Des séries à la transformation de Fourier
Merci à Nicotupe pour l’article « Fourier… Transformation ! » où il développe largement le traitement de l’image et qui a inspiré celui-ci.
Sur ce blog, nous nous sommes naturellement déjà penchés sur les séries de Fourier ; elles ont été présentées dans un article et nous avons aussi renvoyé, dans un autre article, à animations et travaux pratiques qui permettent de tester ses idées à l’aide d’un simulateur qui donne une illustration de ce que sont les séries de Fourier.
Armé de ses connaissances de lycée, le lecteur admet facilement qu’une fonction périodique quelconque, peut être représentée par une série de Fourier. Qu’en est-il pour une fonction quelconque ?
Les gentilles ondulations de nos sinus et cosinus peuvent-elles suivre la toute naïve fonction parabolique lorsqu’elle qui grandit jusqu’à l’infini ?
La transformation de Fourier permet de calculer les coefficients à donner aux séries sinus et cosinus pour obtenir une réponse positive. Ces coefficients jouent le rôle d’un dictionnaire qui permet de passer dans tous les cas et d’une façon unique de la fonction initiale à sa représentation en série de Fourier, celle-ci est aussi unique naturellement. Le parcours inverse est possible, partant des séries de Fourier, la transformée inverse permet de déterminer la fonction. (Les coefficients forment une base libre). Selon les avantages que l’on y trouvera pour la question à traiter, on utilisera alors indifféremment la fonction initiale ou sa transformée en séries de Fourier.
Si vous avez admis sans sourciller l’assertion ci-dessus, la suite va vous paraître triviale.
L’évolution de l’intensité lumineuse le long de la droite qui traverse cette photo est une fonction. La transformée de Fourier permet de représenter cette fonction en une série de sinus et cosinus.
Plus généralement, tout fichier électronique (texte, image ou son) est une fonction… que l’on peut représenter après transformation de Fourier en une série de sinus et cosinus.
Les domaines où la transformée de Fourier s’applique et apporte un surcroît de compréhension et d’efficacité sont donc nombreux (tout particulièrement en électronique, mais pas seulement).
La musique, domaine sur lequel portaient les premières études, utilise largement la transformée de Fourier pour compresser des fichiers (le format MP3 lui doit beaucoup).
Nous avons vu, sur ce blog, comment la transformée de Fourier est utilisée pour la maintenance de systèmes rotatifs.
Le traitement de l’image est un des domaines de prédilection de la transformée de Fourier. Pour s’en convaincre, et commencer à comprendre comment, on peut lire l’article de Nicotupe sur Podcastscience.
On verra aussi que la transformée de Fourier ne pouvait trouver sa pleine application à l’époque de Fourier où, faute de moyen de calcul, elle est restée à l’état de concept. Il fallut attendre 1965 et la découverte, par Cooley et Tukey, des méthodes de calcul efficaces de la FFT (la Fast Fourier Transform – Transformée de Fourier Rapide- pour les intimes) pour que la puissance de calcul des ordinateurs se donne libre cours et fasse de la transformée de Fourier un élément incontournable de tous les labos.
