Ondes et ondelettes,
la saga d’un outil mathématique
Barbara Burke Hubbard, Belin, Pour la Sciences,1995, 235 pages, 14×21
Divers niveaux de lecture, une bibliographie copieuse à la fin de chacun des cinq chapitres, un index : le livre de Barbara Burke Hubbard mérite d’être recommandé.
Le lecteur naïf y découvrira le cheminement allant des propositions de Joseph Fourier aux dernières avancées (1995) dans le domaine du traitement du signal. Chemin faisant, il élargira sa compréhension de la notion de fonction, pourra entrevoir comment les mathématiciens explorent les espaces de dimensions infinies, comprendra les liens qui unissent parole, musique, son, image, imagerie médicale, analyse et filtrage du bruit…
Il verra comment une idée révolutionnaire, émise dans le cadre très particulier de la transmission de la chaleur dans un solide, se développe et s’impose dans des domaines très divers, s’applique à de larges pans de la recherche pure et de la recherche appliquée, devient un élément incontournable de la formation de tout scientifique.
Quelques citations :
p. 139 « Il est peu probable que les ondelettes aient un impact sur les mathématiques pures aussi révolutionnaire que celui de l’analyse de Fourier. »
p. 175 « Les contributions des ondelettes à l’analyse du signal sont d’ordre technique, mais aussi conceptuel. Selon Marie Farge, elles « nous ont obligés à réfléchir sur la signification de la transformation de Fourier, à comprendre que tout type d’analyse conduit au mélange du signal et de la fonction analysante. » …. L’analyse de Fourier est adaptée aux signaux périodiques réguliers ; l’analyse par ondelettes convient aux signaux non stationnaires, qui présentent des pics ou des discontinuités. »
L’historien des mathématiques trouvera dans ce livre une base de référence pour situer les apports des uns et des autres dans la théorie des ondelettes. Théorie dont les éléments furent établis, découverts et redécouverts plusieurs fois ; en effet, elle s’applique à des domaines divers où les chercheurs progressent à leur rythme sans faire le lien au départ avec les avancées de leurs homologues dans des domaines différents.
Le mathématicien élevé, dès le biberon à penser Transformée de Fourier, restera peut-être sur sa faim, les développements mathématiques sont en effet réduits et l’auteure n’entre pas dans le détail des démonstrations… ce qui est sans doute une qualité.
Sommaire
Introduction
- L’analyse de Fourier
- Un poème transforme notre monde
- La recherche de nouveaux outils
- Un nouveau langage acquiert une grammaire
- Les applications
- Au-delà des ondelettes
Liste des articles complémentaires
- L’analyse mathématique.
- La transformation de Fourier.
- La convergence des séries de Fourier.
- Calculer les coefficients de Fourier à l’aide d’intégrales
- La transformation de Fourier rapide
- La transformation en ondelettes continue
- L’orthogonalité et les produits scalaires
- Voyages entre espaces fonctionnels
- La multirésolution
- Les algorithmes pyramidaux de Burt et Adelson
- Les multi-ondelettes
- La transformation en ondelettes rapide
- Le principe d’incertitude de Heisenberg
- La mécanique quantique
- Les ondelettes et la vision
- Quelle ondelette?
- Les ondelettes, la musique et la parole
- La meilleure base
- La transformation d’information
Appendice
A. Les lettres grecques et symboles mathématiques
B. Quelques définitions trigonométriques
C. Les intégrales
D. La transformation de Fourier les différentes conventions
E. La transformée de Fourier d’une fonction périodique
F. Exemple de base orthonormale
G. Le théorème d’échantillonnage une démonstration
H. Le principe d’incertitude de Heisenberg: une démonstration
Bibliographie
Index
