Réflexions à propos d’un exercice de géométrie en 4e

Énoncé : Trois cercles C, C1, C2 ont, les uns avec les autres un seul point en commun (voir la figure).

Compare le périmètre du cercle extérieur (ici en bleu) et la somme (S) des périmètres des cercles intérieurs (C1, C2).

 Remarque : Cet exercice permet de vérifier la maîtrise qu’ont les élèves de la mise en facteur. Il introduit aussi un mode de démonstration qui sera couramment utilisé en calcul algébrique : passer par le calcul d’une formule à une autre équivalente mais présentée différemment.

 Proposition de solution :

Soit d le diamètre du cercle C, d1 le diamètre du cercle C1, d2 le diamètre du cercle C2.

d = d1 + d       (1)

(en toute logique, il faudrait démontrer que d, d1 etd2 sont portés par une même droite ; en attendant d’étudier les propriétés des cercles tangents, on se contente de l’intuition induite par la figure)

 S = ?d1 + ?d

S = ? (d1 + d2)

D’où grâce à la remarque (1) :            S = ? d

Et l’on peut conclure : La somme des périmètres des cercles (C1, C2) est égale au périmètre du cercle C.

PC = S

 Pour aller plus loin :

Généralisation :  

 

Il est tentant de prolonger l’exercice en augmentant le nombre des cercles :

S = ? d1 +  ?d2+ ?d3 = ? (d1 +  d2+ d3) = PC

Encore plus loin :

On peut encore augmenter le nombre des cercles intérieurs sans que le résultat change et profiter le l’occasion pour introduire une nouvelle notation plus adaptée :

 On peut aussi dépasser le niveau de l’élève de quatrième :

Avec un nombre infini de cercles intérieurs tous aussi petits que l’on pourra, on peut approcher de le diamètre de C et le résultat reste :

Arrivé à ce stade, il est troublant de remarquer que le diamètre est défini de deux façons :

–         un segment de droite de longueur d.

–         la figure formée par l’ensemble des cercles intérieurs qui s’approche aussi près du diamètre que l’on veut (et est donc, à la limite, confondue avec lui), mais en conservant la longueur ?d.

 

 

 

 

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