Une transformation
‘à la manière de Fourier’
pour les littéraires
Les mathématiciens sont des gens charmants, dotés de qualités remarquables (rigueur, créativité, technicité….) mais qui ont le gros défaut d’oublier que le commun des mortels ne « parle » pas spontanément mathématique et le comprend encore moins. Lorsque j’ai demandé à tel ou tel autre mathématicien de m’expliquer la Transformation de Fourier, j’ai reçu deux types de réponses : soit l’expression dépitée de ceux qui connaissant mon niveau de culture mathématique se refusent à répondre, sachant que je ne comprendrai rien de leurs explications, soit un flot de parole, accompagné de formules, au milieu desquelles mon esprit se perd dès la première seconde.
Fourier est trop célèbre, trop cité, trop utilisé, trop surexploité pour laisser la compréhension de ses intuitions aux seuls mathématiciens ou physiciens. Quitte à filer la métaphore jusqu’à son point de rupture, nous voudrions ici, hors de toute formulation mathématique, proposer aux non-initiés une approche de ce qui est en jeu lorsque l’on parle de Transformation de Fourier. Les mathématiciens critiques de cette démarche pourront m’adresser leurs remarques et proposer une meilleure approche.
Certains ne seront pas surpris par l’approche qui est faite ici : elle n’est pas sans lien avec les travaux relatifs à l’analyse du discours, même si, à notre connaissance, c’est le lien n’a pas été fait avec la Transformation de Fourier qui s’applique à des fonctions.
Soit un texte bien connu de Jean de La Fontaine, nous nous proposons de le transformer de façon réversible. Ainsi, nous obtiendrons deux points de vue d’un même discours. Points de vue que nous pourrons mettre en concurrence pour formuler des remarques :
Texte original
Le Corbeau et le Renard
Maître Corbeau, sur un arbre perché,
Tenait en son bec un fromage.
Maître Renard, par l’odeur alléché,
Lui tint à peu près ce langage :
« Hé ! bonjour, Monsieur du Corbeau.
Que vous êtes joli ! que vous me semblez beau !
Sans mentir, si votre ramage
Se rapporte à votre plumage,
Vous êtes le Phénix des hôtes de ces bois. »
A ces mots le Corbeau ne se sent pas de joie ;
Et pour montrer sa belle voix,
Il ouvre un large bec, laisse tomber sa proie.
Le Renard s’en saisit, et dit : « Mon bon Monsieur,
Apprenez que tout flatteur
Vit aux dépens de celui qui l’écoute :
Cette leçon vaut bien un fromage, sans doute. »
Le Corbeau, honteux et confus,
Jura, mais un peu tard, qu’on ne l’y prendrait plus.
Il est possible de la transformer, de façon à obtenir ceci :
Texte transformé (fréquence / alphabétique)
, . Corbeau un ! de et l’ le Le Renard « » à bec ces en êtes fromage Maître Monsieur ne peu que sa votre vous ; A alléché Apprenez arbre aux beau belle bien bois bon bonjour ce celui Cette confus dépens des dit doute du écoute Et flatteur Hé honteux hôtes Il joie joli Jura laisse langage large leçon Lui mais me mentir Mon montrer mots odeur on ouvre par pas perché Phénix plumage plus pour prendrait près proie qu’ Que qui ramage rapporte s’ saisit sans Sans se Se semblez sent si son sur tard Tenait tint tomber tout vaut Vit voix Vous y
En fait, nous avons été un peu elliptique et cette transformation abrégée n’est pas réversible en ce qu’elle ne permet pas de retrouver le texte original ; pour que la transformation soit vraiment réversible, il convient de conserver une trace de la position des mots dans l’original, ce qui pourrait donner ceci :
Texte transformé (avec repérage des formes ce qui assure la réversibilité de la transformation)
[Corbeau $11/5 —> Corbeau $ numéro de la ligne/position dans la ligne]
, $12/7 ; $13/6 ; $14/13 ; $14/5 ; $17/7 ; $18/3 ; $18/7 ; $19/2 ; $19/7 ; $2/3 ; $2/8 ; $4/3 ; $4/7 ; $6/5 ; $8/3 ; $9/6
. $10/10 ; $13/11 ; $17/10 ; $19/13 ; $3/7 ; $6/9
Corbeau $11/5 ; $18/2 ; $2/2 ; $6/8 ; $1/2 / un $13/3 ; $17/5 ; $19/4 ; $2/5 ; $3/5
! $6/3 ; $7/11 ; $7/5 / de $10/7 ; $11/10 ; $16/4 / et $14/6 ; $18/5 ; $1/3 / l’ $16/7 ; $4/5 ; $19/10 / le $10/3 ; $11/4 ; $1/4 / Le $14/1 ; $18/1 ; $1/1 / Renard $1/5 ; $14/2 ; $4/2 /
« $14/9 ; $6/1 / » $10/11 ; $17/11 / à $5/3 ; $9/3 / bec $13/5 ; $3/4 / ces $10/8 ; $11/2 / en $14/3 ; $3/2/ êtes $10/2 ; $7/3 / fromage $17/6 ; $3/6 / Maître $2/1 ; $4/1 / Monsieur $14/12 ; $6/6 / ne $11/6 ; $19/9 / peu $19/5 ; $5/4 / que $15/2 ; $7/6 / sa $12/4 ; $13/9 / votre $8/5 ; $9/4 / vous $7/2 ; $7/7 /
; $11/12 / A $11/1 / alléché $4/6 / Apprenez $15/1 / arbre $2/6 / aux $16/2 / beau $7/10 / belle $12/5 / bien $17/4 / bois $10/9 / bon $14/11 / bonjour $6/4 / ce $5/6 / celui $16/5 / Cette $17/1 / confus $18/6 / dépens $16/3 / des $10/5/ dit $14/7/ doute $17/9 / du $6/7 / écoute $16/7 / Et $12/1 / flatteur $15/4 / Hé $6/2 / honteux $18/4 / hôtes $10/6 / Il $13/1 / joie $11/11 / joli $7/4 / Jura $19/1 / laisse $13/7 / langage $5/7 / large $13/4 / leçon $17/2 / Lui $5/1 / mais $19/3 / me $7/8 / mentir $8/2 / Mon $14/10 / montrer $12/3 / mots $11/3 / odeur $4/5 / on $19/8 / ouvre $13/2 / par $4/4 / pas $11/9 / perché $2/7 / Phénix $10/4 / plumage $9/5 / plus $19/12 / pour $12/2 / prendrait $19/11 / près $5/5 / proie $13/10 / qu’ $19/8 / Que $7/1 / qui $16/6 / ramage $8/6 / rapporte $9/2 / s’ $14/3 / saisit $14/4 / sans $17/8 / Sans $8/1 / se $11/7 / Se $9/1 / semblez $7/9 / sent $11/8 / si $8/4 / son $3/3 / sur $2/4 / tard $19/6 / Tenait $3/1 / tint $5/2 / tomber $13/8 / tout $15/3 / vaut $17/3 / Vit $16/1 / voix $12/6 / Vous $10/1 / y $19/10 /
La transformation étant faite, nous laissons à chacun le soin de l’utiliser pour analyser le texte proposé comme il l’entend ; notre propos n’est pas ici d’enrichir la critique littéraire, mais de proposer une comparaison (impertinente sans doute, mais nous l’osons cependant) pour pénétrer la pensée de Joseph Fourier. Nanti de la méthode, les plus hardis de nos lecteurs pourront se proposer de soumettre à l’Académie française une proposition établissant son bien fondé pour tout texte publié. C’est la démarche qu’a suivi Joseph Fourier au début du 19e siècle : « Ses travaux sur la propagation de la chaleur débutent en 1805 au retour d’Egypte. alors qu’il est préfet à Grenoble. /…/ Le 21 décembre 1807 il lit à l’Académie des Sciences un mémoire intitulé Théorie de la Propagation de la Chaleur dans les Solides. Mais LAGRANGE et LAPLACE firent de nombreuses objections et ce mémoire ne fut jamais publié ni par l’Académie, ni par FOURIER, ni ultérieurement par Gaston DARBOUX dans les œuvres complètes. Pourtant on est maintenant certain que DARBOUX a consulté ce manuscrit à l’Ecole des Ponts et Chaussées et il en dit grand bien. Ce n’est qu’en 1972 que l’historien des sciences anglais, GRATTAN-GUINESS, grand spécialiste de FOURIER, publiera ce premier texte sur la propagation de la chaleur. Pendant les années 1808 et 1809 FOURIER publiera de nombreuses mises au point qui essayent de répondre aux critiques de LAGRANGE et LAPLACE. Il trouve dans ce travail l’aide de POISSON. En 1811, il soumet à nouveau son mémoire, nettement amélioré, à l’Académie des Sciences. LAGRANGE souligne alors « la nouveauté du sujet et son importance » mais reste encore réservé « du coté de la rigueur ». [Extrait d’une conférence donnée devant le centre Auxerrois de l’Université pour Tous de Bourgogne, par Daniel Reisz]
Nous n’avons pas refait les calculs nous-même (nous en serions bien incapable), mais c’est par un cheminement analogue, en appliquant, en toute rigueur cette fois, la Transformation de Fourier que les mathématiciens peuvent nous proposer ces deux interprétations de l’image de Lena : notre but est atteint si le lecteur entrevoit maintenant comment les images de gauche ou de droite se déduisent l’une de l’autre.
Cette comparaison peut donner une vague idée de la Transformation de Fourier, cependant elle reste superficielle, utilisant les mots qui se retrouvent inchangés entre le texte original et le texte transformé.
Fourier, lui, transforme complètement la fonction originale en une somme d’autres fonctions de nature différente. La Transformation de Fourier permet de passer d’une fonction (souvent chaotique, – la diffusion de la chaleur dans un objet de forme complexe – l’évolution des cours de la bourse) sur laquelle il est difficile d’intervenir (les calculs de dérivation, d’intégration ne sont pas possibles) à des fonctions où ces calculs sont aisés, le prix à payer étant d’être contraint de manipuler des sommes infinies, ce qui génère des calculs monstrueux que seuls les ordinateurs sont en mesure de mener à bien.
