Objectifs du chapitre :
– Reconnaître et déterminer une fonction linéaire / une fonction affine
– Déterminer l’image, l’antécédent d’un nombre par une fonction linéaire / une fonction affine.
– Traduire une situation de proportionnalité par une fonction linéaire.
– Déterminer une fonction affine à partir de deux nombres et de leurs images.
– Déterminer l’ordonnée à l’origine et le coefficient directeur d’une droite.
– Représenter graphiquement une fonction linéaire / une fonction affine.
Activité d’introduction : Le cinéma avec ou sans carte de fidélité.
Dans un cinéma, la place de cinéma coûte 7 euros.
Cependant le cinéma propose une carte de fidélité à 16 euros par an, pour un prix avantageux de 5 euros la séance ensuite.
Voici le tableau des valeurs de la situation normale (sans la carte de fidélité) :
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x nbre de séances |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
|
n(x) coût total |
0 |
7 |
14 |
21 |
Voici le tableau des valeurs de la situation avec la carte de fidélité :
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x nbre de séances |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
|
f(x) le coût total |
16 |
21 |
26 |
Exercice : Reproduire et compléter les tableaux ci-dessus.
Exercice : A l’aide des tableaux précédents complétés,
détermine quelle est la formule la plus avantageuse (la moins chère) pour 6 séances ? pour 8 séances ? pour 10 séances ?
Rédige une phrase expliquant quelle est la formule la plus avantageuse en fonction du nombre de séances de cinéma vues en un an. (exemple : « Si tu vas voir …. séances de cinéma ou moins/plus en un an, il faut prendre/ne pas prendre la carte de fidélité. »)
I – Fonctions linéaires
Pour étudier la situation au cinéma de façon plus rapide, c’est-à-dire « sans faire les tableaux de valeurs », nous allons utiliser les fonctions.
- Sans carte de fidélité (situation normale), si je vais voir x séances, cela me coûtera 7x €. (la réponse contient x). On note n la fonction qui à x (le nombre de séances) associe, le coût total des séances : 7x
- Avec carte de fidélité, si je vais voir x séances, cela me coûtera 16 + 5x € (la réponse contient x). On note f la fonction qui à x (le nombre de séances) associe, le coût total des séances : 16 + 5x
Définition : a désigne un nombre relatif
La fonction linéaire de coefficient a est la fonction qui, à un nombre, associe le produit de ce nombre par a.
On note cette fonction f : x ? ax. On écrit aussi (l’image de x par f) f(x) = ax.
Remarque : Une situation de proportionnalité de coefficient a peut être traduite par une fonction linéaire de coefficient a. La fonction modélisant cette situation est : f : x ? ax.
Exercice : Soit f une fonction linéaire telle que : f : x ? ax.
Quelle est l’image de 0 par la fonction linéaire f ?
Quelle est l’image de 1 par la fonction linéaire f ?
Propriétés : f est une fonction linéaire de coefficient a.
L’image du nombre 0 par la fonction f est 0, c’est-à-dire f(0)=0.
L’image du nombre 1 par la fonction f est a, c’est-à-dire f(1)=a.
Propriété : f est une fonction linéaire de coefficient a, avec a ? 0
Par cette fonction linéaire, tout nombre admet un et un seul antécédent.
Exercice/Exemples : Par la fonction f définie par f : x ? 5x,
quelles sont le ou les antécédents de -20 ? de 2015 ?
Corrigé :
On cherche le nombre x tel que f(x) = -20, c’est-à-dire 5x = -20, d’où x = -20/5 = -4
Donc -4 est le seul et unique antécédent de -20 par la fonction f.
On cherche le nombre x tel que f(x) = 2015, c’est-à-dire 5x = 2015, d’où x = 2015/5 = 403.
Donc 403 est le seul et unique antécédent de 2015 par la fonction f.
