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Fourier climatologue

Lundi, septembre 16th, 2019

Fourier climatologue

            A la fin du XVIIe siècle la question de l’âge de la Terre était à l’ordre du jour : il s’agissait alors de trancher qui de la Bible ou de la science avait raison.

Joseph Fourier a entrepris les études qui l’ont amené à écrire sa Théorie de la chaleur pour obtenir l’âge de la Terre par le calcul du refroidissement de la sphère terrestre (cette motivation initiale reste du domaine de spéculation puisque Fourier ne s’est pas explicitement exprimé dessus), mais il écrit dans son Mémoire sur la température du globe terrestre et des espaces planétaires (texte BibNum, p. 590) : La question des températures terrestres m’a toujours paru un des plus grands objets des études cosmologiques, et je l’avais principalement en vue en établissant la théorie mathématique de la chaleur.

Avec son texte de 1827, Fourier peut être considéré comme l’un des précurseurs de la climatologie actuelle.

Bahamas, paradis fiscal, enfer pour les habitants

 

 

 

 

 

 

 

Aujourd’hui, la question de la température de la Terre est revenue sur le devant de la scène avec le réchauffement climatique. Le rôle joué par l’atmosphère sur la température de la Terre a été étudié par Fourier qui a pensé trouver là une clef pour expliquer les difficultés d’application de la formule qu’il avait établie dans sa théorie de la Chaleur.

En matière scientifique, Joseph Fourier ne promulgue pas. Il décrit, établit, calcule, conclut. Sur un sujet aussi difficile que le climat, le commun des mortels peine à suivre une pensée qui se nourrit d’équations.

Le Mathouriste publie un article de synthèse concernant la chaleur de la Terre. Il faut saluer cette publication qui vulgarise dans le meilleur sens du terme. On y trouve, rapprochés des textes publiés à des dates différentes, l’explicitation de calculs, des images. L’équilibre entre mathématiques, citations « littéraires » et images (pour souffler un peu et éviter l’écueil d’une érudition trop aride) a été manifestement un souci de l’auteur. La partie « touristique » permet de découvrir quelques physiciens. L’explication sur la température des caves d’Auxerre est bienvenue. La conclusion citant Michel Serres s’impose.

L’œuvre de Fourier est resituée entre les travaux de ses prédécesseurs (Emilie du Châtelet, Buffon, Saussure), de ses contemporains (Lambert, Biot), de ses successeurs (Pouillet, Lord Kelvin, Darwin, Rutherford, Soddy…)

Fourier et Bézout

Samedi, août 27th, 2016

Fourier revisite Bézout

 chronologie

     Joseph Fourier s’est formé en étudiant notamment le Cours de mathématiques à l’usage de la marine et de l’artillerie par Bézout (1730-1783). Cet ouvrage nous donne l’occasion, sur un sujet abordable par un bachelier, de saisir le fonctionnement de la pensée de Fourier qui ne vénère jamais ses devanciers de façon aveugle.

la ligne droite : Pour Bézout : « La trace d’un point qui seroit mû de manière a tendre toujours vers un seul et même point, est ce qu’on appelle une ligne droite. C’est le plus court chemin pour aller d’un point à un autre : AB (fig. 1) est une ligne droite. ».

Bézout, 4e édition, complétée par Peyrard

Bézout, 4e édition, complétée par Peyrard

Remarque : Si Joseph Fourier a parfaitement compris et maîtrisé le contenu de l’ouvrage de Bézout, certains mathématiciens de l’époque n’en acceptaient pas facilement les nouveautés ; ainsi, F. Peyrard (1759-1822) qui préface en 1808 la quatrième édition du cours de Bézout écrit : « Dans cette nouvelle édition, toutes les démonstrations où Bézout fait usage de la méthode des indivisibles, ont été remplacées par des démonstrations à la manière des anciens Géomètres. »

     On trouve dans les papiers de Fourier, accessibles en ligne sur Gallica, des fragments d’un brouillon (écrit vers 1828 ?) de ce qui aurait pu devenir un manuel d’enseignement de la géométrie : « Si ayant marqué sur un plan deux points A et B, on considère tous les points m m’ m’’ m’’’ etc dont chacun est tellement situé que la distance Am est égale à la distance à Bm, et que les distances Am’ soit aussi égale à la distance Bm’ et qu’il en soit de même respectivement pour les autres points m’’ m’’’ etc  la suite de ces points est la ligne droite. Les noms A et B peuvent être regardés de même par la ligne droite m m’ m’’ m’’’»

manuscrit de Joseph Fourier

manuscrit de Joseph Fourier

Gallica : f. fr. 22.519 vue 8.

      La définition de Bézout, intuitive, n’est guère utile pour choisir la meilleure ligne droite entre Paris et New-York : celle du neutrino qui traverse la Terre sans interagir avec la matière ? Celle du projectile qui reçoit une impulsion unique au départ ? Celle du véhicule -bateau, avion- qui se propulse lui-même ?

Fourier propose une construction de la ligne droite basée sur la notion d’équidistance de points. Sa construction est valable ainsi dans une géométrie de Lobatchevski (1792-1856) ou de Riemann (1826-1866) (les grands cercles de la sphère  sont une bonne illustration, simple des droites de Riemann) et plus généralement dans tout espace muni d’une norme et d’une mesure.

Ainsi, aujourd’hui, le voyageur qui interroge son ordinateur pour trouver un itinéraire reçoit des réponses diverses[1] : trajet le plus court en kilomètres ; trajet le plus court en temps ; trajet le moins onéreux… .

[1] Le résultat de ces calculs proviennent d’algorithmes d’optimisation combinatoire -les plus connus étant Bellman-Ford et Dijkstra-. Dans le routage Internet ils s’appellent par vecteurs d’état ou par vecteurs de liens mais, en dépit du mot ont peu ou pas à voir avec les espaces vectoriels.

deux trajets minimum dans un réseau de communication

deux trajets minimum dans un réseau de communication

Il semble que les auteurs de manuels scolaires, soit qu’ils s’y sentent contraints par les programmes officiels, soit par facilité, suivent la pente de F. Peyrard et réprouvent la nouveauté. Ils associent souvent la ligne droite au fil tendu, allant au-delà de Bézout dans l’allégorie. Nous n’avons trouvé que A. Marijon pour présenter la droite comme le préconise Fourier dans ses notes : Géométrie du brevet élémentaire, ouvrage conforme aux programmes de 1920, Hatier, 1923. Les éditeurs quand à eux, s’ils sont frileux dès qu’on leur propose de sortir du cadre des programmes officiels, ne sont pas opposés à introduire dans leurs manuels quelques exercices expérimentaux[1].

[1] Cf. Godinat, Timon, Worobel, MATH CM2, Hachette, 2000, page 216, les Angles cornus (exercice n°745) et Le Trajet le plus court sur un quadrillage (exercice n° 746).

 

 

Les manuscrits de Joseph Fourier

Lundi, mars 7th, 2016

Catalogue général

des manuscrits de Joseph Fourier

conservés à la Bibliothèque Nationale de France

    Qui n’a rêvé un jour des jeter un coup d’œil par dessus l’épaule d’un maître alors qu’il est au travail ? Ce plaisir est à la portée de chacun grâce à un concours de multiples circonstances heureuses. Tout d’abord, Joseph Fourier a conservé les traces  des écrits qu’il a produit tout au long de sa vie ; à sa mort, ces papiers n’ont pas été dispersés ; Navier les a lus et classés dans le but immédiat de conclure la publication de l’Analyse des équations déterminées, ouvrage encore en chantier ; ensuite, la Bibliothèque Nationale de France s’en est porté acquéreur ; c’est dans ses fonds que Louis Charbonneau a pu les consulter dans les années 1970 et en dresser un catalogue publié rn 1993 dans les Cahier d’Histoire et de Philosophie des Sciences qu’il nous a autorisé à mettre en ligne (nous remercions chaleureusement ici l’auteur et son éditeur) ; puis une partie des 29 volumes (un peu plus de 5 000 feuillets) a été numérisée et mise au catalogue Gallica auquel chacun peut accéder.

Louis Charbonneau    Aujourd’hui, il est donc possible d’avoir accès à environ la moitié du fonds depuis un accès Internet. Le curieux pourra choisir dans le catalogue le sujet qui l’intéresse et feuilleter les écrits du savant, comparant les versions de ses projets, observant ses hésitations au travers des ratures, des ajouts. Il n’y a pas de révélations scandaleuses à attendre de cette lecture : Joseph Fourier a toujours su conserver une réserve de bon aloi et ne faire état de ses sentiments qu’avec beaucoup de mesure ; par contre on pourra y découvrir un physicien soucieux de vérifier ses calculs théoriques, d’améliorer la précision des instruments de mesure de la propagation de la chaleur, vérifiant, vérifiant encore.

Le catalogue général est proposé au format .pdf ; il suit la reliure des volumes conservés à la Bibliothèque Nationale de France. Pour l’exploiter au mieux le curieux pourra approfondir sa réflexion en en consultant les items regroupés par sujets. Une troisième entrée peut être faite en suivant la chronologie. Un index des patronymes cités vient compléter le tout.

 

manuscrits de Fourier

Samedi, février 27th, 2016

 Index des manuscrits de Fourier

conservés par la Bibliothèque Nationale de France

(par index par sujet et index chronologique)

      La Bibliothèque Nationale de France en ligne Gallica possède des œuvres imprimées et des notes manuscrites de Joseph Fourier (voir l’annexe ci-après). Sur le site Gallica, ces notes numérisées sont présentées brutes, sans sommaire. Telles quelles, elles sont d’un abord difficile ne serait-ce que par la lecture et absence de repères. Pour en permettre une exploitation plus approfondie, nous mettons à disposition du lecteur le fruit du travail de monsieur Louis Charbonneau, publié en 1994[1].

     Monsieur Charbonneau a inventorié l’ensemble des manuscrits, folio à folio. Il a dressé le catalogue des manuscrits (p. 21 à 160 de son ouvrage), en a donné un classement chronologique et par sujet (p.161 à 191) et un index des noms (p.193 à 211). Après l’index des noms, nous nous proposons de mettre en ligne au format .pdf le classement par sujet et le rangement chronologique établis par monsieur Charbonneau et publiés en 1994. Ces relevés forment le chapitre IV de l’ouvrage.

Louis Charbonneau

Louis Charbonneau

Annexe

 La Bibliothèque Nationale de France en ligne Gallica possède des œuvres imprimées de Fourier dont nous nous proposons de dresser l’inventaire. On trouve aussi numérisé par Gallica des notes manuscrites de Joseph Fourier. Ces notes sont présentées brutes, sans sommaire. Telles quelles, elles semblent d’un abord difficile ne serait-ce que par la lecture et le repérage. Pour en permettre une exploitation plus approfondie, nous mettons à disposition du lecteur le fruit du travail de monsieur Louis Charbonneau, publié en 1994[1]. Il a inventorié l’ensemble des manuscrits, folio à folio.

A – Livres :

Analyse des équations déterminées -chez Firmin Didot frères-1831  Le volume, de 282 pages, est conservé à la bibliothèque de Stasbourg.

Œuvres de Fourier / publiées par les soins de M. Gaston Darboux, sous les auspices du ministère de l’Instruction publique… -Gauthier-Villars (Paris)-1888-1890

Tome second, 654 pages (en mode image seulement)

Mémoire sur les températures du globe terrestre et des espaces planétaires -Mémoire sur la température du globe terrestre et des espaces planétaires, Mémoires de l’Académie royale des sciences de l’Institut de France, vol. 7 (1827), p. 569-604 [republication de « Remarques générales sur les températures du globe terrestre et des-1824 

 

B – Manuscrits :

f.fr. 22519 : Collection des papiers du mathématicien FOURIER. XIX Recherches de géométrie–1801-1900     104 feuillets

 f.fr. 22510 : Collection des papiers du mathématicien FOURIER. X Équations numériques –1801-1900     181 feuillets

 f.fr. 22520 : Collection des papiers du mathématicien FOURIER. XX Mécanique –1801-1900    135 feuillets

 f.fr. 22512 : Collection des papiers du mathématicien FOURIER. XII Équations algébriques –1801-1900     184 feuillets

 f.fr. 22521 : Collection des papiers du mathématicien FOURIER. XXI Théorie des parallèles et statique –1801-1900     264 feuillets

 f.fr. 22515 : Collection des papiers du mathématicien FOURIER. XV Calcul des probabilités et de l’assurance mutuelle –1801-1900     175 feuillets

 f.fr. 22507 : Collection des papiers du mathématicien FOURIER. II-VIII Analyse des équations –1801-1900     403 vues

 f.fr. 22506 : Collection des papiers du mathématicien FOURIER. II-VIII Analyse des équations –1801-1900     356 vues

 f.fr. 22514 : Collection des papiers du mathématicien FOURIER. XIV Notes sur les équations. Quantités indéterminées. Approximations –1801-1900     137 feuillets

 f.fr. 22528 : Collection des papiers du mathématicien FOURIER. XXIII-XXIX Théorie de la chaleur. XXVIII Feuilles de calculs –1801-1900    213 feuillets

 f.fr. 22525: Collection des papiers du mathématicien FOURIER. XXIII-XXIX Théorie de la chaleur. XXV Histoire de la théorie de la chaleur. Observations sur les mémoires de Poisson –1801-1900     217 feuillets

f.fr. 22524: Collection des papiers du mathématicien FOURIER. XXIII-XXIX Théorie de la chaleur. XXIV Variation des coefficients. Température de la surface –1801-1900    213 feuillets

f.fr. 22523: Collection des papiers du mathématicien FOURIER. XXIII-XXIX Théorie de la chaleur. XXIII Température de la terre et de l’espace planétaire –1801-1900   251 feuillets, 512 vues

 f.fr. 22527 : Collection des papiers du mathématicien FOURIER. XXIII-XXIX Théorie de la chaleur. XXVII Thermomètre et thermoscope. Expériences thermo-électriques –1801-1900     127 feuillets

 f.fr. 22529 : Collection des papiers du mathématicien FOURIER. XXIII-XXIX Théorie de la chaleur. XXIX Ouvrages sur la chaleur –1801-1900     153 feuillets

 f.fr. 22522 : Collection des papiers du mathématicien FOURIER. XXII Lames élastiques. Surfaces élastique et flexible tendue Ondes à la surface d’un liquide –1801-1900    183 feuillets

 f.fr. 22526 : Collection des papiers du mathématicien FOURIER. XXIII-XXIX Théorie de la chaleur. XXVI Expériences sur le mouvement de la chaleur –1801-1900    152 feuillets

 f.fr. 9118 : Correspondance de Sophie GERMAIN avec les mathématiciens et savants Cauchy, Delambre, Fourier, Gauss, Le Gendre, d’Ansse de Villoison, etc –1801-1900   93 feuillets

[1] Charbonneau, Louis, Catalogue des manuscrits de Joseph Fourier, Cahiers d’histoire et de philosophie des sciences, nouvelle série, n° 42, 1994, presses de l’Université de Nantes

Manuscrits de Fourier index des noms

Mardi, février 23rd, 2016

Index des noms cités par Fourier

dans les manuscrits conservés par

la Bibliothèque Nationale de France

Louis Charbonneau

Louis Charbonneau

      La Bibliothèque Nationale de France en ligne Gallica possède des œuvres imprimées et des notes manuscrites de Joseph Fourier. Ces notes numérisées sont présentées brutes, sans sommaire. Telles quelles, elles semblent d’un abord difficile ne serait-ce que par la lecture et absence de repères. Pour en permettre une exploitation plus approfondie, nous mettons à disposition du lecteur le fruit du travail de monsieur Louis Charbonneau, publié en 1994[1].

     Monsieur Charbonneau a inventorié l’ensemble des manuscrits, folio à folio. Il a dressé le catalogue des manuscrits (p. 21 à 160 de son ouvrage), en a donné un classement chronologique par sujet (p.161 à 191) et un index des noms (p.193 à 211). On trouvera cet index ici au format .pdf

[1] Charbonneau, Louis, Catalogue des manuscrits de Joseph Fourier, Cahiers d’histoire et de philosophie des sciences, nouvelle série, n° 42, 1994, presses de l’Université de Nantes.

Naissance des séries de Fourier

Lundi, septembre 28th, 2015

la Naissance des séries de Fourier

Présentation d’une page publiée sur le site du Mathouriste

            Il m’a toujours semblé navrant que les sujets scientifiques soient si peu et si mal traités dans une presse qui consacre par ailleurs tant de d’énergie à développer des sujets futiles. Mais, journaliste ou lecteur, qui serait en mesure de suivre la pensée d’un prix Nobel scientifique ?

            Les travaux de Fourier datent du début du XIXe siècle, nombre de savants tant mathématiciens que physiciens les ont lus, relus, analysés et ces travaux sont maintenant enseignés dans toutes les facultés. Fort de ce recul, il est possible de revenir sur la genèse de l’entreprise et de l’exposer pour le profit du plus grand nombre. Le Mathouriste auquel nous avons déjà renvoyé le lecteur sur ce même site lorsque nous avons traité de la vie de Fourier est revenu sur le Traité de la chaleur.

      C’est une lecture roborative que nous ici offre Alain Juhel. Le Mathouriste ne se cantonne pas à des propos touriste. Il nous offre une lecture au contenu substantiel. Pour en profiter pleinement, il convient de maîtriser des connaissances de première année de licence. Le texte devenant clair pour quelqu’un qui possède le niveau de deuxième année de licence. Mais, il reste appétissant pour un élève de TS curieux. Quant au lecteur naïf, il doit faire confiance à Alain Juhel pour sa lecture des équations et se contenter de suivre, de l’extérieur, la pensée de Joseph Fourier. Ceci ne va pas sans charme.

     Nous avons déjà dit l’intérêt que Fourier portait à l’âge de la Terre, cet intérêt l’a conduit, pour préciser une évaluation très différente des valeurs admises à son époque à étudier l’effet de serre. Quitte à tordre un peu la réalité, nous résumons l’œuvre de Joseph Fourier à cette unique préoccupation « quel est l’âge de la Terre ? ».

     Alain Juhel nous présente une page consacrée à la naissance des séries de Fourier, à travers manuscrits et Théorie Analytique. Cette étape est formalisée très tôt de la pensée du savant (le premier mémoire est de 1807, et pour ce qui est de sa pensée, on pourrait au moins remonter avec certitude à 1804 -arrivée à Grenoble-), même si la Théorie Analytique est publiée en 1822. Le texte présenté sur le site du Mathouriste est un remake, pas mal étendu, de conférences et dossiers de travail « offerts » aux étudiants en 2007 et 2012. Il est un bon moyen aider un lecteur qui veut entrer dans l’ouvrage, ou savoir ce qui s’y passe, sans tout lire.

   In fine, l’auteur annonce une suite… nous l’attendrons ave impatience. Nous souhaiterions aussi, qui sait, avoir une idée d’un « avant » : les théories ne naissent pas de rien et le Mathouriste a montré qu’il avait le talent nécessaire pour nous guider dans cette connaissance.

La deuxième partie annoncée ci-dessus est maintenant visible  ici.

 

Fourier, géomètre

Mardi, mai 8th, 2012

Fourier, géomètre

analyse sommaire de la cote XIX des manuscrits de Joseph Fourier

Le site Gallica de la Bibliothèque nationale de France a mis en ligne des manuscrits de Joseph Fourier, soit 17 cotes (18 en y incluant la correspondance avec Sophie Germain) dont la logique de numérotation ne nous apparaît pas encore clairement. Un rapide coup d’œil au contenu de la cote que nous analysons ci-dessous permet d’imaginer la provenance des fonds : il semble s’agir de notes, de brouillons, ramassés après le décès de Fourier, classés et segmentés par l’archiviste, mais pas nécessairement mis en ordre.

Afin de permettre un travail ultérieur éventuel sur le contenu de ces papiers, il convient d’indexer les vues, on verra ci-dessous le relevé en cours de cette cote (première dans l’ordre d’apparition à l’écran).

Collection des papiers du mathématicien FOURIER. XIX Recherches de géométrie–1801-1900 , 104 vues

/lecture incertaine, proposition à confirmer/

Vue 1- FR 22,519

Vue 2 et 3 – (vides)

4-(titre) Fourier XIX ; Recherches de Géométrie

5 à 7 -(vides)

8-Principes de la géométrie

Le volume est une partie de l’espace

La surface est le terme du volume, elle sépare deux parties contiguës de l’espace

La ligne est le terme de la surface elle est commune à deux surfaces contiguës.

Le point est ce qui sépare deux parties d’une même ligne il est le terme à chacune de ces parties. /3 lignes rayées/

Si deux points a et b d’un volume peuvent coïncider par la superposition avec deux points a’ et b’ d’un autre volume on exprime cette relation en /disant/ que la distance ab est la même que la distance a’b’. Cette notion de l’équidistance ne dépend aucunement de la nature de la ligne qui joint les points a et b du premier volume ni de la nature de la ligne qui joint les points a’b’ du second. L’équidistance ne dépend que de la possibilité de /superposer/ les points a’ et b’ lorsque les points a et b sont superposés.

Si l’on considère dans l’espace un point fixe A et si on considère tous les points m m’ m’’ m’’’ etc  tels que les distances Am  Am’ Am’’ Am’’’ etc sont égales ces points m m’ m’’ m’’’ etc forment la surface sphérique. Cette surface termine la sphère. A est le centre.

Si l’on marque dans l’espace deux points A et B et si l’on considère tous les points m m’ m’’ m’’’ etc  tels que la distance Am est égale à la distance à Bm, la distance Am’ est égale à la distance Bm’ ainsi de même pour tous les points m m’ m’’ m’’’ etc  la suite de tous les points forment le plan

A et B sont la …. Du plan.

Si ayant marqué sur un plan deux points A et B on considère tous les points m m’ m’’ m’’’ etc dont chacun est tellement situé que la distance Am est égale à la distance Bm et que les distances sont de même ….. pour les autres points m m’ m’’ m’’’ etc  la droite de ces points est la ligne droite les mêmes A et B peuvent être rangé de ….. les petites de ceseee droite m m’ m’’ m’’’ etc  /… Les surfaces inter…. m m’ m’’ m’’’ etc et M M’ M’’ M’’’ etc et qui ont le même centre A ont deux rayons de même étant aucun point commun la plus petite est ceux qui ont grand est Am’ la droite qui le ran AM est plus grande le re Am/

Le triangle rectiligne est formé de trois droites que dirigent les points ABC

 9-(vide) nombreux versos blancs

10- (folio 4) La géométrie considère l’espace elle en suppose la notion chaque partie de l’espace à une figure on se représente ces parties de l’espace que l’on appellent solides pouvant changer de lieu en conservant leur figure.[1]

On peut toujours  concevoir qu’un solide est compris de deux/ …./ surface ce qui sépare ces deux solides contigus la surface termine le solide c’est à dire qu’elle sépare l’espace dans lequel il est placé. Tout ce qui dans l’espace est commun à deux surfaces différentes se nomment lignes

c’est à dire que lorsque deux surface se rencontrent leur intersection est une ligne

et comme une surface peut toujours être composée de deux centres la ligne sépare les deux surfaces contiguës et termine chacune d’elles quelconque. Une ligne peut être regardée comme étant composée de deux autres.

Ce qui sépare ces deux parties d’une ligne se nomme point.

Lorsque la ligne est terminée, sont extrémité est un point.

Lorsque deux lignes se rencontrent leur intersection est un point.

La superposition des figures est le fondement de la géométrie

Deux figures sont égales lorsqu’on peut les superposer.

Lorsqu’une figure est posée sur une autre ont dit que les points que tombent l’un sur l’autre sont à égale distance ainsi si deux points A et B d’une figure s’appliquent lors de la superposition sur deux points a et b on dit que les deux premiers sont aussi distants que les deux seconds.

Si on marque deux points de l’espace et que l’on prenne tous les points également distants de ces deux points on aura un plan.

Su sur un plan on marque deux points et que l’on prenne tous les points également distants de ces deux premiers on aura une ligne droite.

Tous les points aussi distants les uns que les autres d’un point fixe formant une surface qui termine la sphère

Tous les points pris sur un plan a égale distance d’un point du plan forment une circonférence qui termine le cercle.

11- (verso couvert de calculs littéraux, apparemment sans lien avec le recto, commençant par : )

z²dr = fgdt

dz² +z²dr²/dr² + 2?Pdz=g²

….

12 – Notes sur les développées de lignes courbes

Un polygone d’un nombre indéfini de côtés représente d’autant plus exactement une ligne courbe que la valeur de chaque côté est plus petite en sorte que la ligne courbe est la limite d’une suite de polygones variables. C’est pour cette raison qu’on aperçoit les propriétés des lignes courbes en recherchant celles des polygones et déterminant ce que deviennent ces propriétés des polygones à mesure que le nombre de côtés devient plus grand et la valeur de chaque côté plus petite.

Si chaque polygone que l’on considère n’a point tous les côtés dans le même plan, les propriétés des limites seront celles des lignes courbes à double courbure.

Supposons que sur une ligne courbe on marque divers points successifs m m’ m’’ m’’’ etc en sorte que l’arc se trouve divisé entre un certain nombre de parties que l’on tire les cordes mm’ m’m’’ m’’m’’’  etc on formera un polygone inscrit dans la courbe. Si l’on prend le milieu de chaque arc tel que mm’ et que l’autre les cordes successives on formera un second polygone inscrit. Si l’on continue à sous diviser les cordes, on formera un troisième polygone  la figure de l’un de ces polygones et approche d’autant plus d’être celle de la ligne courbe que le nombre de côtés est plus grand. Or on va reconnaître des propriétés qui appartiennent à l’un quelconque de ces polygones et on en conclura qu’elles appartiennent aussi à la courbe.

On aurait pu faire varier la suite des polygones inscrits autrement qu’en divisant les arcs en parties égales et cette loi de la variation du polygone est absolument arbitraire.

On peut remarque qu’un polygone dont les côtés ne sont point dans un même plan est affecté de deux fluxions. Chaque côté faisant avec le suivant un certain angle on peut considérer séparément la suite de ces///////// en déterminant comment le contour de polygone fléchi et si l’on ajoute successivement tous ces angles la somme pourra indiquer combien tout le contour a été fléchi jusqu’au point ou l’on s’arrête on appellera cette somme la mesure de la flexion du contour.

Si l’on prolonge chaque côté du polygone dans le même sens on  aura la suite de tangente qui d’un côté s’éloigneront indéfiniment du polygone et de l’autre viendront toutes aboutir à cette courbe. Deux tangentes consécutives sont dans un même plan puisqu’elles se coupent mais le plan d’une troisième tangente et de la seconde ne sera pas le même que le plan de la seconde tangente et de la première. On appellera plan memendeur celui qui passe entre les deux tangentes …..

13 (suite de la vue 12)

14- notes sur les développées

On formera ainsi sur le polyhèdre un polygone que l’on pourra considérer comme la ligne développante du polygone proposé si l’on …. Que le polyhèdre est développé et qu’il porte la trace du polygone développé il est aisé de voir que le développement du polyhèdre portera aussi la trace de la développante que sera comise sur le plan de la même manière que nous avons décrété ci-dessus.

Soit S l’arc d’une ligne courbe depuis un npoint donné M jusqu’au point m

…..

15- (suite de la vue 14)

16- Notes sur les développées

Ce plan osculateur fera avec le premier plan osculateur de la développée un angle ……

17- (vide)

18- La géométrie considère les noms des figures tracées dans l’espace
Le volume est une partie de l’espace.

Lorsqu’un volume est divisé en deux parties, ce qui est commun à ces deux parties ……

19- Le triangle rectiligne est formé de trois droites dont chacune coupe deux autres il est facile de conclure des définitions précédentes et il est d’ailleurs rigoureusement prouvé dans la géométrie des grecs que dans un triangle rectiligne un côté quelconque est moindre que la somme des deux autres ; nous omettons ici pour plus de brièveté la démonstration de cette proposition qui n’est nullement fondée sur la propriété qu’a la ligne droite d’être la plus courte des lignes tracées entre deux points cette dernière proposition se démontre comme /étant/   soit une ligne quelconque a m m’m’’m’’’m’’’’….b tracée entre les deux extrémités a et b pour  se former une notion exacte de la longueur de cette ligne on marque sur la ligne a m m’m’’m’’’m’’’’….b différents points m m’ m’’ m’’’ etc et ensuite tracé une ligne droite indéfinie ? ? ? etc on porte sur cette droite la distance ? m de ? en m puis on porte la distance mm’ sur la même droite ? ? ? de m en m’ puis la distance m’m’’ de m’ en m’’ puis la distance m’’ m’’’ ainsi de suite jusqu’à ce qu’on  arrive au point b cette première opération donne un premier résultat qui est la somme des distance am mm’ m’m’’ m’’m’’’…. après cette première opération il faut concevoir que l’on a marqué un point p entre a et m à égale distance de a et de m et de m un point p’ entre m et m’ à égale distance de m et de m’ un point p’’ entre m’ et m’’ à égale distance de m’ et m’’ ainsi de suite ; ayant marqué ces points intermédiaires p’ p’’ p’’’ etc on fait une seconde opération semblable à la première et qui en diffère seulement en ce que les points

20-(folioté 3e) qui terminent les distances partielles sont moins distants de l’un à l’autre qu’ils n’étaient auparavant il faut ensuite marquer dans chaque intervalle ap pm mp’ p’m’ etc sur la ligne dont on veut mesure la longueur des points intermédiaires v v’ v’’ v’’’ etc dont chacun est à égale distance des deux extrémités de l’intervalle  enfin /et ponce/ sur la droite indéfinie a…b les distances /partiera/ av vp pm mv’ v’p’ p’m’ etc enfin il faut concevoir que des équations conventions semblables se succèdent continuellement et que l’on porte toujours sur la droite indéfinie a….b la somme des distances partielles marquées sur la ligne dont on veut mesurer la longueur. Cela posé il est facile de prouver 1° que chaque nouvelle opération augmentera la somme des distances partielles marquées sur la droite 2° que cette somme des distance partielles ne pourra jamais devenir plus grande qu’une certaine longueur déterminée /aB/ portée sur la droite de ce côté au contraire, la somme des distances partielles portées sur la droite sera toujours plus petite que cette longueur déterminée aB donc cette somme des distances partielles qui augmente continuellement à mesure que le nombre des opérations augmente s’approchera de plus en plus d’une certaine grandeur fixe aB’ qu’elle ne pourra point outrepasser et elle en pourra différer d’une quantité ? qui deviendra moindre que toute grandeur donnée si l’on augmente continuellement le nombre des opérations c’est cette limite aB’ qui est la mesure exacte de la longueur de la ligne courbe amm’m’’m’’’… Il est nécessaire d’introduire cette notion de limite dès l’origine même de la géométrie des courbes à défaut de cette notion il est impossible de se former une idée exacte de la longueur d’une ligne courbe. On ne pourrait donc pas sans avoir établi cette notion concevoir le véritable sens de cette proposition que la ligne droite est la plus courte de toutes celles que l’on peut tracer entre deux points. Il serait encore plus contraire à une théorie exacte de supposer cette propriété comme pouvant servir de fondement à la définition de la ligne droite après avoir donné une définition exacte de la longueur d’une ligne quelconque tracée entre deux extrémités a et b, il est facile de prouver rigoureusement que la ligne droite est plus courte qu’aucune de /cone/ qui n’étant pas une ligne droite joint les deux points a et b. En effet supposons que la ligne droite ab tracée entre les deux points a et b et que l’on substitue à une partie quelconque de cette droite une partie différente de la ligne droite et qui s’en /centre/ d’une manière quelconque dans un intervalle ?B la ,portion ?pq r s B sera plus longue que la partie droite ?B qu’elle remplace /en cet endroit/ de longueur /zaux/ a lieu fait que la partie substituée soit formée de deux droites ?mmB formant un angle au point m et sur cette partie ?mmB soit formée de plusieurs lignes droites soit  et à plus forte raison que la partie substituée soit une ligne courbe ?pq r s B

donc on ne peut faire aucun changement dans une partie quelconque de la ligne droite tracée et l’écarter de cette droite d’une manière quelconque sans augmenter sa longueur donc la droite ab est une ligne unique plus courte qu’aucune de celles que ne seraient pas entièrement droite et qui joindraient les deux extrémités a et b . q e d (fin)

21- Il est facile de conclure des discussions précédentes et il est d’ailleurs rigoureusement prouvé dans la géométrie des grecs qu’une /ligne/ quelconque AB est moindre que la somme des deux autres AC et CB nous omettons sur ……. De brièveté de démontrer ceci.

Parse pern ;;;; qui est  …..ement fondée … propriété que la ligne droite serait les courte entre deux points

Et nous /mesurerons / ainsi ….. ligne quelques p… am m’ m’’ m’’’ etc b varie …. …. Entre a et b pour … une …. …. De la longueur de cette ligne. Il faut considérer la convention suivante on marque sur la ligne a m m’ m’’ m’’’ b différents points m m’ m’’ etc ayant tracé une ligne droite indéfinie AB, on porte la distance am …. Comme un rayon de A entre sur la droite AB puis on porte la ………….. comme rayon sur le centre sur B de m est m’ P… les …. M’ m’’ sur la droite m’B ..m’ en m’’ puis la mesure m’’ m’’’ ……….. jusqu’à ce qu’on arrive au point B ce qui va permettre dans la figure à la …..  m’’’b qui ………….. am mm’ m’m’’ m’’m’’’b après cette première opération il faut concevoir que l’on a marqué un point entre A et ….[relevé à continuer]

22- Notes sur les éléments de la géométrie sphérique

I

Étant données une sphère, on marque les pôles en faisant usage des instruments de la géométrie ordinaire savoir le plan, la ligne droite et le cercle, ou ce qui est la même chose, la tables, la règle et le compas.

 

D’un point pris comme pôle et d’un ouverture arbitraire sur la sphère un cercle. Marquer sur le cercle trois points placés à volonté mesurez les cordes qui seront ab, bc, ac. Si les trois points sont a, b, c tracer sur le plan le triangle abc inscrit au parallèle décrit sur la sphère puis inscrivant un cercle au triangle abc on aura ce parallèle sur le plan  le rayon de ce parallèle l’ouverture qui a servi à le décrire sur la sphère et la flèche qui lui répond sont les trois côtés d’un triangle rectangle on connaît les deux premiers lieux la flèche sera facilement connue si on prolonge la flèche et qu’au sommet de l’angle opposé on élève une perpendiculaire sur l’hypoténuse le point où elle rencontrera le prolongement de la flèche sera l’extrémité du diamètre de la sphère on aura ainsi la longueur de ce diamètre. Si l’on décrit le cercle et que l’on prenne la longueur de la corde de 90° puis qu’on ouvre le compas de cette quantité, on pourra du pôle choisi sur la sphère décrire l’équateur et si de deux points quelconque de l’équateur on décrit un grand cercle, on aura le pôle opposé.

II

Par deux points donnés faire passer un grand cercle au moyen des mêmes instruments.

On cherchera d’abord par le problème précédent l’ouverture de compas sphérique qui répond à l’arc de 90°, puis de chacun des points donnés, on décrira deux grands cercles qui se coupant donneront au point d’intersection le pôle du grand cercle qui doit passer par les deux points donnés.

III

Étant donnés deux points, trouver le grand cercle dont chaque point est également éloigné des deux points donnés.

D’un des points donnés et d’une ouverture arbitraire, on décrira un paeallèle sur la sphère, de l’autre point et de la même ouverture, on décrira un second parallèle qui coupera le 1er en deux points par ces deux points d’intersection et passer (prolo..) un grand cercle qui sera le cercle cherché.

IV

Étant donnés trois points sur la sphère, faire passer un parallèle par ces trois points entre le point a et le point b on mènera un grand cercle qui coupera le 1er grand cercle. Le point d’intersection de ce deux grand cercles sera le pôle d’un cercle parallèle qui passera par les trois points donnés.

V

Étant donné un arc sur la sphère on le divisera aisement en deux parties égales soit qu’il appartienne à un parallèle ou a un grand cercle.

23- Notes sur les éléments de la géométrie sphérique (folioté 2, folioté 13)

 

VI

Deux grands cercles faisant un angle entre eux, partager cet angle en deux parties égales.

Du sommet de l’angle et d’une ouverture arbitraire on marquera deux points sur chacun des deux côtés de l’angle, puis menant un grand cercle à égale distance de ces deux points le grand cercle partagera l’angle donné en deux parties égales.

VII

Par un point donné, abaisser un arc de grand cercle perpendiculaire sur un arc donné de point donné et d’une ouverture arbitraire. On marquera deux points sur l’arc donné et l’on mènera un grand cercle à égale distance de ces deux points ce grand cercle sera le perpendiculaire cherché.

VIII

Si d’un point on abaisse sur un arc de grand cercle un grand cercle perpendiculaire puis que de l’ouverture qui inclura la grandeur de la perpendiculaire on décrive un cercle ce sera un parallèle qui touchera le grand cercle donné.

IX

Si un angle formé par deux grands cercles est partagé en deux parties égales par un troisième grand cercle tout point de ce troisième sera à égale distance des deux autres et si d’un de ces points on décrit le grand cercle qui touche l’un des deux côtés de l’angle, ce même grand cercle touchera l’autre côté.

X

Étant donné un triangle composé de trois arcs de grands cercles, trouver le centre d’un parallèle qui touche les trois côtés.

On divisera deux angles du triangle en deux parties égales en menant dans chacun de ces angles deux grands cercles. Ces deux grands cercles se couperont et l’intersection sera le centre du parallèle cherché.

XI

Par un point donné, mener un parallèle à un grand cercle donné

Par le point donné on abaissera un grand cercle perpendiculaire au grand cercle donné /( prob precad))/ On cherchera l’ouverture de la corde de 90° (prob precad) on la portera depuis le pied de la perpendiculaire sur le grand cercle qu’on vient de décrire on aura ainsi le pôle de parallèle cherché.

XII

Par un point d’un grand cercle mener un grand cercle perpendiculaire on portera de part et d’autre du point donné deux ouvertures quelconque et entre les deux points ainsi trouvés, on élèvera un grand cercle à égale distance ce sera le perpendiculaire cherché.

 

24- Notes sur les éléments de la géométrie sphérique (folioté 3, folioté 14)

XIII

Par un point donné, mener un parallèle à un parallèle donné.

On marquera trois points sur le parallèle donné et cherchant comme dans ceux des problèmes précédents à faire passer un parallèle par ces trois points on trouvera le pôle du parallèle donné après quoi il sera aisé de décrire le parallèle cherché qui doit avoir le même pôle.

XIV

Par un point donné sur une grand cercle, mener un grand cercle qui fasse avec le premier un angle égal à un angle donné.

Du sommet de l’angle donné et d’une ouverture arbitraire on décrira un parallèle qui coupera les deux côtés on mesurera avec le compas l’intervalle des deux points d’intersection et après avoir du point donné décrit avec la 1ère ouverture un parallèle on portera sur ce parallèle l’intervalle trouvé puis par le sommet de l’angle cherché et par le dernier point qu’on aura trouvé, on fera passer un grand cercle lequel fera avec le grand cercle donné l’angle demandé.

XV

Par un point donné, mener un grand cercle qui fasse avec un grand cercle donné un angle donné.

Par un point du grand cercle donné, on mènera un grand cercle qui fasse l’angle donné puis par le point donné on  mènera un parallèle au grand cercle donné lequel rencontrera le grand cercle qui fait avec le grand cercle donné l’angle proposé de ce point d’intersection on abaissera la perpendiculaire sur le grand cercle donné ce qui fera connaître sur ce grand cercle la base d’un triangle rectangle on abaissera du point donné sur le grand cercle donné une perpendiculaire et du pied de cette perpendiculaire on portera sur le grand cercle donné la base trouvée ce qui fera connaître un second point par où doit passer le grand cercle qui fera l’angle donné.

XVI

Le cercle pouvant être divisé en plusieurs parties avec le compas, on pourra trouver sur la sphère tous les angles correspondant en prenant la mesure à l’extrémité des arcs de 90°.

XVII

Trouver sur un cercle d’une ouverture donnée qui touche deux cercles donnés ces cercles /tent/ des parallèles et par ouverture on entend la corde qui sert à décrire le cercle.

On cherchera le pôle des deux parallèles donnés puis de chacun de ces pôles et d’une ouverture non commune et qu’on trouvera comme il va être dit, on décrira deux parallèles qui se couperont au point cherché pour déterminer chacune de ces ouvertures, on décrira sur le plan un grand cercle de la sphère, on portera l’ouverture du premier cercle donné et à la suite des deux cordes précédentes c’est l’ouverture dont on a besoin. On trouvera la seconde ouverture par un procédé analogue en se servant de l’ouverture du second cercle donné.

 

25- Notes sur les éléments de la géométrie sphérique (folioté 4, folioté 15)

XVIII

Mener un grand cercle qui passant part un point donné touche un parallèle donné par le point donné et de la corde de 90° on  décrira un grand cercle par le centre du parallèle donné et d’une ouverture égale à la corde qui sert à décrire le parallèle suivie de la corde de 90° on décrira un cercle qui coupera celui qu’on a décrit précédemment le point d’intersection est le pôle du cercle cherché et en le décrivant avec la corde de 90° on touchera le cercle donné et on passera par le point donné.

XIX

Étant donnés deux petits cercle, trouver un grand cercle qui les touche tous les deux le grand cercle devant être décrit avec la corde de 90° et cette corde étant connue, ce problème est le même que le problème XVII.

Si l’on veut que le grand cercle tangent passe entre les deux petits cercles au lieu d’ajouter la corde de 90° à la suite de l’ouverture du cercle, on portera cette ouverture du cercle dedans.

XX

La position d’un astre étant donnée on demande l’époque du lever héliaque de cet astre pour une latitude terrestre donnée.

L’arc /est/ pris entre le pôle de l’équateur et le pôle de l’horizon est égal au complément de la latitude il est connu. Si donc du pôle de l’équateur et d’un arc égal au complément de la latitude terrestre par exemple à 60° on décrit un cercle il faudra chercher sur ce parallèle le zénith de l’horizon et comme cet horizon doit passer par l’étoile, de l’étoile même d’un arc de 90°, on décrira un horizon étant décrit un /peu/ l’écliptique en deux points et comme on pouvait choisir un autre quelconque de ces quatre points il sera la même dans le même horizon que l’étoile ainsi l’étoile et le soleil paraîtront ensemble à l’horizon ;

 

 

Suite du même

Si l’on suppose la latitude terrestre de 30° la distance de l’astre à l’ écliptique de 40° et la distance de cet astre en longitude  comptée dans le sens des signes depuis l’intersection de l’écliptique et de l’équateur de 100° on trouvera ce sui suit

Le parallèle distant du pôle de 60° étant cécrit le fgrand cercle de l’étoile comme pôle coupera ce parallèle en deux puis on pourra choisir chacun des deux comme zénith si de l’un et par le pôle on mène un mpéridien et si de l’autre zénith on mpène un méridien, le méridien de l’étoile sera compris entre les deux méridiens des zénith ârce que le grand cercle qu’on a décrit de l’astre comme pôle coupe le parallèle de part et d’autre du méridien de cet astre il suit de là que pour l’un des zéniths déterminés on aura l’étoile à l’orient et pour l’autre on l’aura à l’occident si l’on choisit le zénith par rapport auquel l’astre est à l’orient et qu’on décrive de ce zénith comme pôle de 180° en sorte que si l’on suppose /tenper/ le méridien passant par le zénith et le pôle boréal l’un des deux points d’intersection du l’écliptique sera à l’orient du côté de l’étoile et l’autre sera à l’occident quand le soleil aura atteint le premier point de l’écliptique l’astre se lèvera héliaquement quand le soleil aura atteint le second l’astre se lèvera au coucher du soleil.

26- Notes sur les éléments de la géométrie sphérique (folioté 4, folioté 16)

27-Sur les éléments de la géométrie (folioté 1, folioté 17)


[1] (en marge) On peut toujour concevoir qu’un solide est compris de deux/ …./ surface ce qui sépare ces deux solides contigus la surface termine le solide c’est à dire qu’elle sépare l’espace dans lequel il est placé tout ce qui dans l’espace est commun à deux surface différentes ne formant lignes

c’est à dire que lorsque deux surface se rencontrent leur intersection est une ligne

et comme une surface peut toujours être composée de deux centres la ligne sépare les deux surfaces contiguës et termine chacune d’elles quelconque. Une ligne peut être regardée comme étant composée de deux autres ce qui sépare ces deux parties d’une ligne se nomme point.

Lorsque la ligne est terminée, sont extrémité est un point.

Lorsque deux lignes se rencontrent leur intersection est un point. La superposition