Objectifs du chapitre :

• Connaître et utiliser la retation y = ax+b entre les coordonnées d’un point M(x;y).
• f : x -> ax+b
• Déterminer la fonction affine à partir de la donnée de deux nombres et de leurs images.
• Représenter graphiquement une fonction affine.
• Lire et interpréter les coefficients d’une fonction affine représentée par une droite.
• Déterminer la fonction affine associée à une droite donnée dans un repère.

I – Définition

Définition : Soit a et b deux nombres donnés.
Une fonction affine est une fonction qui à un nombre donné x fait correspondre le nombre a*x+b.

II – Représentation graphique et tableau de valeurs

Représentation et tableau de valeurs (Geogebra)

Tableau de valeurs à la calculatrice CASIO fx-92

[youtube]https://www.youtube.com/watch?v=9FvOLfXm04o[/youtube]

Objectifs du chapitre :

• A partir d’une série statistique donnée sous la forme d’une liste ou d’un tableau, nous apprenons à :
  – déterminer une valeur médiane de cette série, et en donner la signification.
  – déterminer des valeurs pour les 1er et 3e quartiles, et en donner la signification.
  – déterminer l’étendue de cette série.
• Exprimer et exploiter les résultats de mesures d’une grandeur.

I – Vocabulaire

La statistique, et de façon particulière l’étude d’une série statistique, a pour but de « résumer » un ou plusieurs caractères (quantitatifs ou qualitatifs) d’une population donnée. A partir d’un très grand nombre d’informations, la statistique fait ressortir les données importantes appelées paramètres de la série : l’écart entre les données extrêmes, la valeur centrale, la valeur moyenne, …

Exemple : Etude de la taille des élèves d’une classe.

Voici les tailles des élèves d’une classe de 2nde :
174 – 160 – 161 – 166 – 177 – 172 – 157 – 175 – 162 – 169 –
160 – 165 – 170 – 152 – 168 – 156 – 163 – 167 – 169 – 158 –
164 – 151 – 162 – 166 – 156 – 165 – 179

• Combien y a-t-il d’élèves dans cette classe ?
  Combien y a-t-il d’individus dans la population étudiée ?
  Quel est l’effectif total de cette classe (population) ?
  Nous comptons le nombre de données. L’effectif total est 27 élèves.
• La population étudiée est la classe de 2nde.
• Les individus de l’étude statistique sont les élèves de cette classe de 2nde.
• Le caractère étudié est quantitatif : la taille d’un élève.
• Méthodologie : Pour faciliter l’étude statistique, nous classons dans l’ordre croissant les données.

Astuce : Ecrire la liste, puis écrire le plus petit et le barrer dans le 1ere liste, puis continuer avec la valeur suivante …
151 – 152 – 156 – 156 – 157 – 158 – 160 – 160 – 161  – 162 –
162 – 163 – 164 – 165 – 165 – 166 – 166 –167 – 168 – 169 –
169 – 170 – 172 – 174 – 175 – 177 – 179.

[WpProQuiz 1]

Suite du cours >>

Les paramètres (de position et de dispersion) seront calculés pour des séries statistiques étudiant un caractère quantitatif.

II – Paramètres de position

• Définition : max est la donnée la plus grande de la série statistique.
  Exemple : max =
• Définition : min est la donnée la plus petite de la série statistique.
  Exemple : min =

• Définition : On considère une série statistique de N données rangées dans l’ordre croissant. La médiane est un nombre qui partage cette série ordonnée en deux groupes de même effectif.
  Cas où N est impair ) La médiane est la donnée centrale de la série.
  Cas où N est pair ) La médiane est la moyenne des deux données centrales de la série.
  Exemple : N est impair. La médiane est la valeur centrale : Med =

• Définitions : On considère une série statistique de N données rangées dans l’ordre croissant. Les quartiles sont des nombres qui partage cette série en quatre groupes de même effectif.
  Q1 : le premier quartile d’une série de données est la plus petite donnée de la série pour laquelle au moins 25% (soit 1/4) des données sont inférieures ou égales à Q1.
  Q3 : le troisième quartile d’une série de données est la plus petite donnée de la série pour laquelle au moins 75% (soit 3/4) des données sont inférieures ou égales à Q3.

III – Paramètre(s) de dispersion

• Définition : l’étendue d’une série statistique est la différence entre la donnée la plus grande (max) et la donnée la plus petite (min).
  Exemple : etendue = max – min =
• (Programme Lycée)
  Définition : l’écart interquartile d’une série statistique est la différence entre le troisième quartile (Q3) et le premier quartile (Q1).
  Exemple : EQ = Q3 – Q1 =

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IV – Représentation(s) graphique(s)

• Diagramme en barre, diagramme en bâton
• Diagramme circulaire
• Diagramme semi-circulaire
• Diagramme en boîte : boîte à moustaches

V – Tableur

• min : = MIN(donnees)
• max : = MAX(donnees)
• médiane : = MEDIANE(donnees)
• quartiles : = QUARTILE(donnees ; 1) pour Q1 et = QUARTILE(donnees ; 3) pour Q3
• moyenne : = MOYENNE(donnees)

• étendue : = (case de max) – (case de min)
• écart interquartile : = (case de Q3) – (case de Q1)

Voici un document Libre Office pour vérifier ses calculs : Statistiques – Feuille de calcul

VI – Tutoriel pour le mode STATS de la calculatrice Casio fx-92

[youtube]https://www.youtube.com/watch?v=OebO5ml7NJ8[/youtube]

<< Statistiques (2)  Fin

Objectifs du chapitre :
– Reconnaître et déterminer une fonction linéaire / une fonction affine
– Déterminer l’image, l’antécédent d’un nombre par une fonction linéaire / une fonction affine.
– Traduire une situation de proportionnalité par une fonction linéaire.
– Déterminer une fonction affine à partir de deux nombres et de leurs images.
– Déterminer l’ordonnée à l’origine et le coefficient directeur d’une droite.
– Représenter graphiquement une fonction linéaire / une fonction affine.

Activité d’introduction : Le cinéma avec ou sans carte de fidélité.
Dans un cinéma, la place de cinéma coûte 7 euros.
Cependant le cinéma propose une carte de fidélité à 16 euros par an, pour un prix avantageux de 5 euros la séance ensuite.

Voici le tableau des valeurs de la situation normale (sans la carte de fidélité) :

Voici le tableau des valeurs de la situation avec la carte de fidélité :

Exercice : Reproduire et compléter les tableaux ci-dessus.

Exercice : A l’aide des tableaux précédents complétés,

détermine quelle est la formule la plus avantageuse (la moins chère) pour 6 séances ? pour 8 séances ? pour 10 séances ?

Rédige une phrase expliquant quelle est la formule la plus avantageuse en fonction du nombre de séances de cinéma vues en un an. (exemple : « Si tu vas voir …. séances de cinéma ou moins/plus en un an, il faut prendre/ne pas prendre la carte de fidélité. »)

I – Fonctions linéaires

Pour étudier la situation au cinéma de façon plus rapide, c’est-à-dire « sans faire les tableaux de valeurs », nous allons utiliser les fonctions.

• Sans carte de fidélité (situation normale), si je vais voir x séances, cela me coûtera 7x €. (la réponse contient x). On note n la fonction qui à x (le nombre de séances) associe, le coût total des séances : 7x
• Avec carte de fidélité, si je vais voir x séances, cela me coûtera 16 + 5x € (la réponse contient x). On note f la fonction qui à x (le nombre de séances) associe, le coût total des séances : 16 + 5x

Définition : a désigne un nombre relatif
La fonction linéaire de coefficient a est la fonction qui, à un nombre, associe le produit de ce nombre par a.
On note cette fonction f : x ? ax. On écrit aussi (l’image de x par f) f(x) = ax.

Remarque : Une situation de proportionnalité de coefficient a peut être traduite par une fonction linéaire de coefficient a. La fonction modélisant cette situation est : f : x ? ax.

Exercice : Soit f une fonction linéaire telle que : f : x ? ax.
Quelle est l’image de 0 par la fonction linéaire f ?
Quelle est l’image de 1 par la fonction linéaire f ?

Propriétés : f est une fonction linéaire de coefficient a.
L’image du nombre 0 par la fonction f est 0, c’est-à-dire f(0)=0.
L’image du nombre 1 par la fonction f est a, c’est-à-dire f(1)=a.

Propriété : f est une fonction linéaire de coefficient a, avec a ? 0
Par cette fonction linéaire, tout nombre admet un et un seul antécédent.

Exercice/Exemples : Par la fonction f définie par f : x ? 5x,
quelles sont le ou les antécédents de -20 ? de 2015 ?

Corrigé :
On cherche le nombre x tel que f(x) = -20, c’est-à-dire 5x = -20, d’où x = -20/5 = -4
Donc -4 est le seul et unique antécédent de -20 par la fonction f.
On cherche le nombre x tel que f(x) = 2015, c’est-à-dire 5x = 2015, d’où x = 2015/5 = 403.
Donc 403 est le seul et unique antécédent de 2015 par la fonction f.

I – Vocabulaire

Une fonction est un procédé de calcul qui, à un nombre, fait correspondre un seul autre nombre. La fonction f, au nombre x, associe  un nombre unique noté f(x).

Exemple : Programme de calcul
Choisis un nombre ;
Multiplie le par 3 ;
Ajoute 6 au résultat ;
Enlève le carré du nombre de départ au résultat. (Rappel : le carré d’un nombre est le nombre multiplié par lui-même.)

• Je choisis 10.
  J’obtiens 30, puis 36.
  Je calcule le carré de 10 : 10 fois 10 égal 100
  J’obtiens : 36 – 100 = – 64.

Pour une fonction f donnée :

• On dit que le nombre f(x) est l’image du nombre x par la fonction f.
• On dit que le nombre x est un antécédent du nombre f(x) par la fonction f.

Exemple précédent :

• – 64 est l’image de 10 par le programme de calcul.
• 10 est un antécédent de – 64 par le programme de calcul.

Remarque : On peut définir une fonction à partir d’une phrase, d’une notation ou d’une égalité.

• (une phrase) Tu choisis un nombre ; tu le multiplies par 3 ; tu ajoutes 6 au résultat et enfin, tu enlèves le carré du nombre de départ.
• (une notation) f : x |——> 3x + 6 – x²
• (une égalité) La fonction f est définie par f(x) = 3x+6 – x²

 II – Calcul d’image

Pour calculer l’image d’un nombre (par exemple 4) par une fonction f connue, il suffit de remplacer le x par le nombre (ici, c’est 4) et ensuite il faut faire le calcul.

Exemple : Soit f : x ——> 3x + 6 -x²
Voici le calcul de l’image de 4 :
f(4) = 3*4 + 6 – 4²
f(4) = 3*4 + 6 – 4*4
f(4) = 12 + 6 – 16
f(4) = 2

III – Représentation graphique

Pour éviter de très nombreux calculs, on peut s’intéresser à l’objet « fonction » à partir de sa représentation graphique qui résume toutes les informations.
Sur une courbe on retrouve toutes les informations qui nous intéressent (image et antécédent).

Les antécédents sont lus sur l’axe horizontal appelé axe des abscisses.
Les images sont lues sur l’axe vertical appelé axe des ordonnées.

Rappels : Les règles de signes.
Dans une multiplication,
si deux nombres ont des signes différents leur produit est négatif ;
si deux nombres ont des signes identiques leur produit est positif.

Dans une addition,
si deux nombres ont des signes identiques leur somme est du même signe que les deux nombres ;
si deux nombres ont des signes différents leur somme est du même signe que le nombre qui a la plus grande distance à zéro.