Archive for the ‘illustrations’ Category

Nouveautés Fourier

mardi, janvier 29th, 2019

Nouveautés Fourier 2019

 

La tendance se confirme, Fourier, s’il ne fait pas la une de la presse People, est tout de même l’objet de nombreux articles dans des publications sérieuses.

Au chapitre des publications traditionnelles :

Le 154e volume de la SSHNY est paru.

En ce début d’année 2019, la Société de Sciences Historiques et Naturelles de l’Yonne publie le 154e volume de son Bulletin qui porte sur l’année 2016. Avec en couverture le portrait de Gautherot du Musée d’Auxerre, il s’ouvre [p.15 à 36] sur le compte rendu d’une conférence de Jean Dhombres (Centre Koyré, EHESS, Paris), sur « Ce que Fourier doit à Auxerre ».

 

 

Sur le Net, les sites qui évoquent Fourier continuent à s’étoffer :

A Le Mathouriste : depuis notre dernier passage sur son site, le Mathouriste est allé en Egypte chercher des illustrations, vérifier ses sources et suivre au plus près l’actualité d’hier et d’aujourd’hui concernant les trois années que Fourier y a passées. Voir Fourier l’Egyptien, l’éclatante réussite scientifique d’un fiasco militaire . Sur ce chapitre, il faudra du temps avant d’avoir mieux à proposer tant en matière de précision et de clarté des textes que de richesse de l’illustration.

Le Mathouriste a visité l’Institut du Caire.

 

B Le site piloté par INRIA, Interstices offre un dossier Fourier de plus en plus étoffé, qu’on en juge par les huit articles disponibles ce jour :

L’héritage de Fourier 250 ans après, par Christian Jutten [Une introduction au dossier.]

De Fourier à la reconnaissance musicale, par Gaël Richard, Sébastien Fenet, Yves Grenier [aujourd’hui –29/01/2018- cet article est inaccessible]

Lire la partition de la nature grâce au programme de Fourier, par Tadeusz Sliwa [Introduction à la vision philosophique de la science selon Fourier.]

La décomposition en série de Fourier, par Romain Joly [Des illustrations pour comprendre les séries de Fourier.]

Au-delà de Fourier, un monde qui vibre, par Patrick Flandrin [Des illustrations pour comprendre l’analyse temps-fréquence.]

Le traitement du signal, au cœur de la science et de notre vie quotidienne, par Patrick Flandrin [Le point actualisé sur signal et bruit.]

Qu’est-ce que Fourier peut nous dire aujourd’hui, Par Jean-Pierre Kahane (†) [Un article de 2014 par le regretté Jean-Pierre Kahane qui ne fut pas pour rien dans la reconnaissance qui est faite à Joseph Fourier aujourd’hui.]

Démixer la musique, par Antoine Liutkus & Emmanuel Vincent [Comment isoler le jeu d’un seul instrument de l’oechestre ? ]

‘Interstices’ un site piloté par l’INRIA

Fourier en videos

vendredi, janvier 18th, 2019

Fourier movies

            Est-ce l’effet « 2018 = Fourier + 250 », le résultat de la progression des techniques de vidéo ou plus simplement l’évidence que Fourier est incontournable ? de multiples séquences vidéo permettent d’aller à la rencontre de Joseph Fourier.

 

 

Nous avons déjà rendu compte ici de l’initiative d’Hervé Pajot qui, en 8 minutes 30 secondes, présente Fourier à une jeune enfant.

 

 

  L’école polytechnique propo-se, en 3 minutes 22 secondes, un film mêlant prises de vue et images animées sur ce professeur des origines de l’école, auteur d’une œuvre scientifique majeure. C’est concis, convainquant et les Auxerrois, qui dans leur majorité méconnaissent et Fourier et son œuvre, ne tiendront pas rigueur aux auteurs d’ignorer que c’est à Auxerre et non à Grenoble que le jeune Fourier enseigna en sa prime jeunesse.

 

   Plus technique mais très visuelle et convaincante, une vidéo en anglais permet, en 20 minutes 56 secondes, d’accéder aux arcanes de la Transformées de Fourier et d’appréhender la distinction entre ‘description séquentielle’ et ‘description fréquentielle’ d’un signal.

 

 

   L’Université aussi participe de cet engouement et tente d’attirer l’attention de ses élèves littéraires sur le sujet ; nous apprenons qu’un cours en fac de lettre à Grenoble va étudier la BD Fourier comme vulgarisation scientifique réussie.

 

 

 

 

 

 

Encore un effort et Joseph Fourier, toujours méconnu de l’auxerrois moyen, sera présent à l’esprit des candidats bacheliers de toutes les sections.

Fourier et le double vitrage

samedi, octobre 27th, 2018

Fourier et le double vitrage

       L’intérêt de multiplier les couches de verre en intercalant un espace vide était connu dès les Romains. Ils équipaient leurs thermes de fenêtres doubles. Entre le XVIe et le XIXe siècle, les progrès consistent à rendre les verres transparents de plus en plus solides. Il faut cependant attendre la fin du XIXe siècle pour qu’un même battant soit envisagé comme support d’un double vitrage.

En 1865, un inventeur new-yorkais, Thomas Stetson, dépose un brevet pour une fenêtre en Insulated glass (verre isolé). Il célèbre alors les qualités thermiques et phoniques de son invention, la lame d’air entre les vitres constituant un bien meilleur isolant que le verre. Il faut pourtant attendre 1930 pour que l’entreprise CD Haven produise de façon industrielle du double vitrage.    (d’après Système D)

Le double vitrage constitue un élément important de l’isolation des habitations et il est instructif de voir comment Joseph Fourier a traité la théorie qui sous-tend cette technique. Le principe est abordé à l’article 87 (section VI du chapitre I) de la Théorie de la chaleur (1822). Pour un non-mathématicien, la lecture de ce passage est une bonne introduction à l’œuvre : pas (encore) de recours aux équations aux dérivées partielles, juste des formules de physique assez élémentaires pour être comprises du bachelier moyen. Rappelons que la Théorie de la chaleur est constituée de 433 articles regroupés en neuf chapitres, eux-mêmes divisés en sections, qui traitent progressivement des différents aspects de la théorie envisagés par Joseph Fourier. Les séries, solutions des équations différentielles rendant compte du mouvement de la chaleur qui ont fondé la renommée de l’auteur, ne commencent à être traitées qu’à partir de l’article 104, au chapitre II de l’ouvrage.

Théorie de la Chaleur, § 87 (page 75 de l’édition conservée par Gallica)

« Si le même espace était échauffé par deux ou plusieurs foyers de différente espèce [1], ou si la première enceinte était elle-même contenue dans une seconde enceinte séparée de la première par une masse d’air, on déterminerait facilement aussi le degré de l’échauffement et les températures des surfaces.

En supposant qu’il y ait, outre le premier foyer s, une seconde surface échauffée p dont la température constante soit b, et la conducibilité extérieure j, on trouvera, en conservant toutes les autres dénominations, l’équation suivante :

m – n = [(a sg/S + b sj/S) (e/K + I/H + I/h)] / [I + ( sg/S + pj/S) (e/K + I/H + I/k)]

si l’on ne suppose qu’un seul foyer s, et si la première enceinte est elle-même contenue dans une seconde, on représentera par S’, h’, k’, H’, les éléments de la seconde enceinte qui correspondent à ceux de la première, que l’on désigne par S, h, k, H, et l’on trouvera, en nommant p la température de l’air qui environne la surface extérieure de la seconde enceinte, l’équation suivante :

m – p = [(a – n) P]/ (I + P)

La quantité P représente :

 s /S (g/h + ge/k + g/H)  +  s/S’ (g/h’ + ge’/k’ + g/H’)

on trouverait un résultat semblable si l’on supposait trois ou un plus grand nombre d’enceintes successives ; et l’on en conclut que ces enveloppes solides, séparées par l’air, concourent beaucoup à augmenter le degré de l’échauffement, quelque petite que soit leur épaisseur. »

 

[1] Cette formulation, un peu obscure prise isolément ici, est explicitée dans les articles précédents où l’on peut découvrir comment est étudiée l’hypothèse de plusieurs individus enfermés dans une pièce d’habitation et concourant à l’élévation de la température de la pièce.

Shannon

mercredi, octobre 12th, 2016

Shannon …et Fourier

     A l’heure où les maisons de retraite rivalisent à qui hébergera le plus grand nombre de centenaires, l’Américain Claude Elwood Shannon (30 avril 1916 – 24 février 2001) aurait presque pu être l’un d’eux. C’est donc d’un quasi contemporain qu’il est question ici. Quel rapport avec Joseph Fourier dont on fêtera bientôt, en 2030, le bi-centenaire du décès ?

Shannon : Voyons ce que dit Wikipedia : Claude Shannon, ingénieur en génie électriaffiche Shannonque et mathématicien, le père fondateur de la théorie de l’information. Son nom est attaché à un célèbre « schéma de Shannon » très utilisé en sciences humaines[1]. Claude Shannon, utilise l’algèbre de Boole pour sa maîtrise soutenue en 1938 au Massachusetts Institute of Technology (MIT). Il y explique comment construire des machines à relais en utilisant l’algèbre de Boole pour décrire l’état des relais (1 : fermé, 0 : ouvert).

      Shannon travaille vingt ans au MIT, il travaille aussi aux laboratoires Bell. Claude Shannon est connu non seulement pour ses travaux dans les télécommunications, mais aussi pour l’étendue et l’originalité de ses hobbies, comme la jonglerie, la pratique du monocycle et l’invention de machines farfelues etc. L’un de ces « gadgets » présente un intérêt conceptuel : « Claude Shannon voulut élaborer une Machine inutile, sans finalité : on la met en marche en appuyant sur une touche « on » ; mais les choses prennent alors une tournure surprenante, car cette mise sous tension déclenche un mécanisme provoquant aussitôt l’arrêt du gadget en mettant l’interrupteur sur « off » ! Ce type de comportement insolite caractérise les situations ubiquitaires où la communication réside paradoxalement dans l’absence de communication, l’utilité dans l’absence d’utilité. Exemples : « La mode, c’est ce qui se démode » (Jean Cocteau).

      Il popularise l’utilisation du mot bit comme mesure élémentaire de l’information numérique. Ainsi, il faut au moins un bit (ou 1 Shannon) pour coder deux états (par exemple « pile » et « face », ou plus généralement 0 et 1). Dans le domaine des télécommunications, la relation de Shannon permet de calculer la valence (ou nombre maximal d’états) en milieu perturbé.

      Un apport essentiel des travaux de Shannon concerne la notion d’entropie. Il a ainsi établi un rapport entre augmentation d’entropie et gain d’information, montré l’équivalence de cette notion avec l’entropie de Ludwig Boltzmann en thermodynamique. La découverte du concept ouvrait ainsi la voie aux méthodes dites d’entropie maximale, donc au scanner médical, à la reconnaissance automatique des caractères et à l’apprentissage automatique. Son nom est associé à plusieurs théorèmes, le théorème d’échantillonnage de Nyquist-Shannon sur l’échantillonnage (aussi appelé critère de Shannon), le premier théorème de Shannon sur la limite théorique de la compression, le deuxième théorème de Shannon sur la capacité d’un canal de transmission.

     Souffrant de la maladie d’Alzheimer dans les dernières années de sa vie, Claude Shannon meurt, à 84 ans, le 24 février 2001, à Medford, dans le Massachusetts.

Pour marquer le centenaire de sa naissance la Société Mathématique de France a proposé une conférence de Josselin Garnier à la Bibliothèque nationale de France le 13 avril 2016 : Claude Shannon et l’avènement de l’ère numérique.

Un colloque est organisé à l’Institut Henri Poincaré du 26 au 28 octobre 2016 dont le programme détaillé est ici au format .pdf. Ceux qui n’ont pu y assister peuvent découvrir les conférences mises en ligne sur YouTube par l’Institut Henri Poincaré. Le Mathouriste qui lui a assisté à l’événement en rend compte sur son site, sous forme de morceaux choisis, enrichi par d’autres conférences (dont celles du cirm à recommander aux débutants) et une sélection de liens vers des textes originaux ou ceux de commentateurs choisis.

Citons encore une exposition est proposée au Musée des Arts et Métiers, du 13 décembre 2016 au 12 mars 2017 : Shannon, le Magicien des Codes, avec aussi des conférences.

 

 … et Fourier

     Oui, mais où est Fourier dans tout cela ? Le mot échantillonnage qui apparaît ci-dessus peut mettre sur la voie. En associant Shannon et échantillonnage dans un moteur de recherche, on découvre un article qui confirme l’intuition première. Le théorème d’échantillonnage et la FFT sont les deux mamelles du traitement numérique de l’information ! Quelqu’un le dit très bien, c’est Barbara Burke-Hubbard, dans un délicieux petit livre dont nous avons parlé déjà ici : « Ondes & Ondelettes » (Belin). Rappelons qu’il s’agit d’un ouvrage d’excellente vulgarisation, prix d’Alembert 1997. Le rôle du théorème est présenté aux pages 47-48, sa démonstration aux pages 216-217 (sans s’attarder sur les détails , mais faisant bien ressortir les idées). Laquelle démonstration a recours à la transformée de Fourier…

[1] Pour décrire la communication entre machines, l’article de 1948 et le livre de 1949 commencent tous deux par un « schéma » qui connut dès lors une postérité étonnante en sciences de l’information et de la communication (SIC), au point que Shannon s’en étonna et s’en dissocia. Le schéma modélise la communication entre machines :

    source ? encodeur ? signal ? décodeur ? destinataire, dans un contexte de brouillage.

Conçu pour décrire la communication entre machines, ce schéma modélise imparfaitement la communication humaine. Pourtant, son succès est foudroyant. L’une des explications de ce succès est le fait qu’il se fond parfaitement dans une approche béhavioriste des médias. De plus, ce schéma dit canonique donne une cohérence et une apparence de scientificité.

 

 

Panorama de la physique

mardi, juillet 26th, 2016

Un panorama :

Serge Haroche,

leçon inaugurale

        Au cours des après-midis de cet été 2016, France Culture diffuse 40 des leçons inaugurales du Collège de France. C’est ainsi, qu’un peu par hasard, m’est tombé dans l’oreille la leçon prononcée par Serge Haroche le 13 décembre 2001 traitant de la physique quantique. En une heure, Serge Haroche, dressant le panorama du domaine d’application de la physique quantique, balaye beaucoup de thèmes dont il a été trait sur ce site. A ce stade, Serge Haroche n’entre pas dans les calculs et n’a donc pas l’occasion de citer les séries et transformations de Fourier ; les outils qu’il sera amené à utiliser  apparaîtront plus tard. Nonobstant, la méthode de séparation des variables pour la recherche des modes propres s’applique à l’équation de Schrödinger comme à celle de la chaleur ou celle des ondes. Trois équations différentes, mais trois équations qui ont en commun une propriété essentielle, la LINEARITE  -et Haroche prononce le mot-. C’est elle qui permet à la méthode de Fourier de réussir dans trois domaines si distincts du point de la physique, mais pas des maths, et c’est là l’intérêt de leur vision unificatrice (ce qui justifie le gagne-pain des mathématiciens, quoi!).

[Le lecteur peut se reporter à la page du Mathouriste : « Prélude à la Théorie Analytique, #0.2 » ; le parallèle est fait entre le cas des ondes et celui de la chaleur, et on y annonce, vers la fin, des applis modernes que l’auteur développera prochainement : « Quelques Applications Modernes de la Recherche des Modes Propres… Si la musique qui nous a servi d’illustration était du XXème siècle, la physique et les mathématiques utilisées dataient indiscutablement du XIXème …  L’élégante simplicité de la recherche de modes propres est-elle encore d’actualité dans la science récente? La réponse est oui… en trois exemples ! 1- Niveaux d’Énergie de l’Atome d’Hydrogène 2- Chaos en Météo : le Système de Lorentz 3- Héliosismologie, Ondes Gravitationnelles »

La démonstration de  la quantification des états d’énergie d’un atome d’hydrogène piégé dans un puits de potentiel utilise la méthode de Fourier, appliquée à l’équation de Schrödinger. On peut renvoyer le curieux AU Cohen-Tannoudji : Mécanique quantique.]

[Ce dont parle Haroche (ondes, corpuscules, interférences) est aussi brièvement évoqué dans la page sur Fresnel du même mathouriste, « des ondes partout », notamment dans un petit paragraphe « Fresnel et Fourier »-aux 2/3 de l’article-, où la citation de Lochak renvoie à Haroche qui nous occupe aujourd’hui : le « domaine » des séries de Fourier, c’est l’espace de Hilbert; or l’outil mathématique sans lequel il n’y a pas de Phy quantique, c’est l’espace de Hilbert!!! ]

 

Pour entendre cette leçon inaugurale, le mieux est de revenir à la source, c’est-à-dire au site du Collège de France :

https://www.college-de-france.fr/site/serge-haroche/inaugural-lecture-2001-12-13-18h00.htm

Les internautes qui n’ont pas la chance de bénéficier de bonnes transmissions peuvent se contenter d’accéder au podcast au site de France-Culture .

Serge Haroche

Serge Haroche

Serge Haroche, né le 11 septembre 1944 à Casablanca, est un physicien français travaillant dans le domaine de la physique quantique. Le 2 juin 2009, il reçoit la médaille d’or du CNRS. Le 9 octobre 2012, il est colauréat du prix Nobel de physique avec l’Américain David Wineland.

« Fasciné » par les mathématiques dont la simplicité élégante rend compte de « l’étrangeté quantique » – mieux que le langage, Serge Haroche se passionne très vite pour la physique atomique à son entrée à l’Ecole Normale Supérieure dans les années 1960. Dans le laboratoire Kastler-Brossel, il se spécialise dans l’optique quantique. Chercheur au CNRS, professeur à Paris VI et dans les plus grandes universités américaines, il dirige le groupe d’électrodynamique des systèmes simples au département de physique de l’ENS, de 1994 à 2000. De 2001 à 2015, il est titulaire de la chaire de physique quantique au Collège de France.

     Entre sa leçon inaugurale et celle de clôture donnée sur la lumière, Serge Haroche a reçu la médaille d’or du CNRS en 2009 et il a été co-lauréat du Prix Nobel de Physique pour ses « méthodes expérimentales novatrices » en 2012. Depuis 20 ans avec son équipe, il rêvait de construire un « piège à photons » qui les garde intacts. Une première expérience en 1996 le permet pendant moins d’un millième de secondes, mais c’est en 2006 qu’ils observent un photon unique pendant un dixième de seconde. Leur recherche passe sous les feux de la rampe. Cette même année 2012, il devient administrateur du Collège de France pour 3 ans. Les laboratoires de physique et de chimie ont été rénovés pour fabriquer un « incubateurs de jeunes chercheurs » en partenariat avec le CNRS.

(merci à Alain Juhel qui a relu cette page et a permis de la compléter)

Le novice Fourier et les 17 droites

dimanche, août 16th, 2015

Le novice Fourier et les 17 droites

Nous avons déjà osé ici ou quelques spéculations concernant le mode de pensée de Joseph Fourier. Nous nous proposons de la voir à l’œuvre sur un exemple compréhensible sans exploiter de grandes connaissances mathématiques.

     A Saint-Benoît-sur-Loire, le novice Fourier meublait ses loisirs en recherchant s’il était possible de tracer 17 droites qui aient 101 points d’intersections. Un élève de l’école élémentaire conclura assez facilement que le nombre maximum de points d’intersection de 17 droites est (17 x 16) / 2, soit 136 puisque chacune des 17 droites rencontre les 16 autres soit (17 x 16) rencontres, chaque point étant compté deux fois (une fois sur chacune des deux droites sécantes).

Le nombre de points d’intersection des droites du plan est une question qui peut être abordée dès l’école élémentaire (voir Math CE2-CM, Godinat, Timon, Worrobel, exercice 624 p. 174, Hachette 2000).

Les publications de Joseph Fourier attestent qu’il avait le goût de la généralisation des problèmes. Il s’intéressa aux solutions d’un polynôme de degré quelconque ; sa théorie de la transformée d’une fonction est d’une portée très générale.

Le problème des 101 points qu’évoque Joseph Fourier dans une de ses lettres peut donc être posé ainsi :  « N droites d’un plan ont au maximum n(n-1)/2 points d’intersection. Il est possible d’exhiber un tracé faisant apparaître ces n(n-1)/2 points. Il est possible aussi pour tout N de décrire un tracé avec 0 point d’intersection ; un tracé avec 1 point d’intersection ; un tracé avec n points d’intersection (si N>2). Qu’en est-il pour chacune des valeurs inférieure à n(n-1)/2 ?  Proposer une construction pour le cas particulier : N=17 et 101 points d’intersection. »

Lire la suite dans le document .pdf .

Le lecteur consciencieux mènera sa propre recherche et évitera de recourir au lien  :

http://tube.geogebra.org/student/mZuE68Dbs

qui, sur Geogebra, exhibe une construction effective, exploitant points triples et droites parallèles (cette solution montre du même coup que le problème peut se résoudre aussi avec seulement 16 droites).

Ce problème a été proposé par Daniel Reisz aux adhérents de l’APMEP. Les solutions qu’ils ont trouvées sont publiées dans le numéro 517 du Bulletin vert, pages 105-106.

Fourier et les marais de Bourgoin

dimanche, juillet 26th, 2015

Fourier et l’assèchement des marais de Bourgoin

     Au Moyen-Age et jusqu’à une période récente, l’accès à une pièce d’eau était très convoité. L’exploitation des ressources piscicoles était un appoint non négligeable et les réserves en protéines pouvaient s’avérer vitales en période de disette.

La gestion des étangs et petites retenues d’eau pouvait relever de l’entreprise familiale. Pour les projets plus vastes, il y fallait l’expérience de sociétés bien organisée. C’est ainsi que le Marais poitevin a été progressivement aménagé sur la base de concessions seigneuriales à des communautés religieuses, puis à une époque plus récente par des privilèges de l’état accordés à des investisseurs.

Nasse en osier

Nasse en osier

 

Nasse en osier

Nasse en osier

Casier à poisson

Casier à poisson

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Au Musée de la pêche en Hongrie : les moyens de conserver indéfiniment les poissons. [Aranyponty halászati múzeum]

Au début du 19e siècle, l’aménagement des marais de Bourgoin, dans l’actuel département de l’Isère restait à entreprendre : « On ne peut voir, sans en être douloureusement affecté, la triste situation des riverains de ces marais, au teint livide, au ventre bouffi, souffrant d’obstructions, de fièvres et affligés d’une vieillesse anticipée. » C’est en ces termes que le célèbre botaniste Varenne de Fenille décrit l’insalubrité des marais de Bourgoin, en 1807.

Ces terrains marécageux sont utilisés depuis des siècles par les paysans : ils y font pâturer le bétail et récoltent la laîche servant à confectionner la litière d’hiver des animaux d’élevage. Ces terres sont essentielles aux cultures vivrières de nombreuses familles alentours, mais elles sont aussi sources de graves désagréments : odeurs nauséabondes, prolifération des maladies digestives, des fièvres paludéennes… Sans compter les noyades dues à l’instabilité et à la profondeur des marais : « Le bétail qui s’éloigne un peu trop des bords est quelquefois englouti et disparaît tout à coup, écrit Varenne de Fenille. De nombreux voyageurs s’y noyèrent.» (1)(2)

Louis XIV déjà souhaitait l’assainissement des marais de Bourgoin. En 1668, il confie cette tâche au maréchal de Turenne, à qui revient la concession des terrains. Mais Turenne meurt au combat. Son héritier, Godefroy de la Tour d’Auvergne, engage deux ingénieurs hollandais, les frères Coorte, pour entreprendre les travaux.

     En 1686, un traité est conclu pour le partage des futures terres asséchées : 7/10e reviennent aux Coorte, 3/10è aux communes et aux particuliers ! Ce partage est mal perçu par la population, qui se sent dépossédée. Les travaux ont lieu dans une ambiance hostile, avec de nombreux actes de vandalisme. Les frères Coorte sont finalement contraints de renoncer. Ils meurent peu après, ruinés. On raconte même qu’ils auraient été assassinés et enterrés quelque part dans les marais…

     Il faudra attendre 1805 pour que le projet d’assainissement redémarre sérieusement, grâce au décret pris par Napoléon mais aussi grâce aux qualités de négociation du préfet de l’Isère, l’éminent mathématicien Joseph Fourier qui réussit à apaiser l’hostilité des riverains (3). Sont concernés 1 500 hectares s’étendant sur quarante communes.

Notre collègue Jean Charles Guillaume, va publier une étude détaillée établissant la part de Joseph Fourier dans l’assèchement des marais de Bourgoin.

Joseph Fourier, alors préfet de l’Isère, maîtrise bien son sujet ; en effet, le premier « coup de pioche » est donné le 25 novembre 1808, à Chamagnieu. C’est le début d’un chantier titanesque, mené par la société Bimar de Montpellier : 600 ouvriers sont mobilisés pour creuser des centaines de canaux. Alors que les guerres napoléoniennes vident le pays de ses hommes, la main d’œuvre est difficile à trouver et on recourt à 400 prisonniers espagnols. Les travaux se déroulent dans des conditions souvent difficiles, dues à de nombreuses intempéries. Malgré tout, l’ensemble des marais sont drainés et le chantier s’achève en 1814, dans les délais exigés par Napoléon. Les terres sont alors mises en culture et donnent bientôt de magnifiques récoltes. (3)

Le projet n’est pas anodin et sa réussite doit beaucoup à son pilotage ; pour preuve ce qui se passe après le départ de Fourier : l’euphorie ne dure qu’un temps… Quatorze ans plus tard, en 1828, la société Bimar, asphyxiée financièrement, vend ses terrains et les obligations d’entretien des ouvrages ne sont pas respectées. Dans le même temps, les paysans se mettent à extraire la tourbe des marais – utilisée pour fertiliser les terres après avoir été brûlée ou pour remplacer le bois de chauffage – à grande échelle, sans se soucier de détériorer les digues et les canaux. Les ouvrages se dégradent et des étangs réapparaissent au milieu des terres… Il faudra attendre les années 1940 pour arriver à une rénovation générale du dispositif de drainage. (3)

 

(1) [http://www.isere-magazine.fr/culture/histoire/Pages/138-Assechement-marais-Bourgoin/L-assechement-des-marais-de-Bourgoin.aspx]

(2) [http://royal-dragons.forumactif.com/t2398-l-assechement-des-marais-de-bourgoin]

(3) [http://www.isere-magazine.fr/culture/histoire/Pages/138-Assechement-marais-Bourgoin/Assechement-des-marais-de-Bourgoin-deux-siecles-de-peripeties.aspx]

 

 

Fourier a transformé la cristallographie

dimanche, décembre 14th, 2014

Ravy_02Fourier a transformé la cristallographie

 

      L’année de la cristallographie se termine avec deux conférences données à Grenoble annoncées sur le site de l’université de Grenoble et sur le site de l’écho des sciences. L’une de ces conférences rejoint tout à fait nos préoccupations :

« Comment Joseph Fourier a transformé la cristallographie »

par Sylvain Ravy, directeur de recherche CNRS, responsable de la ligne CRISTAL au synchrotron Soleil

En passant par l’Egypte et Grenoble, Sylvain Ravy présente la vie et les travaux de Joseph Fourier, avec une illustration spécifique des « séries de Fourier ». Ces outils mathématiques inventés au début du XIXe par Fourier ont permis aux cristallographes de déterminer les structures atomiques des matériaux et des molécules de plus en plus complexes. Remise dans un contexte historique, cette découverte est une petite révolution, expliquée à l’occasion de cette conférence très accessible et sans aucune formule mathématique !

 

Ceux qui ne peuvent assister à ces développements, peuvent en avoir une idée en suivant sur you-tube la conférence sur le même sujet, donnée déjà par Sylvain Ravy, le 12 juin 2014 à Caen.

Fourier et la compression d’images

mercredi, décembre 10th, 2014

Fourier et la compression d’images

(explication, comparaison, sans formule – à l’usage des littéraires)

Voici deux images, identiques, mais enregistrées sous un format différents :

a)  .bmp qui, à images de taille égale, ne compresse pas les images

b) .jpg qui intègre un compresseur d’images

Reve_01 Reve_01

 

 

 

 

Image1 « Je rêve.bmp » – 859 ko                                                                                             Image2 « Je rêve.jpg » – 49 ko

Nous constatons que l’image1 .bmp occupe 17 fois plus d’espace disque que l’image2 enregistrée sous le format .jpg. En effet, le format .bmp code chaque pixel sans analyse, selon le schéma :

                      Image  –> enregistrement pixel à pixel  -> Image1

or l’image proposée se compose de beaucoup de blanc, et, dans une moindre mesure, de bleu, de rouge, de vert, de noir. Le format .jpg, utilise la Transformation de Fourier (TF) pour tenir compte de cette particularité de l’image et regrouper les pixels identiques qui contribuent. Le schéma est le suivant :

                Image –> TF –>  enregistrement données ‘image.jpg’  –> TF-1   –> Image2

 La transformée de Fourier (TF) rassemble les données de l’image sous forme de fonctions trigonométriques ce qui minimise l’espace occupé sur le disque ; la transformée inverse (TF-1) restitue l’image à l’identique. Le principe en a déjà été exposé sur ici.

Tentons maintenant de ‘redimensionner’ l’image2 à l’aide de la fonction proposée par un logiciel de traitement de l’image. Le logiciel, à notre demande va omettre d’enregistrer un certain pourcentage des fonctions trigonométriques qui permettent de reconstituer l’image :

Image2 –> TF –> enregistrement données à 50%   –>  TF-1  –> Image3

Reve_03

L’essentiel est encore là avec une image enregistrée de 37 ko, soit un gain minime mais sensible d’espace disque.  Continuons à compresser de même :                        Image2  –> TF  –>  enregistrement données à 10%  –> TF-1  –> Image4

Reve_03_5

Cette fois la perte de qualité est sensible avec très peu de gain d’espace disque. Notons que l’espace disque est maintenant utilisé majoritairement pour stocker les données de format, incompressibles qui permettent de restituer l’image : 34 ko.

Poussons l’expérience encore un peu :          Image2 –> TF –> enregistrement données à 5%   –> TF-1 –> Image5

Reve_02_5

Formes et couleurs sont altérées, l’espace disque occupé reste de 30 ko.

Retour à la comparaison littéraire : Après l’exemple visuel, reprenons maintenant, la fable de La Fontaine qui nous a servi à illustrer de façon allégorique le principe d’un transformation réversible, et lui appliquons lui une compression à 50% en supprimant ‘mécaniquement’  les signes de ponctuation (23) et 59 mots que l’on ne rencontre qu’une fois :

Le Corbeau et le Renard

Maître Corbeau, sur un arbre perché,

Tenait en son bec un fromage.

Maître Renard, par l’odeur alléché,

Lui tint à peu près ce langage :

« Hé ! bonjour, Monsieur du Corbeau.

Que vous êtes joli ! que vous me semblez beau !

Sans mentir, si votre ramage

Se rapporte à votre plumage,

Vous êtes le Phénix des hôtes de ces bois. »

A ces mots le Corbeau ne se sent pas de joie ;

Et pour montrer sa belle voix,

Il ouvre un large bec, laisse tomber sa proie.

Le Renard s’en saisit, et dit : « Mon bon Monsieur,

Apprenez que tout flatteur

Vit aux dépens de celui qui l’écoute :

Cette leçon vaut bien un fromage, sans doute. »

Le Corbeau, honteux et confus,

Jura, mais un peu tard, qu’on ne l’y prendrait plus.

 

Compression à 50% (82 signes ou mots/164)

Le Corbeau et le Renard

Maître Corbeau .. un arbre ..

..  en ..  bec un fromage.

Maître Renard..  ..  alléché,

.. ..  à peu ..  ce ..

.. bonjour, Monsieur du Corbeau.

.. vous êtes .. que vous .. .. beau

.. .. .. votre ..

.. .. à votre ..

Vous êtes le .. des .. de ces bois

A ces .. le Corbeau ne .. .. .. de ..

.. .. .. sa belle ..

.. .. un .. bec .. .. sa ..

Le Renard .. en .. et dit .. bon Monsieur

Apprenez que .. ..

.. aux dépens de celui ..  l’..:

Cette .. vaut bien un fromage sans doute

Le Corbeau.. et confus

.. .. un peu .. .. ne l’.. .. ..

 Remarques à propos des codages :

L’informatique est grosse consommatrice de codages. Elle transforme in fine tout ce qu’elle traite en langage binaire, soit donc une succession de ‘0’ et de ‘1’. Nous nous sommes intéressés au codage des images nous a permis des illustrations éclairantes ; le codage de la musique serait plus difficile à illustrer de façon probante, mais on comprend que la suppression des harmoniques situées dans les ultra ou les infra-sons fait gagner de l’espace sans perte de qualité.

Nous aurions pu aussi parler du codage des lettres : historiquement c’est le premier auquel le informaticiens se sont intéressés. A une époque où la mémoire électronique était denrée rare, ils ont créé le code ASCII pour obtenir un rendement maximal. Ce code a évolué et suivi les progrès des composants (passage de 8 à 16 puis 32, 64 bits), il reste utilisé et très efficace : en utilisant un espace équivalent à une simple image, un logiciel de traitement de texte code facilement un volume de plusieurs centaines de pages. A l’occasion, les traitements de texte, utilisent aussi, en toute discrétion, la compression d’images : ainsi, l’image qui illustre cet article (obtenue par un logiciel de traitement d’image), seule pesait 859 ko, incorporée à un texte, elle a été allégée puisque « images + article » n’occupent plus que 283 ko après traitement par le logiciel.

 

 

 

 

 

Fourier pour les littéraires

samedi, novembre 29th, 2014

Une transformation

‘à la manière de Fourier’

pour les littéraires

      Les mathématiciens sont des gens charmants, dotés de qualités remarquables (rigueur, créativité, technicité….) mais qui ont le gros défaut d’oublier que le commun des mortels ne « parle » pas spontanément mathématique et le comprend encore moins. Lorsque j’ai demandé à tel ou tel autre mathématicien de m’expliquer la Transformation de Fourier, j’ai reçu deux types de réponses : soit l’expression dépitée de ceux qui connaissant mon niveau de culture mathématique se refusent à répondre, sachant que je ne comprendrai rien de leurs explications, soit un flot de parole, accompagné de formules, au milieu desquelles mon esprit se perd dès la première seconde.

Fourier est trop célèbre, trop cité, trop utilisé, trop surexploité pour laisser la compréhension de ses intuitions aux seuls mathématiciens ou physiciens. Quitte à filer la métaphore jusqu’à son point de rupture, nous voudrions ici, hors de toute formulation mathématique, proposer aux non-initiés une approche de ce qui est en jeu lorsque l’on parle de Transformation de Fourier. Les mathématiciens critiques de cette démarche pourront m’adresser leurs remarques et proposer une meilleure approche.

Certains ne seront pas surpris par l’approche qui est faite ici : elle n’est pas sans lien avec les travaux relatifs à l’analyse du discours, même si, à notre connaissance, c’est le lien n’a pas été fait avec la Transformation de Fourier qui s’applique à des fonctions.

Soit un texte bien connu de Jean de La Fontaine, nous nous proposons de le transformer de façon réversible. Ainsi, nous obtiendrons deux points de vue d’un même discours. Points de vue que nous pourrons mettre en concurrence pour formuler des remarques :

Texte original

 Le Corbeau et le Renard

Maître Corbeau, sur un arbre perché,

Tenait en son bec un fromage.

Maître Renard, par l’odeur alléché,

Lui tint à peu près ce langage :

« Hé ! bonjour, Monsieur du Corbeau.

Que vous êtes joli ! que vous me semblez beau !

Sans mentir, si votre ramage

Se rapporte à votre plumage,

Vous êtes le Phénix des hôtes de ces bois. »

A ces mots le Corbeau ne se sent pas de joie ;

Et pour montrer sa belle voix,

Il ouvre un large bec, laisse tomber sa proie.

Le Renard s’en saisit, et dit : « Mon bon Monsieur,

Apprenez que tout flatteur

Vit aux dépens de celui qui l’écoute :

Cette leçon vaut bien un fromage, sans doute. »

Le Corbeau, honteux et confus,

Jura, mais un peu tard, qu’on ne l’y prendrait plus.

 

Il est possible de la transformer, de façon à obtenir ceci :

Texte transformé (fréquence / alphabétique)

, . Corbeau un ! de et l’ le Le Renard « » à bec ces en êtes fromage Maître Monsieur ne peu que sa votre vous ; A alléché Apprenez arbre aux beau belle bien bois bon bonjour ce celui Cette confus dépens des dit doute du écoute Et flatteur Hé honteux hôtes Il joie joli Jura laisse langage large leçon Lui mais me mentir Mon montrer mots odeur on ouvre par pas perché Phénix plumage plus pour prendrait près proie qu’ Que qui ramage rapporte s’ saisit sans Sans se Se semblez sent si son sur tard Tenait tint tomber tout vaut Vit voix Vous y

En fait, nous avons été un peu elliptique et cette transformation abrégée n’est pas réversible en ce qu’elle ne permet pas de retrouver le texte original ; pour que la transformation soit vraiment réversible, il convient de conserver une trace de la position des mots dans l’original, ce qui pourrait donner ceci :

Texte transformé (avec repérage des formes ce qui assure la réversibilité de la transformation)

[Corbeau $11/5 —>  Corbeau $ numéro de la ligne/position dans la ligne]

, $12/7 ; $13/6 ; $14/13 ; $14/5 ; $17/7 ; $18/3 ; $18/7 ; $19/2 ; $19/7 ; $2/3 ; $2/8 ; $4/3 ; $4/7 ; $6/5 ; $8/3 ; $9/6

. $10/10 ; $13/11 ; $17/10 ; $19/13 ; $3/7 ; $6/9

Corbeau $11/5 ; $18/2 ; $2/2 ; $6/8 ; $1/2 / un $13/3 ; $17/5 ; $19/4 ; $2/5 ; $3/5

! $6/3 ; $7/11 ; $7/5 / de $10/7 ; $11/10 ; $16/4 / et $14/6 ; $18/5 ; $1/3 / l’ $16/7 ; $4/5 ; $19/10 / le $10/3 ; $11/4 ; $1/4 / Le $14/1 ; $18/1 ; $1/1 / Renard $1/5 ; $14/2 ; $4/2 /

« $14/9 ; $6/1 / » $10/11 ; $17/11 / à $5/3 ; $9/3 / bec $13/5 ; $3/4 / ces $10/8 ; $11/2 / en $14/3 ; $3/2/ êtes $10/2 ; $7/3 / fromage $17/6 ; $3/6 / Maître $2/1 ; $4/1 / Monsieur $14/12 ; $6/6 / ne $11/6 ; $19/9 / peu $19/5 ; $5/4 / que $15/2 ; $7/6 / sa $12/4 ; $13/9 / votre $8/5 ; $9/4 / vous $7/2 ; $7/7 /

; $11/12 / A $11/1 / alléché $4/6 / Apprenez $15/1 / arbre $2/6 / aux $16/2 / beau $7/10 / belle $12/5 / bien $17/4 / bois $10/9 / bon $14/11 / bonjour $6/4 / ce $5/6 / celui $16/5 / Cette $17/1 / confus $18/6 / dépens $16/3 / des $10/5/ dit $14/7/ doute $17/9 / du $6/7 / écoute $16/7 / Et $12/1 / flatteur $15/4 / Hé $6/2 / honteux $18/4 / hôtes $10/6 / Il $13/1 / joie $11/11 / joli $7/4 / Jura $19/1 / laisse $13/7 / langage $5/7 / large $13/4 / leçon $17/2 / Lui $5/1 / mais $19/3 / me $7/8 / mentir $8/2 / Mon $14/10 / montrer $12/3 / mots $11/3 / odeur $4/5 / on $19/8 / ouvre $13/2 / par $4/4 / pas $11/9 / perché $2/7 / Phénix $10/4 / plumage $9/5 / plus $19/12 / pour $12/2 / prendrait $19/11 / près $5/5 / proie $13/10 / qu’ $19/8 / Que $7/1 / qui $16/6 / ramage $8/6 / rapporte $9/2 / s’ $14/3 / saisit $14/4 / sans $17/8 / Sans $8/1 / se $11/7 / Se $9/1 / semblez $7/9 / sent $11/8 / si $8/4 / son $3/3 / sur $2/4 / tard $19/6 / Tenait $3/1 / tint $5/2 / tomber $13/8 / tout $15/3 / vaut $17/3 / Vit $16/1 / voix $12/6 / Vous $10/1 / y $19/10 /

La transformation étant faite, nous laissons à chacun le soin de l’utiliser pour analyser le texte proposé comme il l’entend ; notre propos n’est pas ici d’enrichir la critique littéraire, mais de proposer une comparaison (impertinente sans doute, mais nous l’osons cependant) pour pénétrer la pensée de Joseph Fourier. Nanti de la méthode, les plus hardis de nos lecteurs pourront se proposer de soumettre à l’Académie française une proposition établissant son bien fondé pour tout texte publié. C’est la démarche qu’a suivi Joseph Fourier au début du 19e siècle :  « Ses travaux sur la propagation de la chaleur débutent en 1805 au retour d’Egypte. alors qu’il est préfet à Grenoble. /…/ Le 21 décembre  1807 il lit à l’Académie des Sciences un mémoire intitulé Théorie de la Propagation de la Chaleur dans les Solides. Mais LAGRANGE et LAPLACE firent de nombreuses objections et ce mémoire ne fut jamais publié ni par l’Académie, ni par FOURIER, ni ultérieurement par Gaston DARBOUX dans les œuvres complètes. Pourtant on est maintenant certain que DARBOUX a consulté ce manuscrit à l’Ecole des Ponts et Chaussées et il en dit grand bien. Ce n’est qu’en 1972 que l’historien des sciences anglais, GRATTAN-GUINESS, grand spécialiste de FOURIER, publiera ce premier texte sur la propagation de la chaleur. Pendant les années 1808 et 1809 FOURIER publiera de nombreuses mises au point qui essayent de répondre aux critiques de LAGRANGE et LAPLACE. Il trouve dans ce travail l’aide de POISSON. En 1811, il soumet à nouveau son mémoire, nettement amélioré, à l’Académie des Sciences. LAGRANGE souligne alors « la nouveauté du sujet et son importance » mais reste encore réservé « du coté de la rigueur ». [Extrait d’une conférence donnée devant le centre Auxerrois de l’Université pour Tous de Bourgogne, par Daniel Reisz]

Nous n’avons pas refait les calculs nous-même (nous en serions bien incapable), mais c’est par un cheminement analogue, en appliquant, en toute rigueur cette fois, la Transformation de Fourier que les mathématiciens peuvent nous proposer ces deux interprétations de l’image de Lena : notre but est atteint si le lecteur entrevoit maintenant comment les images de gauche ou de droite se déduisent l’une de l’autre.

Léna_01

     Cette comparaison peut donner une vague idée de la Transformation de Fourier, cependant elle reste superficielle, utilisant les mots qui se retrouvent inchangés entre le texte original et le texte transformé.

     Fourier, lui, transforme complètement la fonction originale en une somme d’autres fonctions de nature différente. La Transformation de Fourier permet de passer d’une fonction (souvent chaotique, – la diffusion de la chaleur dans un objet de forme complexe – l’évolution des cours de la bourse) sur laquelle il est difficile d’intervenir (les calculs de dérivation, d’intégration ne sont pas possibles) à des fonctions où ces calculs sont aisés, le prix à payer étant d’être contraint de manipuler des sommes infinies, ce qui génère des calculs monstrueux que seuls les ordinateurs sont en mesure de mener à bien.