Fourier et la maintenance industrielle
Les méthodes de calcul introduites par Joseph Fourier sont remarquablement fécondes, nous avons déjà évoqué les applications à la compression d’image et de sons, à l’analyse spectrale… Ce billet se propose de présenter l’apport des méthodes de Fourier à l’industrie dans ce qu’elle a de plus traditionnel.
De nombreuses machines mettent en jeu des systèmes qui tournent (axes, roues, engrenages….). Dans les cas les plus simples, la détection des défauts de roulement est évidente et leur correction est une affaire de dextérité et d’un peu de savoir faire ; aucun de ceux qui se sont essayé à régler la tension des rayons d’une roue de bicyclette ne me démentira. Quand le système est plus complexe, la localisation des défauts est plus délicate et de le rendement de la machine dépend pour beaucoup de leur bonne correction.
L’exemple ci-dessous est développé sur la page qui traite de la maintenance des systèmes mécaniques d’un site pédagogique tunisien. Nous renvoyons à ce site pour un exposé complet et détaillé des méthodes utilisées ; notre propos n’est ici que de montrer la fécondité des méthodes de calcul développées par Joseph Fourier dans un domaine fréquent en milieu industriel.
Voici, brièvement résumé la démarche exposée dans un document .pdf du site cité précédemment.
a) Un balourd génère un signal périodique qui peut être enregistré par un capteur :
b) Plusieurs balourds génèrent un signal périodique complexe. La décomposition de en série de Fourier permet de mettre en évidence chacun des balourds.
c) En pratique, on se trouve devant un signal vibratoire complexe. Cas d’un moto-compresseur.
Les vibrations réelles sont infiniment complexes, constituées d’un grand nombre de composantes d’origines multiples et modulées par un grand nombre de paramètres. Néanmoins, ces vibrations complexes peuvent se ramener a la superposition de composantes élémentaires purement sinusoïdales représentées chacune par leur amplitude Ai et leur fréquence Fi. La transformée de Fourier est un des outils utilisés a cet effet. Cette fonction mathématique réalise une transposition du signal de l’espace temporel vers l’espace fréquentiel. La représentation du signal obtenue est appelée un spectre en fréquences. La Transformée de Fourier est implémentée dans les analyseurs de spectres sous une forme appelée FFT (Fast Fourier Transform). Le spectre final contient l’ensemble des fréquences sinusoïdales (raies discrètes) constituant le signal vibratoire d’origine.
3. Définition d’un spectre
Un spectre est un graphe dans lequel sont représentées les amplitudes et les fréquences de toutes les composantes vibratoires élémentaires induites par le fonctionnement d’une machine. Chaque composante est représentée par un segment vertical appelé raie dont l’abscisse représente la fréquence et l’ordonnée, l’amplitude.
Notons que dans certains cas (raies confondues et dépassant largement du signal, …
nous ne parlons plus de raie, mais de pic.
4. Représentation graphique d’un spectre
Les spectres issus de signaux vibratoires réels sont très riches en raison du grand nombre de sources vibratoires présentes dans une machine. Par suite, les informations intéressantes dans le spectre ne correspondent pas forcement aux fréquences présentant des maxima d’amplitude. Des raies spectrales d’amplitude faibles au regard des autres peuvent être d’un intérêt de premier plan pour le diagnostic. Afin de pouvoir les visualiser, on utilise pour la représentation des spectres en fréquences une échelle logarithmique des amplitudes du signal. Ce type de représentation présente l’avantage de favoriser l’affichage des petites amplitudes et est donc recommande. /…/
Le Cepstre est un outil mathématique qui permet la mise en évidence des périodicités dans un spectre en fréquence. Il résulte de la transformée de Fourier inverse d’un spectre de puissance. Le cepstre associe a une famille de raies harmoniques ou un ensemble de bandes latérales une raie unique dans sa représentation graphique. Il est utilise pour le diagnostic des phénomènes de chocs périodiques (desserrages, défauts de dentures, écaillage de roulements) et des phénomènes de modulation en fréquence ou en amplitude. La figure 4.11 montre le spectre d’un choc dû a une usure d’accouplement et le cepstre correspondant.
