue directement du programme de TS.

Connaître la représentation symbolique d’un condensateur.

Un condensateur est constitué de deux plaques conductrices séparées par un matériau isolant. Son symbole est :

Il est caractérisé par sa capacité C, dont l’unité est en Farad.

En utilisant la convention récepteur, savoir orienter un circuit sur un schéma, représenter les différentes flèches-tension, noter les charges des armatures du condensateur.

Par convention, le courant électrique sort de la borne + du générateur, traverse le circuit et rentre par la borne – du générateur. Pour un dipôle, la convention récepteur consiste à représenter la flèche-tension dans le sens inverse du courant, elle est donc dirigée en direction de la borne qui reçoit le courant. La borne par laquelle entre le courant électrique porte une charge positive +q. L’autre borne porte une charge -q :

Connaître les relations charge-intensité et charge-tension pour un condensateur en convention récepteur; connaître la signification de chacun des termes et leur unité.

Un condensateur dont la borne positive voit arriver une intensité i porte une charge q qui varie au cours du temps. La relation entre i et q est :

i=dq/dt où d/dt représente la dérivée (c’est à dire qu’on écrirait en mathématique i(t)=q’(t))

La relation entre la charge de la borne positive et la différence de tension, u, aux bornes du condensateur est :

q=C.u (relation 1)
Un moyen mémotechnique simple (on pourrait presque dire cul-cul) pour s’en souvenir : cette relation se lit « cu »= »cu ».

Dans ces deux expressions,

• i est l’intensité en Ampère (A);
• u, la tension aux bornes du condensateur en Volt (V);
• q, la charge en Coulomb (C);
• C, la capacité du condensateur en Farad (F).

Savoir exploiter la relation q = Cu.

Si l’on combine les 2 relations précédentes, on peut écrire i=dq/dt=d(C.u)/dt=C.d(u)/dt. Ainsi, l’intensité qui « traverse » un condensateur (en réalité il n’y a pas vraiment « traversée » de courant puisque les charges sont accumulées sur les armatures) est reliée à la tension aux bornes du condensateur par la relation :

i=C.d(u)/dt (relation 2)

Effectuer la résolution analytique pour la tension aux bornes du condensateur ou la charge de celui-ci lorsque le dipole RC est soumis à un échelon de tension.

Ce calcul se trouve dans tous les manuels de physique de terminale et facilement sur internet. Je vais donc essayer d’en dresser simplement les grandes lignes ici.

Imaginons un dipôle RC dans lequel le condensateur est déchargé, soumis à une tension égale à +E à l’instant t=0. C’est à dire qu’à l’instant t=0, on ferme l’interrupteur K du circuit ci-dessous :

A partir de l’instant t=0, E=u_R+u_c (relation 3) où u_R et u_c représentent les tensions aux bornes de la résistance R et du condensateur C.

On peut écrire que d’une part u_R=R.i et i=C.du_c/dt (relation 2 ci-dessous) d’où u_R=RC.du_c/dt. Ainsi, la relation (3) se réécrit :

E = RC.du_c/dt + u_c (4)

Cette dernière relation est une équation différentielle puisqu’elle relie u_c et sa dérivée du_c/dt (en mathématique, on l’aurait écrit E= RC.u_c‘(t) + u_c(t)). La solution d’une telle équation est de la forme u_c(t)=A.e^-t/τ+B dont la dérivée du_c/dt est égale à -A/τ.e^-t/τ.

Il nous faut maintenant relier les paramètres A, B et τ aux contextes de l’équation (4). Si l’on « injecte » cette solution dans l’équation (4), on trouve :

E = A.e^-t/τ.(-RC/τ+1)+B ↔ E-B = A.e^-t/τ.(-RC/τ+1)

qui n’est possible que si E-B=0 et -RC/τ+1=0 soit :

B = E
τ = RC

La détermination de A se fait par les conditions initiales (c’est à dire la valeur de u_c(t) lorsque t=0) :

u_c(t=0) = A+B obtenu grâce à l’expression de u_c(t)

et on sait que u_c(t=0) = 0 (le condensateur n’est pas chargé initialement : q=0 ↔ u_c=0)

D’où l’on peut déduire que A=-B donc A=-E. Ce qui nous permet de conclure que :

u_c(t)=E(1-e^-t/τ) où τ = RC.

ouf ! l’un des gros morceau du programme vient de passer. Lorsque vous avez abordé ce type de calcul en Décembre c’était la première fois que vous l’aviez rencontré mais par la suite, on refera ce type de calcul et je vous garantie que d’ici Juin cela devrait être plus facile.

En déduire l’expression de l’intensité dans le circuit.

Maintenant que nous avons u_c(t), il est facile d’obtenir i(t) en utilisant la relation (2) :

i = C.duc/dt = C.(-E/τ).e^-t/τ=-E/R.e^-t/τ

Un petit coup d’analyse dimensionnelle (voir le billet l’analyse dimensionnelle) nous permet de vérifier que nous ne nous sommes pas trompé : l’exponentielle est sans dimension et E/R à la dimension d’une intensité (rappelez-vous U=R.I donc I=U/R).

Connaître l’expression de la constante de temps et savoir vérifier son unité par analyse dimensionnelle.

Comme nous venons de le voir, τ=RC.

R a pour unité V/A (se rappeler de U=R.I donc R = U/I)
C a pour unité A.s/V (se rappeler de i=C.du/dt)

Donc l’unité de τ est (V/A)×(A.s/V)=s : la contante de temps porte bien son nom, c’est bien un temps.

Connaître l’expression de l’énergie emmagasinée dans un condensateur.

L’énergie emmagasinée dans un condensateur est le produite de sa charge par la différence de tension à ses bornes, divisé par 2 :

E_c =q.u/2 =C.u²/2

Savoir que la tension aux bornes d’un condensateur n’est jamais discontinue.

Ce principe découle directement de l’expression de l’énergie. En effet, il n’est pas possible que le condensateur se décharge instantanément de l’énergie qu’il a emmagasiné. Par conséquent, la tension à ses bornes est forcément continue.

Savoir exploiter un document expérimental pour :

• identifier les tensions observées,
• montrer l’influence de R et de C sur la charge ou la décharge,
• déterminer une constante de temps lors de la charge et de la décharge.

L’expression u_c(t)=E(1-e^-t/τ) donne (sur ce graphique, E est égal à 1) :

Tandis que i(t)=-E/R.e^-t/τ donne (même remarque que précédemment E/R=1) :

Pour reconnaître d’un coup d’oeil la bonne courbe, il faut se rappeler qu’initialement (à t=0), les deux grandeurs i et u sont nulles. Sur la première u(t) reste continue tandis que i(t) est discontinue, passant de 0 à E/R.

La mesure de τ est décrite sur le premier graphique.