Après la cinétique, la mécanique de Newton et son application aux mouvements dans un champ uniforme et aux satellites, le travail et l’énergie, concluons cette longue séquence sur le temps du programme de TS bac 2013 par la relativité.

Je sais que la vitesse de la lumière dans le vide est la même dans tous les référentiels galiléens.

Pas très difficile comme compétence exigible : quelque soit le référentiel galiléen, la vitesse de la lumière est toujours égale à 3,00.10⁸ m/s. Soit.
Le problème c’est les implications que cela a. En particulier, cela veut dire que si je suis dans un vaisseau spatial qui glisse dans l’espace intersidéral à 2,00.10⁸ m/s en ligne droite par rapport à la terre, la lumière traverse mon vaiseau de l’arrière vers l’avant à 3,00.10⁸ m/s. Quelqu’un qui observe mon vaisseau depuis la terre verrait aussi la lumière traverser le vaisseau à 3,00.10⁸ m/s et non 5,00.10⁸m/s comme on pourrait s’y attendre. Cela implique que notre mesure du temps n’est pas la même. C’est proprement révolutionnaire. Cela veut dire que le temps ne se déroule pas de la même façon dans un référentiel en mouvement par rapport à un autre référentiel. On trouve facilement la démonstration de cela sur internet mais il ne faut pas la connaître. Donc restons-en là [mais je vous livre les grandes lignes ci-dessous].

Je sais définir la notion de temps propre.

Puisque la mesure du temps dépend du référentiel, on peut définir le temps propre à un phénomène : c’est celui mesuré dans le référentiel où a lieu le phénomène. Prenons un cas « concret ». Je suis toujours dans mon vaisseau qui glisse dans l’espace intersidéral à 2,00.10⁸ m/s en ligne droite par rapport à vous qui êtes resté sur terre. Je regarde passer une minute sur l’horloge de ma grand-mère -Oui je sais, vous vous demander ce que fait une horloge de grand-mère dans un vaisseau spatial hyper-sophistiquée comme le mien mais là n’est pas la question. Autrement dit je regarde le déplacement de l’aiguille des minutes d’une unité. Et bien  le temps que l’aiguille de mon horloge passe une unité, l’aiguille des minutes de votre horloge en aura passé bien plus. Combien ? C’est l’objet de la compétence suivante.

Le temps propre du phénomène c’est la durée mesurée dans mon référentiel (celui dans lequel l’horloge est fixe) tandis que la mesure que vous ferez du phénomène est parfois appelé temps impropre : c’est la durée mesurée dans un référentiel où le phénomène est en mouvement (mon horloge est en mouvement par rapport à vous).

Il est important de noter que le temps propre est mesuré avec une seule horloge, proche du phénomène mesuré. Prenons un vaisseau qui apparaît au dessus de Paris et voyage à 50 % de la vitesse de la lumière et disparaît à Marseille. Le phénomène à étudier est balisé par 2 moments : vaisseau au-dessus de Paris puis vaisseau au-dessus de Marseille. Pour mesurer le temps propre il faut envisager une seule horloge, le temps propre est donc celui dans le vaisseau. Seul endroit où je peux poser une horloge pour mesurer le début et la fin du phénomène. Dans le référentiel terrestre il me faut 2 horloges synchronisées : une à Paris et l’autre à Marseille.

Je sais exploiter la relation entre durée propre et durée mesurée.

La relation entre durée propre (?t0) et durée mesurée (?t) est

?t=??t0 où ?=1/?(1-v²/c²)
comme v<c,  1-v²/c² <1 et ?>1.

Cette relation n’est pas à connaître, mais il faut savoir l’appliquer.

Prenons donc le cas exposé précédemment :

• ?t0=1 min=60 s : la durée pour que l’aiguille des minutes parcourt une unité dans mon vaisseau
• v=2,00.10⁸ m/s et c=3,00.10⁸ m/s donc v/c=2/3 et ?=1,34

D’où ?t = ??t0 = 1,34 × 60 = 80,5s = 1 min 20 s. Ma minute dure 1 minute et 20 seconde pour vous. 1 an dans un vaisseau à 2,00.10⁸ m/s par rapport à la terre dure 1,34 an soit 1 an et 124 jours sur terre.

Pour notre vaisseau apparaissant à Paris et disparaissant à Marseille. Dans le référentiel terrestre, ce vaisseau parcourt les 660 kms séparant Paris de Marseille à 50 % de la vitesse de la lumière soit en 4,4 ms. Ceci est le temps impropre. A 50 % de la vitesse de la lumière, le facteur de Lorentz vaut 1,15. Le temps propre, celui mesuré dans le vaisseau sera donc de 4,4/1,15 = 3,8 ms.

Je vous entend, il y en a qui se disent « Très bien, mais les vaisseaux spatiaux ça va au mieux à 11 km/s (vitesse la plus rapide jamais atteinte par un vaisseau habité). Dans ce cas, ?=1,000000001 autrement dit 1. Donc ce truc de relativité c’est bon pour les vogons, pas pour les terriens. » Il est vrai que la relativité parait bien éloigné de nos préoccupations quotidienne… pourtant… la compétence suivante est là pour dézinguer les idées reçues :

Je sais extraire et exploiter des informations relatives à une situation concrète où le caractère relatif du temps est à prendre en compte.

Parce qu’il y a des situations concrètes où le caractère relatif est à prendre en compte ? Et oui ! En voici deux qui seront des classiques de bac dans 2-3 ans :

• Les particules dans les accélérateurs de particule ont des vitesses proches de celle de la lumière. Ainsi, on peut y observer des particules dont la durée de vie est de quelques microsecondes pendant quelques millisecondes. Dans le même ordre d’esprit, il y a les muons créés dans la haute atmosphère dont la durée de vie de 2,2 ?s ne leur permettrait de parcourir que quelques centaines de mètres. Pourtant on en détecte à la surface de la Terre, soit 10 kilomètres plus loin. Comment est-ce possible? C’est un effet relativiste. Compte tenu de leur vitesse, ces 2,2 ?s durent pour nous 35 ?s. Ainsi, ils ont le temps de parcourir les 10 kms de l’atmosphère. Vous n’y croyez pas ? Cette activité proposée par l’académie de Lyon vous permettra de le vérifier.
• Les satellites GPS qui envoient l’heure aux récepteurs GPS sont situés à plus de 20 000 kms d’altitude de la terre. Leur vitesse est de 14 000 km/h (exercice d’application de la partie satellites : ces satellites sont placés de telles sortes qu’ils font un tour de Terre en 12 h. Calculer l’altitude et leur vitesse). C’est très faible par rapport à la vitesse de la lumière. Tellement faible que lorsque 24 h passent sur Terre, 24h moins 7 ?s passent pour eux. Ridicule. Même pas la peine de le prendre en compte me direz-vous. Pourtant… Le récepteur GPS calcule sa position par triangulation. C’est à dire qu’il calcule sa distance au satellite. Avec un écart de 7 ?s, l’erreur sur la distance est de 7×10^-6 ×3,00×10⁸ = 2,1×10³ m = 2,1 km ! Oui oui vous avez bien lu, plus de 2 kilomètres d’erreur. Si l’on ne prend pas en compte la correction relativiste notre récepteur GPS fait une erreur de 2 km tous les 24h. Au bout d’un mois, votre GPS vous dira au mieux dans quel département vous êtes ! Ainsi, sans le savoir, chaque fois que vous utilisez votre GPS, vous faîtes un peu de relativité. Petite remarque : en réalité, la relativité ne s’arrête pas là, et il y a d’autres effets issus de la relativité générale à prendre en compte qui font que l’erreur est encore plus grande.