Application du Produit Scalaire

II – Application du produit scalaire

1- Relation Métrique dans un triangle .

Pour tout les triangles , les angles A , B et C sont respectivement opposés aux segments a , b et c

– Relation de Al Kashi : a²=b²+c²-2bc cos Â

– Théoreme de la médiane : ABC est un triangle , I est le milieu de [BC] .

Alors, AB²+AC²= 2 AI² + ( BC² / 2 )

– Aire d’un triangle : S = (1/2) bc sin Â

donc a /sin A = b / sin B = c / sin C

 

2 – Droites et Produit Scalaire 

équation cartésienne : ax + by + c = 0

équation réduite : y = ax + b

– Dire qu’un vecteur n est normal à une droite d signifie que le vecteur n n’est pas nul et que sa direction est orthogonale à celle de d .

Soit A et M appartenant à d et le vecteur n = CD , AM.n = 0 ou AM.CD = 0

– Dans un repère orthonormal , si d a une équation ax +by + c = 0 telle que (a ; b) est différent de (0 ; 0), alors le vecteur n(a ; b) est normal à d .

Et réciproquement , si n(a ; b) est non nul est normal à d  alors elle a comme équation ax+by+c = 0

– Droites perpendiculaires : Si dans un repère orthonormal , les droites d et d’ d’équation respectives

ax+by+c= 0 et a’x+b’y+c = 0 alors , dire qu’elles sont perpendiculaires équivaut à dire que aa’ + bb’ = 0 

 

3 – Cercle et Produit Scalaire .

– Le cercle de diametre [AB] est l’ensemble des points M tels que MA.MB=0

-Le cercle C ,de centre I (xo;yo) et de rayon r, est donc l’ensemble des points M (x;y) tels que :

(x-xo)² + (y-yo)² = r² .

 

{Alexandre}

ex 63 p378 : à l’aide

quelqu’un pourait-il me donner les étapes pour résoudre l’exo 63 p378  SVP.

Merci

c.s

Semaine du 18 au 22 Mai

Lundi : 

Correction des exercices .

Début du cour sur les Limites des Suites .

 

Jeudi :

Vendredi : 


{Alexandre}

Un peu de maths

Quelques images et vidéos que j’ai trouvé sur le net qui peuvent se montrer interessantes.

semaine du 11 au 15 mai

Lundi

  • Rendu de l’interogation du 04/05/09
  • Correction du 71 page 348
  • Cours sur les applications du produit scalaire.

Pour jeudi:

  • DM: 64 page 354

Sujet de l’interrogation du 04/05/2009

 

Correction :                 

1)      f(x) = 2x?(3x+1)          

f(x) est défini si 3x+1 ?0

                       si  x ? –1/3

D(f) = [-1/3 ; + ? [

D’après la formule  (uv)’ = u’v + uv’

Soit u (x) = 2x donc u'(x) = 2                

   Et v(x) =  ?(3x+1)    donc  v'(x) = 1/ 2?(3x+1)

 Ainsi , f'(x) = 2 ×  1/ 2?(3x+1) + 2x × ?(3x+1)    

            f'(x) =  2?(3x+1) + 3x / ?(3x+1)

 

D’où D(f’) = ]-1/3 ; + ? [

 

2 )  P1, P3 , P5 est une suite arithmétique consécutive de raison 1/8 donc :

  d’ou P3 = P1 + 1/8

  d’ou P5 = P1 + 2/8

3 P1 = 2 P2  d’ou P2 = 3/2 P1

Or P2 , P4 , P6 est une suite géométrique consécutive de raison 1/2 alors :

P2 = 2 P4 = 4 P6

d’ou P4 = 3/4 P1 et P6 = 3/8 P1

La somme de toutes les probabilités est égale à 1 donc :

P1 + P2 + P3 + P4 + P5 + P6 = 1 

alors P1 + P1 + 1/8 + P1 + 2/8 + 3/2 P1 + 3/4 1 + 3/8 P1 = 1 

 24/8 P1+ 3/8 + 12/8 P1 + 6/8 P1 + 3/8 P1 = 1

45/8 P1 = 1 – 3/8 = 5/8

donc P1 = 1/9

Ainsi P3 = 17 / 72 ; P5 = 13 /36 ; P2 = 1/6 ; P4 = 1/12 et P6 = 1/24 .

 

3 )

b      \       a

-3

-2

-1

1

2

3

-3

(-3 ;-3)

(-2 ;-3)

(-1 ;-3)

(1 ;-3)

(2 ;-3)

(3 ;-3)

-2

(-3 ;-2)

(-2 ;-2)

(-1 ;-2)

(1 ;-2)

(2 ;-2)

(3 ;-2)

-1

(-3 ;-1)

(-2 ;-1)

(-1 ;-1)

(1 ;-1)

(2 ;-1)

(3 ;-1)

1

(-3 ;1)

(-2 ;1)

(-1 ;1)

(1 ;1)

(2 ;1)

(3 ;1)

2

(-3 ;2)

(-2 ;2)

(-1 ;2)

(1 ;2)

(2 ;2)

(3 ;2)

3

(-3 ;3)

(-2 ;3)

(-1 ;3)

(1 ;3)

(2 ;3)

(3 ;3)

 

a – Le barycentre des points (A,a) (B,b) existe si a+b est non nul .

Cela correspond à une probabilité de 24 / 36 

b – G milieu de [AB] si il est l’isobarycentre de A et B . Donc si a = b

Cela correspond à une probabilité de 30 / 36 

c – G appartient à [AB] si a et b sont de même signe 

Cela correspond à une probabilité de 18 / 36 

 

4 ) QCM :

27- a

28- c

29- a

30- b

31- b             

 

{Alexandre}

{Alexandre: Ajout de la correction}

 

 

 

Produit Scalaire

I – Produit Scalaire

1)      Définition :

On appelle produit scalaire de deux vecteurs et le réel noté , définit par :

–         = ??x ??x cos (,),si aucun des vecteurs , n’est nul

–         = , si l’un au moins des vecteurs , est nul

2)      Expressions du Produit Scalaire :

Pour tout vecteur ,  :

–         2 = ?+?² – ??²-?

En rapportant le plan à un repère orthonormé, si les vecteurs ont pour coordonnées

(x,y) (x’,y’) :

–         = xx’ + yy’

3)      Propriétés :

Pour tous vecteurs , et et pour tous réels a et b :

–         =

–         (a).(b) = (ab)

–         (+) = +

Deux vecteurs et sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

Soient A et B , deux points distincts :

Un point M tel que = et seulement si , il appartient au cercle de diamètre AB

II – Application du produit scalaire

( en cours de création )

{Alexandre: Je n’ai pas trouvé comment faire les vecteurs …}
{Alexandre: Mise à jour avec les vecteurs …}

Semaine du 4 au 7 Mai

Lundi :
Interrogation d’une heure : Suites + Fonctions + Probabilités + Produit Scalaire

DM rendu et auto correction du controle

Sujet de l’interrogation

Jeudi :

Correction des exercices :

Exercices 11 p 373 et 71-73-74 p 348

Vendredi :

{Alexandre}
{Alexandre : Mise à jour le 09/05/2009}

Semaine du 13 au 17 Avril

Lundi :

Jeudi :
Correction des exercices 8 , 13 et 28 sur le produit scalaire.
+ Cours du livre ( Condition d’orthogonalité de deux vecteurs )

Vendredi :
Correction des exercices
Produit Scalaire : exercices 34 et 36 p 247
Probilités : exercice 32

[Alexandre]

Nouveau cahier de textes en ligne

Je n’ai plus défini d’élève pour alimenter le cahier de textes et les notes sur ce blog, mais n’hésitez pas à vous auto-désigner ( motiver?) pour cette tâche ou la publication de notes à base mathématique.

J’ai créé un nouveau cahier de textes en lignes, laissez-moi votre avis.

 

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