» fiche de cours n*1 Myriam Stasik

ensembles de nombres

Il existe différentes sortes de nombres. Pour les classer, on les a regroupés dans différents ensembles remarquables que nous allons énoncer.

L’ensemble des entiers naturels.

Les entiers naturels sont les entiers positifs et 0. Par exemple, 0, 1, 2 et 5676 sont des entiers naturels. Par contre -45 n’en est pas un.

Cet ensemble est noté comme naturel.

L’ensemble des entiers relatifs.
Tous les entiers qu’ils soient négatifs, positifs ou nuls, sont des entiers relatifs. Par exemple, -45, -1, 0 et 56 sont des entiers relatifs.
L’ensemble des entiers relatifs est noté .

Ce symbole vient du mot allemand « die Zahl » qui signifie le nombre.
Tous les entiers naturels sont des entiers relatifs. On dit alors que l’ensemble est inclu dans l’ensemble . Cette inclusion est notée :

Le symbole « » signifie « est inclu dans ».

L’ensemble des décimaux.
L’ensemble des décimaux est l’ensemble des nombres dits « à virgule ».

Cet ensemble est noté .
Par exemple, -3,89 et 5,2 sont des décimaux. Ils peuvent être négatifs ou positifs.
Les entiers relatifs sont aussi des décimaux. En effet :

2 = 2,0 ; 0 = 0,0 et -4 = -4,000

Les entiers relatifs étant des nombres décimaux, on dit alors que l’ensemble est inclu dans l’ensemble . Ce qui se note :

De même, vu que les entiers naturels sont des entiers relatifs, on peut aussi dire que ce sont des décimaux. Ce qui se résume par :

L’ensemble des rationnels.
Les nombres rationnels sont les fractions de la forme p/q où p et q sont des entiers (non nul pour q).
Cet ensemble des rationnels est noté comme quotient.
Par exemple, 2/3 et -1/7 sont des rationnels.
Tous les nombres décimaux sont des nombres rationnels qui se cachent. Prenons par exemple 1,59. C’est en fait le quotient des entiers 159 et 100 car 159 / 100 = 1,59.
De même, tous les entiers sont des décimaux. Prenons l’exemple de -4. On peut dire que -4 est le quotient de -4 et de 1 car -4 / 1 = -4.
L’ensemble des décimaux est donc inclu dans .

Donc :

L’ensemble des réels.
Tous les nombres utilisés en Seconde sont des réels.

Cet ensemble est noté .

Divers problèmes géométriques ont amené à considérer de nouveaux nombres comme par exemple . Le premier est la longueur de l’hypoténuse d’un triangle rectangle isocèle de coté 1. Le second est le périmètre d’un cercle de diamètre 1. On démontra que ces deux nombres n’étaient pas des nombres rationnels. Par conséquent, on créa un super-ensemble contenant tous les « nombres mesurables » ainsi que leurs opposés. On l’appela l’ensemble des nombres réels.
Tous les rationnels sont des réels. L’ensemble des rationnels est donc inclu dans l’ensemble . On résume cela par :