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Fourier et le double vitrage

samedi, octobre 27th, 2018

Fourier et le double vitrage

       L’intérêt de multiplier les couches de verre en intercalant un espace vide était connu dès les Romains. Ils équipaient leurs thermes de fenêtres doubles. Entre le XVIe et le XIXe siècle, les progrès consistent à rendre les verres transparents de plus en plus solides. Il faut cependant attendre la fin du XIXe siècle pour qu’un même battant soit envisagé comme support d’un double vitrage.

En 1865, un inventeur new-yorkais, Thomas Stetson, dépose un brevet pour une fenêtre en Insulated glass (verre isolé). Il célèbre alors les qualités thermiques et phoniques de son invention, la lame d’air entre les vitres constituant un bien meilleur isolant que le verre. Il faut pourtant attendre 1930 pour que l’entreprise CD Haven produise de façon industrielle du double vitrage.    (d’après Système D)

Le double vitrage constitue un élément important de l’isolation des habitations et il est instructif de voir comment Joseph Fourier a traité la théorie qui sous-tend cette technique. Le principe est abordé à l’article 87 (section VI du chapitre I) de la Théorie de la chaleur (1822). Pour un non-mathématicien, la lecture de ce passage est une bonne introduction à l’œuvre : pas (encore) de recours aux équations aux dérivées partielles, juste des formules de physique assez élémentaires pour être comprises du bachelier moyen. Rappelons que la Théorie de la chaleur est constituée de 433 articles regroupés en neuf chapitres, eux-mêmes divisés en sections, qui traitent progressivement des différents aspects de la théorie envisagés par Joseph Fourier. Les séries, solutions des équations différentielles rendant compte du mouvement de la chaleur qui ont fondé la renommée de l’auteur, ne commencent à être traitées qu’à partir de l’article 104, au chapitre II de l’ouvrage.

Théorie de la Chaleur, § 87 (page 75 de l’édition conservée par Gallica)

« Si le même espace était échauffé par deux ou plusieurs foyers de différente espèce [1], ou si la première enceinte était elle-même contenue dans une seconde enceinte séparée de la première par une masse d’air, on déterminerait facilement aussi le degré de l’échauffement et les températures des surfaces.

En supposant qu’il y ait, outre le premier foyer s, une seconde surface échauffée p dont la température constante soit b, et la conducibilité extérieure j, on trouvera, en conservant toutes les autres dénominations, l’équation suivante :

m – n = [(a sg/S + b sj/S) (e/K + I/H + I/h)] / [I + ( sg/S + pj/S) (e/K + I/H + I/k)]

si l’on ne suppose qu’un seul foyer s, et si la première enceinte est elle-même contenue dans une seconde, on représentera par S’, h’, k’, H’, les éléments de la seconde enceinte qui correspondent à ceux de la première, que l’on désigne par S, h, k, H, et l’on trouvera, en nommant p la température de l’air qui environne la surface extérieure de la seconde enceinte, l’équation suivante :

m – p = [(a – n) P]/ (I + P)

La quantité P représente :

 s /S (g/h + ge/k + g/H)  +  s/S’ (g/h’ + ge’/k’ + g/H’)

on trouverait un résultat semblable si l’on supposait trois ou un plus grand nombre d’enceintes successives ; et l’on en conclut que ces enveloppes solides, séparées par l’air, concourent beaucoup à augmenter le degré de l’échauffement, quelque petite que soit leur épaisseur. »

 

[1] Cette formulation, un peu obscure prise isolément ici, est explicitée dans les articles précédents où l’on peut découvrir comment est étudiée l’hypothèse de plusieurs individus enfermés dans une pièce d’habitation et concourant à l’élévation de la température de la pièce.

Fourier reconnu dans le monde entier

jeudi, août 23rd, 2018

Fourier reconnu dans le monde entier

En Chine, Fourier à Shanghai :

Deux informations en provenance de Shanghai montrent l’intérêt que les Chinois portent aux travaux de Joseph Fourier :

a) la Shanghai Fourier Intelligence Co

En 2013, une société est créée portant, en son hommage, le nom de Fourier la Shanghai Fourier Intelligence Co elle s’est fait remarquer en 2017 et en 2018 en présentant deux prototypes de robots les Fourier X1 et Fourier M2 ; ces robots, des exosquelettes, sont destinés à palier le manque de thérapeutes pour la rééducation motrice, ils peuvent aussi s’avérer utiles pour aider les personnes atteintes de la maladie de Parkinson, de lésions neurologiques permanentes ou de handicaps cognitifs graves. Leur créateur, Alex Gu, vise non seulement à conquérir le marché Chinois, mais aussi à gagner des parts de marché aux Etats-Unis et en Europe.

Fourier X et Fourier M2

 

 

b) le prix Fudan-Zhongzhi Science 2018

Par ailleurs et indépendamment, Ingrid Daubechies, professeure de mathématiques et de génie électrique et informatique à l’Université James B. Duke, a reçu le prix Fudan-Zhongzhi Science 2018 pour sa contribution à la théorie des ondelettes, une amélioration des techniques de Fourier utilisée pour compresser photos et films numériques afin qu’ils occupent moins de kilo-octets sans perte sensible d’information.

Le prix est décerné pour son travail sur l’ondelette orthogonale de Daubechies et l’ondelette biorthogonale CDF (Cohen-Daubechies-Feauveau), ses contributions dans le développement de la théorie des ondelettes et l’analyse moderne en fréquences / temps ont fondamentalement changé le traitement de l’image et du signal. Sa contribution à la compression d’images, à la conversion analogique-numérique et aux algorithmes de seuillage pour les problèmes inverses a révolutionné l’analyse de données et le calcul scientifique.

Le Fudan-Zhongzhi Science Award a été créé conjointement par l’Université Fudan et le Zhongzhi Enterprise Group en 2015 pour récompenser les scientifiques du monde entier qui ont accompli des réalisations fondamentales et remarquables dans les domaines de la bio-médecine, de la physique et des mathématiques.

Madame Daubechies sera honorée lors d’une cérémonie le 16 décembre 2018 à Shanghai, en Chine. Elle recevra un certificat, un trophée et 3 millions de yuans (440 000 dollars) donnés par Zhongzhi Enterprise Group.

En Australie :

L’entreprise Fourier se développe en Australie depuis 1998 sous l’impulsion d’Adrian Sheedy.

En Allemagne, c’est la société Nielsen qui a tenu a présenter à la chancelière, Angela Merkel son F1 (pour Fourier one), matériel spécialité dans l’enregistrement d’électroencéphalogrammes sans fil à contacts secs.

« Le casque F1 a le potentiel de révolutionner l’expérience du patient et de fournir la technologie nécessaire pour la surveillance de la santé à domicile, car le F1 semble être aussi adapté pour lire l’EEG à la maison. Cela pourrait réduire les coûts et éviter un suivi hospitalier coûteux des patients suspectés d’avoir des convulsions ou qui ont besoin d’EEG pour d’autres troubles neurologiques », a déclaré le Dr Robert Knight, professeur de neuroscience à UC Berkeley et conseiller scientifique en chef chez Nielsen Consumer Neuroscience.

En Inde :

Fourier est présent aussi en Inde où Unacademy, la plus grosse plate-forme d’enseignement en ligne en Inde, multilingue, avec des intervenants internationaux de qualité et des ambitions bien au-delà de l’Inde, a mis en ligne en 2018, une petite animation, fort bien faite. Plutôt cool, non ?

En tapant ‘Fourier’ dans le moteur de recherche de ce site, plusieurs cours apparaissent (que nous n’avons pas testés).

 

En Israël

On trouve un site tout à la fois d’enseignement et d’applications industrielles qui se réclame de Joseph Fourier.

à suivre…  car  la liste n’est certainement pas exhaustive. Nous avons cru repérer une startup à Singapour, une autre (plus petite ?) en Californie et une (prometteuse) dans le monde hispanique… attendons de voir ce qu’elles deviennent. Il y a aussi une multinationale basée en Afrique du Sud, mais la filiation avec Fourier est incertaine.

Fourier aujourd’hui

mercredi, mars 14th, 2018

Fourier aujourd’hui

(un colloque à l’Institut de France)

Fourier aujourd’hui, page de couverture

C’est l’Académie des sciences qui ouvre les commémorations marquant le 250e de la naissance de Joseph Fourier avec un colloque qui se tient le 13 mars 2018 à la Fondation Simone et Cino Del Duca.

Ceux qui n’ont pu trouver place dans la salle de conférence peuvent se rabattre sur l’enregistrement vidéo de 138 minutes qui a été réalisé à cette occasion. Ce sont succédés Jean Dhombres, Bernard Derrida, Gilles Pisier, Ingrid Daubechies qui ont répondu aux questions de la salle où se trouvaient nombre de mathématiciens, enseignants et chercheurs de haut niveau.

L’initiative de ce colloque revient à Jean-Pierre Kahane (†) qui après avoir œuvré pour la reconnaissance de l’originalité et de la fécondité de la pensée de Fourier aurait été heureux de voir qu’il est aujourd’hui revenu au tout premier plan (Ingrid Daubechies notait qu’à l’instant où elle parlait, un tiers des ordinateurs en service dans le monde étaient occupés à calculer des Transformées de Fourier). Les débats ont montré que si la Transformée et les outils de Fourier étaient efficaces et incontournables, tout n’avait pas encore été découvert. Les recherches qui continuent sont riches de perspectives.

Fourier et le dessin s’anime

lundi, février 19th, 2018

Fourier… et le dessin s’anime.

 

Quand l’administrateur de ce site lit une phrase comme celle-ci sur un blog :

« Quand on voit cette animation [figure de gauche], on est en droit de ce demander par quelle sorcellerie une telle prouesse est possible ? Pour le savoir, il va falloir fouiller du côté des épicycloïdes et de la théorie de Fourier»

…il ne peut que se précipiter. Voici l’adresse, je vous laisse découvrir : ici .

http://eljjdx.canalblog.com/archives/2018/02/15/36145181.html

Merci à « El Jj » pour ce petit bijou.

L’étude des formes des trajectoires avec des épicycloïdes est un ancien problème d’astronomie. Aujourd’hui, l’étude des formes de courbes à partir de « descripteurs de fourier », qui possèdent des propriétés dites d’invariance, très prisées, ce notamment à des fins de reconnaissance automatique, est un domaine de recherche vivant voir des exemples ici.

 

 

 

Yves Meyer au-delà de Joseph Fourier

mardi, mars 21st, 2017

© Yves Meyer – B. Eymann – 2015 Andrew Ostrovsky

Fourier, un programme toujours actuel

et un chercheur couronné :  

Yves Meyer, prix Abel 2017

 

     Le chercheur de l’École normale supérieure, Yves Meyer, reçoit le prix Abel 2017 pour « son rôle crucial dans le développement mathématique de la théorie des ondelettes ». Les travaux qui lui valent cet honneur se situent donc dans le droit fil des travaux de Joseph Fourier.

     L’Académie norvégienne des sciences et des lettres vient d’attribuer le prix Abel 2017 au mathématicien Yves Meyer, de l’Ecole Normale Supérieure. Ce prix est attribué pour l’ensemble d’une œuvre ; l’Académie norvégienne des sciences et des lettres dans son annonce précise cependant qu’il a été donné « pour son rôle majeur dans le développement de la théorie mathématique des ondelettes ». Le site images des mathématiques a rendu compte de cet événement.

     C’est la quatrième fois que ce prix de 675 000 euros, soit 6 millions de couronnes norvégiennes, attribué chaque année depuis 2003, récompense un mathématicien français. Yves Meyer, membre de l’Académie des sciences en France et membre associé de la NAS, académie des sciences des Etats-Unis, est déjà récipiendaire de nombreux prix dont le prix Gauss de l’Union mathématique internationale. Yves Meyer a d’abord travaillé sur des problèmes en théorie des nombres avant de s’intéresser à l’analyse harmonique, qui consiste à décomposer un objet mathématique complexe en une série d’ondes plus simples. Il a ainsi participé à la construction de la théorie des ondelettes avec Jean Morlet, Alex Grossmann, Ingrid Daubechies et Stéphane Mallat. Yves Meyer s’est ensuite intéressé à des problèmes mathématiques liés à la mécanique des fluides. Comme le rappelle une biographie publiée par l’Académie des Sciences lors de l’annonce de son prix.

     Pour faire connaissance avec Yves Meyer, il est aussi possible de suivre une conférence qu’il a donnée en 2000  sur la révolution numérique et les ondelettes, conférence qui est conservée à l’Université de tous les savoirs. Dans cette vidéo, en introduction à son exposé, le conférencier lit deux pages extraites du discours préliminaire à la Théorie de la chaleur qu’il nous présente comme un programme proposé dès 1822 aux futures générations de savants pour explorer l’univers par l’analyse mathématique et dont on recueille aujourd’hui les fruits. C’est un vibrant hommage qui est rendu à Fourier, une filiation pour les travaux menés.

     Nous avons déjà évoqué ici les travaux d’Ingrid Daubechies. Rappelons brièvement, sans entrer dans des explications détaillées, le principe des ondelettes et pour ce faire nous suivrons Marie Farge et Stéphane Jaffard dans leur présentation des Ondelettes. L’analyse de Fourier donne accès aux fréquences étudiées, mais ne permet pas de connaître l’instant d’émission ni sa durée [l’analyse d’un thème musical rendra compte des divers instruments, mais indiquer quand et suivant quelle durée chaque instrument intervient]. L’analyse par ondelettes donne accès aux instants d’émission et à leur durée, par contre, elle est imprécise sur l’ordre de grandeur des fréquences [dans notre thème musical on sait quand et combien de temps chaque instrument joue, mais sans savoir quelles notes]. L’utilisation de fenêtres glissantes permet l’accès aux trois paramètres fréquence, instant d’émission, durée. La précision peut être améliorée par l’utilisation de fenêtres adaptatives.

Un exemple trouvé ici de résultats du traitement du signal obtenu par ondelettes (wavelet).

De nombreux auteurs travaillent dans ce domaine ;

toujours actuel, citons le livre de Gasquet et Witcomski, paru en 2001 chez Dunod.

 

 

 

Ou encore sur le Net le cours de Valérie Perrier  : Application de la théorie des ondelettes, Laboratoire de Modélisation et Calcul de l’IMAG, Institut National Polytechnique de Grenoble (Enseignement UNESCO, Traitement du signal et des images numériques, Tunis, ENIT, 14-18 mars 2005)

 

 

Shannon

mercredi, octobre 12th, 2016

Shannon …et Fourier

     A l’heure où les maisons de retraite rivalisent à qui hébergera le plus grand nombre de centenaires, l’Américain Claude Elwood Shannon (30 avril 1916 – 24 février 2001) aurait presque pu être l’un d’eux. C’est donc d’un quasi contemporain qu’il est question ici. Quel rapport avec Joseph Fourier dont on fêtera bientôt, en 2030, le bi-centenaire du décès ?

Shannon : Voyons ce que dit Wikipedia : Claude Shannon, ingénieur en génie électriaffiche Shannonque et mathématicien, le père fondateur de la théorie de l’information. Son nom est attaché à un célèbre « schéma de Shannon » très utilisé en sciences humaines[1]. Claude Shannon, utilise l’algèbre de Boole pour sa maîtrise soutenue en 1938 au Massachusetts Institute of Technology (MIT). Il y explique comment construire des machines à relais en utilisant l’algèbre de Boole pour décrire l’état des relais (1 : fermé, 0 : ouvert).

      Shannon travaille vingt ans au MIT, il travaille aussi aux laboratoires Bell. Claude Shannon est connu non seulement pour ses travaux dans les télécommunications, mais aussi pour l’étendue et l’originalité de ses hobbies, comme la jonglerie, la pratique du monocycle et l’invention de machines farfelues etc. L’un de ces « gadgets » présente un intérêt conceptuel : « Claude Shannon voulut élaborer une Machine inutile, sans finalité : on la met en marche en appuyant sur une touche « on » ; mais les choses prennent alors une tournure surprenante, car cette mise sous tension déclenche un mécanisme provoquant aussitôt l’arrêt du gadget en mettant l’interrupteur sur « off » ! Ce type de comportement insolite caractérise les situations ubiquitaires où la communication réside paradoxalement dans l’absence de communication, l’utilité dans l’absence d’utilité. Exemples : « La mode, c’est ce qui se démode » (Jean Cocteau).

      Il popularise l’utilisation du mot bit comme mesure élémentaire de l’information numérique. Ainsi, il faut au moins un bit (ou 1 Shannon) pour coder deux états (par exemple « pile » et « face », ou plus généralement 0 et 1). Dans le domaine des télécommunications, la relation de Shannon permet de calculer la valence (ou nombre maximal d’états) en milieu perturbé.

      Un apport essentiel des travaux de Shannon concerne la notion d’entropie. Il a ainsi établi un rapport entre augmentation d’entropie et gain d’information, montré l’équivalence de cette notion avec l’entropie de Ludwig Boltzmann en thermodynamique. La découverte du concept ouvrait ainsi la voie aux méthodes dites d’entropie maximale, donc au scanner médical, à la reconnaissance automatique des caractères et à l’apprentissage automatique. Son nom est associé à plusieurs théorèmes, le théorème d’échantillonnage de Nyquist-Shannon sur l’échantillonnage (aussi appelé critère de Shannon), le premier théorème de Shannon sur la limite théorique de la compression, le deuxième théorème de Shannon sur la capacité d’un canal de transmission.

     Souffrant de la maladie d’Alzheimer dans les dernières années de sa vie, Claude Shannon meurt, à 84 ans, le 24 février 2001, à Medford, dans le Massachusetts.

Pour marquer le centenaire de sa naissance la Société Mathématique de France a proposé une conférence de Josselin Garnier à la Bibliothèque nationale de France le 13 avril 2016 : Claude Shannon et l’avènement de l’ère numérique.

Un colloque est organisé à l’Institut Henri Poincaré du 26 au 28 octobre 2016 dont le programme détaillé est ici au format .pdf. Ceux qui n’ont pu y assister peuvent découvrir les conférences mises en ligne sur YouTube par l’Institut Henri Poincaré. Le Mathouriste qui lui a assisté à l’événement en rend compte sur son site, sous forme de morceaux choisis, enrichi par d’autres conférences (dont celles du cirm à recommander aux débutants) et une sélection de liens vers des textes originaux ou ceux de commentateurs choisis.

Citons encore une exposition est proposée au Musée des Arts et Métiers, du 13 décembre 2016 au 12 mars 2017 : Shannon, le Magicien des Codes, avec aussi des conférences.

 

 … et Fourier

     Oui, mais où est Fourier dans tout cela ? Le mot échantillonnage qui apparaît ci-dessus peut mettre sur la voie. En associant Shannon et échantillonnage dans un moteur de recherche, on découvre un article qui confirme l’intuition première. Le théorème d’échantillonnage et la FFT sont les deux mamelles du traitement numérique de l’information ! Quelqu’un le dit très bien, c’est Barbara Burke-Hubbard, dans un délicieux petit livre dont nous avons parlé déjà ici : « Ondes & Ondelettes » (Belin). Rappelons qu’il s’agit d’un ouvrage d’excellente vulgarisation, prix d’Alembert 1997. Le rôle du théorème est présenté aux pages 47-48, sa démonstration aux pages 216-217 (sans s’attarder sur les détails , mais faisant bien ressortir les idées). Laquelle démonstration a recours à la transformée de Fourier…

[1] Pour décrire la communication entre machines, l’article de 1948 et le livre de 1949 commencent tous deux par un « schéma » qui connut dès lors une postérité étonnante en sciences de l’information et de la communication (SIC), au point que Shannon s’en étonna et s’en dissocia. Le schéma modélise la communication entre machines :

    source ? encodeur ? signal ? décodeur ? destinataire, dans un contexte de brouillage.

Conçu pour décrire la communication entre machines, ce schéma modélise imparfaitement la communication humaine. Pourtant, son succès est foudroyant. L’une des explications de ce succès est le fait qu’il se fond parfaitement dans une approche béhavioriste des médias. De plus, ce schéma dit canonique donne une cohérence et une apparence de scientificité.

 

 

Le prix Bull Joseph Fourier 2015

mardi, avril 19th, 2016

Prix Bull Joseph Fourier, 2015

[Nous avons déjà évoqué sur ce site comment les techniques de Joseph Fourier permettaient de réaliser la maintenance rationnelle et d’établir un diagnostique de panne précis de moteurs ou de systèmes mécaniques rotatifs. Avec de meilleurs moyens de calcul, il est possible d’établir de même un diagnostique précis des pannes de la machine humaine.]

Premier prix, une recherche sur l’imagerie médicale :

Le prix Bull-Joseph Fourier 2015[1] a été décerné à deux équipes pour leur importante contribution au progrès des connaissances dans la science et l’innovation ainsi qu’au développement des méthodes de simulation. Il a été remis le 12 avril 2016[2].

Le premier prix Bull-Joseph Fourier 2015 a récompensé cette année Frédéric Nataf et l’ensemble de son équipe[3] pour leur projet de visualisation des accidents vasculaires cérébraux grâce au HPC, dont les résultats permettront à terme une prise en charge plus rapide et plus efficace des patients, et donc de sauver des vies.

Menés en collaboration avec la société d’imagerie médicale EMTensor, ces travaux de simulation démontrent la faisabilité d’une technique d’imagerie novatrice basée sur les micro-ondes permettant la différentiation en moins de 15 minutes entre les deux types d’AVC (ischémique ou hémorragique) et utilisable dès la prise en charge du malade puis lors de son suivi pendant l’hospitalisation.

Remise du prix Bull Joseph Fourier 2015

Prix Bull Joseph Fourier 2015

Frédéric Nataf, Directeur de Recherche au CNRS :  « Chaque année, en France, 120 000 personnes sont victimes d’un accident vasculaire cérébral. Or, il y a deux types d’AVC : l’un hémorragique, qui nécessite d’accélérer la coagulation, et l’autre ischémique, qui requiert au contraire de fluidifier le sang. Et il n’existe pas de moyen simple de les distinguer ! Il faut pour cela procéder à une IRM ou à un scanner, ce qui retarde d’autant la prise en charge alors que chaque seconde compte. Avec plusieurs partenaires universitaires, nous avons monté un projet destiné à valider la faisabilité d’une nouvelle solution, beaucoup plus légère, imaginée par la société autrichienne EMTensor. À partir de mesures électromagnétiques, recueillies à l’aide d’un casque placé sur la tête du patient, un supercalculateur produit une image 3D du cerveau sur laquelle la lésion apparaît visiblement. L’objectif était d’y parvenir en moins de 15 minutes, de manière à obtenir un premier diagnostic rapide, mais aussi de pouvoir assurer le suivi des patients. »

Comment le calcul parallèle vous a-t-il permis de relever ce défi ?

« Nous avons recouru à deux librairies de calcul open source que nous développons au laboratoire Jacques-Louis Lions de l’Université Pierre et Marie Curie, FreeFem++ et HPDDM. Ce sont des outils qui permettent de formuler une grande variété de problèmes physiques – mécanique, thermodynamique, acoustique, électromagnétisme… – de manière à pouvoir les traiter de façon parallèle. En les utilisant pour modéliser la propagation dans le cerveau des ondes émises et reçues par les 160 capteurs du casque, il nous a suffi de 320 secondes pour reconstituer une image de qualité suffisante avec une machine de 4 000 cœurs. Soit beaucoup moins que les 15 minutes requises, et bien moins que les 1 à 2 heures qu’il fallait précédemment. Un tel résultat permet aujourd’hui d’envisager le développement d’un dispositif opérationnel, dont les bénéfices médicaux seront considérables. »

En quoi ce succès préfigure-t-il le calcul intensif de demain ?

« Alors que l’accès à de gros calculateurs de plusieurs centaines à plusieurs milliers de cœurs se banalise, les logiciels ne sont pas toujours conçus pour en exploiter pleinement le potentiel. Or, les innovations technologiques actuelles en matière de recueil et de transmission de l’information, comme l’Internet des objets, font émerger d’immenses besoins de traitement en temps réel, dans le domaine médical, comme ici, mais aussi dans l’agriculture, l’industrie, la protection civile… Y répondre va nécessiter des outils logiciels adaptés aux supercalculateurs de nouvelle génération, mais aussi suffisamment souples et versatiles pour pouvoir modéliser aisément une grande variété de problèmes. Ce projet démontre que FreeFem++ et HPDDM répondent précisément à ce besoin et qu’ils sont capables d’applications diversifiées et performantes. »

 

Deuxième prix pour la création de nouveaux matériaux : L’équipe qui reçoit le deuxième prix Bull-Joseph Fourier 2015, associe Antoine Levitt, chargé de recherche à Inria et Marc Torrent, Chef de laboratoire au Commissariat à l’Energie Atomique et aux Energies Alternatives (CEA).

    Créer de nouveaux matériaux, sans recourir à l’expérience, et pouvoir prédire leurs propriétés, grâce à de puissantes techniques de simulation de leur structure électronique, c’est ce que vont permettre les travaux de recherche que le deuxième prix Bull-Joseph Fourier 2015 récompense. En parallélisant le logiciel « ABINIT » largement utilisé dans le monde de la recherche, et en lui permettant de profiter de la puissance des très grands supercalculateurs, ce qu’il ne pouvait faire auparavant, l’équipe récompensée ouvre ainsi la voie au « material by design » : définir de nouveaux matériaux répondant à des cahiers des charges précis, par la mise à disposition d’une très large base de données de prédiction de propriétés de matériaux, et non pas à la suite d’expériences souvent longues, coûteuses et hasardeuses. Tous les secteurs demandeurs de matériaux innovants sont concernés : l’aéronautique, la chimie, la santé et bien d’autres encore.

 

[1] Le Prix Bull-Joseph Fourier consacre chaque année les travaux d’équipes de recherche, académiques ou industrielles dans le domaine de la simulation numérique et du calcul intensif en France. Créé par Bull, la marque des technologies matériel et logiciel du groupe Atos, en association avec GENCI (Grand Equipement National de Calcul Intensif), le Prix Bull – Joseph Fourier est doté d’un premier prix de 15 000 euros et d’un second prix constitué en dotation de temps machine sur des supercalculateurs de GENCI.

 

[2] La première édition du prix Bull Joseph Fourier s’est tenue en 2009.

[3] L’équipe de recherche est composée de Frédéric Nataf, Directeur de recherche au CNRS, Frédéric Hecht, Professeur, et de Pierre-Henri Tournier Post doctorant du laboratoire J.-L. Lions de l’Université Pierre et Marie Curie, projet Alpines-INRIA ; de Victorita Dolean, Reader at Department of Mathematics and Statistics of University of Strathclyde (Glasgow, UK) et Laboratoire J.-A. Dieudonné de l’Université de Nice-Sophia Antipolis; de Pierre Jolivet, Chercheur CNRS de l’IRIT-ENSEEIHT de Toulouse

Prédire les marées

samedi, janvier 9th, 2016

La prédiction des marées

Kelvin et Fourier / Fourier et Kelvin … et M. Légé

       Nous avons déjà, sur ce site, dans un article concernant l’âge de la Terre, évoqué William Thomson, alias Lord Kelvin (1824-1907). Le Mathouriste nous donne l’occasion de découvrir une autre facette du travail de ce grand physicien, elle aussi liée aux études de Fourier, comme cela se révèle progressivement au fil de la lecture. Il s’agit de la prédiction des marées. Le sujet est ardu, mais très important pour tout marin qui s’approche d’un port.

       Lord Kelvin était, dès sa jeunesse, un grand admirateur de Fourier; il avait eu comme un coup de foudre pour son traité, qu’il avait découvert en 1839, à l’âge de 15 ans : « J’étais rempli de la plus profonde admiration pour la splendeur et la poésie qui émanaient du livre de Fourier. […] Aussi, le 1er Mai, le jour même où les prix furent remis, j’empruntais son ouvrage à la bibliothèque de l’Université et je le dévorais sans relâche ; en une quinzaine, j’en maîtrisais la matière. » [Lord Kelvin]

       Les lecteurs qui, enfant, ont démonté des horloges pour en comprendre le mécanisme vont retrouver des plaisirs oubliés. Dans cet article, ils découvriront comment le mathématicien se tourne vers la mécanique de l’horloger pour résoudre ses équations. Comment les machines ainsi fabriquées sont utilisées pour remplir les éphémérides de marées disponibles auprès des Offices de tourisme des stations balnéaires ? (Honte à moi qui en ai consommé un certain nombre sans me soucier de savoir d’où provenaient les données qu’ils contiennent.)

On découvrira un lien entre les machines de Kelvin et le Jour le plus long.

Merci au Mathouriste de nous faire entrer au cœur de l’activité des savants, sans édulcorer leurs propos tout en le conservant accessible.

Fourier et la-4G

samedi, octobre 25th, 2014

Fourier et la « 4-G »

      Après une traversée du désert de près d’un siècle, entre sa mort et les grandes avancées techniques du 20e siècle, l’académicien Joseph Fourier est revenu peu à peu sur le devant de la scène. Il est actuellement le savant dont le nom est le plus souvent cité (grâce essentiellement à la transformation qui porte son nom). Ce retour de gloire, exceptionnel, va-t-il durer ? Pour tenter de répondre à cette question, on peut, même si c’est un peu technique, regarder les dernières nouveautés techniques. Voyons donc du côté de la technologie « 4-G » :

Comme souvent en ce qui concerne Joseph Fourier, toute tentative de vulgarisation butte rapidement sur des concepts ardus. Pour les techniciens, nous reproduisons ci-dessous intégralement un article de Wikipedia que nous avons renoncé à résumer. Le lecteur non-technicien (qu’il nous pardonne la technicité du propos) pourra tout de même entrevoir pourquoi nous avons, sur ce même site, effleuré la question de l’orthogonalité, d’une part, et constater, d’autre part, sur le schéma (ci-dessous au paragraphe : principes) que les DFT (Discrete Fourier Transform) et IDFT (DFT inverse) apparaissent deux fois chacune en des points clés et sont indispensables à l’application.

Si l’on note que la variante SC-FDMA fait de la même manière appel aux transformées de Fourier et transformées inverses, on peut conclure sans risque d’erreur que grâce à la transformation des fonctions qu’il a imaginée, le nom de Fourier ne va pas tout de suite retomber dans l’oubli.

[d’après Wikipedia]

L’OFDMA (ou Orthogonal Frequency Division Multiple Access) est une technique de multiplexage et de codage des données utilisée principalement dans les réseaux de téléphonie mobile de 4e génération. Ce codage radio associe les multiplexages en fréquence et temporel ; c’est-à-dire les modes « Accès multiple par répartition en fréquence » (AMRF ou en anglais FDMA) et « Accès multiple à répartition dans le temps » (AMRT ou en anglais TDMA). Il est notamment utilisé dans les réseaux de téléphonie mobile 4G LTE, LTE Advanced et WiMAX mobile (IEEE 802.16e).

L’OFDMA ou l’une de ses variantes sont aussi utilisées dans d’autres systèmes de radiocommunication, telles les versions récentes des normes de réseaux locaux sans fil WIFI (IEEE 802.11 versions n et ac, IEEE 802.22 et WiBro) ainsi que par certaines normes de télévision numérique.

Comme pour d’autres techniques de codage permettant l’accès multiple (TDMA, FDMA ou CDMA), l’objectif est de partager une ressource radio commune (bande de fréquence) et d’en attribuer dynamiquement une ou des parties à plusieurs utilisateurs.

Origine :

L’OFDMA et sa variante SC-FDMA sont dérivées du codage OFDM (utilisé par exemple sur les liens ADSL, DOCSIS 3.1 et dans certains réseaux WiFI), mais contrairement à l’OFDM, l’OFDMA permet et est optimisé pour l’accès multiple, c’est-à-dire le partage de la ressource spectrale (bande de fréquence) entre de nombreux utilisateurs distants les uns des autres. L’OFDMA est compatible avec la technique des antennes MIMO .

L’OFDMA a été développé comme une alternative au codage CDMA, utilisé dans les réseaux 3G UMTS et CDMA2000. L’OFDMA est principalement utilisé dans le sens de transmission downlink (antenne-relais vers terminal) des réseaux mobiles car il permet pour une même largeur spectrale, un débit binaire plus élevé grâce à sa grande efficacité spectrale (nombre de bits transmis par Hertz) et à sa capacité à conserver un débit élevé même dans des environnements défavorables avec échos et trajets multiples des ondes radio. Ce codage (tout comme le CDMA utilisé dans les réseaux mobiles 3G) permet un facteur de réutilisation des fréquences égal à « 1 », c’est-à-dire que des cellules radio adjacentes peuvent réutiliser les mêmes fréquences hertziennes.

Principes

Le codage OFDMA consiste en un codage et une modulation numérique d’un ou plusieurs signaux binaires pour les transformer en échantillons numériques destinés à être émis sur une (ou plusieurs) antennes radio ; réciproquement, en réception, le signal radio reçoit un traitement inverse.

Schéma_1

Modulations radio OFDMA et SC-FDMA : codage et conversions numérique/analogique. Glossaire :

DFT (Discrete Fourier Transform) : Transformée de Fourier discrète, Subcarrier Equalization : Égalisation des sous-porteuses, IDFT : DFT inverse, CP (Cyclic Prefix) : Préfixe cyclique, PS (Pulse Shaping) : mise en forme des impulsions, S-to-P : Transformation Série-Parallèle, DAC (Digital-Analog Converter) : Convertisseur numérique-analogique, RF (Radio Frequency) : Fréquence radio.

Les blocs « en jaune » (seconde transformée de Fourier et conversion série/parallèle associée) sont spécifiques au SC-FDMA.

Le principe de l’OFDMA est de répartir sur un grand nombre de sous-porteuses les données numériques que l’on veut transmettre, ce qui induit, pour un même débit global, un débit binaire beaucoup plus faible sur chacun des canaux de transmission ; la durée de chaque symbole est ainsi beaucoup plus longue (66.7 µs pour le LTE) que s’il n’y avait qu’une seule porteuse. Cela permet de limiter les problèmes d’interférences inter-symboles et de fading (forte atténuation du signal) liés aux « chemins multiples de propagation » qui existent dans les liaisons radio de moyenne et longue portées car quand le débit binaire sur une porteuse est élevé, l’écho d’un symbole arrivant en retard à cause d’une propagation multi-trajets perturbe le ou les symboles suivants.

La figure suivante décrit l’utilisation des sous porteuses : celles en noir, en vert et bleu (les plus nombreuses) transportent les données des utilisateurs, celles en rouge, les informations de synchronisation et de signalisation entre les 2 extrémités de la liaison radio.

 

Schéma_2

 

Représentation et rôle des sous-porteuses

Un filtrage séparé de chaque sous-porteuse n’est pas nécessaire pour le décodage dans le terminal récepteur, une « transformée de Fourier » FFT est suffisante pour séparer les sous-porteuses l’une de l’autre (dans le cas du LTE, il y a jusqu’à 1200 porteuses indépendantes par sens de transmission)[1].

Orthogonalité (le « O » de OFDMA) : en utilisant des signaux orthogonaux les uns aux autres pour les sous-porteuses contiguës, on évite les interférences mutuelles. Ce résultat est obtenu en ayant un écart de fréquence entre les sous-porteuses qui est égal à la fréquence des symboles sur chaque sous-porteuse (l’inverse de la durée du symbole). Cela signifie que lorsque les signaux sont démodulés, ils ont un nombre entier de cycles dans la durée du symbole et leur contribution aux interférences est égale à zéro ; en d’autres termes, le produit scalaire entre chacune des sous-porteuses est nul pendant la durée de transmission d’un symbole (66.7 µs en LTE, soit une fréquence de 15 kHz, ce qui correspond aussi à l’écart de fréquence entre 2 sous-porteuses).

 

Schéma_3

 

Exemple de modulation OFDM/OFDMA avec 4 sous-porteuses orthogonales.

L’orthogonalité des sous-porteuses permet un resserrement de leurs fréquences et donc une plus grande efficacité spectrale (voir dessin) ; cela évite aussi d’avoir une « bande de garde » entre chaque sous-porteuse.

Un préfixe cyclique (sigle « CP » dans le dessin ci-dessus) est utilisé dans les transmissions OFDMA, afin de conserver l’orthogonalité et les propriétés sinusoïdales du signal sur les canaux à trajets multiples. Ce préfixe cyclique est ajouté au début des symboles émis, il sert aussi d’intervalle de garde, c’est-à-dire un temps entre deux symboles, pendant lequel il n’y a aucune transmission de données utiles ; cela permet d’éviter (ou de limiter) les interférences inter-symboles.

Dans la partie radio (eUTRAN) des réseaux mobiles LTE, deux durées différentes de préfixe cyclique sont définies pour s’adapter à des temps de propagation différents du canal de transmission ; ces temps dépendent de la taille de la cellule radio et de l’environnement : un préfixe cyclique normal de 4,7 ?s (utilisé dans les cellules radio de moins de 2 à 3 km de rayon), et un préfixe cyclique étendu de 16,6 ?s utilisé dans les grandes cellules radio ; ces préfixes représentent de 7 à 25 % de la durée d’un symbole et réduisent donc un peu le débit utile, surtout dans les grandes cellules (zones rurales).

Avantages et inconvénients

La présence de nombreuses sous-porteuses indépendantes permet d’adapter facilement la puissance d’émission de chaque canal au niveau minimum suffisant pour une bonne réception par chaque utilisateur (qui est fonction de sa distance avec l’antenne-relais).

Il est aussi possible, grâce à la possibilité d’utilise un nombre quelconque de sous-porteuses, d’accroître la portée d’un émetteur radio, lorsqu’il est éloigné de l’antenne réceptrice, tout en limitant sa puissance d’émission (ex : 200 mW maximum pour un téléphone mobile LTE) ; ceci est réalisé en concentrant la puissance émise sur un petit nombre de sous-porteuses (plus précisément sur un faible nombre de Resource Blocks). Cette optimisation se fait au détriment du débit.

Le codage OFDMA a pour contrainte d’imposer une synchronisation très précise des fréquences hertziennes et des horloges des récepteurs et des émetteurs afin de conserver l’orthogonalité des sous-porteuses et d’éviter les interférences.

Ce codage est associé (dans les réseaux LTE et WiMAX) à des modulations de type QPSK ou QAM utilisées sur chacun des canaux (groupes de sous-porteuses), chaque canal visant un utilisateur. Les divers canaux peuvent utiliser au même instant des modulations différentes, par exemple QPSK et QAM-64, pour s’adapter aux conditions radio locales et à la distance séparant l’antenne de chaque terminal.

Pour les liaisons uplink (sens terminal vers station de base) des réseaux mobiles 4G « LTE », c’est la variante SC-FDMA qui est utilisée, car ce codage permet de diminuer la puissance électrique crête et donc le coût du terminal et d’augmenter l’autonomie de la batterie des smartphones ou des tablettes tactiles, grâce à un PAPR (Peak-to-Average Power Ratio) plus faible que celui de l’OFDMA.

 

 

 

Fourier et les médailles Fields 2014

vendredi, août 15th, 2014

Fourier et les médailles Fields 2014

      Nous connaissons maintenant le palmarès 2014 de la Médaille Fields. Un des quatre lauréats, Martin Hairer, qui est déjà multi-médaillé et membre de la Royal Society, travaille sur les équations aux dérivées partielles (EDP) stochastiques (mathématiques des processus probabilistes), domaine d’intérêt en traitement du signal comme on le découvre sur ce site du CNRS.

A partir de la page perso de Martin Hairer, on peut trouver ce cours introductif aux EDP stochastiques dans lequel on remarque que sont abordés, dans le cadre stochastique, comme exemples de « motivation », les deux EDP les plus importantes de la physique : celle de la chaleur (Fourier, Auxerre), dont on tire les principes de résolution de toutes les EDP linéaires, et celle de Navier(Dijon)-Stokes, qui cristallise toutes les difficultés et illustre une part importante de la variété des comportements non-linéaires. En somme, une bonne part de la Physique dite « classique » est Bourguignonne (surtout si on y ajoute d’autres grands personnages tel que Carnot, par exemple).

Dans ce cours, les outils d’analyse de Fourier sont utilisés seize fois.

Par ailleurs, toujours sur sa page perso, on constate que Monsieur Hairer a commis les logiciels de traitement du son suivants (évidemment basés Fourier) :

http://www.hairersoft.com/

http://man.dsd.net/amadeus/en/tools_spectrum.htm

Enfin, l’université dans laquelle il est professeur semble à la pointe sur certaines technologies liées aux outils de Fourier.

Martin Hairer

Merci à Tadeusz Sliwa, professeur  à l’Université d’Auxerre (CCSTI) de nous avoir signalé ce rapport entre les médailles Fields 2014 et le sujet que nous traitons.