N13.2 – Développement, Identités remarquables

Propriété (de la simple distributivité) : Soient a, b et k trois nombres
$k\times (a+b)=k\times a + k \times b$

Propriété (de la double distributivité) : Soient a, b, c et d trois nombres
$(a+b)\times (c+d)=a\times c + a \times d + b\times c + b\times d$

Propriété – 1ere identité remarquable : le carré d’une somme
Soient a et b deux nombres.
$(a+b)^2=a^2 + 2 \times a\times b + b^2$

Démonstration :
$(a+b)^2=(a+b)\times (a+b)$ …. par définition du carré
$(a+b)^2=a\times a + a\times b + b\times a + b\times b$ …. par la double distributivité
$(a+b)^2=a^2 + ab + ba + b^2$
$(a+b)^2=a^2 + 2ab + b^2$ …. car ab = ba.

Exercice … calculer 12² ; 71² ; 63² ; 81² ; ….

Propriété – 2e identité remarquable : le carré d’une différence
Soient a et b deux nombres.
$(a-b)^2=a^2 - 2ab + b^2$

Démonstration :
$(a-b)^2=(a-b) \times (a-b)$ …. par définition du carré
$(a-b)^2=a\times a + a\times (-b) + (-b)\times a + (-b)\times (-b)$ … par la double distributivité
$(a-b)^2=a^2 -ab -ba + b^2$
$(a-b)^2=a^2 -2ab + b^2$

Exercice … calculer 19² ; 78² ; 67² ; 89² ; …

Propriété – 3e identité remarquable : la différence de deux carrés
Soient a et b deux nombres.
$(a-b)\times (a+b) = a^2 - b^2$

Démonstration :
$(a-b)\times (a+b) = a\times a + a\times b + (-b)\times a + (-b)\times b$ … par la double distributivité
$(a-b)\times (a+b) = a^2 + ab -ba -b^2$
$(a-b)\times (a+b) = a^2 -b^2$