Avant de lire l’intégralité de ce chapitre, je te propose de lire (ou relire) les chapitres abordant la symétrie centrale, les rotations, ainsi que le chapitre sur le théorème de Thalès.
Si je vous conseille de relire tous ces chapitres, c’est bien évidemment qu’ils ont un lien fort avec les homothéties. Mais que sont les homothéties?

I – Qu’est ce qu’une homothétie ?
Une homothétie (plane) est une application du plan caractérisée par un point laissé fixe, le centre de l’homothétie, et un nombre réel k le rapport de l’homothétie.

Exemples : en dimension 1 ; en dimension 2 .

II – Des cas particuliers d’homothéties.

(en cours de rédaction)

III – Agrandissement et réduction

Le coefficient k est égal au rapport des longueurs entre les images des segments et les segments.

IV – Les similitudes

On appelle similitude (plane) toute transformation du plan qui conserve les rapports de distances.

I – Angles

a) Vocabulaire

Le sommet de l’angle est le point « au bout » de l’angle … la pointe de l’angle.
Les côtés de l’angle sont les demi-droites d’origine le sommet de l’angle de part et d’autre de l’angle.

b) Mesure d’un angle avec un rapporteur

Pour mesurer un angle, à l’aide d’un rapporteur, on commence par :
– placer le centre du rapporteur sur le sommet de l’angle.
– tourner le rapporteur pour mettre un « zéro » du rapporteur sur un des côtés de l’angle (en gardant le centre du rapporteur sur le sommet de l’angle).
– lire la mesure en partant de 0° et remonter jusqu’au 2e côté de l’angle.
– la graduation finale est la mesure de l’angle.

II – Trigonométrie : cosinus

Dans un triangle rectangle, il y a un lien entre les angles et les longueurs des côtés du triangle rectangle.

a) Les noms des côtés du triangle

Le cosinus de l’angle est égal au quotient de la longueur du côté adjacent à l’angle par l’hypoténuse.

Exemple : cos(CÂB) = CA / AB

PLATON

Platon est un philosophe grec d’origine aristocratique. Né à Athènes en 428 av. J-C, décédé à Athènes en 347 av. J-C. Il est mort octogénaire. Platon voulait se lancer dans une carrière politique. Mais quand Socrate a été exécuté en 399 av. J-C il c’est plus intéresser aux mathématiques et aux sciences. Il a crée une académie, il pensait que les mathématique fournissaient le meilleur entraînement de l’esprit.

Patron et Solides

• Définition:
  Un patron d’un solide est un dessin en un seul morceau qui permet, après découpage et pliage,de construire ce solide.Sur un patron,chaque face est dessinée en vrai grandeur.
• Étapes pour construire un solide:

1 Je commence par dessiner une face en vraie grandeur.

2 Je trace ensuite les quatre faces qui touchent cette face.

3 Je trace la dernière face.

4 Je découpe et je plie sur les segments pour obtenir la figure demandée.

5 Je vérifie que toutes les faces se touchent et forme un solide.

• Voici quelques solides:

QUESTION :
1) Quel sont les solides de Platon ?
2) Combien y’a-t-il d’arrêtes dans un cube ?
3) Combien y’ a-t-il de sommet sur un cube ?

Réponse :
1) Les solides sont : le cube, le tétraèdre , l’icosaèdre, le dodécaèdre, l’octaèdre.
2) Il y’en a 12.
3) Il y’en a 8.

Les droites parallèles et perpendiculaires

Définitions

perpendiculaire : deux droites qui se croisent et font un angle droit.

parallèles : deux droites qui se croisent jamais.

Comment faire des droites perpendiculaires ?

les matériels de géométrie faut : une règle et une équerre en bonne état.

Étape 1 : Tracer une droite.

Étape 2 : Prendre l’équerre positionner sur la droite et la tracer.

Étape 3 : prolonger avec une règle. [image deux droites perpendiculaires]

Comment faire des droites parallèles ?

Étape 1 : tracer une droite.

Étape 2 : choisir une équerre de 2 cm par exemple. (?)

Étape 3 : tracer la droite

[image de parallèles et perpendiculaires]

Activité : Retrouver les droites perpendiculaires dans l’image ci-dessous.

« Tout corps plongé dans un liquide subit de la part de celui-ci ,une poussée exercée du bas vers le haut ,et égale,en intensité au poids du liquide déplacé. »

Lors d’un bain Archimède prend conscience de la poussée de l’eau en fonction de la densité des matériaux et concrétise une méthode. La légende dit qu’il serait sorti de l’eau tout nu en criant : « Eurêka », (j’ai trouvé!) et qu’il aurait traversé la ville en oubliant de s’habiller pour faire part de sa découverte au roi.

le corps flottant : un objet plongé dans un liquide à tendance à s’enfoncer sous l’effet de son poids ; Mais le liquide résiste  en poussant l’objet vers le haut. Pour savoir si l’objet flotte ou coule, il faut comparer le poids de l’objet et la poussée apposé par le liquide.Archimède a établi que cette poussée est aussi puissante que le poids du volume du liquide déplacé.

Un caillou est plus lourd qu’un volume égal d’eau donc il coule. Un ballon est plus léger qu’un volume égal d’eau donc il flotte. La loi d’Archimède permet même de savoir à quelle vitesse le caillou coule jusqu’où le, ballon s’enfonce. Combiné à une étude des centres de gravité, son principe lui permet d’expliquer des phénomènes très vites en navigation.

Questions pour l’exposé :
1) Comment mesure t-on une quantité de liquide ? Quelles unités utilise t-on ?
2) Comment passer d’une unité à une autre ? Comment convertir des unités de volume ?
3) Quelle activité peut-on faire pour découvrir la poussée d’Archimède et le volume d’un solide ?

Objectifs du chapitre :
– Reconnaître une configuration de Thalès
– Connaître et utiliser la proportionnalité des côtés de deux triangles déterminés par parallèles
– Calcul un coefficient d’agrandissement ou de réduction

Activité d’introduction :
Tracer un triangle ABC avec AB = 6 cm, AC = 4 cm et BC = 5 cm ;
puis placer le point N appartenant à la demi-droite [AC) tel que AN = 1 cm,
puis tracer la droite parallèle à (BC) passant par N.
Le point M est l’intersection de cette droite avec (AB).
Mesurer AM, puis MN.
Les dimensions du triangle ABC sont-elles proportionnelles à celles du triangle AMN ?

I – Agrandissement et Réduction
Propriété : Lorsque l’on multiplie les longueurs d’une figure par un nombre k, on obtient une figure plus grande (l’agrandissement) ou plus petite (la réduction).
– Si 0 < k < 1, il s’agit d’une réduction
– Si k > 1 il s’agit d’un agrandissement.

Exemple : Précédemment, le triangle ABC est un agrandissement du triangle AMN (k = 4).
Inversement, le triangle AMN est une réduction du triangle ABC (k=1/4 = 0,25).

II –  Théorème de Thalès
Théorème : ABC est un triangle
et M un point de la demi-droite [AB)
et N un point de la demi-droite [AC).

Si les droites (MN) et (BC) sont parallèles,
Alors AB/AM = AC/AN = BC/MN  (proportionnalité des côtés de triangles).

Exemple :

Objectifs du chapitre
– Savoir tracer les axes de symétrie d’une figure.
– Savoir compléter une figure ayant un axe de symétrie.
– Connaître et utiliser la définition de la médiatrice (et sa caractérisation).

Activité d’introduction : Axes de symétrie et panneaux de signalisation
– Figures usuelles et catégories de panneaux (pdf)
– Axes de symétrie de panneaux de signalisation (pdf)
– Constructions de panneaux (pdf)

I – Définitions d’un axe de symétrie

II – Construction d’un symétrique