Archive for the ‘pédagogie’ Category

Naissance des séries de Fourier

Lundi, septembre 28th, 2015

la Naissance des séries de Fourier

Présentation d’une page publiée sur le site du Mathouriste

            Il m’a toujours semblé navrant que les sujets scientifiques soient si peu et si mal traités dans une presse qui consacre par ailleurs tant de d’énergie à développer des sujets futiles. Mais, journaliste ou lecteur, qui serait en mesure de suivre la pensée d’un prix Nobel scientifique ?

            Les travaux de Fourier datent du début du XIXe siècle, nombre de savants tant mathématiciens que physiciens les ont lus, relus, analysés et ces travaux sont maintenant enseignés dans toutes les facultés. Fort de ce recul, il est possible de revenir sur la genèse de l’entreprise et de l’exposer pour le profit du plus grand nombre. Le Mathouriste auquel nous avons déjà renvoyé le lecteur sur ce même site lorsque nous avons traité de la vie de Fourier est revenu sur le Traité de la chaleur.

      C’est une lecture roborative que nous ici offre Alain Juhel. Le Mathouriste ne se cantonne pas à des propos touriste. Il nous offre une lecture au contenu substantiel. Pour en profiter pleinement, il convient de maîtriser des connaissances de première année de licence. Le texte devenant clair pour quelqu’un qui possède le niveau de deuxième année de licence. Mais, il reste appétissant pour un élève de TS curieux. Quant au lecteur naïf, il doit faire confiance à Alain Juhel pour sa lecture des équations et se contenter de suivre, de l’extérieur, la pensée de Joseph Fourier. Ceci ne va pas sans charme.

     Nous avons déjà dit l’intérêt que Fourier portait à l’âge de la Terre, cet intérêt l’a conduit, pour préciser une évaluation très différente des valeurs admises à son époque à étudier l’effet de serre. Quitte à tordre un peu la réalité, nous résumons l’œuvre de Joseph Fourier à cette unique préoccupation « quel est l’âge de la Terre ? ».

     Alain Juhel nous présente une page consacrée à la naissance des séries de Fourier, à travers manuscrits et Théorie Analytique. Cette étape est formalisée très tôt de la pensée du savant (le premier mémoire est de 1807, et pour ce qui est de sa pensée, on pourrait au moins remonter avec certitude à 1804 -arrivée à Grenoble-), même si la Théorie Analytique est publiée en 1822. Le texte présenté sur le site du Mathouriste est un remake, pas mal étendu, de conférences et dossiers de travail « offerts » aux étudiants en 2007 et 2012. Il est un bon moyen aider un lecteur qui veut entrer dans l’ouvrage, ou savoir ce qui s’y passe, sans tout lire.

   In fine, l’auteur annonce une suite… nous l’attendrons ave impatience. Nous souhaiterions aussi, qui sait, avoir une idée d’un « avant » : les théories ne naissent pas de rien et le Mathouriste a montré qu’il avait le talent nécessaire pour nous guider dans cette connaissance.

La deuxième partie annoncée ci-dessus est maintenant visible  ici.

 

Le novice Fourier et les 17 droites

Dimanche, août 16th, 2015

Le novice Fourier et les 17 droites

Nous avons déjà osé ici ou quelques spéculations concernant le mode de pensée de Joseph Fourier. Nous nous proposons de la voir à l’œuvre sur un exemple compréhensible sans exploiter de grandes connaissances mathématiques.

     A Saint-Benoît-sur-Loire, le novice Fourier meublait ses loisirs en recherchant s’il était possible de tracer 17 droites qui aient 101 points d’intersections. Un élève de l’école élémentaire conclura assez facilement que le nombre maximum de points d’intersection de 17 droites est (17 x 16) / 2, soit 136 puisque chacune des 17 droites rencontre les 16 autres soit (17 x 16) rencontres, chaque point étant compté deux fois (une fois sur chacune des deux droites sécantes).

Le nombre de points d’intersection des droites du plan est une question qui peut être abordée dès l’école élémentaire (voir Math CE2-CM, Godinat, Timon, Worrobel, exercice 624 p. 174, Hachette 2000).

Les publications de Joseph Fourier attestent qu’il avait le goût de la généralisation des problèmes. Il s’intéressa aux solutions d’un polynôme de degré quelconque ; sa théorie de la transformée d’une fonction est d’une portée très générale.

Le problème des 101 points qu’évoque Joseph Fourier dans une de ses lettres peut donc être posé ainsi :  « N droites d’un plan ont au maximum n(n-1)/2 points d’intersection. Il est possible d’exhiber un tracé faisant apparaître ces n(n-1)/2 points. Il est possible aussi pour tout N de décrire un tracé avec 0 point d’intersection ; un tracé avec 1 point d’intersection ; un tracé avec n points d’intersection (si N>2). Qu’en est-il pour chacune des valeurs inférieure à n(n-1)/2 ?  Proposer une construction pour le cas particulier : N=17 et 101 points d’intersection. »

Lire la suite dans le document .pdf .

Le lecteur consciencieux mènera sa propre recherche et évitera de recourir au lien  :

http://tube.geogebra.org/student/mZuE68Dbs

qui, sur Geogebra, exhibe une construction effective, exploitant points triples et droites parallèles (cette solution montre du même coup que le problème peut se résoudre aussi avec seulement 16 droites).

Ce problème a été proposé par Daniel Reisz aux adhérents de l’APMEP. Les solutions qu’ils ont trouvées sont publiées dans le numéro 517 du Bulletin vert, pages 105-106.

Présentation de Fourier par Deltheil

Mardi, avril 28th, 2015

Fourier par Deltheil & Leconte

        Les trois derniers sous-chapitres de l’ouvrage de Deltheil et Leconte, Éléments de calcul différentiel et de calcul intégral, traitent des transformées de Fourier. L’ouvrage fut publié en 1926, à une époque les idées de Fourier n’avaient pas encore trouvé la pleine efficacité qu’elles ont aujourd’hui dans la recherche, l’industrie, les communications. La présentation qu’en font les auteurs qui est caractéristiques de l’époque : en ce temps, les séries et la transformation de Fourier donnent matière à exercices illustrant le calcul différentiel et intégral.

Notons la remarque de la page 204 : « La théorie rigoureuse des séries trigonométriques est difficile et nous devrons, le plus souvent, nous borner à énoncer des résultats sans les démontrer. » De nos jours, les méthodes de Fourier ont donné naissance à d’incontournables outils largement utilisés par les techniciens, cependant cette remarque reste vraie : nous cherchons toujours le pédagogue qui saura donner à un public étendu, une vue en profondeur des questions qui préoccupaient Joseph Fourier.

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 R. Deltheil et Th. Leconte, Éléments de calcul différentiel et de calcul intégral, tome 1, 220 p. Collection Armand Colin, section de mathématiques, n°72, 1926, (6e édition – 1941)

Extrait de la troisième partie, les développements en séries,  chapitre X, III, séries trigonométriques ; p. 204 à 216 :

 

83. Série de Fourier d’une fonction donnée.

Euler a montré que si une fonction donnée f(x) est, dans un intervalle d’étendue 2?, égale à la somme de la série trigonométrique :

a0 + a1 cos x + b1 sin x+ … + an cos nx + bn sin nx + …

les coefficients de la série s’expriment simplement au moyen de la fonction  f(x). Ce calcul repose sur la possibilité, que nous admettrons[1], d’intégrer les séries trigonométriques représentant les fonctions que nous envisagerons.

Plaçons-nous, par exemple, dans l’intervalle (-?, ?). Le terme constant a0 se calcule en intégrant,  f(x) et la série de – ? à ? ; comme les fonctions cos nx, sin nx admettent pour primitives sin nx / n, – cos nx/n, les intégrales de tous les termes sont nulles, sauf celle du terme constant et l’on peut écrire :

img_01

le terme constant est donc la valeur moyenne de la fonction f(x) dans l’intervalle (-?, ?). Le coefficient an se calcule en intégrant de –? à ?. la fonction f(x) cos nx et, terme à terme, la série multipliée par cos nx ; l’intégrale du terme a0 cos nx est nulle, de même que celles des termes   ap cos nx cos px (n ? p) ,   bp cos nx sin px   (quels que soient n et p) (§ 65) ; quant à l’intégrale du terme an cos² nx, elle est égale à ?an (§ 65) ; le calcul de bn est analogue, d’où les formules :

img_02

an bn sont donc égaux aux doubles des valeurs moyennes des fonctions  f(x) cos nx, f(x) sin nx dans l’intervalle (-?, ?). L’interprétation géométrique de ces coefficients est intéressante ; la figure 63 donne celle de a4 :

fig_63

 

les courbes C, C’ représentent les fonctions f(x), –f(x), la courbe en trait plein, la fonction f(x) cos 4x (§ 39, 5°) ; ?a4 est la somme algébrique des aires indiquées par des teintes grises, les aires placées au-dessus de Ox étant positives, celles placées au-dessous étant négatives.

C’est d’abord à propos de la vibration des cordes (ex. 358) et des fonctions périodiques qui s’introduisent dans cette étude que s’est posé le problème de la représentation d’une fonction par une série trigonométrique. Mais le calcul des intégrales qui fournissent les coefficients est pénible pour les fonctions périodiques les plus simples. Le véritable intérêt du problème n’est pas là, ainsi que l’ont montré la théorie et les applications. Il se trouve dans le fait que les formules d’Euler ont un sens pour toute fonction, périodique ou non, et conduisent à une série trigonométrique attachée à cette fonction, série appelée série de Fourier de la fonction, pour rappeler que Fourier, le premier, a appelé l’attention sur le degré de généralité du résultat. Dirichlet a ensuite montré que, moyennant des conditions très larges, la série de Fourier d’une fonction f(x) est convergente et a pour somme f(x) dans l’intervalle considéré d’étendue 2?. L’énoncé précis de Dirichlet est le suivant :

Soit une fonction f(x) continue dans un intervalle d’étendue 2?, sauf en un nombre fini de points où il y a discontinuité de première espèce (valeurs limites à gauche et à droite, saut brusque, § 10, fig. 12), et admettant dans cet intervalle un nombre fini de maxima et de minima. La série de Fourier de cette fonction est convergente. Sa somme est f(x) dans tout l’intervalle sauf aux extrémités et aux points de discontinuité ; en un point de discontinuité, la somme de la série de Fourier est la demi-somme des valeurs limites de f(x), à gauche et à droite ; aux extrémité de l’intervalle, (-?, ?) par exemple, la somme de la série de Fourier est la demi-somme des nombres f(-?), f(?).

 

  1. Applications. –

1° Soit à trouver la série de Fourier de la fonction x/2 envisagée dans l’intervalle (-?, ?).

formule_p84

Les intégrales qui donnent les coefficients a portent sur des fonctions impaires parce que la fonction donnée est elle-même impaire ; leurs limites sont opposées ; les aires qu’elles représentent sont formées de deux parties, limitées par Oy, ayant des valeurs opposées; ces coefficients sont donc nuls. Le calcul de bn se fait simplement et donne :

formule_p84_2

Cette série est convergente et a pour somme x/2 a l’intérieur de l’intervalle (-?, ?) d’après le théorème de Dirichlet, et nous vérifions qu’elle a bien pour valeur, aux extrémités -?, ? de l’intervalle, la moyenne arithmétique, zéro, des valeurs prises par la fonction. La somme de cette série définit, x variant de  moins l’infini à plus l’infini, une fonction périodique de période 2?, discontinue pour tous les multiples impairs de ? (fig. 64).

fig_64

2° Cherchons la série de Fourier de la même fonction x/2 envisagée dans l’intervalle 0, 2?. Les formules qui donnent les coefficients sont analogues aux précédentes, le seul changement porte sur les limites des intégrales qui sont ici 0, 2? ; mais le calcul de certains coefficients n’est plus immédiat par des considérations de symétrie et il y a ici à utiliser les primitives x²/4 de x/2 et (x sin nx)/2n + cos nx / 2n² de (x cos x)/2 . On Parvient ainsi à la série ?/2 – sin x – (sin 2x)/2 + (sin 3 x) /3 …  sur laquelle on fera des remarques analogues à celles que nous avons présentées à propos de l’exemple précédent. fig_65

La figure 65 donne la représentation graphique de la fonction périodique définie comme somme de cette série ; la comparaison des figures 64 et 65 suggère le moyen de passer de la seconde fonction à la première par le changement de y en (? /2) + y, de x en (? + x), ce qui se vérifie sur les séries.

 3° Cherchons la série de Fourier de la fonction égale à – ? /4 de – ? à 0, à  ?/4 de 0 à ? ; la série obtenue sera nulle pour x=- ?, x= ? (et pour tout multiple impair de ? ), puisque zéro est la demi-somme des valeurs de la fonction aux extrémités de l’intervalle ; mais elle le sera aussi pour x=0 (et pour tout multiple pair de – ?), parce que la fonction proposée est discontinue pour cette valeur et que zéro est la demi-somme des valeurs limites de la fonction à gauche et à droite.

formule_p84_3

visiblement, les coefficients a sont nuls ; bn est égal à 1/n ou est nul suivant que n est impair ou pair : d’où la série : sin x + (sin 3x)/3 + (sin 5x) / 5 +….   dont la somme est une fonction de x représentée graphiquement sur la figure 66.

fig_66

On remarquera que dans les trois exemples que nous venons de traiter, les séries obtenues convergent d’après le théorème de Dirichlet et non en vertu des règles de convergence que nous avons données (ex. 223) ; de plus, il n’entre que 1/n au dénominateur du terme général, nous ne sommes pas dans le cas où la convergence est normale ; il est intéressant de rapprocher ces remarques de la constatation que, dans ces trois cas, la somme de la série présente des discontinuités.

 4° Cherchons la série de Fourier de la fonction égale à |x/2| lorsque x varie de – ? à ?. L’intérêt présenté par cet exercice est le suivant : la fonction considérée, bien que formée de l’association de deux fonctions distinctes, x/2 et –x/2, est continue dans l’intervalle (– ? à ?) et elle prend même valeur ?/2 aux extrémités de l’intervalle ; la série de Fourier obtenue sera donc une fonction continue pour toute valeur de x (fig. 67).

fig_67

formule_p84_4

La fonction donnée étant paire, les deux intégrales qui donnent bn ont des valeurs opposées parce que les intervalles d’intégration sont formés de valeurs opposées ; les coefficients a sont donc nuls ; les coefficients a se calculent aisément : a0= ?/4, an est égal à – 2/?n² ou à zéro suivant que n est impair ou pair ; nous obtenons donc la série :

  ?/4 – 2/? (cos x + (cos 3x )/3²+…) qui est normalement convergente quel que soit x, fait à rapprocher de la propriété de la somme de cette série d’être une fonction continue quel que soit x.

5° Dans les exemples précédents, nous avons cherché la série de Fourier d’une fonction impaire définie dans l’intervalle (-? à ? ) (fig. 64, 66) et nous n’avons trouvé que des termes en sinus ; nous avons cherché (fig. 67) la série de Fourier d’une fonction paire définie dans l’intervalle (-? à ?) et nous n’avons trouvé que des termes en cosinus.

Ces résultats sont généraux ; si f(x) est impaire, l’intégrale de f(x) ou celle de f(x) cos nx de – ? à ? est nulle, car cette intégrale se représente géométriquement par une aire formée de deux parties dont les valeurs sont opposées ; si f(x) est paire, l’intégrale de f(x) sin nx de -? à ? est nulle pour une raison analogue ; cette remarque permet d’annuler a priori les coefficients a dans le premier cas, les coefficients b dans le second.

 6° Les exemples 1, 2, 4 nous ont conduits à trois développements de la fonction x/2, en séries trigonométriques, valables dans l’intervalle (0, ?) ; c’est une remarque importante et facile à justifier qu’une fonction donnée peut posséder une infinité de développements en séries trigonométriques dans un intervalle d’étendue moindre que 2 ?. Soit en effet la fonction f(x) dans l’intervalle (0, ?) par exemple ; associons-lui la fonction g(x) choisie quelconque dans l’intervalle (-?, 0) ; supposons cependant que la fonction h(x) ainsi définie dans l’intervalle (-?, ?) satisfasse aux conditions de Dirichlet ; écrivons son développement en série de Fourier, le développement obtenu dépendra évidemment du choix de g(x) ; en particulier, si h(x) est paire, condition qui détermine g(x), le développement ne contiendra que des cosinus ; si h(x) est impaire, condition qui détermine g(x), le développement ne contiendra que des sinus.

 7° Nous avons eu l’occasion dans les exemples qui précèdent de donner une idée du rapport qui existe entre la rapidité de la convergence d’une série de Fourier et le fait que sa somme présente ou non des discontinuités. En vue d’insister sur ce point, cherchons la série de Fourier de la fonction égale à (1 – cos x) = 2 sin² x, de 0 à ? et qui est impaire, ce qui achève de la déterminer dans l’intervalle (-?, ?). Les coefficients a sont nuls ;

img_p212

Cette série a pour somme une fonction f(x) toujours continue (fig. 68, courbe en traits pleins), dont la dérivée f’(x), périodique comme f(x), est égale à 2sin 2x, de 0 à ?, à -2sin 2x, de -? à 0, et est toujours continue (fig. 68, courbe en traits pointillés).

fig_68

Ces résultats sont à rapprocher du fait que la terme général de la série de Fourier trouvée contient n3 au dénominateur, que le terme général de la série dérivée

formule_p84_7

contient n² au dénominateur ; la série dérivée est donc normalement convergente et par suite (§78), elle représente f’(x).

Dans le même ordre d’idées, il est bon de remarquer que les séries trigonométriques de termes généraux an sin nx, an cos nx,  ?a? < 1, dont nous avons trouvé les sommes dès le début, sont dérivables terme à terme autant de fois qu’on le voudra.

 

  1. Cas d’une période quelconque.

La série trigonométrique a0 +a1 cos ?t + b1 sin ?t + a2 cos 2?t + b2 sin 2?t+…. dans laquelle ? est un nombre et t la variable, a pour somme, lorsqu’elle est convergente, une fonction périodique de période T=2 ?/? ; elle se ramène à la forme adoptée jusqu’ici par le changement de variable ?t=x ; on dit que la partie a1 cos ?t+b1 sin ?t ou u1 sin (?t+a1), de période T est le terme fondamental ; la partie en n?t, de période T/n est le nième  harmonique.

Pour représenter dans l’intervalle (a, b), a < b, une fonction f(t) par une série trigonométrique qui admette pour période b – a=T=2 ?/? on opérera le changement de variable ?t = x ; on obtiendra la fonction f(x/?), x variant dans l’intervalle (?a, ?b) d’étendue 2 ?, et on cherchera la série de Fourier de cette fonction. En modifiant légèrement, le changement, de variable, soit ?t = x + c, on peut faire en sorte que l’intervalle de variation de x soit un intervalle quelconque d’étendue 2 ? ; ainsi, pour obtenir l’intervalle (-?, ?), il suffit de choisir c= (? (a + b))/2

 Comme application, cherchons le développement, de la fonction f(t) qui de 0 à T/2 est égale à zéro et de T/2 à T est égale à a.

fig_69

Si l’on transporte les axes O’t’, O’y’, O’ étant le point de coordonnées T/2, a/2 (fig. 69), on se trouve ramené, aux dimensions près, au cas de la figure 66 ; on obtient donc le développement :

2a/ ? (sin (2 ?t’/T) + 1/3 sin (6 ?t’/T) + ….)

et, puisque y = y’ + a’/2,  t = t’ + T/2, le développement cherché est

a/2 – 2a/ ? (sin (2 ?t/T) + 1/3 sin (6 ?t/T) + ….).

 

Exercices

Exercice : 216. Développer en série trigonométrique la fonction 1/(2+ cos x).

(Écrire

formule_p85_2

et calculer a de manière à obtenir à un facteur constant près 2 + cos x au dénominateur.)

 Exercice : 217. Trouver la série de Fourier de la fonction égale à – sin x de –? à 0 et à sin x de 0 à ?), de la fonction égale à ex de –? à ?, de la fonction égale à ex, de 0 à 2?, de la fonction égale à x²/4 de –? à ?. On peut retrouver les coefficients de ce dernier développement (sauf a0) en intégrant terme à terme la série qui donne x/2 de -? à ?.

 Exercice : 218. – Trouver les développements en séries trigonométriques de période T, des fonctions de t suivantes :

1° celle qui est nulle, t variant de 0 à T/3, égale à a/2 de T/3 à 2T/3, égale à a de 2T/3 à T ;

2° celle qui est égale à  a((tT/2) + t²) de –T/2 à 0, égale à  a((tT/2) –t²) de 0 à T/2 (les deux arcs de paraboles représentatifs sont tangents à l’origine) ;

 3° celle qui donne l’abscisse d’un point animé sur une droite d’un mouvement périodique ainsi défini : du temps 0 au temps T/2, le mobile va de A en B, AB = a, avec une vitesse constante v et du temps T/2 au temps T revient de B en A avec la même vitesse (suivre les indications du § 85).

 Exercice : 219. – La série de Fourier d’une fonction f(x) définie dans un intervalle d’étendue 2?, (0, 2?) par exemple, et telle que  f(x+ ?) = –f(x) ne contient pas de sinus et cosinus des  multiples pairs de X.

 Exercice : 220. – Dans la fonction f(t) =  u0 + u1 sin (2 ? t/T + ?1) +… on remplace t par , t+? (décalage de ?) ; écrire le développement de la fonction f(t) + f(t+ ?)

(Appliquer la formule sin p + sin q = 2 sin (p+q)/2 cos (pq)/2 ). Cas d’un décalage de T/2.

 Exercice : 221.-Dans la fonction f(t) =  u0 + u1 sin (2 ? t/T + ?1) +… on opère des décalages de T/3, 2T/3. Montrer que le développement de la fonction f (t + T/3) + f (t + 2T/3) est de la forme :

formule_p85_3

Exercice : 222. – La valeur efficace I (§ 53) de la fonction f(t) =  u0 + u1 sin (w t + ?1) + u2 sin (2 ? t + ?2) + … pour la période 2 ? /? est donnée par l’égalité  I² = u0² +(( u0²+ u1²)/2) +…

(Admettre qu’on peut élever la série au carré, ce qui est démontré pour nous lorsque la série ?un? est convergente. Seules les intégrales relatives aux termes carrés ne sont pas nulles.)

Appliquer à la fonction  x/2 qui dans l’intervalle (-?, ?) admet pour développement sin x + sin 2x /2 + sin 3x /3 … et en déduire que le nombre S = 1 + 1/2² + 1/3² +1/4² +…. est égal à ? ²/6.

Appliquer à la fonction égale à – ? /4 de – ?  à 0 de 0 à ?  qui admet le développement sin x + sin 2x/2 + sin 3x /3 … et en déduire que le nombre S = 1 + 1/3² + 1/5² +… est égal à ? ²/8.

 D’ailleurs, la relation S = S + S/4 s’obtient immédiatement en sommant séparément dans S, les termes pris de deux en deux.

Exercice : 223. a0 + a1 cos x + a2 cos 2x +… est convergente (sauf peut-être pour x = 2k ? ) si les nombres a sont positifs, décroissent et tendent vers zéro (montrer, en appliquant la formule : 2 cos px  sin x/2 = (sin (2p+1)/2)x  – (sin (2p-1)/2)x  que 2Sn sin x/2  est égal à : a0 + a1 sin x/2 + (a0 a1)  sin x/2 +… + (an-1 an)  sin ((2n-1)/2)x + an sin ((2n+1)/2)x.

 Laissant de côté le dernier terme, qui tend vers zéro, on obtient la somme des (n+1) premiers termes d’une série absolument convergente puisque le terme général est inférieur en valeur absolue à an-1 an, terme général d’une série positive convergente. La méthode s’applique également à la série b1 sin x + b2 sin 2x + … les nombres positifs b décroissant et tendant vers zéro. Exemples : les séries de termes généraux cos nx/n, (x ? 2k?), sin nx/n sont convergentes.

 

[1] La théorie rigoureuse des séries trigonométriques est difficile et nous devrons, le plus souvent, nous borner à énoncer des résultats sans les démontrer.

Fourier a transformé la cristallographie

Dimanche, décembre 14th, 2014

Ravy_02Fourier a transformé la cristallographie

 

      L’année de la cristallographie se termine avec deux conférences données à Grenoble annoncées sur le site de l’université de Grenoble et sur le site de l’écho des sciences. L’une de ces conférences rejoint tout à fait nos préoccupations :

« Comment Joseph Fourier a transformé la cristallographie »

par Sylvain Ravy, directeur de recherche CNRS, responsable de la ligne CRISTAL au synchrotron Soleil

En passant par l’Egypte et Grenoble, Sylvain Ravy présente la vie et les travaux de Joseph Fourier, avec une illustration spécifique des « séries de Fourier ». Ces outils mathématiques inventés au début du XIXe par Fourier ont permis aux cristallographes de déterminer les structures atomiques des matériaux et des molécules de plus en plus complexes. Remise dans un contexte historique, cette découverte est une petite révolution, expliquée à l’occasion de cette conférence très accessible et sans aucune formule mathématique !

 

Ceux qui ne peuvent assister à ces développements, peuvent en avoir une idée en suivant sur you-tube la conférence sur le même sujet, donnée déjà par Sylvain Ravy, le 12 juin 2014 à Caen.

Fourier et la compression d’images

Mercredi, décembre 10th, 2014

Fourier et la compression d’images

(explication, comparaison, sans formule – à l’usage des littéraires)

Voici deux images, identiques, mais enregistrées sous un format différents :

a)  .bmp qui, à images de taille égale, ne compresse pas les images

b) .jpg qui intègre un compresseur d’images

Reve_01 Reve_01

 

 

 

 

Image1 « Je rêve.bmp » – 859 ko                                                                                             Image2 « Je rêve.jpg » – 49 ko

Nous constatons que l’image1 .bmp occupe 17 fois plus d’espace disque que l’image2 enregistrée sous le format .jpg. En effet, le format .bmp code chaque pixel sans analyse, selon le schéma :

                      Image  –> enregistrement pixel à pixel  -> Image1

or l’image proposée se compose de beaucoup de blanc, et, dans une moindre mesure, de bleu, de rouge, de vert, de noir. Le format .jpg, utilise la Transformation de Fourier (TF) pour tenir compte de cette particularité de l’image et regrouper les pixels identiques qui contribuent. Le schéma est le suivant :

                Image –> TF –>  enregistrement données ‘image.jpg’  –> TF-1   –> Image2

 La transformée de Fourier (TF) rassemble les données de l’image sous forme de fonctions trigonométriques ce qui minimise l’espace occupé sur le disque ; la transformée inverse (TF-1) restitue l’image à l’identique. Le principe en a déjà été exposé sur ici.

Tentons maintenant de ‘redimensionner’ l’image2 à l’aide de la fonction proposée par un logiciel de traitement de l’image. Le logiciel, à notre demande va omettre d’enregistrer un certain pourcentage des fonctions trigonométriques qui permettent de reconstituer l’image :

Image2 –> TF –> enregistrement données à 50%   –>  TF-1  –> Image3

Reve_03

L’essentiel est encore là avec une image enregistrée de 37 ko, soit un gain minime mais sensible d’espace disque.  Continuons à compresser de même :                        Image2  –> TF  –>  enregistrement données à 10%  –> TF-1  –> Image4

Reve_03_5

Cette fois la perte de qualité est sensible avec très peu de gain d’espace disque. Notons que l’espace disque est maintenant utilisé majoritairement pour stocker les données de format, incompressibles qui permettent de restituer l’image : 34 ko.

Poussons l’expérience encore un peu :          Image2 –> TF –> enregistrement données à 5%   –> TF-1 –> Image5

Reve_02_5

Formes et couleurs sont altérées, l’espace disque occupé reste de 30 ko.

Retour à la comparaison littéraire : Après l’exemple visuel, reprenons maintenant, la fable de La Fontaine qui nous a servi à illustrer de façon allégorique le principe d’un transformation réversible, et lui appliquons lui une compression à 50% en supprimant ‘mécaniquement’  les signes de ponctuation (23) et 59 mots que l’on ne rencontre qu’une fois :

Le Corbeau et le Renard

Maître Corbeau, sur un arbre perché,

Tenait en son bec un fromage.

Maître Renard, par l’odeur alléché,

Lui tint à peu près ce langage :

« Hé ! bonjour, Monsieur du Corbeau.

Que vous êtes joli ! que vous me semblez beau !

Sans mentir, si votre ramage

Se rapporte à votre plumage,

Vous êtes le Phénix des hôtes de ces bois. »

A ces mots le Corbeau ne se sent pas de joie ;

Et pour montrer sa belle voix,

Il ouvre un large bec, laisse tomber sa proie.

Le Renard s’en saisit, et dit : « Mon bon Monsieur,

Apprenez que tout flatteur

Vit aux dépens de celui qui l’écoute :

Cette leçon vaut bien un fromage, sans doute. »

Le Corbeau, honteux et confus,

Jura, mais un peu tard, qu’on ne l’y prendrait plus.

 

Compression à 50% (82 signes ou mots/164)

Le Corbeau et le Renard

Maître Corbeau .. un arbre ..

..  en ..  bec un fromage.

Maître Renard..  ..  alléché,

.. ..  à peu ..  ce ..

.. bonjour, Monsieur du Corbeau.

.. vous êtes .. que vous .. .. beau

.. .. .. votre ..

.. .. à votre ..

Vous êtes le .. des .. de ces bois

A ces .. le Corbeau ne .. .. .. de ..

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.. .. un .. bec .. .. sa ..

Le Renard .. en .. et dit .. bon Monsieur

Apprenez que .. ..

.. aux dépens de celui ..  l’..:

Cette .. vaut bien un fromage sans doute

Le Corbeau.. et confus

.. .. un peu .. .. ne l’.. .. ..

 Remarques à propos des codages :

L’informatique est grosse consommatrice de codages. Elle transforme in fine tout ce qu’elle traite en langage binaire, soit donc une succession de ‘0’ et de ‘1’. Nous nous sommes intéressés au codage des images nous a permis des illustrations éclairantes ; le codage de la musique serait plus difficile à illustrer de façon probante, mais on comprend que la suppression des harmoniques situées dans les ultra ou les infra-sons fait gagner de l’espace sans perte de qualité.

Nous aurions pu aussi parler du codage des lettres : historiquement c’est le premier auquel le informaticiens se sont intéressés. A une époque où la mémoire électronique était denrée rare, ils ont créé le code ASCII pour obtenir un rendement maximal. Ce code a évolué et suivi les progrès des composants (passage de 8 à 16 puis 32, 64 bits), il reste utilisé et très efficace : en utilisant un espace équivalent à une simple image, un logiciel de traitement de texte code facilement un volume de plusieurs centaines de pages. A l’occasion, les traitements de texte, utilisent aussi, en toute discrétion, la compression d’images : ainsi, l’image qui illustre cet article (obtenue par un logiciel de traitement d’image), seule pesait 859 ko, incorporée à un texte, elle a été allégée puisque « images + article » n’occupent plus que 283 ko après traitement par le logiciel.

 

 

 

 

 

Fourier pour les littéraires

Samedi, novembre 29th, 2014

Une transformation

‘à la manière de Fourier’

pour les littéraires

      Les mathématiciens sont des gens charmants, dotés de qualités remarquables (rigueur, créativité, technicité….) mais qui ont le gros défaut d’oublier que le commun des mortels ne « parle » pas spontanément mathématique et le comprend encore moins. Lorsque j’ai demandé à tel ou tel autre mathématicien de m’expliquer la Transformation de Fourier, j’ai reçu deux types de réponses : soit l’expression dépitée de ceux qui connaissant mon niveau de culture mathématique se refusent à répondre, sachant que je ne comprendrai rien de leurs explications, soit un flot de parole, accompagné de formules, au milieu desquelles mon esprit se perd dès la première seconde.

Fourier est trop célèbre, trop cité, trop utilisé, trop surexploité pour laisser la compréhension de ses intuitions aux seuls mathématiciens ou physiciens. Quitte à filer la métaphore jusqu’à son point de rupture, nous voudrions ici, hors de toute formulation mathématique, proposer aux non-initiés une approche de ce qui est en jeu lorsque l’on parle de Transformation de Fourier. Les mathématiciens critiques de cette démarche pourront m’adresser leurs remarques et proposer une meilleure approche.

Certains ne seront pas surpris par l’approche qui est faite ici : elle n’est pas sans lien avec les travaux relatifs à l’analyse du discours, même si, à notre connaissance, c’est le lien n’a pas été fait avec la Transformation de Fourier qui s’applique à des fonctions.

Soit un texte bien connu de Jean de La Fontaine, nous nous proposons de le transformer de façon réversible. Ainsi, nous obtiendrons deux points de vue d’un même discours. Points de vue que nous pourrons mettre en concurrence pour formuler des remarques :

Texte original

 Le Corbeau et le Renard

Maître Corbeau, sur un arbre perché,

Tenait en son bec un fromage.

Maître Renard, par l’odeur alléché,

Lui tint à peu près ce langage :

« Hé ! bonjour, Monsieur du Corbeau.

Que vous êtes joli ! que vous me semblez beau !

Sans mentir, si votre ramage

Se rapporte à votre plumage,

Vous êtes le Phénix des hôtes de ces bois. »

A ces mots le Corbeau ne se sent pas de joie ;

Et pour montrer sa belle voix,

Il ouvre un large bec, laisse tomber sa proie.

Le Renard s’en saisit, et dit : « Mon bon Monsieur,

Apprenez que tout flatteur

Vit aux dépens de celui qui l’écoute :

Cette leçon vaut bien un fromage, sans doute. »

Le Corbeau, honteux et confus,

Jura, mais un peu tard, qu’on ne l’y prendrait plus.

 

Il est possible de la transformer, de façon à obtenir ceci :

Texte transformé (fréquence / alphabétique)

, . Corbeau un ! de et l’ le Le Renard « » à bec ces en êtes fromage Maître Monsieur ne peu que sa votre vous ; A alléché Apprenez arbre aux beau belle bien bois bon bonjour ce celui Cette confus dépens des dit doute du écoute Et flatteur Hé honteux hôtes Il joie joli Jura laisse langage large leçon Lui mais me mentir Mon montrer mots odeur on ouvre par pas perché Phénix plumage plus pour prendrait près proie qu’ Que qui ramage rapporte s’ saisit sans Sans se Se semblez sent si son sur tard Tenait tint tomber tout vaut Vit voix Vous y

En fait, nous avons été un peu elliptique et cette transformation abrégée n’est pas réversible en ce qu’elle ne permet pas de retrouver le texte original ; pour que la transformation soit vraiment réversible, il convient de conserver une trace de la position des mots dans l’original, ce qui pourrait donner ceci :

Texte transformé (avec repérage des formes ce qui assure la réversibilité de la transformation)

[Corbeau $11/5 —>  Corbeau $ numéro de la ligne/position dans la ligne]

, $12/7 ; $13/6 ; $14/13 ; $14/5 ; $17/7 ; $18/3 ; $18/7 ; $19/2 ; $19/7 ; $2/3 ; $2/8 ; $4/3 ; $4/7 ; $6/5 ; $8/3 ; $9/6

. $10/10 ; $13/11 ; $17/10 ; $19/13 ; $3/7 ; $6/9

Corbeau $11/5 ; $18/2 ; $2/2 ; $6/8 ; $1/2 / un $13/3 ; $17/5 ; $19/4 ; $2/5 ; $3/5

! $6/3 ; $7/11 ; $7/5 / de $10/7 ; $11/10 ; $16/4 / et $14/6 ; $18/5 ; $1/3 / l’ $16/7 ; $4/5 ; $19/10 / le $10/3 ; $11/4 ; $1/4 / Le $14/1 ; $18/1 ; $1/1 / Renard $1/5 ; $14/2 ; $4/2 /

« $14/9 ; $6/1 / » $10/11 ; $17/11 / à $5/3 ; $9/3 / bec $13/5 ; $3/4 / ces $10/8 ; $11/2 / en $14/3 ; $3/2/ êtes $10/2 ; $7/3 / fromage $17/6 ; $3/6 / Maître $2/1 ; $4/1 / Monsieur $14/12 ; $6/6 / ne $11/6 ; $19/9 / peu $19/5 ; $5/4 / que $15/2 ; $7/6 / sa $12/4 ; $13/9 / votre $8/5 ; $9/4 / vous $7/2 ; $7/7 /

; $11/12 / A $11/1 / alléché $4/6 / Apprenez $15/1 / arbre $2/6 / aux $16/2 / beau $7/10 / belle $12/5 / bien $17/4 / bois $10/9 / bon $14/11 / bonjour $6/4 / ce $5/6 / celui $16/5 / Cette $17/1 / confus $18/6 / dépens $16/3 / des $10/5/ dit $14/7/ doute $17/9 / du $6/7 / écoute $16/7 / Et $12/1 / flatteur $15/4 / Hé $6/2 / honteux $18/4 / hôtes $10/6 / Il $13/1 / joie $11/11 / joli $7/4 / Jura $19/1 / laisse $13/7 / langage $5/7 / large $13/4 / leçon $17/2 / Lui $5/1 / mais $19/3 / me $7/8 / mentir $8/2 / Mon $14/10 / montrer $12/3 / mots $11/3 / odeur $4/5 / on $19/8 / ouvre $13/2 / par $4/4 / pas $11/9 / perché $2/7 / Phénix $10/4 / plumage $9/5 / plus $19/12 / pour $12/2 / prendrait $19/11 / près $5/5 / proie $13/10 / qu’ $19/8 / Que $7/1 / qui $16/6 / ramage $8/6 / rapporte $9/2 / s’ $14/3 / saisit $14/4 / sans $17/8 / Sans $8/1 / se $11/7 / Se $9/1 / semblez $7/9 / sent $11/8 / si $8/4 / son $3/3 / sur $2/4 / tard $19/6 / Tenait $3/1 / tint $5/2 / tomber $13/8 / tout $15/3 / vaut $17/3 / Vit $16/1 / voix $12/6 / Vous $10/1 / y $19/10 /

La transformation étant faite, nous laissons à chacun le soin de l’utiliser pour analyser le texte proposé comme il l’entend ; notre propos n’est pas ici d’enrichir la critique littéraire, mais de proposer une comparaison (impertinente sans doute, mais nous l’osons cependant) pour pénétrer la pensée de Joseph Fourier. Nanti de la méthode, les plus hardis de nos lecteurs pourront se proposer de soumettre à l’Académie française une proposition établissant son bien fondé pour tout texte publié. C’est la démarche qu’a suivi Joseph Fourier au début du 19e siècle :  « Ses travaux sur la propagation de la chaleur débutent en 1805 au retour d’Egypte. alors qu’il est préfet à Grenoble. /…/ Le 21 décembre  1807 il lit à l’Académie des Sciences un mémoire intitulé Théorie de la Propagation de la Chaleur dans les Solides. Mais LAGRANGE et LAPLACE firent de nombreuses objections et ce mémoire ne fut jamais publié ni par l’Académie, ni par FOURIER, ni ultérieurement par Gaston DARBOUX dans les œuvres complètes. Pourtant on est maintenant certain que DARBOUX a consulté ce manuscrit à l’Ecole des Ponts et Chaussées et il en dit grand bien. Ce n’est qu’en 1972 que l’historien des sciences anglais, GRATTAN-GUINESS, grand spécialiste de FOURIER, publiera ce premier texte sur la propagation de la chaleur. Pendant les années 1808 et 1809 FOURIER publiera de nombreuses mises au point qui essayent de répondre aux critiques de LAGRANGE et LAPLACE. Il trouve dans ce travail l’aide de POISSON. En 1811, il soumet à nouveau son mémoire, nettement amélioré, à l’Académie des Sciences. LAGRANGE souligne alors « la nouveauté du sujet et son importance » mais reste encore réservé « du coté de la rigueur ». [Extrait d’une conférence donnée devant le centre Auxerrois de l’Université pour Tous de Bourgogne, par Daniel Reisz]

Nous n’avons pas refait les calculs nous-même (nous en serions bien incapable), mais c’est par un cheminement analogue, en appliquant, en toute rigueur cette fois, la Transformation de Fourier que les mathématiciens peuvent nous proposer ces deux interprétations de l’image de Lena : notre but est atteint si le lecteur entrevoit maintenant comment les images de gauche ou de droite se déduisent l’une de l’autre.

Léna_01

     Cette comparaison peut donner une vague idée de la Transformation de Fourier, cependant elle reste superficielle, utilisant les mots qui se retrouvent inchangés entre le texte original et le texte transformé.

     Fourier, lui, transforme complètement la fonction originale en une somme d’autres fonctions de nature différente. La Transformation de Fourier permet de passer d’une fonction (souvent chaotique, – la diffusion de la chaleur dans un objet de forme complexe – l’évolution des cours de la bourse) sur laquelle il est difficile d’intervenir (les calculs de dérivation, d’intégration ne sont pas possibles) à des fonctions où ces calculs sont aisés, le prix à payer étant d’être contraint de manipuler des sommes infinies, ce qui génère des calculs monstrueux que seuls les ordinateurs sont en mesure de mener à bien.

 

Fourier et la-4G

Samedi, octobre 25th, 2014

Fourier et la « 4-G »

      Après une traversée du désert de près d’un siècle, entre sa mort et les grandes avancées techniques du 20e siècle, l’académicien Joseph Fourier est revenu peu à peu sur le devant de la scène. Il est actuellement le savant dont le nom est le plus souvent cité (grâce essentiellement à la transformation qui porte son nom). Ce retour de gloire, exceptionnel, va-t-il durer ? Pour tenter de répondre à cette question, on peut, même si c’est un peu technique, regarder les dernières nouveautés techniques. Voyons donc du côté de la technologie « 4-G » :

Comme souvent en ce qui concerne Joseph Fourier, toute tentative de vulgarisation butte rapidement sur des concepts ardus. Pour les techniciens, nous reproduisons ci-dessous intégralement un article de Wikipedia que nous avons renoncé à résumer. Le lecteur non-technicien (qu’il nous pardonne la technicité du propos) pourra tout de même entrevoir pourquoi nous avons, sur ce même site, effleuré la question de l’orthogonalité, d’une part, et constater, d’autre part, sur le schéma (ci-dessous au paragraphe : principes) que les DFT (Discrete Fourier Transform) et IDFT (DFT inverse) apparaissent deux fois chacune en des points clés et sont indispensables à l’application.

Si l’on note que la variante SC-FDMA fait de la même manière appel aux transformées de Fourier et transformées inverses, on peut conclure sans risque d’erreur que grâce à la transformation des fonctions qu’il a imaginée, le nom de Fourier ne va pas tout de suite retomber dans l’oubli.

[d’après Wikipedia]

L’OFDMA (ou Orthogonal Frequency Division Multiple Access) est une technique de multiplexage et de codage des données utilisée principalement dans les réseaux de téléphonie mobile de 4e génération. Ce codage radio associe les multiplexages en fréquence et temporel ; c’est-à-dire les modes « Accès multiple par répartition en fréquence » (AMRF ou en anglais FDMA) et « Accès multiple à répartition dans le temps » (AMRT ou en anglais TDMA). Il est notamment utilisé dans les réseaux de téléphonie mobile 4G LTE, LTE Advanced et WiMAX mobile (IEEE 802.16e).

L’OFDMA ou l’une de ses variantes sont aussi utilisées dans d’autres systèmes de radiocommunication, telles les versions récentes des normes de réseaux locaux sans fil WIFI (IEEE 802.11 versions n et ac, IEEE 802.22 et WiBro) ainsi que par certaines normes de télévision numérique.

Comme pour d’autres techniques de codage permettant l’accès multiple (TDMA, FDMA ou CDMA), l’objectif est de partager une ressource radio commune (bande de fréquence) et d’en attribuer dynamiquement une ou des parties à plusieurs utilisateurs.

Origine :

L’OFDMA et sa variante SC-FDMA sont dérivées du codage OFDM (utilisé par exemple sur les liens ADSL, DOCSIS 3.1 et dans certains réseaux WiFI), mais contrairement à l’OFDM, l’OFDMA permet et est optimisé pour l’accès multiple, c’est-à-dire le partage de la ressource spectrale (bande de fréquence) entre de nombreux utilisateurs distants les uns des autres. L’OFDMA est compatible avec la technique des antennes MIMO .

L’OFDMA a été développé comme une alternative au codage CDMA, utilisé dans les réseaux 3G UMTS et CDMA2000. L’OFDMA est principalement utilisé dans le sens de transmission downlink (antenne-relais vers terminal) des réseaux mobiles car il permet pour une même largeur spectrale, un débit binaire plus élevé grâce à sa grande efficacité spectrale (nombre de bits transmis par Hertz) et à sa capacité à conserver un débit élevé même dans des environnements défavorables avec échos et trajets multiples des ondes radio. Ce codage (tout comme le CDMA utilisé dans les réseaux mobiles 3G) permet un facteur de réutilisation des fréquences égal à « 1 », c’est-à-dire que des cellules radio adjacentes peuvent réutiliser les mêmes fréquences hertziennes.

Principes

Le codage OFDMA consiste en un codage et une modulation numérique d’un ou plusieurs signaux binaires pour les transformer en échantillons numériques destinés à être émis sur une (ou plusieurs) antennes radio ; réciproquement, en réception, le signal radio reçoit un traitement inverse.

Schéma_1

Modulations radio OFDMA et SC-FDMA : codage et conversions numérique/analogique. Glossaire :

DFT (Discrete Fourier Transform) : Transformée de Fourier discrète, Subcarrier Equalization : Égalisation des sous-porteuses, IDFT : DFT inverse, CP (Cyclic Prefix) : Préfixe cyclique, PS (Pulse Shaping) : mise en forme des impulsions, S-to-P : Transformation Série-Parallèle, DAC (Digital-Analog Converter) : Convertisseur numérique-analogique, RF (Radio Frequency) : Fréquence radio.

Les blocs « en jaune » (seconde transformée de Fourier et conversion série/parallèle associée) sont spécifiques au SC-FDMA.

Le principe de l’OFDMA est de répartir sur un grand nombre de sous-porteuses les données numériques que l’on veut transmettre, ce qui induit, pour un même débit global, un débit binaire beaucoup plus faible sur chacun des canaux de transmission ; la durée de chaque symbole est ainsi beaucoup plus longue (66.7 µs pour le LTE) que s’il n’y avait qu’une seule porteuse. Cela permet de limiter les problèmes d’interférences inter-symboles et de fading (forte atténuation du signal) liés aux « chemins multiples de propagation » qui existent dans les liaisons radio de moyenne et longue portées car quand le débit binaire sur une porteuse est élevé, l’écho d’un symbole arrivant en retard à cause d’une propagation multi-trajets perturbe le ou les symboles suivants.

La figure suivante décrit l’utilisation des sous porteuses : celles en noir, en vert et bleu (les plus nombreuses) transportent les données des utilisateurs, celles en rouge, les informations de synchronisation et de signalisation entre les 2 extrémités de la liaison radio.

 

Schéma_2

 

Représentation et rôle des sous-porteuses

Un filtrage séparé de chaque sous-porteuse n’est pas nécessaire pour le décodage dans le terminal récepteur, une « transformée de Fourier » FFT est suffisante pour séparer les sous-porteuses l’une de l’autre (dans le cas du LTE, il y a jusqu’à 1200 porteuses indépendantes par sens de transmission)[1].

Orthogonalité (le « O » de OFDMA) : en utilisant des signaux orthogonaux les uns aux autres pour les sous-porteuses contiguës, on évite les interférences mutuelles. Ce résultat est obtenu en ayant un écart de fréquence entre les sous-porteuses qui est égal à la fréquence des symboles sur chaque sous-porteuse (l’inverse de la durée du symbole). Cela signifie que lorsque les signaux sont démodulés, ils ont un nombre entier de cycles dans la durée du symbole et leur contribution aux interférences est égale à zéro ; en d’autres termes, le produit scalaire entre chacune des sous-porteuses est nul pendant la durée de transmission d’un symbole (66.7 µs en LTE, soit une fréquence de 15 kHz, ce qui correspond aussi à l’écart de fréquence entre 2 sous-porteuses).

 

Schéma_3

 

Exemple de modulation OFDM/OFDMA avec 4 sous-porteuses orthogonales.

L’orthogonalité des sous-porteuses permet un resserrement de leurs fréquences et donc une plus grande efficacité spectrale (voir dessin) ; cela évite aussi d’avoir une « bande de garde » entre chaque sous-porteuse.

Un préfixe cyclique (sigle « CP » dans le dessin ci-dessus) est utilisé dans les transmissions OFDMA, afin de conserver l’orthogonalité et les propriétés sinusoïdales du signal sur les canaux à trajets multiples. Ce préfixe cyclique est ajouté au début des symboles émis, il sert aussi d’intervalle de garde, c’est-à-dire un temps entre deux symboles, pendant lequel il n’y a aucune transmission de données utiles ; cela permet d’éviter (ou de limiter) les interférences inter-symboles.

Dans la partie radio (eUTRAN) des réseaux mobiles LTE, deux durées différentes de préfixe cyclique sont définies pour s’adapter à des temps de propagation différents du canal de transmission ; ces temps dépendent de la taille de la cellule radio et de l’environnement : un préfixe cyclique normal de 4,7 ?s (utilisé dans les cellules radio de moins de 2 à 3 km de rayon), et un préfixe cyclique étendu de 16,6 ?s utilisé dans les grandes cellules radio ; ces préfixes représentent de 7 à 25 % de la durée d’un symbole et réduisent donc un peu le débit utile, surtout dans les grandes cellules (zones rurales).

Avantages et inconvénients

La présence de nombreuses sous-porteuses indépendantes permet d’adapter facilement la puissance d’émission de chaque canal au niveau minimum suffisant pour une bonne réception par chaque utilisateur (qui est fonction de sa distance avec l’antenne-relais).

Il est aussi possible, grâce à la possibilité d’utilise un nombre quelconque de sous-porteuses, d’accroître la portée d’un émetteur radio, lorsqu’il est éloigné de l’antenne réceptrice, tout en limitant sa puissance d’émission (ex : 200 mW maximum pour un téléphone mobile LTE) ; ceci est réalisé en concentrant la puissance émise sur un petit nombre de sous-porteuses (plus précisément sur un faible nombre de Resource Blocks). Cette optimisation se fait au détriment du débit.

Le codage OFDMA a pour contrainte d’imposer une synchronisation très précise des fréquences hertziennes et des horloges des récepteurs et des émetteurs afin de conserver l’orthogonalité des sous-porteuses et d’éviter les interférences.

Ce codage est associé (dans les réseaux LTE et WiMAX) à des modulations de type QPSK ou QAM utilisées sur chacun des canaux (groupes de sous-porteuses), chaque canal visant un utilisateur. Les divers canaux peuvent utiliser au même instant des modulations différentes, par exemple QPSK et QAM-64, pour s’adapter aux conditions radio locales et à la distance séparant l’antenne de chaque terminal.

Pour les liaisons uplink (sens terminal vers station de base) des réseaux mobiles 4G « LTE », c’est la variante SC-FDMA qui est utilisée, car ce codage permet de diminuer la puissance électrique crête et donc le coût du terminal et d’augmenter l’autonomie de la batterie des smartphones ou des tablettes tactiles, grâce à un PAPR (Peak-to-Average Power Ratio) plus faible que celui de l’OFDMA.

 

 

 

de Fourier à Daubechies

Mardi, juillet 22nd, 2014

De Fourier à Daubechies

      A l’instar de Joseph Fourier, 205 ans après lui, Ingrid Daubechies (1954-…) est promue baronne et anoblie, en 2012, par le Roi des Belges, ce qui donne l’occasion au journaliste du Monde David Larousserie d’informer ses lecteurs du parcours de la scientifique.

 

Daubenchies_b

Le lecteur de ce blog assez assidu pour suivre les recommandations de lecture qui y sont proposées aura déjà eu l’occasion de faire connaissance avec la mathématicienne.

La transformée de Fourier

     En effet, le titre de baron n’est pas le seul lien qui rapproche Fourier et Daubechies. Au début du XIXe siècle, Joseph Fourier a établi une théorie de la transformation des fonctions qui porte aujourd’hui son nom et que tous les étudiants de mathématiques, de physique, tous les techniciens du son, de la musique, de l’image connaissent. Fourier a développé une théorie, nous l’avons dit ; cette théorie est restée longtemps aux fonds des placards, flottant seulement dans l’inconscient de quelques mathématiciens. Son application conduit en effet rapidement à des calculs décourageants lorsqu’on ne dispose que de papier et crayon. Les premiers ordinateurs même étaient impuissants à calculer les coefficients permettant de transformer une fonction quelconque et une somme infinie de sinus et de cosinus.

Les choses ont cependant évolué. Lorsque les mathématiciens ont pu obtenir de petits ordinateurs avec lesquelles ils pouvaient jouer, ils ont expérimenté, laissé courir leur imagination autour des transformées de Fourier.

La transformée de Fourier avec fenêtre

     Ainsi, une transformation de Fourier (TF) cache l’information sur le temps. Une sirène, la parole, la musique ont des fréquences changeantes, la TF donne le nombre de fréquences contenues dans le signal, mais se tait sur l’instant d’émission. L’information n’est pas perdue -la TF est réversible- elle est masquée sous le flot des coefficients de la série infinie des sinus et cosinus. L’analyse de Fourier, irréprochable en théorie, est inadaptée aux signaux qui changent brusquement de manière imprévisible.

Une solution pour contourner ce problème est de décomposer le signal en fenêtres de temps étroites (travaux de Dennis Gabor, dès 1945). La comparaison des coefficients d’une fenêtre à l’autre permet de repérer les changements brusques du signal initial.

Des petites ondes pour fenêtre

     Avec de petites ondes, il est possible de décomposer un signal en temps et en fréquence. Les ondelettes indiquent non seulement quelle note il faut jouer, mais à quel moment la jouer. Ce fut l’objet des travaux de Morlet (vers 1975), puis de Meyer et Grossmann à partir de 1985.

 Les ondelettes fonctionnent donc comme un microscope qui permet d’avoir localement une vision précise de fonction. Ceux qui ont déjà une fois utilisé un microscope savent combien il est difficile d’avoir une vision panoramique avec cet instrument. Pour lire une fonction décrite par les ondelettes, il faut développer une grammaire, établir des stratégies, des outils.

L’apport d’Ingrid Daubechies porte sur le développement de ces outils d’analyse. Les extraits ci-après du livre de Barbara Burke Hubbard, Ondes et ondelettes, donneront une idée du domaine de recherche d’Ingrid Daubechies :

 ——

(extrait d’Ondes et ondelette, de Barbara Burke Hubbard, Belin, 1992, p.109, 112, 113)

un nouveau langage acquiert une grammaire

« Deux concepts faisaient défaut : le concept d’ondelette et le concept de moments nuls. L’aspect orthogonal était aussi absent. Burt et Adelson calculaient les coefficients, mais ils ne les interprétaient pas comme une base orthogonale. Ils ont eu toutefois un énorme instinct. Ils ont donné un exemple où le moment est nul… […]

 Le temps retrouvé : les ondelettes de Daubechies

Mallat avait d’abord proposé son algorithme rapide en utilisant les versions tronquées d’ondelettes infinies construites par Guy Battle et Pierre-Gilles Lemarié-Rieusset. Une nouvelle sorte d’ondelette orthogonale à « support compact » permet d’éviter les erreurs qu’entraîne cette troncation. Ces ondelettes, construites par Daubechies, ne sont pas infinies ; elles sont nulles partout, sauf dans un « support » limité : entre -2 et 2, par exemple.

Elles sont aussi, à l’opposé des ondelettes de Morlet ou de Meyer, de véritables créatures de l’ère informatique : les ondelettes de Daubechies ne peuvent être construites à partir de formules analytiques , on les fabrique à l’aide d’itérations.

Une itération consiste à appliquer successivement une opération sur le dernier résultat obtenu ; itérer (x à x² – 1) à partir de x = 2, donne 3, puis 8, puis 63… La transformation en ondelettes rapide est une itération, puisqu’elle utilise chaque fois la dernière version du signal lissé comme nouveau point de départ. Itérer est ce qu’un ordinateur fait le mieux : « on donne une seule commande et puis on boucle ; ça va très vite dit Meyer.

 En apparence, une telle itération est simple, mais il n’est pas si facile de la comprendre. Les itérations non linéaires, telles que x² – 1, sont l’équivalent, en temps discret, des équations différentielles non linéaires, rebelles à tout effort d’analyse. Pendant longtemps les mathématiciens avaient prudemment pris le parti de n’y pas penser, tant ces itérations sont difficiles. Depuis une vingtaine d’années, avec l’aide des ordinateurs, ils ont appris à les utiliser pour créer, à partir de logiciels simples, des objets extraordinairement complexes, tel que les ensembles de Julia ou de Mandelbrot, produisant ainsi les belles images de « chaos » et de systèmes dynamiques.

Néanmoins nombre de mathématiciens restent mal à l’aise face aux itérations. Selon Meyer, l’idée de les utiliser pour construire des fonctions explicites ne leur est pas familière. « En revanche, dit-il, pour les gens qui travaillent avec les ordinateurs et qui font du traitement du signal, les méthodes itératives sont extrêmement naturelles. »

Mallat étudiait la vision artificielle ; pour lui l’usage des ordinateurs était presque naturel ; il imagina de construire les ondelettes par une méthode itérative. Il a suggéré cette approche (également inspirée des algorithmes pyramidaux de Burt et Adelson) dans son article sur la multirésolution. Il n’est toutefois pas allé au bout de cette idée. « Mallat lance les idées brillantes, qui font travailler deux cents, trois cents personnes, puis il passe à autre chose, constate Meyer. C’est Ingrid Daubechies, avec sa ténacité et sa puissance de travail, qui est parvenue à la réaliser. »

Daubechies, de nationalité belge, a travaillé en physique mathématique avec Grossmann, en France ; puis elle a travaillé, à l’Université de New York, sur la mécanique quantique.

« Son rôle a été essentiel, raconte Grossmann. Ses contributions sont très importantes, mais elles sont également abordables et utilisables par diverses communautés. Elle sait parler aux ingénieurs comme aux mathématiciens, et sa formation en mécanique quantique est une bonne influence. »

Daubechies connaissait la multirésolution de Meyer et Mallat. « Yves Meyer m’en a parlé à une conférence. Je réfléchissait déjà à certaines de ces questions, et leur travail m’a intriguée », dit-elle. Avec les ondelettes infinies de Meyer, calculer un seul coefficient d’ondelette nécessitait beaucoup de travail. Daubechies voulait construire des ondelettes plus faciles à utiliser. Elle était exigeante ; en plus d’orthogonalité et de support compact – deux contraintes tellement opposées qu’on doutait de la possibilité de les réconcilier -, elle tâchait d’obtenir des ondelettes régulières, avec des moments nuls.

« Je me demandais, pourquoi n’existerait-il aucune méthode possédant ces caractéristiques, raconte Daubechies. Cette question m’a passionnée ; une période de travail intense a suivi. A l’époque, je connaissais peu Yves Meyer. Quand j’ai obtenu la première construction, il s’est montré très enthousiaste ; quelqu’un m’a signalé qu’il en avait parlé au cours d’un séminaire. Je savais que c’était un mathématicien brillant ; j’ai pensé, mon Dieu, il est en train de comprendre les choses bien plus vite que moi… Je sais aujourd’hui qu’il ne se serait jamais attribué le mérite de la découverte, mais à l’époque je sentais que c’était urgent. Je travaillais d’arrache-pied. A lu fin de mars 1987, j’avais tous les résultats. »

 les multi-ondelettes

lngrid Daubechies créa les premières ondelettes orthogonales à support compact utilisant des itérations : une ondelette de Daubechies est la limite d’un processus itératif et ne peut pas être créée à partir de formules analytiques. Depuis, d’autres chercheurs ont découvert qu’on peut obtenir des ondelettes orthogonales à support compact à partir des fonctions explicites, à condition d’utiliser plusieurs fonctions d’échelle.

L’analyse murtirésolutionnelle qui en résulte, avec des fonctions d’échelles et des ondelettes multiples, n’est pas soumise aux mêmes limitations que les ondelettes de Daubechies : on peut par exemple, créer des ondelettes orthogonales et symétriques, à support compact. (La symétrie est souvent considérée comme un atout en traitement d’image ; la seule ondelette symétrique de Daubechies est l’ondelette de Haar, qui est discontinue.)

 

 

Ondes et ondelettes

Dimanche, juillet 6th, 2014

Ondes_Burke_bOndes et ondelettes,

la saga d’un outil mathématique

Barbara Burke Hubbard, Belin, Pour la Sciences,1995, 235 pages, 14×21

Divers niveaux de lecture, une bibliographie copieuse à la fin de chacun des cinq chapitres, un index : le livre de Barbara Burke Hubbard mérite d’être recommandé.

     Le lecteur naïf y découvrira le cheminement allant des propositions de Joseph Fourier aux dernières avancées (1995) dans le domaine du traitement du signal. Chemin faisant, il élargira sa compréhension de la notion de fonction, pourra entrevoir comment les mathématiciens explorent les espaces de dimensions infinies, comprendra les liens qui unissent parole, musique, son, image, imagerie médicale, analyse et filtrage du bruit…

     Il verra comment une idée révolutionnaire, émise dans le cadre très particulier de la transmission de la chaleur dans un solide, se développe et s’impose dans des domaines très divers, s’applique à de larges pans de la recherche pure et de la recherche appliquée, devient un élément incontournable de la formation de tout scientifique.

 Quelques citations :

p. 139 «  Il est peu probable que les ondelettes aient un impact sur les mathématiques pures aussi révolutionnaire que celui de l’analyse de Fourier. »

p. 175 «  Les contributions des ondelettes à l’analyse du signal sont d’ordre technique, mais aussi conceptuel. Selon Marie Farge, elles « nous ont obligés à réfléchir sur la signification de la transformation de Fourier, à comprendre que tout type d’analyse conduit au mélange du signal et de la fonction analysante. » …. L’analyse de Fourier est adaptée aux signaux périodiques réguliers ; l’analyse par ondelettes convient aux signaux non stationnaires, qui présentent des pics ou des discontinuités. »

 

     L’historien des mathématiques trouvera dans ce livre une base de référence pour situer les apports des uns et des autres dans la théorie des ondelettes. Théorie dont les éléments furent établis, découverts et redécouverts plusieurs fois ; en effet, elle s’applique à des domaines divers où les chercheurs progressent à leur rythme sans faire le lien au départ avec les avancées de leurs homologues dans des domaines différents.

Le mathématicien élevé, dès le biberon à penser Transformée de Fourier, restera peut-être sur sa faim, les développements mathématiques sont en effet réduits et l’auteure n’entre pas dans le détail des démonstrations… ce qui est sans doute une qualité.

 

Sommaire

Introduction

  1. L’analyse de Fourier
  2. Un poème transforme notre monde
  3. La recherche de nouveaux outils
  4. Un nouveau langage acquiert une grammaire
  5. Les applications
  6. Au-delà des ondelettes

Liste des articles complémentaires

  • L’analyse mathématique.
  • La transformation de Fourier.
  • La convergence des séries de Fourier.
  • Calculer les coefficients de Fourier à l’aide d’intégrales
  • La transformation de Fourier rapide
  • La transformation en ondelettes continue
  • L’orthogonalité et les produits scalaires
  • Voyages entre espaces fonctionnels
  • La multirésolution
  • Les algorithmes pyramidaux de Burt et Adelson
  • Les multi-ondelettes
  • La transformation en ondelettes rapide
  • Le principe d’incertitude de Heisenberg
  • La mécanique quantique
  • Les ondelettes et la vision
  • Quelle ondelette?
  • Les ondelettes, la musique et la parole
  • La meilleure base
  • La transformation d’information

Appendice

A. Les lettres grecques et symboles mathématiques

B. Quelques définitions trigonométriques

C. Les intégrales

D. La transformation de Fourier les différentes conventions

E. La transformée de Fourier d’une fonction périodique

F. Exemple de base orthonormale

G. Le théorème d’échantillonnage une démonstration

H. Le principe d’incertitude de Heisenberg: une démonstration

Bibliographie

Index

 

Des séries à la transformation de Fourier

Vendredi, mai 9th, 2014

Des séries à la transformation de Fourier

 Merci à Nicotupe pour l’article « Fourier… Transformation ! » où il développe largement le traitement de l’image et qui a inspiré celui-ci.

         Sur ce blog, nous nous sommes naturellement déjà penchés sur les séries de Fourier ; elles ont été présentées dans un article et nous avons aussi renvoyé, dans un autre article, à animations et travaux pratiques qui permettent de tester ses idées à l’aide d’un simulateur qui donne une illustration de ce que sont les séries de Fourier.

         Armé de ses connaissances de lycée, le lecteur admet facilement qu’une fonction périodique quelconque, peut être représentée par une série de Fourier. Qu’en est-il pour une fonction quelconque ?

        Les gentilles ondulations de nos sinus et cosinus peuvent-elles suivre la toute naïve fonction parabolique lorsqu’elle qui grandit jusqu’à l’infini ?

        La transformation de Fourier permet de calculer les coefficients à donner aux séries sinus et cosinus pour obtenir une réponse positive. Ces coefficients jouent le rôle d’un dictionnaire qui permet de passer dans tous les cas et d’une façon unique de la fonction initiale à sa représentation en série de Fourier, celle-ci est aussi unique naturellement. Le parcours inverse est possible, partant des séries de Fourier, la transformée inverse permet de déterminer la fonction. (Les coefficients forment une base libre). Selon les avantages que l’on y trouvera pour la question à traiter, on utilisera alors indifféremment la fonction initiale ou sa transformée en séries de Fourier.

     Si vous avez admis sans sourciller l’assertion ci-dessus, la suite va vous paraître triviale.

 épeire

L’évolution de l’intensité lumineuse le long de la droite qui traverse cette photo est une fonction. La transformée de Fourier permet de représenter cette fonction en une série de sinus et cosinus.

Plus généralement, tout fichier électronique (texte, image ou son) est une fonction… que l’on peut représenter après transformation de Fourier en une série de sinus et cosinus.

 

Les domaines où la transformée de Fourier s’applique et apporte un surcroît de compréhension et d’efficacité sont donc nombreux (tout particulièrement en électronique, mais pas seulement).

La musique, domaine sur lequel portaient les premières études, utilise largement la transformée de Fourier pour compresser des fichiers (le format MP3 lui doit beaucoup).

Nous avons vu, sur ce blog, comment la transformée de Fourier est utilisée pour la maintenance de systèmes rotatifs.

Le traitement de l’image est un des domaines de prédilection de la transformée de Fourier. Pour s’en convaincre, et commencer à comprendre comment, on peut lire l’article de Nicotupe sur Podcastscience.

On verra aussi que la transformée de Fourier ne pouvait trouver sa pleine application à l’époque de Fourier où, faute de moyen de calcul, elle est restée à l’état de concept. Il fallut attendre 1965 et la découverte, par Cooley et Tukey, des méthodes de calcul efficaces de la FFT (la Fast Fourier Transform – Transformée de Fourier Rapide- pour les intimes) pour que la puissance de calcul des ordinateurs se donne libre cours et fasse de la transformée de Fourier un élément incontournable de tous les labos.