Le novice Fourier et les 17 droites
Nous avons déjà osé ici ou là quelques spéculations concernant le mode de pensée de Joseph Fourier. Nous nous proposons de la voir à l’œuvre sur un exemple compréhensible sans exploiter de grandes connaissances mathématiques.
A Saint-Benoît-sur-Loire, le novice Fourier meublait ses loisirs en recherchant s’il était possible de tracer 17 droites qui aient 101 points d’intersections. Un élève de l’école élémentaire conclura assez facilement que le nombre maximum de points d’intersection de 17 droites est (17 x 16) / 2, soit 136 puisque chacune des 17 droites rencontre les 16 autres soit (17 x 16) rencontres, chaque point étant compté deux fois (une fois sur chacune des deux droites sécantes).
Le nombre de points d’intersection des droites du plan est une question qui peut être abordée dès l’école élémentaire (voir Math CE2-CM, Godinat, Timon, Worrobel, exercice 624 p. 174, Hachette 2000).
Les publications de Joseph Fourier attestent qu’il avait le goût de la généralisation des problèmes. Il s’intéressa aux solutions d’un polynôme de degré quelconque ; sa théorie de la transformée d’une fonction est d’une portée très générale.
Le problème des 101 points qu’évoque Joseph Fourier dans une de ses lettres peut donc être posé ainsi : « N droites d’un plan ont au maximum n(n-1)/2 points d’intersection. Il est possible d’exhiber un tracé faisant apparaître ces n(n-1)/2 points. Il est possible aussi pour tout N de décrire un tracé avec 0 point d’intersection ; un tracé avec 1 point d’intersection ; un tracé avec n points d’intersection (si N>2). Qu’en est-il pour chacune des valeurs inférieure à n(n-1)/2 ? Proposer une construction pour le cas particulier : N=17 et 101 points d’intersection. »
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Le lecteur consciencieux mènera sa propre recherche et évitera de recourir au lien :
http://tube.geogebra.org/student/mZuE68Dbs
qui, sur Geogebra, exhibe une construction effective, exploitant points triples et droites parallèles (cette solution montre du même coup que le problème peut se résoudre aussi avec seulement 16 droites).
Ce problème a été proposé par Daniel Reisz aux adhérents de l’APMEP. Les solutions qu’ils ont trouvées sont publiées dans le numéro 517 du Bulletin vert, pages 105-106.
