Rencontrer Fourier

Rencontrer Fourier au XXe siècle

     Joseph Fourier a prouvé dans les salons de la préfecture de l’Isère qu’il savait être mondain, tenir une conversation brillante et s’adapter à tous les publics. Qu’en était-il un siècle et demi plus tard ? Qu’en est-il aujourd’hui ? Le lycéen de série L qui souhaite rencontrer Joseph Fourier peut lire avec fruit l’introduction à la Théorie de la chaleur. Joseph Fourier y expose en français courant les idées qui sous-tendent son projet… il n’est pas certain cependant que ce lycéen voie la profondeur d’un discours qu’Yves Meyer, prix Abel 2017, présentait dans une conférence donnée le 18 juin 2000 comme un programme pour les générations futures. Selon Yves Meyer, ce programme a fécondé la recherche mathématique du XIX^e siècle, puis une fois les bases mathématiques consolidées, les recherches de mathématiques et de sciences physiques du XX^e siècle et maintenant du XXI^e.

     Les lycéens de série S ne seront pas mieux armés que leurs confrères de série L pour aller au-delà de l’introduction de la Théorie de la chaleur. Les calculs que Fourier présente ensuite dans le corps de son ouvrage ne commenceront à être accessibles aux étudiants qu’après qu’ils auront suivi les premières années du programme de mathématiques de l’enseignement supérieur.

     Un mathématicien à qui je demandai ce qu’était la Transformation de Fourier m’a répondu « un dictionnaire ». Dictionnaire pour traduire une fonction exprimée dans une base à deux, trois ou n dimensions en une base à un nombre infini de dimensions ? Ai-je bien compris ? De toute façon, cette réponse concise, me reste insatisfaisante, me manquent les connaissances nécessaires en mathématiques. Je dois faire confiance au jugement enthousiaste des spécialistes pour apprécier la profondeur des innovations portées par Joseph Fourier.

     Le récit ci-dessous montre le cheminement de Pierre-Michel Duffieux dans sa rencontre avec Joseph Fourier. On y découvre comment ce chercheur a transposé de la chaleur à l’optique les méthodes de calcul de Fourier. Ce cheminement laborieux permet de mieux comprendre le propos d’Yves Meyer évoqué ci-dessus ; il permet de mieux apprécier cette remarque de Jean-Pierre Kahane « … je ne lis plus Fourier comme autrefois. Autrefois, avec l’impertinence de la jeunesse et la caution de mes aînés, je le traitais de haut. Aujourd’hui, je cherche ce qu’il veut dire et comment il a pu y arriver si bien. »

Comment j’ai pris contact

avec la transformation de Fourier

Pierre-Michel Duffieux (1891-1976)

     J’avais un peu étudié la transformation de Fourier à Bordeaux, pendant le premier trimestre de l’année scolaire 1918-1919, au cours d’Analyse Supérieure du Professeur Cousin, à la demande de mon chef militaire, le Professeur Henri Bénard. Celui-ci me fit appliquer les équations de Fourier à la mesure de coefficients de conductibilité thermique par la propagation en régime variable. Ce fut ma première publication scientifique. J’y parlais de Fourier : j’étais visiblement prédestiné, mais quand je le retrouvais 15 ans plus tard, je l’avais complètement oublié. Je fus obligé d’aller préparer l’agrégation à Paris, en octobre 1919 : Bénart [sic] fut nommé à Paris au P.C.B. et à partir d’octobre 1920 je fis de l’Optique à Marseille puis à partir de 1927 à Rennes. Là, Fabry m’obtint suffisamment de crédits pour monter le meilleur matériel interférentiel à ondes multiples. Celui dont j’avais eu l’usage à Marseille était instable, les lames petites et de qualité médiocre. En Angleterre, en Allemagne, en France on ne me promettait que des plans à A/5, exceptionnellement A/10. Steibelt, qui venait de quitter Jobin, me promit du A/20. En taillant les lames dans du quartz excellent, avec un anneau de garde pour éviter la doucine des bords, il me fit un couple au 1/40e de frange, un second au 1/20e de frange, un troisième de qualité internationale qu’il me promit de retoucher. J’avais mis au point une méthode d’établissement de la topographie des lames d’air au 200e de frange dès le début du travail; cette topographie était très compliquée.

 

     Je dus abandonner la suite : en Hollande Ostwald monta une équipe d’un genre tout à fait moderne. Il rassembla une vingtaine de spécialistes, compétents, actifs et coopératifs comme on sait l’être en Hollande. En France… et en province, il fallait renoncer. Rassurez-vous mon matériel de Rennes était encore bon quand mon élève et successeur Jean Viénot entama ses recherches sur le laser. Mais pour moi, les interférences, c’était fini. Mais en 1934 Fabry m’avait dit : « Ostwald utilise la formule de Van Cittert pour les corrections des défauts de planéité de ses lames d’interféromètre. Je l’ai essayée jadis, elle ne vaut rien ». Elle consistait à remplacer le cosinus de la formule des franges:

I (x)= (1-r)/ (1-2rcos x +r²) par l’approximation classique : cos x = 1 – x²/2

     La période des franges s’étend de -? à + ?, le maximum, « la frange » , est centré sur x = 0 et la formule ainsi corrigée est utilisable sur 30° ou 40° autour du maximum. « Cherchez quelque chose qui fasse intervenir toute la période », ajouta Fabry. Je lui garde, pour cette remarque, une reconnaissance et une estime que rien de ce qui nous a séparés depuis n’a pu éteindre. Il me disait cela au début de 1934. Aux grandes vacances, heureusement assez longues en ce temps-là pour que l’on puisse travailler, aussi bien professeurs et chercheurs qu’élèves, je me mis à l’œuvre. C’était difficile et je commençais par les aberrations des franges de deux ondes du Michelson. Au milieu de novembre, après les examens bretons, qui duraient, j’ai envoyé une note avec deux équations l’une en sinus, l’autre en cosinus, donnant : la première la condition de parallélisme optimum, l’autre la position des plans parfaits que l’on pouvait substituer aux surfaces réelles, avec toutes les corrections accessoires désirables.

    Le surlendemain matin, Fabry me téléphona à Rennes : « Qu’est-ce que c’est que ces équations ? ; où les avez-vous trouvées ? Je ne les comprends pas et aucun des opticiens que je connais n’en voudra. Trouvez autre chose, mais ça non ; ça ne passera jamais à la Revue d’Optique » .

     J’allais dans mon amphithéâtre vide, qui avait un long tableau noir et 36 places assises pour 70 P.C.N. habituels ; les autres s’asseyaient, les jambes pendantes, sur la galerie haute qui courrait sur trois côtés et servait au garçon à ouvrir et fermer mes six fenêtres. J’écrivis mes deux équations sur le tableau, je m’assis en face et je les regardai. Dieudonné vint me voir pour raisons de service. « Qu’est-ce que vous faites de ces équations ?

_ Je m’en suis servi pour étudier les aberrations des franges du Michelson et Fabry me demande où je les ai trouvées et qu’est-ce que c’est.

_ Mais ce sont les équations de la transformation de Fourier, série, et réduites au premier terme ! ». C’était vrai, et à travers 15 ans d’abandon je revis le cours de Cousin de1918. Je pardonne à Dieudonné son mépris pour Euclide et son cri de guerre nicéen : « Mort au triangle » .

     J’eus en janvier un troisième secours. Je m’étais remis à Fourier. Dieudonné m’avait vu en première vitesse et fait passer en seconde, mais en janvier suivant une visite presque banale me mit définitivement en 4^e et je n’eus plus qu’à m’occuper moi-même de l’accélérateur.

     Un matin où j’étais très libre, je reçus un ingénieur de l’Institut d’Optique qui représentait la maison Mader-Ott. Il me montra des appareils de mathématiques et les catalogues de la maison Mader. Je lui pris tout de suite un très beau planimètre d’Amsler. Il me proposa un dispositif nouveau qui en faisait un analyseur harmonique, plus lent que le Corradi, mais beaucoup moins cher et en réalité plus rapide quand on ne demandait que les premiers harmoniques. Tandis qu’il montait les deux appareils, je feuilletais la notice qu’il m’avait ouverte et j’eus tout de suite une révélation hallucinante. Il y avait sur le catalogue la série type de Fourier :

F (x) = a₀/2 + a₁ cos 2 ? (x/p) + a₂ cos 2 ? (2x/p)  + ….

Mais je lui substituais la série bien connue que je venais d’enseigner à mes élèves de licence et que je regardais depuis 2 mois :

I(x)= 1/2 + r cos 2 ? (x/p) + r² cos 2 ? (2x/p) + ….

     Ce mélange des deux séries ne me troubla pas et je me dis : « Si tu multiplies tous les rⁿ par les a_n, tu pourras représenter par cette série toutes les déformations de franges que tu voudras ; la relation entre F(x) et I (x) est une question de mathématiques pures ».

     J’achetais immédiatement l’analyseur avec toutes ses roues dentées ; nous fîmes les factures en trois exemplaires dont un sur timbre et le représentant de Mader-Ott (Bavière), qui rentrait à Paris eut l’obligeance de me laisser l’analyseur tout monté sur la table. Il est actuellement à Besançon aux travaux pratiques du certificat de licence.

     Quant au catalogue décisif de 1935, je l’ai demandé récemment à M. Bulabois qui a eu longtemps la conduite des travaux pratiques. Il l’avait mis de côté, en ayant fait venir d’autres. Comme je regardais la page de couverture assez sale, mais pas trop, il me dit : « Il a beaucoup servi ». C’est ce que je désirais.

     J’ai écrit en 1963 dans l’Education Nationale : « Il y a eu deux parts dans ma vie : j’ai d’abord cherché ma voie, puis un jour, comme cela, brusquement, je l’ai trouvée. J’ai eu quelques secondes pour choisir, j’ai choisi et depuis cet instant-là, je travaille toujours dans la même direction ». C’est à la lecture de ce catalogue que je faisais allusion.

Les a_n constituent une fonction ponctuée f₀(u), u étant la fréquence courante et les rⁿ une autre fonction ponctuée que je désigne par i₀(u) . Je connaissais donc la deuxième équation de la convolution

f₀(u) . i₀(u) = f’₀(u), mais je n’avais aucune idée de la première F(x) ? I(x) = f’(x)

     J’avais trop peu l’habitude de ce type de calcul pour me tirer vite d’affaire. J’étais d’autre part engagé dans des travaux de spectroscopie avec mon collaborateur Léon Grillet. Je fis donc beaucoup de courbes, d’intégrations graphiques et mécaniques, mais deux ans après j’avais compris. Un an de plus pour trouver la fonction I(x) des franges en ondes multiples et en 1938 j’envoyais, sur sa demande, à M. Guadet, Directeur de la Revue d’Optique, un article qu’il publia. J’avais mis sur le marché la dissipation homogène ; devenue depuis la convolution, qui est un nom beaucoup plus joli et qui fait penser aux liserons de l’été.

     Mais je dus cesser toute relation avec Charles Fabry. Il me restait heureusement Aimé Cotton qui me suivait depuis l’Ecole Normale.

     La dissipation homogène m’ouvrait directement le rôle de la diffraction dans les images. Je commençais naturellement par les images incohérentes, ou plutôt d’objets incohérents. M. Uffel, jeune candidat à Polytechnique, auquel son père, mobilisé à Rennes pendant la drôle de guerre, m’avait demandé de donner du travail, m’analysa et dessina les transformées de Fourier des figures de diffraction de la fente et de l’ouverture circulaire. Ces spectres étaient visiblement limités. En 1941, A. Cotton me pria d’exposer ces résultats dans une réunion de la Société de Physique, Place Saint-Germain-des-Prés. Personne ne me demanda d’explication, personne ne me discuta. On me laissait tomber.

     Mais après la séance, devant des demis, à la brasserie qui est en face des Deux-Magots, Fleury et Darmois qui connaissaient les pensées générales m’expliquèrent. Le silence était dû au fait que personne n’avait rien compris ; les opticiens n’avaient qu’une vague idée de Fourier et de ses mathématiques ; on ne les enseignait pas en certificat de licence. Fleury, qui comptait bien prendre la succession de Fabry à la direction de l’Institut d’Optique me demanda d’écrire pour ses ingénieurs un exposé des théories de Fourier utiles à l’Optique.

     Ce qui, dans tous les travaux, tous les aperçus que j’eus avant 1944 sur les prolongements optiques de la transformation de Fourier, parut en 1946 dans un ouvrage intitulé, en imitation de Norbert Wiener L’Intégrale de Fourier et ses applications à l’Optique. Des parties qui n’avaient pu être incorporées faute d’argent et de papier, parurent en 1945-46 dans les Annales de Physique.

     Cotton m’avait dit, en me donnant son opinion sur le manuscrit : en France vous mettrez dix ans pour réussir… à condition que vous reveniez d’Angleterre. M. Maréchal devança, très seul, les dix années prévues, mais enfin j’abandonne la suite de cette histoire au japonais Kubota, à l’australien Steel, aux suédois Ingelstam et Djurle, à l’américain Stroke, à l’anglais H.H.Hopkins qui me ramena ostensiblement en France et m’enleva Jean Viénot pour deux ans afin qu’il le prenne mieux sur place.