Fourier et les algorithmes

février 27th, 2021

Fourier et un algorithme célèbre

      Interrompu par la mort, Joseph Fourier a laissé inachevé un travail sur l’analyse des inéquations. Goût pour les solutions générales de problèmes ouvrant de vastes perspectives, instinct pour les perspectives d’avenir… il ne livre pas les motivations originelles de son attrait pour le sujet. Cet attrait n’est pas lié à un effet de mode puisque ce travail, auquel il tenait, sera laissé en déshérence pendant un siècle, incompris et minimisé par l’éditeur de ses œuvres complètes, Darboux, en 1888 :

« Nous avons aussi […] pu faire connaître d’une manière assez précise certaines idées sur la théorie des inégalités auxquelles l’illustre géomètre attachait une importance qu’il est permis, aujourd’hui, de trouver un peu exagérée. » G. Darboux, préface aux Œuvres de Fourier, t.2.

     Le Mathouriste est revenu sur la remarque de Darboux pour étudier la façon dont Joseph Fourier aborde le problème et le comparer avec les développements qu’il a connu au XXe siècle. Après avoir posé le problème et défini pour le lecteur la variété des questions qui en relèvent, le mathouriste nous donne à suivre, dans un article remarquable, les genèses parallèles de l’émergence des idées qui sous-tendent l’optimisation linéaire chez Fourier et chez Dantzig.

Leonid Kantorovich d’un côté (de l’autre côté du rideau de fer) et Georges Bernard Dantzig travaillent indépendamment sur l’algorithme du simplexe en optimisation linéaire. On peut dater leurs travaux du début de la seconde guerre mondiale ; ils se prolongeront tout au long de la seconde moitié du XXe siècle. Avec Dantzig, l’optimisation linéaire va s’inventer avec, en arrière plan les moyens de calcul offert par l’industrie informatique balbutiante encore mais de plus en plus efficace et active. (Voir, pour ceux qui lisent l’anglais cet article). 

Cette branche nouvelle était déjà bien établie lorsque qu’on s’est avisé, aux États-Unis d’abord, en France plus tard, d’en rechercher les origines et de découvrir que Fourier avait déjà parcouru un bout de ce chemin plus d’un siècle auparavant.

     Fourier, Dantzig et Kantorovich ont chacun suivi la même voie pour approcher ce paysage nouveau. C’est ce cheminement que le mathouriste nous donne à percevoir.

Lettres de Joseph Fourier

février 3rd, 2021

Lettres de Joseph Fourier

     En 1858, la Société des Sciences Historiques et Naturelles de l’Yonne publia quelques lettres adressées par Joseph Fourier à son professeur de mathématiques du collège d’Auxerre Claude-Louis Bonard voir Challe (Ambroise), « Lettres de Joseph Fourier » BSSY, vol. 12, p. 105-134. Ces lettres sont actuellement conservées à la bibliothèque municipale d’Auxerre, nous les avons déjà évoquées sur ce même site.

    Les développements récents de l’analyse de Fourier ont ramené le savant sur le devant de la scène, avec, entre autres, la création à Auxerre d’une association, la Société Joseph-Fourier. Son Président-fondateur, Daniel Reisz (1937-2015), organisa le 4 octobre 2014 une journée d’étude qui attira l’attention de l’arrière-arrière-petite fille de Claude-Louis Bonard, madame Francine Merlot, qui fit savoir à Daniel Reiz que sa famille était en possession de plusieurs lettres inédites, écrites par le mathématicien à son aïeul. On peut supposer que Challe a eu connaissance de ces lettres mais ne les a pas retenues pour les publier ; la famille les a conservées par devers elle, trace des relations qu’elle avait pu entretenir avec l’illustre académicien. Leurs propriétaires d’aujourd’hui étaient heureux de les remettre au jour, les tenant à la disposition de la nouvelle association.

1788- première page

   Ces lettres ont été décryptées et leur transcription publiée dans le volume n° 153, année 2013-2015/3 (pages 605 à 620) de la Société des Sciences Historiques et Naturelles de l’Yonne sous la signature de Jean-Charles Guillaume.

Le lecteur trouvera en annexe le fichier pdf de cette publication. Nous remercions le Président de la SSHNY, monsieur Alain Cattagni, de nous avoir autorisé à mettre en ligne ce document.

On y trouvera :

– une lettre de trois pages, écrite par Fourier à Bonard, non datée, elle a été rédigée à Saint-Benoît-sur-Loire, vraisemblablement vers juin-juillet 1788.

– un billet de Fourier à Billy date du 20 vendémiaire V -11 octobre 1796 – en réponse à une sollicitation dudit Billy pour l’entrée d’un élève à l’École polytechnique (où Fourier était professeur).

– un lettre de Billy, professeur de mathématiques à Fontainebleau, à Bonard daté du 2 brumaire V à propos du suivi de la sollicitation ci-dessus

– une courte note de Fourier à Bonard datée du 18 vendémiaire (XI ?) (10 octobre 1802)

– lettre du 12 mai 1807, Fourier sollicitant Bonard pour trouver une pension auxerroise pour une de ses nièces (Louise ?), parisienne.

– lettre du 22 janvier 1808 (assurant Bonard du suivi d’un dossier déposé au ministère)

– lettre du 10 février 1808 (suite donnée aux assurances de la lettre précédente)

– lettre du 7 mai 1809 (conseils pour le suivi du dossier évoqué dans les deux lettres précédentes).

des vidéos sur Fourier

octobre 3rd, 2020

     Lorsque nous découvrons une vidéo de qualité concernant Joseph Fourier, nous ne manquons pas d’en faire part sur ce blog. Depuis longtemps, notre souhait est de recenser et ordonner les productions vidéos qui sont ramenées à chaque chalutage de notre moteur de recherche. La tâche est difficile : la levée du filet ne ramène pas à chaque tour les mêmes titres et il faut ensuite trier et présenter le meilleur de la sélection. Notre choix, celui d’un curieux passionné de Joseph Fourier, peut être contesté ou simplement ne pas correspondre aux intérêts des visiteurs de ce blog. Nous vous invitons donc, pour combler nos lacunes, à nous faire part de vos découvertes et de vos remarques : sjf89(at)laposte.net.

    Nous adoptons ici un tri en trois classes : éléments biographiques concernant Joseph Fourier, analyse de l’œuvre scientifique de Joseph Fourier, enseignement théorique et pratique des calculs de Fourier et des prolongements qui en découlent.

biographie

* Comme mise en bouche, nous proposons les Vie et œuvre expliquée à une petite fille, 8 min 30 s. Quand Hervé Pajot explique à sa fille ce qui fait l’objet de ses préoccupations au travail. [22/11/2018]

La visite peut se prolonger avec des vidéos qui s’adressent à un public plus âgé.

*Qui était Joseph Fourier ? 1h 12’ 55’, une conférence d’Hervé Pajot sur la vie et l’œuvre de Joseph Fourier [29/11/2018].

* Joseph Fourier un savant prodigieux et un grand serviteur de l’État, par Jean Dhombres, 1 heure 56 minutes [05/04/2018]

* Sur les manières de Fourier savant, par Jean Dhombres, invité par l’Académie des sciences ; 32 minutes. [26/03/2018]

une session spéciale de l’Académie des Sciences

Cet après-midi de mars 2018, l’Académie des sciences avait invité cinq intervenants prestigieux pour développer, chacun en une demie heure, une facette de ce qui fait le renom de Fourier

Patrick FLANDRIN Fourier et la science d’aujourd’hui

Jean DHOMBRES Sur les manières de Fourier savant

Bernard DERRIDA La loi de Fourier : hier et aujourd’hui

Gilles PISIER Séries de Fourier aléatoires

Ingrid DAUBECHIES Au-delà des séries de Fourier

diverses interventions

* Jean Dhombres évoque Fourier, devant un public de la SabiX, École polytechnique, 47 min 22 s [22/06/2017]

* Un texte, un mathématicien sont évoqués par Jean-Pierre Kahane à l’Université de Grenoble les rapports entre Fourier et Lagrange (à partir de 30 minutes), 1 heure 3 min [18/05/2011]

Et pour faire la transition avec le chapitre qui suit :

* Une réalisation d’Alexandre Moatti : Il y avait un académicien nommé Fourier…, en moins de 33 min, Jean Dhombres et Patrick Flandrin présentent l’analyse de Fourier. [26/02/2020]

évocation de l’œuvre scientifique

* Très émouvante introduction à ce chapitre, quelques mois avant sa mort, Jean-Pierre Kahane dresse en forme de panorama le bilan de différents aspects du retour de Joseph Fourier sur le devant de l’actualité qui est aussi le panorama de ce qui a motivé sa carrière. Différents aspects du retour de Joseph Fourier, [Institut Fourier/CNRS, 07/12/2016, 63 min]

* Modernité de Fourier, Patrick Flandrin à l’INRIA, 1 heure [27/06/2019]

* Fourier aujourd’hui, colloque où interviennent Claire Boyer, Eric Chassande-Mottin, Jean Dhombres, Céline Esser, Patrick Flandrin, Thomas Hélie à l’Institut Henri-Poincaré (7 exposés d’env 50 min chacun) [07/04/2018]

* Quand la Terre était trop jeune pour Darwin, par Cédric Villani, devant l’ Académie des sciences . 1 h 55 min [18/03/2014]

* Vérité mathématique : vérité scientifique ?, 1 heure 30 min d’un dialogue de Jean Pierre Kahane avec une philosophe au Palais des Beaux-Art de Lille. [01/04/2015]

* Un mathématicien présente l’actualité du programme brossé par Joseph Fourier et commente les conséquences de ce programme visionnaire (construire un langage de la nature) font partie de notre vie quotidienne, 63 min par Ronald Coifman. [05/12/2018]

le signal

* Signal représentation et modélisation, Patrick Flandrin à l’Université de Lyon 56 minutes [30/03/2020]

* Des signaux partout. Des chauves-souris à Internet , Patrick Flandrin à l’Académie des sciences, 1 heure 48 min [11/02/2020]

onde et son

* Des séries de F à la fonction d’onde Pour amorcer une approche technique de la théorie de Fourier, laissez vous emporter 17’57’’ par la fougue de Lê Nguyên Hoang [10/10/2016]

* Formule de Fourier, du sinus aux fichiers mp3, par Romain Joly, à l’Institut Fourier, pour le CNRS, 5 min 33 s [29/04/2020]

* Analyse harmonique, Des oscillations de Fourier aux ondes gravitationnelles, conférence « MathEnVille », par Ronald Coifman, préambule explicatif à une théorie difficile, en 1 h 3 min, Institut Fourier/CNRS. [05/12/2018]

* Fourier et la musique, sur le mode décontracté, Laure Cornu, Palais de la Découverte, Le Myriogon#29, en 1 heures 31 min [07/05/2020]

La cristallographie 

* La cristallographie à travers les siècles, par Sylvain Ravy, en 1 heure 20 min [10/07/2014]

divers

* But what is the Fourier Transform? A visual introduction. Une introduction animée de la Transformée de Fourier animée, des graphes enroulés autour de cercles (en anglais), 3Blue1Brown, 19 min 42 s. [26/01/2018]

* Fourier Transform, Fourier Series and Frequency Spectrum 15 min 44 s , avec Kira Vincent et Eugen Khutoryansky (en anglais) [06/09/2015]

Enseignement :

Pour celui qui souhaite un cours, entrer ‘Séries de Fourier / Transformée de Fourier / Loi de Fourier…’ sur un moteur de recherche permet d’accéder à de nombreuses vidéos qu’il est difficile d’ordonner et dont il est aussi difficile de rendre compte.

* Loi de Fourier et résistance thermique, Christophe Finot, 10 min 20 s, [16/02/2014], cette première vidéo introduit une série de vidéos que l’on pourra suivre progressivement.

* Loi de Fourier. Conducteur ou isolant. Profil de température. Matériaux accolés. 32 min 12 s par Rémy Fortie. [16/03/2020]

* 8.1 Introduction à la transformée de Fourier, 10 min 37 s par Marie Hélène Le Du [30/09/2020]

* 8.2 La transformée de Fourier et le problème de phase, 9 min 36 s par Marie Hélène Le Du, [30/09/2020]

Fourier à Bourgoin

septembre 28th, 2020

La méthode Fourier à Bourgoin

           Nous avons déjà présenté sur ce site l’action préfectorale de Joseph à propos des marais de Bourgoin. Ce billet de 2015 en était resté à une présentation générale du sujet. Depuis, Jean-Charles Guillaume a mené des recherches qu’il a présentées devant la Société des Sciences de l’Yonne en 2017. Son étude donne une image plus fine de l’action et de la méthode appliquées par Joseph Fourier. Dans un domaine qui n’a rien à voir avec les mathématiques et peu avec la science, Joseph Fourier prouve qu’il sait être un administrateur compétent, rigoureux et efficace.

         Si la reconnaissance du programme mathématique établi par Joseph Fourier dans la Théorie analytique de la Chaleur a mis des décennies avant de s’imposer, les contemporains ont reconnu très vite ses qualités du gestionnaire. La statue de Fourier à Auxerre a disparu, cependant, nous sont restées deux plaques de bronze apposées sur son socle et qui exhibent deux moments de la vie de Fourier : le discours qu’il prononça en Égypte lors de la mort de Kléber et la représentation de l’assèchement des marias de Bourgoin. Ces deux plaques sont aujourd’hui visibles sur la façade de l’ancien palais comtal d’Auxerre.

Les plaques honorant Fourier sur la façade de l’ancien palais comtal à Auxerre.

Le mémoire de monsieur Guillaume est accessible ici au format .pdf.

L’assèchement des marais de Bourgoin.

La mort de Kléber.

Fourier mathématicien

août 8th, 2020

Fourier mathématicien

Le dernier numéro de la série Dossiers Science (n°35, juin 2020, 12,90 €) est un dossier spécial consacré aux grandes théories mathématiques. Il nous propose un panorama, réalisé par le journaliste scientifique Marc Bousquet, de 65 théories mathématiques, concepts et énigmes expliquées simplement.

Pour un lecteur non spécialiste, c’est un plaisir d’accéder, grâce à une synthèse sans démonstration, aux idées que les mathématiciens tentent de confirmer et mettre en œuvre.

Pour un admirateur de Joseph Fourier, c’est l’occasion de tester l’importance de l’apport que la mathématique doit au physicien. Nous laissons donc aux lecteurs intéressés le soin de découvrir le reste de l’ouvrage pour ne rechercher dans les différents chapitres que les mentions de Fourier.

Voici le résultat d’un survol linéaire de l’ouvrage :

1/ page 74 : Les mathématiques financières citent, une première fois Joseph Fourier, sans surprise, puisque Bachelier, en 1900, a utilisé les méthodes de Fourier pour analyser l’aspect aléatoire des marchés financiers. »/…/ le mouvement désordonné de particules en suspension /…/ se retrouve dans un grand nombre de phénomènes, comme l’équation de la chaleur et de sa diffusion, formalisée par Joseph Fourier dès 1807. »

[note : Un chapitre entier, p.132-133, est consacré au mouvement brownien, mais sans citer Fourier.]

2/ page 125 : Les séries entières : « Certaines [séries] ont été étudiées de manière systématiques, car très utiles, comme les séries trigonométriques, les séries de Fourier ou les séries de Dirichlet. »

3/ pages 130-131 : L’analyse de Fourier. Un chapitre complet est consacré à la méthode de calcul proposée par Joseph Fourier.

4/ page 135 : « L’espace L², l’espace des fonctions de carré intégrale, est un espace de Hilbert et est l’espace idéal pour une bonne théorie de Fourier. »

5/ pages 146-147 : La théorie des ondelettes. Un chapitre entier est consacré à ce prolongement de la théorie de Fourier qui permet l’analyse d’un signal à l’aide de la transformation de Fourier.

6/ pages 172-173 : Les équations aux dérivées partielles. Les équations aux dérivées partielles : « [outre les équations d’Euler ou celles de Navier-Stokes] On peut citer également les équations de Fourier dans l’étude de la diffusion de la chaleur. »

7/ pages186-187 : L’analyse harmonique. « L’analyse harmonique trouve son origine dans les travaux du mathématicien Joseph Fourier, au début du XIXe siècle, portant sur l’équation de la chaleur. »

Cauchy et Fourier

avril 18th, 2020

Joseph Fourier

Cauchy et Fourier

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    Que l’on doive citer à brûle-pourpoint une poignée de mathématiciens… viendront sans doute Pythagore (sa table) et Thalès (son théorème), Ératosthène (son crible), Euclide (son postulat), Descartes (son plan si cartésien), Newton (sa pomme), Gauss (la courbe en cloche), Euler (les ponts de Königsberg) ; Viète, peut-être (les x et les y)… et Fourier n’apparaîtra pas. Son nom est attaché à la Théorie de la Chaleur, qui pour le profane ressort de la physique. Trop peu mathématicien Fourier ? Il maîtrisait pourtant le sujet : lorsque Lagrange a voulu le corriger, c’est Fourier qui lui a fait la leçon (et Jean-Pierre Kahane l’a bien montré : « il [Fourier] s’est heurté à l’incompréhension persistante de Lagrange, et deux pages dans les manuscrits de Lagrange, que j’ai consultées et commentées, confirment que Fourier avait raison contre Lagrange. Mais Lagrange était à l’époque de Fourier le plus respecté des mathématiciens français, et son jugement négatif sur Fourier a traversé les siècles. »).

      Mieux : Fourier a apporté sa pierre et laissé sa marque : deux notations spécifiques, très usuelles (Dhombres et Robert, dans leur ouvrage, ajoutent une autre invention de Fourier, qui touche les notations : l’équation aux dimensions. Joli jeu d’adaptation des mathématiques à la physique : les quantités numériques ne sont pas toutes de même nature. Et cela éclaire bien la nature double du génie de Fourier, mathématicien et physicien).

             

    

Elles se lisent  : « f chapeau » et « somme de 1830 à l’infini ». L’écriture ‘f chapeau’ qui renvoie aux méthodes introduites par Fourier n’a été adoptée qu’au XXe siècle lorsque l’usage de la Transformation de Fourier est devenu si courant et incontournable qu’il a fallu abréger les attendus. Tout étudiant de troisième cycle saura expliquer qu’il s’agit d’appliquer à la fonction f la transformation de Fourier qui transforme une fonction en une somme infinie de fonctions fréquentielles (sinus et cosinus). Le chapeau est une façon très raccourcie de noter ce que Fourier a expliqué en plusieurs centaines de pages dans sa Théorie de la Chaleur et que Lagrange a contesté jusqu’à son dernier souffle.

     Pour l’autre, Fourier a trouvé chez ses prédécesseurs le symbole de sommation qui était utilisé brut, sans indication de limites. Fourier y a ajouté l’indication des limites entre lesquelles cette somme est calculée et dès la terminale du lycée les élèves commencent à se familiariser avec ce symbole.

      Pour ceux qui ne seraient pas convaincus, qu’ils se tournent vers Cauchy. Cauchy (1789-1857) était de 20 ans le cadet de Joseph Fourier. Cauchy était précoce et c’est à 27 ans qu’il fut académicien, aussi les deux savants eurent-ils l’occasion de se côtoyer pendant 14 ans à l’Académie des sciences où ils siégèrent ensemble de 1816 à 1830. Royaliste convaincu et catholique fervent, Cauchy était par ailleurs d’un caractère si exigeant qu’il ne sut pas toujours entretenir de bonnes relations avec ses proches. Quoiqu’il en soit, aucune anecdote ne nous est parvenue des relations personnelles que les deux hommes ont pu entretenir bien qu’ils aient, tous deux, abordé l’analyse mathématique.

     C’est dans les cours que Cauchy donnait à l’École polytechnique que se trouve attribuée à Joseph Fourier l’invention de la notation de l’intégrale définie (compte-tenu du caractère de Cauchy, qui faisait souvent de mesquines querelles de priorité -par exemple avec Liouville, en 1847, à l’occasion du théorème Fonctions Holomorphes-, cette attribution d’invention de notation à Joseph Fourier peut être acceptée pour avérée)

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Fourier dans les marais

avril 16th, 2020

Fourier devant

les marais de Bourgoin

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Le compte-rendu, par Jean-Charles Guillaume, de l’assèchement des marais de Bourgoin est publié par la SSHNY.

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     De la statue érigée en l’honneur de Joseph Fourier, ne restent que les deux plaques qui en ornaient le socle. L’une représente Fourier prononçant le discours funèbre de Kléber, l’autre le montrant dirigeant le chantier de l’assèchement des marais de Bourgoin.

Fourier à Bourgoin, bronze, Auxerre

Le choix du sujet de ces plaques était judicieux pour illustrer une biographie riche. A la mort de Kléber, Fourier est propulsé sous les projecteurs.

En 1795, Fourier n’était encore qu’un étudiant gouailleur ; il suivait les cours de l’École normale de l’an III et attirait l’attention d’un de ses professeurs, Monge, en le titillant sur les carences de la définition qu’il donnait de la droite. Monge n’oublia pas ; il garda un œil sur cet étudiant prometteur dont il put ensuite apprécier les compétences d’enseignant auprès de ses pairs de l’École normale, puis des premiers élèves de l’École polytechnique. Monge pensa naturellement Fourier, en mars 1798, lorsqu’il fallu constituer une cohorte de savants pour accompagner l’expédition secrète dont le Directoire confia le commandement au général Bonaparte.

     En Égypte, les affaires militaires virant au cauchemar, Bonaparte et Monge rentrèrent en France, fin août 1799  ; Fourier devint, vis à vis de Kléber, le représentant des savants de l’expédition ; Kléber assassiné, en juin 1800, Fourier s’est retrouvé en première ligne, Menou ne parvenant pas à voir plus loin que la gestion militaire des troupes démoralisées dont il avait maintenant la charge. Un tournant donc. Que Fourier négocia en valorisant le travail des savants qu’il représentait. Tournant si bien négocié que Bonaparte trouva rapidement un emploi au jeune professeur talentueux qui venait de sauver l’expédition d’Égypte en transformant le fiasco militaire en succès scientifique. Fourier fut donc nommé préfet de l’Isère.

     Devenu préfet, Fourier, imperturbable, applique sa méthode : face à un problème, une situation difficile, d’abord observer, analyser, répondre aux questions lorsqu’il est possible d’y répondre et continuer l’analyse avec les autres ; ne jamais brusquer, prendre chacun « dans le sens de l’épi ». Le préfet est en charge de l’intérêt de ses administrés ; parmi les dossiers, celui des marais de Bourgoin concerne le bien-être des 30 000 habitants de 35 communes, répartis sur 7 200 hectares insalubres. Il va y appliquer sa méthode : trouver et diriger des informateurs qui vont collecter des données fiables concernant les multiples problèmes, sérier les difficultés et les résoudre une à une en recherchant un consensus maximum. La conciliation d’abord, oui, mais sans être aveugle et sans hésiter à corriger les dévoiements qui risqueraient de compromettre le consensus recherché, voulu, indispensable.

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,  Ce sont les détails de cette aventure, l’assèchement des marais de Bourgoin, que Jean-Charles Guillaume est allé chercher, vérifier, compiler aux Archives de l’Isère où les procès-verbaux de réunion, les dossiers d’étude, les ordonnances d’exécution sont encore conservés. Il a livré, en février 2017, le fruit de ses recherches et la Société des Sciences Historiques et Naturelles de l’Yonne les publie aujourd’hui dans le 155e volume (année 2017) de son bulletin (pages 81 à 100).

Fourier sur YouTube

mars 25th, 2020

Fourier sur YouTube

     Nous abordons au gré des billets, tantôt des questions relevant de la biographie de Joseph Fourier, tantôt des questions relevant de l’œuvre. Dans ce billet, nous sommes résolument du côté de l’œuvre scientifique et de ses développements y compris récents.

      L’ENS de Lyon, sous le label Unisciel développe, en lien avec plus de 45 universités ou partenaires européens, des ressources au service des usages et des innovations pédagogiques. En particulier, « La physique animée », une série de vidéos de 7 minutes environ, dans lesquelles se mélangent histoire des sciences, expériences et théorie, a retenu notre attention. Deux des vidéos que nous avons visionnées traitent de développements techniques centrés sur les méthodes de calcul découvertes par Joseph Fourier.

représentation d’un signal dans l’espace temporel et dans l’espace fréquentiel

     Une vidéo de 9 minutes 11 secondes, auteurs : Olivier Granier (Lycée Jacques Decour, Paris), Delphine Chareyron (ENS de Lyon), Nicolas Taberlet (ENS de Lyon), produit par l’École Normale Supérieure de Lyon.

     Le texte est débarrassé de toutes considérations inutiles ; il va droit à son sujet ; après un rapide historique, il nous présente les modalités de traitement du signal. Vues sous un autre angle, les qualités de la réalisation sont aussi des défauts : en quelques schémas sommaires, on passe très vite de la théorie mathématique à l’univers technique du physicien. Le mathématicien aura beau jeu de remarquer qu’un pic est un pic, (sans épaisseur), même s’il est vrai que sur un oscilloscope, on verra une sorte de triangle allongé, qu’il y a un écart entre théorie et pratique, qu’il convient de présenter et de justifier ; que mathématiques et physique instrumentale ne se font pas la guerre, qu’elles se complètent.

Mais sans bouder son plaisir, on peut parcourir le catalogue d’Unisciel.

     Une entrée, accessible à un élève de l’école élémentaire, nous fait accéder en 26 secondes à la conduction de la chaleur dans une expérience sans surprise…

sauf que… si l’on plaque sur cette expérience, triviale, la clairvoyance et la maîtrise mathématique de Joseph Fourier, on arrive, six cents pages plus loin à la conclusion de la Théorie analytique de la chaleur. (1822). Sans exiger du bambin de l’école élémentaire l’étude de l’œuvre de Fourier, on peut faire évoluer sa pensée en le confrontant à une expérience où, cette fois, la conduction sera moins évidente. (La physique à main levée, l’eau est mauvaise conductrice de la chaleur, vidéo 1 min 30 s).

Sauf que… quelque deux cents ans après la publication de la Théorique analytique… des milliers de thèses plus tard… des milliers de brevets plus loin, on arrive en plein XXIe siècle. Comment ? C’est tout le mystère de la pensée et de l’œuvre de Joseph Fourier.

     A défaut d’une réponse simpliste à ce comment, les séquences vidéos proposées par Unisciel ouvrent des pistes : au fil des pérégrinations, le lecteur découvrira ainsi comment convertir un signal analogique en signal numérique. (13 minutes 42 secondes, La physique animée, conversion analogique numérique : transformée de Fourier dans le domaine temporel)

Du temporel, le lecteur pourra passer au domaine spatial et se pencher sur une présentation de la théorie de l’optique de Fourier : de même qu’un son, une image peut être représentée de manière fréquentielle à l’aide de l’analyse de Fourier…. En 10 minutes, vous en serez convaincus.

     On a pu dire que la transformée de Fourier était le couteau suisse de la physique contemporaine, cela se vérifie en piochant au hasard des réponses à une interrogation de la bases de données du site Unisciel :

https://www.youtube.com/user/Unisciel/search?query=fourier

Fourier élémentaire

janvier 26th, 2020

Fourier à l’école élémentaire

     La théorie de la chaleur débouche très rapidement sur des équations impliquant une bonne maîtrise du calcul différentiel, ce qui semble en interdire l’accès aux gens ordinaires. Cependant, nous avons trouvé, présentée depuis mai 2018 sur le site du CNRS, une vidéo éclairante. Olivier Druet, de l’EHESS, a voulu relever le défi et nous expliquer, sans recourir à d’autres connaissances que celles requises à la sortie de l’école élémentaire, l’idée à la base de la Théorie de la chaleur.

     Il illustre son propos en quelques étapes. Tout d’abord, il nous présente un carré magique de Dirichlet et en expose le principe de construction.

(vers 5 min 20) Olivier Druet fait le lien avec l’idée de base de la théorie de la chaleur qui nous est exposée de façon succincte, mais efficace.

(vers 13 min 40) Retour aux carrés magiques de Dirichlet pour en découvrir, de façon très naturelle, quelques propriétés et même une démonstration sur les limites des nombres contenus dans les carrés de Dirichlet et sur l’existence d’UNE solution.

(vers 28 min) Sur un exemple, est mise en place une méthode -Olivier Druet, nous invite à en trouver d’autres- qui permet de remplir un carré de Dirichlet à valeurs externes données. Le calcul commencé à la main est terminé en faisant tourner un programme réalisable sur un tableur. Les calculs sont simples (moyenne de quatre nombres) mais il faut en faire une grande  quantité et on comprend pourquoi les méthodes de Fourier n’ont réellement pris leur essor qu’après l’avènement des ordinateurs.

La fonte Fourier

décembre 12th, 2019

La fonte de caractères Fourier      

     Parmi les polices de caractères disponibles, on trouve un fonte Fourier-GUTenberg, créée, en 2003, par Michel Bovani ; ce qui nous incite à nous interroger sur les rapports que le scientifique Joseph Fourier a pu nouer avec la typographie et l’imprimerie, avant de conclure par une déclaration de l’auteur de la fonte.

1) L’environnement auxerrois : Le 22 avril 1760, Nicolas Restif épouse, à Auxerre, Agnès Lebègue, la cousine de Germaine Lebègue, elle-même épouse du tailleur d’habits, Joseph Fourier et future mère de Joseph Fourier qui deviendra le savant que nous connaissons. Les Fourier tiennent boutique à Auxerre, rue Notre-Dame (aujourd’hui rue Fourier) qui débouche place de l’hôtel de ville où se tient l’imprimerie-librairie Fournier où travaille Nicolas Rétif. Les Fournier, d’Auxerre, sont apparentés avec les Fournier parisiens graveurs-fondeurs reconnus. En 1778, Joseph a dix ans, le tailleur Fourier qui a déménagé pour laisser place à son beau-fils, habite place de Hôtel de ville, très proche donc de l’imprimerie Fournier.

Ces éléments nous permettent d’affirmer que le jeune Joseph Fourier, garçon éveillé, connaissait l’imprimerie Fournier et il est probable que, vers 1775, il la fréquentait et allait y glaner des chutes de papier.

2) Le bouillonnement révolutionnaire à Auxerre : Novembre 1789 : Le pouvoir révolutionnaire supprime les couvents. Libéré de ses engagements monastiques à Saint-Benoît-sur-Loire, le novice Joseph Fourier revient à Auxerre où il participe activement à la vie publique. Joseph Fourier y retrouve Nicolas Maure, membre du directoire révolutionnaire qui a épousé le 27 mai 1782 Anne Marguerite Fournier, la fille de François, l’imprimeur. Pour le compte du directoire, Joseph Fourier prendra des responsabilités qui lui vaudront des déboires sérieux : il ne sera sauvé de la guillotine que par la chute de Robespierre, mais, notre propos n’est pas là.

3) La campagne d’Égypte : 6 fructidor VI (23 août 1798) : Joseph Fourier a accepté la proposition de Gaspard Monge participer à l’expédition secrète préparée par le Directoire. Arrivé en Égypte avec une cohorte de deux cents savants il est nommé secrétaire de l’Institut d’Égypte. A ce titre, il suit de près la rédaction et la fabrication de la gazette voulue par Bonaparte ‘le courier de l’Égypte’ dont le premier numéro est publié le 12 fructidor VI.

4) L’élaboration de l’ouvrage ‘la description de l’Égypte’ : En 1802, Bonaparte charge Joseph Fourier, alors préfet de l’Isère, de suivre les travaux de publication de la description de l’Égypte, recueil des données scientifiques amassées par les savants qui ont participé à l’expédition d’Égypte. Les derniers volumes de cette édition prestigieuse, chef d’œuvre de l’art graphique, paraîtront en 1822.

5) Le Journal de l’Isère : Préfet de l’Isère, Joseph Fourier doit surveiller ce qui s’écrit dans la presse. Il charge Champollion-Figeac de la direction du Journal de l’Isère et se verra contraint de le suspendre de son poste en 1812 pour n’avoir pas censuré les articles relatifs à la chute du fort d’Alba, près de Salamanque en Espagne.

6) La publication de la Théorie de la chaleur : Élu secrétaire perpétuel de l’Académie des sciences en 1822, Joseph Fourier aura la responsabilité de la publication des compte-rendus, méoires et autres publications. A ce titre, il veille tout d’abord à ce que soit publié sa Théorie analytique de la Chaleur dont le manuscrit avait obtenu, en 1811, le prix de l’Académie, mais qui depuis, dormait dans un tiroir.

Michel Bovani, créateur de la fonte Fourier-GUTenberg :

     Ces différents points indiquent que Joseph Fourier était au fait des questions concernant l’imprimé. Est-ce que pour autant Michel Bovani, auteur de la police Fourier-GUTenberg, a pensé à Joseph Fourier lorsqu’il a baptisé la fonte qu’il venait de créer ?

Il a pu répondre lui-même à cette question : «  La réponse simple à la question « qui de Charles ou de Joseph est le Fourier éponyme de la fonte Fourier ? » est en fait « un peu les deux ». Lorsque le système Fourier est sorti (2003), il me semble que je n’avais pas encore entendu parler de saint Pierre Fourier (et en tout cas ce dernier n’est dans mon esprit en rien attaché à ma fonte).

Le système de fontes scientifiques Fourier a été créé dans le cadre de mes activités pour l’association GUTenberg (groupe français des utilisateurs de TeX), le nom complet de la distribution Fourier étant d’ailleurs Fourier-GUTenberg. Thierry Bouche, maître de conférence en mathématiques à l’Institut Joseph Fourier de Grenoble (et aujourd’hui directeur de la cellule Mathdoc) était à l’époque membre du conseil d’administration de GUTenberg et expert reconnu en typographie numérique : il m’a été d’une aide constante durant tout le temps qu’a duré mon travail sur Fourier-GUTenberg.

Mon idée de départ était de trouver une fonte de texte libre de droits et de dessiner un complément scientifique qui lui serait compatible (cela incluait au moins tout ce que l’on trouve dans les fontes scientifiques par défaut de TeX, en particulier il fallait dessiner un grec). C’est Thierry qui a attiré mon attention sur une fonte créée pour la société Adobe par Robert Slimbach (lauréat en 1991 du prix Charles Peignot de l’Association Typographique Internationale et aujourd’hui directeur de l’Adobe’s type design program). Cette fonte avait été donnée par Adobe au X-consortium, bénéficiait à ce titre d’une licence qui la rendait librement distribuable et se nommait Utopia.

Lorsqu’il s’est agi de donner un nom au système, la première idée fut de trouver un nom de mathématicien français composé d’un seul mot (exit d’Alembert) et sans accent (exit Poincaré). Le lien qui s’était créé avec Thierry Bouche lors de ce travail a fait que j’ai très vite pensé à Joseph Fourier, mais c’est l’existence d’un homonyme (Charles Fourier, donc) dont la philosophie utopiste allait si bien avec le nom de la fonte de base qui m’a vraiment décidé. Je vais maintenant ajouter que le second prénom de Robert Slimbach est Joseph.

Voilà donc en gros toute l’histoire. Michel Bovani »