Maryna Viazovska et Fourier

Maryna Viazovska et Fourier

     Des quatre médailles Fields de la cuvée 2022, (Hugo Duminil-Copin, Maryna Viazovska, June Huh, James Maynard), nous nous intéresserons ici à la récompense reçue par l’ukrainienne Maryna Viazovska.

Un vieux problème revisité…

     Maryna Viazovska s’est penchée sur un problème vieux de cinq siècles puisqu’il a été formulé par Kepler en 1611 : « Combien de balles peut-on faire entrer dans une très grande boîte ? » Les producteurs de fruits et les fabricants de boulets de canons ont vite compris que le meilleur empilement suivait une forme pyramidale.

Une étude expérimentale montre qu’un empilement orthogonal est moins efficace qu’un empilement hexagonal ; dès l’époque de Képler, on connaît assez rapidement la densité maximale (dmax= ? / ?18), mais la démonstration résiste.

et complété…

C’est en 1998 que le mathématicien américain Thomas Hales a prouvé pour trois dimensions que l’empilement pyramidal était optimal. Son résultat présenté dans quelque 250 pages, a nécessité de nombreux calculs informatiques. Une démonstration longue et compliquée donc.

Maryna Viazovska, au cours de son post-doc à Berlin, a inclus le problème des sphères dans sa proposition de recherche. Elle est arrivée avec une simplicité étonnante et une élégance admirable à prouver le résultat pour des sphères de dimension 8, puis 24.

Pourquoi ces dimensions et pas les autres ? Parce que, d’une certaine manière, les choses s’arrangent bien dans ces dimensions particulières, une sorte d’agencement miracle sans que l’on en comprenne la raison profonde. Depuis quelques décennies, les indices numériques s’accumulaient sur le fait que le réseau E8 et celui de Leech étaient bien les empilements plus compacts en dimension 8 et 24. Seulement, tous les indices du monde ne constituent pas une preuve… Le 14 mars 2016, alors chercheuse postdoctorante à l’université Humboldt de Berlin, elle poste un article exhibant une fonction permettant de calculer la densité de sphères permise la plus grande pour la dimension 8, déclenchant l’enthousiasme de ses confrères et consœurs.

     Depuis la Suisse, Özlem Imamoglu, professeur au département de mathématiques de l’École polytechnique fédérale de Zurich (ETH Zurich), note que la solution à laquelle Viazovska est parvenue « en construisant des fonctions dites magiques était une réussite spectaculaire » : « L’existence de telles fonctions avait été conjecturée par (Henry) Cohn et (Noam) Elkies en 2003, mais elle est restée insaisissable malgré les efforts de nombreux mathématiciens brillants », explique-t-il à BBC Mundo. « Sa démonstration, considérée comme un chef-d’œuvre, a permis à ses collègues de bien comprendre le problème et de le généraliser pour résoudre un problème similaire, mais encore plus difficile », explique Mme Hidalgo.

…avec élégance

Elle précise que le problème de l’emballage optimal en haute dimension est toujours ouvert, car seules les configurations pour les dimensions 8 et 24 ont été trouvées.

« Il s’est avéré que c’était plus facile que je ne le pensais. » dit Maryna Viazovska lors d’une interview. Les mathématiques qu’elle a utilisées pour arriver à sa réponse sont cependant très complexes.

« Alors que Viazovska a fait, pour le problème à huit dimensions, un papier de 25 pages. Si nous enlevons l’introduction, les références bibliographiques et d’autres aspects de forme, elle a 10 ou 15 pages de mathématiques, rien de plus, et avec elles elle prouve un problème dans une dimension supérieure [à la dimension 3 démontrée par Hales], de sorte que nous pourrions dire qu’il est plus difficile que celui que Hales a prouvé… [le] travail très méticuleux, si exact, qu’il donne une démonstration plus facile à comprendre que la précédente, qui occupait des dizaines de pages… Cela ne signifie pas que ses pages de mathématiques sont simples, elles sont complexes, » dit Mme Hidalgo. Mais pour les experts, il s’agit de 10 pages de mathématiques pures.

Merci à Maryna Viazovska d’avoir jeté un pont en la théorie de nombre et la théorie analytique

Les experts soulignent qu’une des beautés de la démonstration de Maryna Viazovska est le pont qui interconnecte différents domaines des mathématiques. Son résultat d’emballage de la sphère a beaucoup à voir avec l’analyse du signal ou l’analyse de Fourier.

About cm1

R. Timon, né en 1944 a été instituteur, maître formateur, auteur de manuels pédagogiques avant d’écrire pour le Webpédagogique des articles traitant de mathématiques et destinés aux élèves de CM1, CM2 et sixième.

Category(s): Non classé

Laisser un commentaire