Sciences physiques

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Les chiffres significatifs

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A l’issue d’un calcul, une grande attention doit être portée au nombre de chiffres significatifs apparaissant dans les résultats numériques. En effet, une grandeur numérique en physique n’a pas tout à fait le même statut qu’en mathématiques.

En physique il s’agit toujours de grandeurs mesurées et toute mesure est effectuée avec une certaine précision. Si je mesure la largeur d’une feuille A4 je trouverais 21,0 cm. Pourquoi préciser le zéro après la virgule ? Car la valeur mesurée est égale à 21 cm et 0 mm. Ainsi 21 cm (2 chiffres significatifs) n’a pas le même statut que 21,0 cm (3 chiffres significatifs). Puisque dans le premier cas, il y a une incertitude sur le nombre de mm qui suit alors que le second, il y a une incertitude sur les dixième de millimètre. Autrement dit, en physique, 21,0 cm = 21,0 cm +/- 0,5 mm.

Comment utiliser cette propriété des calculs numériques dans une copie de physique ? En prenant garde que le résultat d’une multiplication ou d’une division ne contienne pas plus de chiffres significatifs que la donnée qui en a le moins.

Parce qu’une vidéo vaut mieux qu’une longue page web :

Quelques exemples d’utilisation :

2,0*8,15 = 16 alors que la calculatrice affiche 16,3

1,512e5*2,3 = 3,5e5 alors que la calculatrice affiche 347760 (=3,4776e5)

Auteur : Cédric Lémery

Professeur de sc. physique-chimie au lycée du Forez à Feurs. Animateur de la page facebook LaPhysiqueAuBacS, prof consultant de campusbac, chaîne de canalsat. Co-auteur de delaphysique.com, 1ère web-fiction pédagogique. Docteur en physique de la terre.

45 Commentaires

  1. Pingback : L’analyse dimensionnelle - Sciences physiques - LeWebPédagogique

  2. On prends toujours le nombre ayant le moins de chiffre significatif?

    ici le nombre ayant le moin de chiffre significatif c’est 0.50 donc 2 prvenant du 50 ?

  3. Oui c’est cela, on choisit le nombre de chiffres significatifs de la donnée qui en a la moins et effectivement dans 0,50 il y a 2 chiffres significatifs : le 5 suivi du 0.

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  6. Combien de chiffres significatifs puis-je attribuer aux nombres 300 ou 300,0 ou 310,0 ? merci pour votre réponse.

  7. le nombre 300 est ambigu c’est pourquoi en physique, on utilise la notation scientifique.
    A priori dans un sujet bien conçu, pour 300 on retiendra 3 chiffres significatifs.
    pour 300,0 et 310,0 il n’y a plus d’ambiguités : c’est 4 chiffres significatifs dans les deux cas.

  8. Thanks for sharing

  9. J’ai un souci sur un exemple de chimie.
    n = 1,6 mol
    V = 1 L
    donc C = 1,6/1 = 1,6 mol/L mais si on respecte le nombre de CS , on a 2 mol/L ! Ce résultat sous cette forme est un peu difficile à admettre !
    Comment me le faire comprendre ?
    Merci

  10. si l’énoncé précise V = 1 L cela veut dire que le volume est de l’ordre de 1 L (autrement dit compris entre 0,5 et 1,5 L) donc il est normal de dire que la concentration est de 2 mol/L (c’est à dire comprise entre 1,5 et 2,5 mol/L).
    Généralement les énoncée donnent des volumes plus précis : 1,0 L ou 1,00 L de sorte que dans ces conditions, la concentration est de 1,6 mol/L
    Dans un énoncé de physique 1 L, 1,0 L et 1,00 L ça n’est pas pareil !

  11. Et pour les additions on fait comment?

  12. Très bonne question. C’est un peu plus subtil :
    2,4 + 31,3 = 33,7
    On garde les 3 chiffres significatifs de 31,3 car en fait c’est comme si on faisait :
    02,4
    + 31,3
    ____
    33,7

    Par contre :
    2,4 + 3,13 = 7,4 car on ne sait pas ce qu’il y a après le 4 de 2,4.

    Mais rares sont les exercices où cela joue beaucoup (sauf en Tle S lors des calculs de variation d’énergie des réactions nucléaires)

  13. j’ai un petit soucis:

    si je calcul l’aire d’un rectangle:
    9,9 cm x 4,12 cm = 40,788 cm²
    donc je ne garde que 41 cm² (2 chiffres significatifs)

    mais si jamais la longueur du rectangle est de 10,1 cm:
    10,1 cm x 4,12 cm = 41,612 cm²
    donc je garde 41,6 cm² (3 chiffres significatifs)

    lors des deux séries de mesures, j’avais exactement les même instruments de mesure, et des rectangles quasiment de la même taille et pourtant je calcul une surface au cm² près pour l’un et au dixième de cm² près pour l’autre… ça me parait bizarre…

  14. il faudrait lire « je calcule » et non « je calcul » dans mon message précédent

  15. François : ce que vous dites est juste, et vous pointez du doigt la limite de cette « règle » qui est plus une règle d’usage pour ne pas trop se compliqué la vie.
    En réalité, il faudrait plutôt raisonner de la façon suivante :
    On mesure a=9,9 cm et b=4,12 cm (pourquoi ne pas avoir utilisé la même règle pour mesurer a et b ;-) )
    donc 9,85 soit 40,53 et a.b=40,78 +/- 0,25 cm²

  16. Bonjour je comprend pas un énoncé:
    Pour mesurer le diamètre D du bouchon d’une bouteille d’eau minérale on utilise successivement différents instruments.

    Un double décimètre: D=3,8cm
    Un pied à coulisse: D= 3,82cm.

    Quel est le nombre de chiffres significatifs dans chaque cas ?

  17. Euh je pense que la réponse est dans la vidéo, non ?
    Revoir le cours de votre professeur sur les chiffres significatifs + le livre
    et ça devrait aller.

  18. Bonjour,
    j’ai un problème sur un TP corrigé par ma prof de physique
    Il faut calculer le périmètre et l’aire d’une feuille de papier à l’aide d’une règle graduée en mm donc n’ayant pas bien compris la fiche le jours du TP je met :
    P=(29,70+21,00)*2
    P=50,70*2
    P=101,4 cm
    Ma prof me met non concordance des C.S
    Après avoir vu votre vidéo je crois avoir compris : il faut en faite mettre
    P=(29,7+21,0)*2
    P=50,7*2=101,4cm
    Est-ce cela?
    De même pour l’aire
    Le jour du TP je met:
    A=29,70*21,00
    A=623,7 cm2
    Il faut en faite mettre
    29,7*21,9=624 cm2 car il n’y a que 3 chiffres significatifs dans l’énoncé donc 3 dans la réponse.
    Est-ce que cela est bon aussi ?

  19. de ce que je comprends, il faut mettre :
    P=(29,7+21,0)*2
    P=50,7*2=101 cm car 3 cs

    Pour le 2nd calcul ça me parait ok

  20. OK merci beaucoup :D

  21. Bonjour, j’ai deux questions :
    1) Je n’ai pas compris la réponse que vous avez donné à François. Avec un exemple plus simple :
    9,0×10=90 (+/- 10)
    10,0×10=100 (+/-1)
    D’où vient cet écart de précision et comment pourrait-ton déterminer l’imprécision de façon correcte?

    2) Dans un cas précédent on avait :
    C=n1/V1 donc C= 1,6/1 = 2

    Si ensuite je dois faire un calcul du type
    n2 = C.V2 (V2 = 28L)
    Je me retrouves avec le problème suivant :

    a) Je calcule : n2 = 2×28 =56 -> On retient :
    n2 = 6.10^1 (+/- 10)

    b) En réutilisant la formule :
    n2 = C.V2 = n1.V2/V1
    = 1,6×28/1
    = 44,8 -> On retient :
    n2=4.10^1 (+/- 10)

    Ce qui nous donne :
    - a) 50 - b) 40

    => n2 différent de n2!!

    Comment cela s’explique, et par quel moyen peut on éviter de mauvaises approximations avec les chiffres significatifs?

  22. Mon commentaire est mal passé. A la fin il faut lire :

    -a) n2 compris entre 50 et 60
    -b) n2 compris entre 40 et 50

    Merci

  23. Adrien,

    Effectivement il manque quelque chose dans a réponse à François.
    Encore une fois, la règle des chiffres significatifs est une règle d’usage et il ne faut pas la prendre comme une règle absolue.
    Si l’on veut faire les calculs proprement, il faut raisonner en faisant des encadrements :
    si a=9,0×10 alors
    8,95×9,5 Dans ce cas précis, le résultat est un peu bizarre car il n’y a pas le même précision sur les 2 mesures, la première est à 0,1 près tandis que la seconde est à 1 près. Si l’on peut avoir la première mesure à 0,1 près pourquoi ne pas avoir la seconde avec la même précision ?

    Sur le deuxième point de votre question, il faut faire attention aux étapes intermédiaires dans les calculs. Si l’on retient 1 chiffre significatif à chaque étape du calcul on fait des approximations qui peuvent finir par coûter cher. Dans la premier cas, C=2 est une approximation de 1,6. Dans le second, c’est comme si vous aviez mis C=1,6 au lieu de 2 dans le premier calcul.
    Il y a forcément une différence.

    Pour résumer :
    Avant de faire une application numérique mener au plus loin le calcul algébrique avant de faire le calcul.
    Ce qui revient dans votre cas à : préférer n2=n1.V2/V1 à n2=C.V2 avec C issu d’un calcul intermédiaire.

  24. Ca y est, je sais ce qu’il manque dans la réponse à François et dans celle pour Adrien : les inférieurs et supérieurs qui ont été interprété par wordpress…
    Au lieu de
    « si a=9,0×10 alors
    8,95×9,5″
    lire
    « si a = 9,0×10 alors
    8,95×9,5 inférieur à a inférieur à 9,05×10,5″

  25. pour un nombre 0.6 le nombre significatif est 1
    mais pour 0,006 doit on prendre en compte le nbre de 0 avant le 6?
    merci de me repondre

  26. En physique où toutes les grandeurs ont une unité, 0.6 et 0.006 peuvent être la même grandeur avec une unité différente. Le nombre de chiffres significatifs est donc le même :
    0.6 -> 1 chiffre significatif
    0.006 -> 1 chiffre significatif

  27. Merci.

    J’ai confondu chiffres significatif et incertitude. Lors d’une séquence de calculs, il ne faut pas arrondir les résultats intermédiaires.

    Des petits ajouts d’après ce que j’ai pu lire dans un livre :
    1) 3,2 veut dire 3,2 +/- 0,1 (et non pas 0,05)

    2) Comment arrondir si le le dernier chiffre significatif est suivi d’un 5 (on retiendra 3 CS pour les exemples) :

    2 cas possibles :

    a) Si il y a d’autres chiffres après le 5 en question (différents de 0) : on ajoute 1 au dernier CS
    ex : 3,4851 -> 3,49
    3,485001 -> 3,49
    3,4951 -> 5,50

    b) Si les chiffres après le 5 en question sont tous nuls : on ajoute 1 au dernier CS s’il est impair, on le laisse tel quel s’il est pair
    ex: 3,485 -> 3,48
    3,435 -> 3,44
    3,155000000 -> 3,16

    Voilà, merci pour tout et à bientôt.

  28. Je ne suis pas tout à fait d’accord avec « 3,2 veut dire 3,2 +/- 0,1″
    car si je fais une mesure avec une règle et que je trouve 3cm et 2 mm c’est que la mesure était plus proche du 2mm que du 1 ou du 3 (sinon j’aurais mesuré 3,1 ou 3,3). Donc la mesure est comprise entre 3,15 et 3,25 d’où 3,2 +/0,05.

  29. Bonjour!
    J’ai un problème avec le nombre de signes significatifs d’un résultat, il s’agit de calculer l’indice de réfraction d’un milieu n2 avec le 2eme loi de la réfraction . Si quelqu’un pouvait et voudrait m’aider voici l’opération :

    n1 eau = 1.330
    i1=57.0°
    i2=64.0°
    n2 cyclohexane = …. ?

    on sait que n1* sini1 = n2 * sini2
    donc :
    (1.330*sin64.0°)/sin57.0° = 1.425 ou 1.42 ??

    Car n1 est donné avec 4 chiffres significatifs et les sinus avec 3
    =S

  30. A priori 3 chiffres significatifs car on retient la donnée qui a le moins de chiffres significatifs.
    A titre de vérification, j’ai fait :
    sin(63,95)=0,898411153
    sin(64,0)= 0,898794046
    sin(64,05)=0,899176255
    on voit que la valeur du sinus est juste avec 3 chiffres significatifs si l’angle n’en a que 3 : sin(64,0)=0,899 et l’on ne peut rien dire sur le 4ème chiffre qui suit.

  31. Mercii beaucoup Cédric!!
    & bonnes année a tous :)

  32. et si on a, par exemple :
    ln2/0,125 ;
    on garde 1 seul chiffre significatif ou 3 ?
    merci d’avance.

  33. si c’est un ln2 du genre de t1/2=ln2/lambda alors il faut garder 3 chiffres significatifs car c’est un 2 « mathématique », un vrai 2, suivi d’une infinité de zéro, pas un 2 mesuré.

  34. Je n’ai pas compris!

  35. dans 1500 combien de chiffres significatifs mersi de me repondre

  36. @fifi : à priori, dans 1500 il y a 4 c.s. mais l’écriture est ambiguë. Si l’on écrit 1,5.10^3 = 1500 il n’y a que 2 c.s.
    C’est pourquoi on écrit toujours les valeurs numériques en notation scientifique pour lever cette ambiguïté.
    1,5.10^3 -> 2 c.s.
    1,500.10^3 -> 4 c.s.

  37. combien y a t-il de chiffre significatifs dans 7.62*10^10 cm/s ?
    merci

  38. je voudrais savoir si les puissances de 10 content ou pas dans le calcule Merci de répondre c’est très urgent

  39. @Pinquili : non les puissances de 10 ne comptent pas -> il y a 3 chiffres significatifs.

  40. Bonjour, dans un annabac, il y a écrit ceci :

    « En identifiant les expressions (1) et (2), il vient l = d’ – d
    l = 3,5 – 2,8 = 0,7 cm = 7×10–3 m (1 seul chiffre significatif car la précision des mesures est de 0,1 cm). »

    Or je ne comprends pas pourquoi ce n’est pas 2 CF, etant donné que lors de l’opération on a 2 CF ( 3,5 et 2,8 ) . Merci !

  41. Ce genre de calcul a été traité dans les commentaires précédents.
    Lorsqu’on ne met pas de chiffre c’est qu’on ne sait pas. C’est donc comme s’il y avait des points d’interrogation.
    Ainsi, 3,5 – 2,8 = 3,5?-2,8? = 0,7? on ne peut pas mettre plus de 2 chiffres significatifs car on ne sait pas ce qu’il y a après. On n’est pas en math, il n’y a pas de 0 implicite. Donc 0,7? -> un seul chiffre significatif. On ne connaît la mesure qu’à 1 mm près.
    Est-ce clair ?

  42. Oui, donc il faut se baser uniquement sur le nombre de chiffres significatifs de la différence ?

  43. Pour les additions et les soustractions il faut réfléchir au cas par cas. Il n’y a pas de règle toute simple à employer. La seule règle : on n’invente pas de zéro qui n’existent pas. Quelques exemples :
    2,3×10^3+12,4 = (2,3+0,0124)x10^3 = 2,3×10^3 car 2,3 n’est pas égal à 2,3000
    2,31×10^3+1,2 = (2,31+0,0012)x10^3 = 2,31×10^3 pour les mêmes raisons.

  44. Bonjour à tous, Pourriez vous m’aider à trouver le nombre de chiffres significatifs dans 1,1x10puissance4 ; 1,00x10puissance-3 et 0.50x10puissance0. Merci d’avance.

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