Il y a dans séquence “COMPRENDRE : temps, mouvement et évolution” du programme de TS 2012 – bac 2013 une compétence exigible qui ne paie pas de mine mais qui est certainement l’une des plus vaste du programme pour le bac version 2013. Comme tout cela existait déjà dans le bac ancienne version, je recycle un article déjà paru et l’enrichi de ce qui fait la spécificité du bac version 2013.

Note : dans l’article qui suit, les vecteurs sont notés en gras. g est le vecteur gravitation tandis que g est la valeur de la gravitation. On peut écrire : g=9,8 N/kg mais on écrira g=-g.k où k est le vecteur unitaire vertical.

La compétence en question est :

Je connais et sais exploiter les trois lois de Newton ; les mettre en œuvre pour étudier des mouvements dans des champs de pesanteur et électrostatique uniformes.

En ce qui concerne le « je connais les trois lois de Newton », on se référera à l’article posté sur la cinématique.

Commençons par le champ de pesanteur. Une question de bac correspondant à cette compétence est du genre : on considère un caillou, une balle ou n’importe quel projectile (un oiseau bleu, un paf le chien) et l’on souhaite savoir si en l’ayant projeté avec une vitesse V₀ qui forme un angle ? avec l’horizontale il arrive là où on le souhaite (dans un cochon vert, la fenêtre de Juliette, les buts…).

Autrement dit, à partir de conditions initiales (objet lancé à la hauteur h, avec une vitesse V₀) on souhaite savoir si l’objet atteint une altitude h au bout d’une distance l.

Mouvements dans un champ de pesanteur uniforme

On considère un projectile lancé à l’instant t=0 avec une vitesse V₀ qui forme un angle ? avec l’horizontale. On se muni d’un repère qui va bien (voir le schéma). Dans la mesure où l’on néglige les frottements, ce projectile dans un champ de pesanteur uniforme n’est soumis qu’à son poids P=mg. On dit qu’il est en chute libre. Attention ! Bien souvent, on croit que pour avoir une chute libre il ne faut pas avoir de vitesse initiale. Ce n’est pas comme ça que les physiciens voient les choses :

Une chute libre c’est lorsqu’un objet n’est soumis qu’à une seule force : son poids.

Application de la seconde loi de Newton

Ainsi, lorsqu’on appliquera la 2nde loi de Newton dans le référentiel considéré, on trouvera : mg=ma ? a=g. Cette dernière équation correspond en fait à 3 équations : selon x, y et z. Elle veut dire que ax=gx, ay=gy et az=gz. Comme a=(d²x/dt², d²y/dt², d²z/dt²) et g=(0,0,-g) on trouve

d²x/dt²=0, d²y/dt²=0 et d²z/dt²=-g.

Obtention des équations horaires

Ces trois dernières relations s’intègrent en :

dx/dt=A, dy/dt=B, dz/dt=-g.t+C où A, B et C sont des constantes d’intégration.

Pour trouver ces constantes d’intégration, on utilise les conditions initiales pour la vitesse puisque vx=dx/dt, vy=dy/dt et vz=dz/dt.

Ainsi, à t=0, dx/dt=A, dy/dt=B et dz/dt=C. Or, v_x0=V₀.cos?, v_y0=0 et v_z0=V₀.sin? d’où :

A=V₀.cos?, B=0 et C=V₀.sin?

et on peut donc écrire :

dx/dt=V₀.cos?, dy/dt=0, dz/dt=-g.t+V₀.sin?

Pour conclure, il ne reste plus qu’à intégrer tout ça encore une fois :

x=V₀.cos?.t+D, y=E, z=-g.t²/2+V₀.sin?.t+F où D, E et F sont de constantes d’intégration.

Une nouvelle fois, pour trouver la valeur de ces constantes d’intégration, il faudra aller voir du côté des conditions initiales. Mais cette fois-ci ce n’est pas la vitesse initiale qui nous intéresse mais la position initiale. Comme on a centré le repère sur la position initiale,

x₀=y₀=z₀=0, d’où D=E=F=0.

Ainsi, on trouve au final que :

x(t)=V₀.cos?.t, y(t)=0, z(t)=-g.t²/2+V₀.sin?.t

Ces trois équations sont les équations horaires du mouvement. Bien sûr, selon l’énoncé elles peuvent être légèrement différente. Par exemple, si le projectile n’est pas lancé à partir du sol, mais d’une hauteur h, on on trouvera pour z : z(t)=-g.t²/2+V₀.sin?.t+h car z₀=h et donc F=h.

Ces 3 dernières équations sont les équations horaires du mouvement. On peut en tirer un certain nombre d’information, comme par exemple le fait que y(t)= : il n’y a pas de mouvement selon y, tout se passe dans le plan xOz. Elle ne permettent pas de savoir si l’objet atteint h à la distance l. Il faut pour cela, exprimer z en fonction de x. C’est à dire obtenir l’équation de la trajectoire.

L’équation de la trajectoire

Un grand classique. Il faut passer de ce jeu d’équation : x(t)=V₀.cos?.t, y(t)=0, z(t)=-g.t²/2+V₀.sin?.t à une équation reliant x et z (on vient de démontrer que tout se passe dans le plan Oxz).

Pour cela, rien de plus simple, il faut éliminer le temps :

x=V₀.cos?.t implique que t=x/(V₀.cos?)

puis il faut injecter cette expression du temps dans z=-g.t²/2+V₀.sin?.t ce qui donne :

z=-g/(2.V²₀.cos²?).x²+tan?.x

Ainsi, on peut maintenant calculer l’altitude atteinte au bout d’une distance l.
Par exemple, avec une vitesse V₀=10 m/s et ?=30°, on trouve qu’au bout de 5 m, l’altitude du projectile est 1,2 m.

Ouf ! C’était bien compliqué et on aimerait pouvoir se contenter de cela… mais il vous faudra également savoir appliquer les lois de Newton dans le cas d’une particule chargée dans un champ électrostatique.

Mais avant, une petite pause ludique pour vous entraîner :

Mouvement d’une particule dans un champ électrostatique

Considérons une particule portant une charge q soumise à un champ électrostatique E,  que l’on prendra vertical, ayant une vitesse initiale V₀ du genre de ce qu’on vient de voir (angle ? avec l’horizontale). Notre particule est soumise à 2 forces : son poids mg et la force électrostatique qE. La seconde domine largement la première et l’on considérera que notre particule n’est soumise qu’à la force électrostatique. A l’origine, notre particule est au point (0,0,0).

Reprenons le même genre de raisonnement que celui qui a été fait pour la gravité :

1. Appliquons la seconde loi de Newton : m.a=e.E d’où

d²x/dt²=0, d²y/dt²=0 et d²z/dt²=e.E/m

Remarquons que cette fois-ci la masse n’a pas disparu.

2. Effectuons la première intégration :

dx/dt=A, dy/dt=B, et dz/dt=e/m.E+C

3. Utilisons les conditions initiales v(0)=V₀ pour obtenir A, B et C. On aura alors :

dx/dt=V₀.cos?, dy/dt=0, dz/dt=e/m.E.t+V₀.sin?

4. Intégrons une seconde fois :

x(t)=V₀.cos?.t, y(t)=0, z(t)=eE/2m.t²+V₀.sin?.t

Oui, il faut retenir tout ça. Oui, si vous ne comprenez rien à tout ça mais  que vous êtes capable de le refaire sur une copie, ça peut marcher (mais enfin, même si c’est plus coûteux en intelligence, il est toujours plus facile de retenir des choses que l’on comprend). Oui c’est possible. J’y suis arrivé aussi et bien d’autre avant nous.