N8 – Produit

Publié le 21 décembre 2016 par evariste

Les tables de multiplication, aussi appelées les tables de Pythagore, sont indispensables dès que l’on veut … vérifier le total d’un ticket de caisse ou anticiper la somme à payer à la caisse d’un magasin ; … calculer le nombre de carreaux de carrelage à commander pour couvrir la cuisine ou le salon ; … faire des crêpes pour 12 personnes avec une recette de crêpes pour 4 personnes ; …

I – Vocabulaire

Dans une multiplication, les deux nombres que l’on multiplie entre eux sont appelés les facteurs de cette multiplication, et le résultat s’appelle le produit.

On peut se représenter une multiplication entre deux nombres par un rectangle. 3×5=15

On peut se représenter une multiplication entre trois nombres par un pavé droit (parallélépipède rectangle). 4x5x6 = 120.

II – Les tables de multiplication, les tables de Pythagore.

Sous forme d’activité, sur un cahier d’exercices ou une feuille de brouillon, tu peux reproduire le tableau ci-dessous, puis compléter la première colonne et la première ligne.
Ensuite, sans regarder, complète le reste du tableau en noir les produits faciles (table de 1, table de 2, …), en rouge les produits difficiles et en bleu les produits que l’on peut trouver grâce à un produit déjà connu (exemple : 7×3 = 3×7 = 21).

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100
x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

III – Poser une multiplication

IV – Les multiplications illustrées

[youtube]https://www.youtube.com/watch?v=-X49VQgi86E&t=6s[/youtube]

N13.3 – Factorisations

Publié le 3 mai 2016 par evariste

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Factoriser c’est transformer une expression en un produit de facteurs.

Exemples :

A = (x+3).(4x+1) + 4.(x+3) On repère le facteur commun (x+3).
A = (x+3).[(4x+1)+4]
A = (x+3).(4x+5)

B = 64 – 8.9 – 8f +8m + 48
B = 8.8 –8.9 – 8f + 8m + 8.6
B = 8.(8 – 9 – f + m + 6)
B = 8.(5 – f + m)

Factoriser avec une identité remarquable – Il faut reconnaître un modèle.

a² + 2ab + b² = (a+b)²
a² – 2ab + b² = (a-b)²
a² – b² = (a – b)(a + b)

Exemples :

x² + 2.x.7 + 7² = (x + 7)² (identité n°1 avec a = x et b = 7)
y² – 2.y.3 + 3² = (y – 3)² (identité n°2 avec a = y et b = 3)
81 – e² = 9² – e² = (9 – e)(9 + e) (identité n°3 avec a = 9 et b = e)

N13.2 – Développement, Identités remarquables

Publié le 16 février 2016 par evariste

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Propriété (de la simple distributivité) : Soient a, b et k trois nombres
$k\times (a+b)=k\times a + k \times b$

Propriété (de la double distributivité) : Soient a, b, c et d trois nombres
$(a+b)\times (c+d)=a\times c + a \times d + b\times c + b\times d$

Propriété – 1ere identité remarquable : le carré d’une somme
Soient a et b deux nombres.
$(a+b)^2=a^2 + 2 \times a\times b + b^2$

Démonstration :
$(a+b)^2=(a+b)\times (a+b)$ …. par définition du carré
$(a+b)^2=a\times a + a\times b + b\times a + b\times b$ …. par la double distributivité
$(a+b)^2=a^2 + ab + ba + b^2$
$(a+b)^2=a^2 + 2ab + b^2$ …. car ab = ba.

Exercice … calculer 12² ; 71² ; 63² ; 81² ; ….

Propriété – 2e identité remarquable : le carré d’une différence
Soient a et b deux nombres.
$(a-b)^2=a^2 - 2ab + b^2$

Démonstration :
$(a-b)^2=(a-b) \times (a-b)$ …. par définition du carré
$(a-b)^2=a\times a + a\times (-b) + (-b)\times a + (-b)\times (-b)$ … par la double distributivité
$(a-b)^2=a^2 -ab -ba + b^2$
$(a-b)^2=a^2 -2ab + b^2$

Exercice … calculer 19² ; 78² ; 67² ; 89² ; …

Propriété – 3e identité remarquable : la différence de deux carrés
Soient a et b deux nombres.
$(a-b)\times (a+b) = a^2 - b^2$

Démonstration :
$(a-b)\times (a+b) = a\times a + a\times b + (-b)\times a + (-b)\times b$ … par la double distributivité
$(a-b)\times (a+b) = a^2 + ab -ba -b^2$
$(a-b)\times (a+b) = a^2 -b^2$

Exercice … calculer 21×19 ; 71×69 ; 92×88 ; ….

[WpProQuiz 2]

N9 – Puissances

Publié le 21 décembre 2015 par evariste

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Objectifs de ce chapitre :
– Connaître la définition d’une puissance.
– Connaître et utiliser les propriétés des puissances.
– Écrire un nombre en écriture scientifique.
– Algorithmes : utiliser les boucles (POUR et TANT QUE).

Activités d’introduction :

a) l’échiquier de Sissa :
« On place un grain de riz sur la première case d’un échiquier.
Si on double à chaque case le nombre de grains de la case précédente, combien de grains faut-il pour les 64 cases de l’échiquier ? »
> vidéo par Mickaël Launay : ( 3 min )

b) les bactéries : ( IREM – Rectorat Clermont-Ferrand )
Un laboratoire fait des recherches sur le développement d’une population de bactéries.
On a observé que le nombre de bactéries a été multiplié par 3 toutes les heures à partir du moment où l’étude a commencé.
Par combien le nombre de bactéries a-t-il été multiplié au bout de 24 heures ?

c) l’énigme du nénuphar :
Sachant qu’un nénuphar qui double de taille chaque jour et qu’il met 30 jours à recouvrir la totalité d’un étang,
combien de temps mettra t-il pour en recouvrir la moitié ?

I – Définition de la notion de puissance
La multiplication est une opération qui « résume » la répétition d’additions.
Exemple : 4+4+4+4+4+4+4 = 7×4
La puissance est une opération qui « résume » la répétition de multiplications.
Exemple : 3x3x3x3x3 = $3^5$

$3^5$ est une puissance du nombre 3 et se lit « 3 exposant 5 » ou « 3 à la puissance 5 ».

II – Propriétés des puissances
On démontre les propriétés suivantes en revenant aux multiplications.

$a^m \times a^n = \underset{m fois}{\underbrace{a \times ... \times a}} \times \underset{n fois}{\underbrace{a \times ... \times a}} = \underset{(m +n) fois}{\underbrace{a \times ... \times a}}= a^{m+n}$

$\frac{a^m}{a^n} = \frac{\overset{m fois}{\overbrace{a \times ... \times a}}}{\underset{n fois}{\underbrace{a \times ... \times a}}} = \underset{(m -n) fois}{\underbrace{a \times ... \times a}}= a^{m-n}$

$(ab)^n = \underset{n fois}{\underbrace{ab \times ... \times ab}} = \underset {n fois}{\underbrace{a \times ... \times a}} \times { \underset {n fois}{\underbrace{b \times ... \times b}}} = a^n \times b^n$

$(a^m)^n = \underset{n fois}{\underbrace{a^m \times ... \times a^m }} = \underset{n \times m fois}{\underbrace{a \times ... \times a}} = a^{nm}$

…

III -Puissances de dix et préfixes du Système International

On utilise des préfixes pour simplifier le nom et l’écriture de mesures exprimées en puissances de dix de certaines unités.

Préfixe	giga	méga	kilo	(unité)	milli	micro	nano
Symbole	G	M	k		m	?	n
$10^n$	$10^9$	$10^6$	$10^3$	$10^0 = 1$	$10^{-3}$	$10^{-6}$	$10^{-9}$

IV – Ecriture scientifique

La notation scientifique d’un nombre décimal différent de 0 est la seule écriture de la forme $a \times 10^n$ .
Et a est un nombre décimal compris entre 1 et strictement inférieur à 10.
Et n est un nombre entier relatif.

Algo – Principe des boucles
Algobox – Calculateur de puissances … exemple de boucle POUR
Algobox – Exerciseur sur les puissances … exemple de boucle TANT QUE

– – – – – – –
Exercices / Questions intéressantes :
– Quel est le chiffre des unités de « 2 exposant 2020″ (année en cours) » ?
– Trouver les deux entiers a et b tels que : a^b = b^a.

N4 : Comparaison

Publié le 17 janvier 2015 par evariste

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Objectifs du chapitre :
– Comparer deux décimaux
– Ranger une liste de nombres.
– Encadrer, intercaler des nombres
– Lire une abscisse par encadrement

I – Comparaison de deux nombres décimaux

Comparer deux nombres signifie :
« trouver si l’un est inférieur ou supérieur ou égal à l’autre ».

Exemples :
3 est inférieur à 5. On note : 3 < 5.
12 est supérieur à 9. On note : 12 > 9.
Le nombre le plus petit est côté pointe des symboles < et >.
5,2 est égal à 5,20 (zéro inutile). On note : 5,2 = 5,20.

Pour comparer deux nombres,
on compare d’abord leurs parties entières : le plus petit nombre a la plus petite partie entière.
Puis, si ils ont la même partie entière, on compare leurs chiffres des dixièmes : le plus petit nombre a le plus petit chiffre des dixièmes.
Puis, si ils ont même partie entière et même chiffre des dixièmes, on compare leurs chiffres des centièmes.
Puis, si il y a égalité, on continue à comparer le chiffre du rang suivant.

Si tous les chiffres de même rang sont égaux, les nombres sont égaux.

II – Rangement des nombres décimaux
Ranger une liste de nombres dans l’ordre croissant, revient à écrire ces nombres du plus petit au plus grand.

Ranger une liste de nombres dans l’ordre décroissant, revient à écrire ces nombres du plus grand au plus petit.

Encadrer un nombre signifie trouver deux nombres :
l’un inférieur à ce nombre et l’autre supérieur à ce nombre.

… par deux nombres consécutifs : deux nombres qui se suivent
( 15 et 16 ; 2,3 et 2,4 sont des nombres qui se suivent par exemple)

Intercaler un nombre entre deux autres nombres signifie :
« trouver un nombre qui est plus grand que l’un et plus petit que l’autre des deux nombres ».

N9 – Puissances. Racines carrées.

Publié le 24 décembre 2014 par evariste

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Regarder la vidéo suivante en prenant des notes.

[youtube]https://www.youtube.com/watch?v=4XyllN9yI0A[/youtube]

N7 – Multiples et diviseurs

Publié le 2 novembre 2014 par evariste

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[ Connaître la définition des mots « multiple », « diviseur ». ]
Lorsque l’on récite une table de multiplication d’un nombre, on fait la liste de ses multiples. Un multiple d’un nombre égale à ce nombre multiplié par un autre.
Les multiples n du nombre a s’écrivent : n = a x k
Exemple : Les multiples de 2 sont 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; … ; 28 ; … ; 2018 ; …
2018 = 2 x 1009

Lorsque l’on écrit une division (opération qui correspond au partage), nous avons au départ deux nombres :
– le nombre que l’on veut diviser (partager) appelé le dividende.
– le nombre qui divise appelé le diviseur.

En particulier, quand le partage « tombe juste », qu’il ne reste plus rien – il reste 0.
On dit alors que le nombre qui divise est un diviseur du nombre divisé.
Exemple : 36 divisé par 9, il y va 4 fois 9 et il reste 0.
On dit alors que 9 est un diviseur de 36. 36 = 9 x 4
On dit aussi que 36 est un multiple de 9.

Exemple : 2014 = 2 x 1007 = 2 x 1007 + 0.
Le reste de la division euclidienne de 2014 par 2 est égal à zéro.

2014 est un multiple de 2.
2014 est divisible par 2.
2 est un diviseur de 2014.
2 divise 2014.

Activité : Le jeu de Juniper-Green. Dans un tableau de nombres, il faut d’un nombre à un nombre uniquement si il y a une relation de multiple (réciproquement de diviseur) entre eux.

[ Connaître et utiliser les critères de divisibilité (par 2, 3, 4, 5, 9 et 10). ]
Un nombre entier est divisible par 2 si et seulement si son chiffre des unités est 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8.
Un nombre entier est divisible par 5 si et seulement si son chiffre des unités est 0 ou 5.
Un nombre entier est divisible par 10 si et seulement si son chiffre des unités est 0.

Un nombre entier est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
Un nombre entier est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9.

Un nombre entier est divisible par 4 si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.

Démonstrations (3e) !

Exercice : Les nombres suivants sont-ils divisibles par 2, par 3, par 4, par 5, par 9, par 10 ? Les nombres de l’exercice sont : 56 ; 290 ; 360 ; 37 ; 126.

[ Multiplier et diviser par 10, 100, 1 000, … ]
a) lorsque l’on multiplie par 10 ; par 100 ou par 1000.
Pour multiplier un nombre par 10, on décale la virgule de 1 rang vers la droite.
Pour multiplier un nombre par 100, on décale la virgule de 2 rangs vers la droite.
Pour multiplier un nombre par 1 000, on décale la virgule de 3 rangs vers la droite.

b) lorsque l’on divise par 10 ; par 100 ou par 1 000.
Pour diviser un nombre par 10, on décale la virgule de 1 rang vers la gauche.
Pour diviser un nombre par 100, on décale la virgule de 2 rangs vers la gauche.
Pour diviser un nombre par 1 000, on décale la virgule de 3 rangs vers la gauche.

[ Connaître et utiliser la notion de nombre premier.]
Un nombre premier est un entier naturel qui a exactement deux diviseurs positifs.
Pour les déterminer, nous avons une méthode, un algorithme : le crible d’Eratosthène.

a) Ecrire la liste des nombres entiers positifs, commençant par 2.
(1 est exclu, il n’a qu’un seul diviseur lui-même.)
2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 ; 17 ; 18 ; 19 ; 20 ; 21 ; …
b) Entourer le premier nombre non barré et non entouré de la liste.
c) Barrer les multiples de ce nombre, dans votre liste.
d) Recommencer les étapes b) et c) jusqu’à l’épuisement de votre liste.

(lien wikipédia) : Le crible d’Eratosthène.

La liste des nombres premiers commence par : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; …
Les nombres qui ne sont pas premiers sont dits composés, car ils s’écrivent comme un produit composé de nombres premiers.

[ Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers. ]
Tout nombre peut s’écrire comme un produit de facteurs premiers, à l’ordre des facteurs près cette décomposition est unique.

[ Ecrire une fraction sous sa forme irréductible. ]
Dans une fraction, si le numérateur et le dénominateur ont des facteurs en commun, on peut alors simplifier cette fraction.
Pour trouver la fraction sous sa forme irréductible, on écrit la décomposition en produit de facteurs premiers. On entoure les facteurs communs.
Le produit des nombres restants, respectivement pour le numérateur et pour le dénominateur, forme la fraction simplifiée.

N13.1 – Distributivité (simple et double), identités remarquables

Publié le 29 octobre 2014 par evariste

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I – La distributivité
Propriétés :
La simple distributivité : et la double distributivité :
k(a+b) = ka + kb (a+b)(c+d) =ac+ad+bc+bd

Exercice : Calculer mentalement et de façon astucieuse avec la « simple distributivité ».
3 x 17 ; 5 x 19 ; 7 x 21 ; 2 x 39 ; 4 x 118 ; …
exemple : 3 x 17 = 3 x (20 – 3) = 3×20 – 3×3 = 60 – 9 = 51

Exercice : Calculer mentalement et de façon astucieuse avec la « double distributivité ».
13 x 12 ; 17 x 21 ; 36 x 31 ; 82 x 53 ; 17 x 53
13 x 12 = (10+3)(10+2) = 10×10 +10×2 + 3×10 +3×2 = 100 + 20 +30 + 6 = 156.

Exemples : Développer les expressions suivantes, sachant que x² = x.x.
(a + b) (a – b) =
(a + b)² =
(a – b)² =

II – Les identités remarquables

Propriétés : a et b sont des nombres.
(a+b)² = a² + 2ab + b²
(a-b)² = a² – 2ab + b²
(a – b)(a + b) = a² – b²

Exercice : A l’aide des identités remarquables, calculer à la main ou de tête :
19 x 21 ; 37 x 43 ; 17 x 23 ; 31 x 29.
401² ; 61² ; 72² ; 24².
99² ; 19² ; 17² ; 18².

N14 – Développer, factoriser. Équation produit nul.

Publié le 8 octobre 2014 par evariste

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Objectifs:
– Calculer la valeur d’une expression littérale en donnant des valeurs aux variables.
– Développer, factoriser, réduire une expression littérale
– Résoudre une équation du premier degré.
– Résoudre une équation produit nul.
– Résoudre un problème concret en se ramenant à une équation du premier degré.

I – Développer, factoriser et réduire une expression littérale

Définition : Une expression littérale est une expression dans laquelle une ou plusieurs variables sont désignées par des lettres.

Schéma : Développer / Réduire et Factoriser / Réduire

Exemples d’équations : http://solveme.edc.org/

II – Équation produit nul

Vocabulaire : Une équation à une inconnue est une égalité dans laquelle un nombre inconnu désigné par une lettre.
Résoudre une équation à une inconnue, c’est trouver toutes les valeurs possibles de cette inconnue.
Un nombre qui vérifie l’égalité est une solution de l’équation.

Propriété : Un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul.
A et B désignent des nombres.
A x B = 0 si et seulement si A = 0 ou B = 0.

Définition : a, b, c et d sont des nombres.
Une équation de la forme (ax+b)(cx+d) = 0 est une équation produit nul d’inconnue x.

N11 – Quatrième proportionnelle

Publié le 4 octobre 2014 par evariste

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Objectifs :
– Reconnaître un tableau de proportionnalité
– Déterminer une quatrième proportionnelle

I – Grandeurs proportionnelles
Définition : Deux grandeurs sont dites proportionnelles si on passe des valeurs de l’une aux valeurs de l’autre en multipliant par le même nombre, appelé coefficient de proportionnalité.

Exemple : Le prix des pommes achetés est proportionnel au poids des pommes achetés.

Grandeur n°1 5 11
Grandeur n°2 11 24,2

Ce tableau est un tableau de proportionnalité, et le coefficient de proportionnalité est égal à 2,2 (pour passer de la grandeur n°1 à la grandeur n°2).

II – Déterminer la quatrième proportionnelle
Dans un tableau de proportionnalité, dès que l’on connait 3 valeurs sur 4. Cette 4e valeur inconnue est la 4e proportionnelle.

On peut la déterminer en utilisant un coefficient de proportionnalité.
Mais aussi en utilisant le « produit en croix ».

Propriété : Dans un tableau de proporionnalité, il y a égalité des produits en croix.
Si .a. . .b est un tableau de proportionnalité, alors a x d = b x c.
. . .c. . .d

Mathématiques pour tous.

La somme des efforts est égale au total de la réussite.

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