Archive for the ‘pédagogie’ Category

Fourier a transformé la cristallographie

dimanche, décembre 14th, 2014

Ravy_02Fourier a transformé la cristallographie

 

      L’année de la cristallographie se termine avec deux conférences données à Grenoble annoncées sur le site de l’université de Grenoble et sur le site de l’écho des sciences. L’une de ces conférences rejoint tout à fait nos préoccupations :

« Comment Joseph Fourier a transformé la cristallographie »

par Sylvain Ravy, directeur de recherche CNRS, responsable de la ligne CRISTAL au synchrotron Soleil

En passant par l’Egypte et Grenoble, Sylvain Ravy présente la vie et les travaux de Joseph Fourier, avec une illustration spécifique des « séries de Fourier ». Ces outils mathématiques inventés au début du XIXe par Fourier ont permis aux cristallographes de déterminer les structures atomiques des matériaux et des molécules de plus en plus complexes. Remise dans un contexte historique, cette découverte est une petite révolution, expliquée à l’occasion de cette conférence très accessible et sans aucune formule mathématique !

 

Ceux qui ne peuvent assister à ces développements, peuvent en avoir une idée en suivant sur you-tube la conférence sur le même sujet, donnée déjà par Sylvain Ravy, le 12 juin 2014 à Caen.

Fourier et la compression d’images

mercredi, décembre 10th, 2014

Fourier et la compression d’images

(explication, comparaison, sans formule – à l’usage des littéraires)

Voici deux images, identiques, mais enregistrées sous un format différents :

a)  .bmp qui, à images de taille égale, ne compresse pas les images

b) .jpg qui intègre un compresseur d’images

Reve_01 Reve_01

 

 

 

 

Image1 « Je rêve.bmp » – 859 ko                                                                                             Image2 « Je rêve.jpg » – 49 ko

Nous constatons que l’image1 .bmp occupe 17 fois plus d’espace disque que l’image2 enregistrée sous le format .jpg. En effet, le format .bmp code chaque pixel sans analyse, selon le schéma :

                      Image  –> enregistrement pixel à pixel  -> Image1

or l’image proposée se compose de beaucoup de blanc, et, dans une moindre mesure, de bleu, de rouge, de vert, de noir. Le format .jpg, utilise la Transformation de Fourier (TF) pour tenir compte de cette particularité de l’image et regrouper les pixels identiques qui contribuent. Le schéma est le suivant :

                Image –> TF –>  enregistrement données ‘image.jpg’  –> TF-1   –> Image2

 La transformée de Fourier (TF) rassemble les données de l’image sous forme de fonctions trigonométriques ce qui minimise l’espace occupé sur le disque ; la transformée inverse (TF-1) restitue l’image à l’identique. Le principe en a déjà été exposé sur ici.

Tentons maintenant de ‘redimensionner’ l’image2 à l’aide de la fonction proposée par un logiciel de traitement de l’image. Le logiciel, à notre demande va omettre d’enregistrer un certain pourcentage des fonctions trigonométriques qui permettent de reconstituer l’image :

Image2 –> TF –> enregistrement données à 50%   –>  TF-1  –> Image3

Reve_03

L’essentiel est encore là avec une image enregistrée de 37 ko, soit un gain minime mais sensible d’espace disque.  Continuons à compresser de même :                        Image2  –> TF  –>  enregistrement données à 10%  –> TF-1  –> Image4

Reve_03_5

Cette fois la perte de qualité est sensible avec très peu de gain d’espace disque. Notons que l’espace disque est maintenant utilisé majoritairement pour stocker les données de format, incompressibles qui permettent de restituer l’image : 34 ko.

Poussons l’expérience encore un peu :          Image2 –> TF –> enregistrement données à 5%   –> TF-1 –> Image5

Reve_02_5

Formes et couleurs sont altérées, l’espace disque occupé reste de 30 ko.

Retour à la comparaison littéraire : Après l’exemple visuel, reprenons maintenant, la fable de La Fontaine qui nous a servi à illustrer de façon allégorique le principe d’un transformation réversible, et lui appliquons lui une compression à 50% en supprimant ‘mécaniquement’  les signes de ponctuation (23) et 59 mots que l’on ne rencontre qu’une fois :

Le Corbeau et le Renard

Maître Corbeau, sur un arbre perché,

Tenait en son bec un fromage.

Maître Renard, par l’odeur alléché,

Lui tint à peu près ce langage :

« Hé ! bonjour, Monsieur du Corbeau.

Que vous êtes joli ! que vous me semblez beau !

Sans mentir, si votre ramage

Se rapporte à votre plumage,

Vous êtes le Phénix des hôtes de ces bois. »

A ces mots le Corbeau ne se sent pas de joie ;

Et pour montrer sa belle voix,

Il ouvre un large bec, laisse tomber sa proie.

Le Renard s’en saisit, et dit : « Mon bon Monsieur,

Apprenez que tout flatteur

Vit aux dépens de celui qui l’écoute :

Cette leçon vaut bien un fromage, sans doute. »

Le Corbeau, honteux et confus,

Jura, mais un peu tard, qu’on ne l’y prendrait plus.

 

Compression à 50% (82 signes ou mots/164)

Le Corbeau et le Renard

Maître Corbeau .. un arbre ..

..  en ..  bec un fromage.

Maître Renard..  ..  alléché,

.. ..  à peu ..  ce ..

.. bonjour, Monsieur du Corbeau.

.. vous êtes .. que vous .. .. beau

.. .. .. votre ..

.. .. à votre ..

Vous êtes le .. des .. de ces bois

A ces .. le Corbeau ne .. .. .. de ..

.. .. .. sa belle ..

.. .. un .. bec .. .. sa ..

Le Renard .. en .. et dit .. bon Monsieur

Apprenez que .. ..

.. aux dépens de celui ..  l’..:

Cette .. vaut bien un fromage sans doute

Le Corbeau.. et confus

.. .. un peu .. .. ne l’.. .. ..

 Remarques à propos des codages :

L’informatique est grosse consommatrice de codages. Elle transforme in fine tout ce qu’elle traite en langage binaire, soit donc une succession de ‘0’ et de ‘1’. Nous nous sommes intéressés au codage des images nous a permis des illustrations éclairantes ; le codage de la musique serait plus difficile à illustrer de façon probante, mais on comprend que la suppression des harmoniques situées dans les ultra ou les infra-sons fait gagner de l’espace sans perte de qualité.

Nous aurions pu aussi parler du codage des lettres : historiquement c’est le premier auquel le informaticiens se sont intéressés. A une époque où la mémoire électronique était denrée rare, ils ont créé le code ASCII pour obtenir un rendement maximal. Ce code a évolué et suivi les progrès des composants (passage de 8 à 16 puis 32, 64 bits), il reste utilisé et très efficace : en utilisant un espace équivalent à une simple image, un logiciel de traitement de texte code facilement un volume de plusieurs centaines de pages. A l’occasion, les traitements de texte, utilisent aussi, en toute discrétion, la compression d’images : ainsi, l’image qui illustre cet article (obtenue par un logiciel de traitement d’image), seule pesait 859 ko, incorporée à un texte, elle a été allégée puisque « images + article » n’occupent plus que 283 ko après traitement par le logiciel.

 

 

 

 

 

Fourier pour les littéraires

samedi, novembre 29th, 2014

Une transformation

‘à la manière de Fourier’

pour les littéraires

      Les mathématiciens sont des gens charmants, dotés de qualités remarquables (rigueur, créativité, technicité….) mais qui ont le gros défaut d’oublier que le commun des mortels ne « parle » pas spontanément mathématique et le comprend encore moins. Lorsque j’ai demandé à tel ou tel autre mathématicien de m’expliquer la Transformation de Fourier, j’ai reçu deux types de réponses : soit l’expression dépitée de ceux qui connaissant mon niveau de culture mathématique se refusent à répondre, sachant que je ne comprendrai rien de leurs explications, soit un flot de parole, accompagné de formules, au milieu desquelles mon esprit se perd dès la première seconde.

Fourier est trop célèbre, trop cité, trop utilisé, trop surexploité pour laisser la compréhension de ses intuitions aux seuls mathématiciens ou physiciens. Quitte à filer la métaphore jusqu’à son point de rupture, nous voudrions ici, hors de toute formulation mathématique, proposer aux non-initiés une approche de ce qui est en jeu lorsque l’on parle de Transformation de Fourier. Les mathématiciens critiques de cette démarche pourront m’adresser leurs remarques et proposer une meilleure approche.

Certains ne seront pas surpris par l’approche qui est faite ici : elle n’est pas sans lien avec les travaux relatifs à l’analyse du discours, même si, à notre connaissance, c’est le lien n’a pas été fait avec la Transformation de Fourier qui s’applique à des fonctions.

Soit un texte bien connu de Jean de La Fontaine, nous nous proposons de le transformer de façon réversible. Ainsi, nous obtiendrons deux points de vue d’un même discours. Points de vue que nous pourrons mettre en concurrence pour formuler des remarques :

Texte original

 Le Corbeau et le Renard

Maître Corbeau, sur un arbre perché,

Tenait en son bec un fromage.

Maître Renard, par l’odeur alléché,

Lui tint à peu près ce langage :

« Hé ! bonjour, Monsieur du Corbeau.

Que vous êtes joli ! que vous me semblez beau !

Sans mentir, si votre ramage

Se rapporte à votre plumage,

Vous êtes le Phénix des hôtes de ces bois. »

A ces mots le Corbeau ne se sent pas de joie ;

Et pour montrer sa belle voix,

Il ouvre un large bec, laisse tomber sa proie.

Le Renard s’en saisit, et dit : « Mon bon Monsieur,

Apprenez que tout flatteur

Vit aux dépens de celui qui l’écoute :

Cette leçon vaut bien un fromage, sans doute. »

Le Corbeau, honteux et confus,

Jura, mais un peu tard, qu’on ne l’y prendrait plus.

 

Il est possible de la transformer, de façon à obtenir ceci :

Texte transformé (fréquence / alphabétique)

, . Corbeau un ! de et l’ le Le Renard « » à bec ces en êtes fromage Maître Monsieur ne peu que sa votre vous ; A alléché Apprenez arbre aux beau belle bien bois bon bonjour ce celui Cette confus dépens des dit doute du écoute Et flatteur Hé honteux hôtes Il joie joli Jura laisse langage large leçon Lui mais me mentir Mon montrer mots odeur on ouvre par pas perché Phénix plumage plus pour prendrait près proie qu’ Que qui ramage rapporte s’ saisit sans Sans se Se semblez sent si son sur tard Tenait tint tomber tout vaut Vit voix Vous y

En fait, nous avons été un peu elliptique et cette transformation abrégée n’est pas réversible en ce qu’elle ne permet pas de retrouver le texte original ; pour que la transformation soit vraiment réversible, il convient de conserver une trace de la position des mots dans l’original, ce qui pourrait donner ceci :

Texte transformé (avec repérage des formes ce qui assure la réversibilité de la transformation)

[Corbeau $11/5 —>  Corbeau $ numéro de la ligne/position dans la ligne]

, $12/7 ; $13/6 ; $14/13 ; $14/5 ; $17/7 ; $18/3 ; $18/7 ; $19/2 ; $19/7 ; $2/3 ; $2/8 ; $4/3 ; $4/7 ; $6/5 ; $8/3 ; $9/6

. $10/10 ; $13/11 ; $17/10 ; $19/13 ; $3/7 ; $6/9

Corbeau $11/5 ; $18/2 ; $2/2 ; $6/8 ; $1/2 / un $13/3 ; $17/5 ; $19/4 ; $2/5 ; $3/5

! $6/3 ; $7/11 ; $7/5 / de $10/7 ; $11/10 ; $16/4 / et $14/6 ; $18/5 ; $1/3 / l’ $16/7 ; $4/5 ; $19/10 / le $10/3 ; $11/4 ; $1/4 / Le $14/1 ; $18/1 ; $1/1 / Renard $1/5 ; $14/2 ; $4/2 /

« $14/9 ; $6/1 / » $10/11 ; $17/11 / à $5/3 ; $9/3 / bec $13/5 ; $3/4 / ces $10/8 ; $11/2 / en $14/3 ; $3/2/ êtes $10/2 ; $7/3 / fromage $17/6 ; $3/6 / Maître $2/1 ; $4/1 / Monsieur $14/12 ; $6/6 / ne $11/6 ; $19/9 / peu $19/5 ; $5/4 / que $15/2 ; $7/6 / sa $12/4 ; $13/9 / votre $8/5 ; $9/4 / vous $7/2 ; $7/7 /

; $11/12 / A $11/1 / alléché $4/6 / Apprenez $15/1 / arbre $2/6 / aux $16/2 / beau $7/10 / belle $12/5 / bien $17/4 / bois $10/9 / bon $14/11 / bonjour $6/4 / ce $5/6 / celui $16/5 / Cette $17/1 / confus $18/6 / dépens $16/3 / des $10/5/ dit $14/7/ doute $17/9 / du $6/7 / écoute $16/7 / Et $12/1 / flatteur $15/4 / Hé $6/2 / honteux $18/4 / hôtes $10/6 / Il $13/1 / joie $11/11 / joli $7/4 / Jura $19/1 / laisse $13/7 / langage $5/7 / large $13/4 / leçon $17/2 / Lui $5/1 / mais $19/3 / me $7/8 / mentir $8/2 / Mon $14/10 / montrer $12/3 / mots $11/3 / odeur $4/5 / on $19/8 / ouvre $13/2 / par $4/4 / pas $11/9 / perché $2/7 / Phénix $10/4 / plumage $9/5 / plus $19/12 / pour $12/2 / prendrait $19/11 / près $5/5 / proie $13/10 / qu’ $19/8 / Que $7/1 / qui $16/6 / ramage $8/6 / rapporte $9/2 / s’ $14/3 / saisit $14/4 / sans $17/8 / Sans $8/1 / se $11/7 / Se $9/1 / semblez $7/9 / sent $11/8 / si $8/4 / son $3/3 / sur $2/4 / tard $19/6 / Tenait $3/1 / tint $5/2 / tomber $13/8 / tout $15/3 / vaut $17/3 / Vit $16/1 / voix $12/6 / Vous $10/1 / y $19/10 /

La transformation étant faite, nous laissons à chacun le soin de l’utiliser pour analyser le texte proposé comme il l’entend ; notre propos n’est pas ici d’enrichir la critique littéraire, mais de proposer une comparaison (impertinente sans doute, mais nous l’osons cependant) pour pénétrer la pensée de Joseph Fourier. Nanti de la méthode, les plus hardis de nos lecteurs pourront se proposer de soumettre à l’Académie française une proposition établissant son bien fondé pour tout texte publié. C’est la démarche qu’a suivi Joseph Fourier au début du 19e siècle :  « Ses travaux sur la propagation de la chaleur débutent en 1805 au retour d’Egypte. alors qu’il est préfet à Grenoble. /…/ Le 21 décembre  1807 il lit à l’Académie des Sciences un mémoire intitulé Théorie de la Propagation de la Chaleur dans les Solides. Mais LAGRANGE et LAPLACE firent de nombreuses objections et ce mémoire ne fut jamais publié ni par l’Académie, ni par FOURIER, ni ultérieurement par Gaston DARBOUX dans les œuvres complètes. Pourtant on est maintenant certain que DARBOUX a consulté ce manuscrit à l’Ecole des Ponts et Chaussées et il en dit grand bien. Ce n’est qu’en 1972 que l’historien des sciences anglais, GRATTAN-GUINESS, grand spécialiste de FOURIER, publiera ce premier texte sur la propagation de la chaleur. Pendant les années 1808 et 1809 FOURIER publiera de nombreuses mises au point qui essayent de répondre aux critiques de LAGRANGE et LAPLACE. Il trouve dans ce travail l’aide de POISSON. En 1811, il soumet à nouveau son mémoire, nettement amélioré, à l’Académie des Sciences. LAGRANGE souligne alors « la nouveauté du sujet et son importance » mais reste encore réservé « du coté de la rigueur ». [Extrait d’une conférence donnée devant le centre Auxerrois de l’Université pour Tous de Bourgogne, par Daniel Reisz]

Nous n’avons pas refait les calculs nous-même (nous en serions bien incapable), mais c’est par un cheminement analogue, en appliquant, en toute rigueur cette fois, la Transformation de Fourier que les mathématiciens peuvent nous proposer ces deux interprétations de l’image de Lena : notre but est atteint si le lecteur entrevoit maintenant comment les images de gauche ou de droite se déduisent l’une de l’autre.

Léna_01

     Cette comparaison peut donner une vague idée de la Transformation de Fourier, cependant elle reste superficielle, utilisant les mots qui se retrouvent inchangés entre le texte original et le texte transformé.

     Fourier, lui, transforme complètement la fonction originale en une somme d’autres fonctions de nature différente. La Transformation de Fourier permet de passer d’une fonction (souvent chaotique, – la diffusion de la chaleur dans un objet de forme complexe – l’évolution des cours de la bourse) sur laquelle il est difficile d’intervenir (les calculs de dérivation, d’intégration ne sont pas possibles) à des fonctions où ces calculs sont aisés, le prix à payer étant d’être contraint de manipuler des sommes infinies, ce qui génère des calculs monstrueux que seuls les ordinateurs sont en mesure de mener à bien.

 

Fourier et la-4G

samedi, octobre 25th, 2014

Fourier et la « 4-G »

      Après une traversée du désert de près d’un siècle, entre sa mort et les grandes avancées techniques du 20e siècle, l’académicien Joseph Fourier est revenu peu à peu sur le devant de la scène. Il est actuellement le savant dont le nom est le plus souvent cité (grâce essentiellement à la transformation qui porte son nom). Ce retour de gloire, exceptionnel, va-t-il durer ? Pour tenter de répondre à cette question, on peut, même si c’est un peu technique, regarder les dernières nouveautés techniques. Voyons donc du côté de la technologie « 4-G » :

Comme souvent en ce qui concerne Joseph Fourier, toute tentative de vulgarisation butte rapidement sur des concepts ardus. Pour les techniciens, nous reproduisons ci-dessous intégralement un article de Wikipedia que nous avons renoncé à résumer. Le lecteur non-technicien (qu’il nous pardonne la technicité du propos) pourra tout de même entrevoir pourquoi nous avons, sur ce même site, effleuré la question de l’orthogonalité, d’une part, et constater, d’autre part, sur le schéma (ci-dessous au paragraphe : principes) que les DFT (Discrete Fourier Transform) et IDFT (DFT inverse) apparaissent deux fois chacune en des points clés et sont indispensables à l’application.

Si l’on note que la variante SC-FDMA fait de la même manière appel aux transformées de Fourier et transformées inverses, on peut conclure sans risque d’erreur que grâce à la transformation des fonctions qu’il a imaginée, le nom de Fourier ne va pas tout de suite retomber dans l’oubli.

[d’après Wikipedia]

L’OFDMA (ou Orthogonal Frequency Division Multiple Access) est une technique de multiplexage et de codage des données utilisée principalement dans les réseaux de téléphonie mobile de 4e génération. Ce codage radio associe les multiplexages en fréquence et temporel ; c’est-à-dire les modes « Accès multiple par répartition en fréquence » (AMRF ou en anglais FDMA) et « Accès multiple à répartition dans le temps » (AMRT ou en anglais TDMA). Il est notamment utilisé dans les réseaux de téléphonie mobile 4G LTE, LTE Advanced et WiMAX mobile (IEEE 802.16e).

L’OFDMA ou l’une de ses variantes sont aussi utilisées dans d’autres systèmes de radiocommunication, telles les versions récentes des normes de réseaux locaux sans fil WIFI (IEEE 802.11 versions n et ac, IEEE 802.22 et WiBro) ainsi que par certaines normes de télévision numérique.

Comme pour d’autres techniques de codage permettant l’accès multiple (TDMA, FDMA ou CDMA), l’objectif est de partager une ressource radio commune (bande de fréquence) et d’en attribuer dynamiquement une ou des parties à plusieurs utilisateurs.

Origine :

L’OFDMA et sa variante SC-FDMA sont dérivées du codage OFDM (utilisé par exemple sur les liens ADSL, DOCSIS 3.1 et dans certains réseaux WiFI), mais contrairement à l’OFDM, l’OFDMA permet et est optimisé pour l’accès multiple, c’est-à-dire le partage de la ressource spectrale (bande de fréquence) entre de nombreux utilisateurs distants les uns des autres. L’OFDMA est compatible avec la technique des antennes MIMO .

L’OFDMA a été développé comme une alternative au codage CDMA, utilisé dans les réseaux 3G UMTS et CDMA2000. L’OFDMA est principalement utilisé dans le sens de transmission downlink (antenne-relais vers terminal) des réseaux mobiles car il permet pour une même largeur spectrale, un débit binaire plus élevé grâce à sa grande efficacité spectrale (nombre de bits transmis par Hertz) et à sa capacité à conserver un débit élevé même dans des environnements défavorables avec échos et trajets multiples des ondes radio. Ce codage (tout comme le CDMA utilisé dans les réseaux mobiles 3G) permet un facteur de réutilisation des fréquences égal à « 1 », c’est-à-dire que des cellules radio adjacentes peuvent réutiliser les mêmes fréquences hertziennes.

Principes

Le codage OFDMA consiste en un codage et une modulation numérique d’un ou plusieurs signaux binaires pour les transformer en échantillons numériques destinés à être émis sur une (ou plusieurs) antennes radio ; réciproquement, en réception, le signal radio reçoit un traitement inverse.

Schéma_1

Modulations radio OFDMA et SC-FDMA : codage et conversions numérique/analogique. Glossaire :

DFT (Discrete Fourier Transform) : Transformée de Fourier discrète, Subcarrier Equalization : Égalisation des sous-porteuses, IDFT : DFT inverse, CP (Cyclic Prefix) : Préfixe cyclique, PS (Pulse Shaping) : mise en forme des impulsions, S-to-P : Transformation Série-Parallèle, DAC (Digital-Analog Converter) : Convertisseur numérique-analogique, RF (Radio Frequency) : Fréquence radio.

Les blocs « en jaune » (seconde transformée de Fourier et conversion série/parallèle associée) sont spécifiques au SC-FDMA.

Le principe de l’OFDMA est de répartir sur un grand nombre de sous-porteuses les données numériques que l’on veut transmettre, ce qui induit, pour un même débit global, un débit binaire beaucoup plus faible sur chacun des canaux de transmission ; la durée de chaque symbole est ainsi beaucoup plus longue (66.7 µs pour le LTE) que s’il n’y avait qu’une seule porteuse. Cela permet de limiter les problèmes d’interférences inter-symboles et de fading (forte atténuation du signal) liés aux « chemins multiples de propagation » qui existent dans les liaisons radio de moyenne et longue portées car quand le débit binaire sur une porteuse est élevé, l’écho d’un symbole arrivant en retard à cause d’une propagation multi-trajets perturbe le ou les symboles suivants.

La figure suivante décrit l’utilisation des sous porteuses : celles en noir, en vert et bleu (les plus nombreuses) transportent les données des utilisateurs, celles en rouge, les informations de synchronisation et de signalisation entre les 2 extrémités de la liaison radio.

 

Schéma_2

 

Représentation et rôle des sous-porteuses

Un filtrage séparé de chaque sous-porteuse n’est pas nécessaire pour le décodage dans le terminal récepteur, une « transformée de Fourier » FFT est suffisante pour séparer les sous-porteuses l’une de l’autre (dans le cas du LTE, il y a jusqu’à 1200 porteuses indépendantes par sens de transmission)[1].

Orthogonalité (le « O » de OFDMA) : en utilisant des signaux orthogonaux les uns aux autres pour les sous-porteuses contiguës, on évite les interférences mutuelles. Ce résultat est obtenu en ayant un écart de fréquence entre les sous-porteuses qui est égal à la fréquence des symboles sur chaque sous-porteuse (l’inverse de la durée du symbole). Cela signifie que lorsque les signaux sont démodulés, ils ont un nombre entier de cycles dans la durée du symbole et leur contribution aux interférences est égale à zéro ; en d’autres termes, le produit scalaire entre chacune des sous-porteuses est nul pendant la durée de transmission d’un symbole (66.7 µs en LTE, soit une fréquence de 15 kHz, ce qui correspond aussi à l’écart de fréquence entre 2 sous-porteuses).

 

Schéma_3

 

Exemple de modulation OFDM/OFDMA avec 4 sous-porteuses orthogonales.

L’orthogonalité des sous-porteuses permet un resserrement de leurs fréquences et donc une plus grande efficacité spectrale (voir dessin) ; cela évite aussi d’avoir une « bande de garde » entre chaque sous-porteuse.

Un préfixe cyclique (sigle « CP » dans le dessin ci-dessus) est utilisé dans les transmissions OFDMA, afin de conserver l’orthogonalité et les propriétés sinusoïdales du signal sur les canaux à trajets multiples. Ce préfixe cyclique est ajouté au début des symboles émis, il sert aussi d’intervalle de garde, c’est-à-dire un temps entre deux symboles, pendant lequel il n’y a aucune transmission de données utiles ; cela permet d’éviter (ou de limiter) les interférences inter-symboles.

Dans la partie radio (eUTRAN) des réseaux mobiles LTE, deux durées différentes de préfixe cyclique sont définies pour s’adapter à des temps de propagation différents du canal de transmission ; ces temps dépendent de la taille de la cellule radio et de l’environnement : un préfixe cyclique normal de 4,7 ?s (utilisé dans les cellules radio de moins de 2 à 3 km de rayon), et un préfixe cyclique étendu de 16,6 ?s utilisé dans les grandes cellules radio ; ces préfixes représentent de 7 à 25 % de la durée d’un symbole et réduisent donc un peu le débit utile, surtout dans les grandes cellules (zones rurales).

Avantages et inconvénients

La présence de nombreuses sous-porteuses indépendantes permet d’adapter facilement la puissance d’émission de chaque canal au niveau minimum suffisant pour une bonne réception par chaque utilisateur (qui est fonction de sa distance avec l’antenne-relais).

Il est aussi possible, grâce à la possibilité d’utilise un nombre quelconque de sous-porteuses, d’accroître la portée d’un émetteur radio, lorsqu’il est éloigné de l’antenne réceptrice, tout en limitant sa puissance d’émission (ex : 200 mW maximum pour un téléphone mobile LTE) ; ceci est réalisé en concentrant la puissance émise sur un petit nombre de sous-porteuses (plus précisément sur un faible nombre de Resource Blocks). Cette optimisation se fait au détriment du débit.

Le codage OFDMA a pour contrainte d’imposer une synchronisation très précise des fréquences hertziennes et des horloges des récepteurs et des émetteurs afin de conserver l’orthogonalité des sous-porteuses et d’éviter les interférences.

Ce codage est associé (dans les réseaux LTE et WiMAX) à des modulations de type QPSK ou QAM utilisées sur chacun des canaux (groupes de sous-porteuses), chaque canal visant un utilisateur. Les divers canaux peuvent utiliser au même instant des modulations différentes, par exemple QPSK et QAM-64, pour s’adapter aux conditions radio locales et à la distance séparant l’antenne de chaque terminal.

Pour les liaisons uplink (sens terminal vers station de base) des réseaux mobiles 4G « LTE », c’est la variante SC-FDMA qui est utilisée, car ce codage permet de diminuer la puissance électrique crête et donc le coût du terminal et d’augmenter l’autonomie de la batterie des smartphones ou des tablettes tactiles, grâce à un PAPR (Peak-to-Average Power Ratio) plus faible que celui de l’OFDMA.

 

 

 

de Fourier à Daubechies

mardi, juillet 22nd, 2014

De Fourier à Daubechies

      A l’instar de Joseph Fourier, 205 ans après lui, Ingrid Daubechies (1954-…) est promue baronne et anoblie, en 2012, par le Roi des Belges, ce qui donne l’occasion au journaliste du Monde David Larousserie d’informer ses lecteurs du parcours de la scientifique.

 

Daubenchies_b

Le lecteur de ce blog assez assidu pour suivre les recommandations de lecture qui y sont proposées aura déjà eu l’occasion de faire connaissance avec la mathématicienne.

La transformée de Fourier

     En effet, le titre de baron n’est pas le seul lien qui rapproche Fourier et Daubechies. Au début du XIXe siècle, Joseph Fourier a établi une théorie de la transformation des fonctions qui porte aujourd’hui son nom et que tous les étudiants de mathématiques, de physique, tous les techniciens du son, de la musique, de l’image connaissent. Fourier a développé une théorie, nous l’avons dit ; cette théorie est restée longtemps aux fonds des placards, flottant seulement dans l’inconscient de quelques mathématiciens. Son application conduit en effet rapidement à des calculs décourageants lorsqu’on ne dispose que de papier et crayon. Les premiers ordinateurs même étaient impuissants à calculer les coefficients permettant de transformer une fonction quelconque et une somme infinie de sinus et de cosinus.

Les choses ont cependant évolué. Lorsque les mathématiciens ont pu obtenir de petits ordinateurs avec lesquelles ils pouvaient jouer, ils ont expérimenté, laissé courir leur imagination autour des transformées de Fourier.

La transformée de Fourier avec fenêtre

     Ainsi, une transformation de Fourier (TF) cache l’information sur le temps. Une sirène, la parole, la musique ont des fréquences changeantes, la TF donne le nombre de fréquences contenues dans le signal, mais se tait sur l’instant d’émission. L’information n’est pas perdue -la TF est réversible- elle est masquée sous le flot des coefficients de la série infinie des sinus et cosinus. L’analyse de Fourier, irréprochable en théorie, est inadaptée aux signaux qui changent brusquement de manière imprévisible.

Une solution pour contourner ce problème est de décomposer le signal en fenêtres de temps étroites (travaux de Dennis Gabor, dès 1945). La comparaison des coefficients d’une fenêtre à l’autre permet de repérer les changements brusques du signal initial.

Des petites ondes pour fenêtre

     Avec de petites ondes, il est possible de décomposer un signal en temps et en fréquence. Les ondelettes indiquent non seulement quelle note il faut jouer, mais à quel moment la jouer. Ce fut l’objet des travaux de Morlet (vers 1975), puis de Meyer et Grossmann à partir de 1985.

 Les ondelettes fonctionnent donc comme un microscope qui permet d’avoir localement une vision précise de fonction. Ceux qui ont déjà une fois utilisé un microscope savent combien il est difficile d’avoir une vision panoramique avec cet instrument. Pour lire une fonction décrite par les ondelettes, il faut développer une grammaire, établir des stratégies, des outils.

L’apport d’Ingrid Daubechies porte sur le développement de ces outils d’analyse. Les extraits ci-après du livre de Barbara Burke Hubbard, Ondes et ondelettes, donneront une idée du domaine de recherche d’Ingrid Daubechies :

 ——

(extrait d’Ondes et ondelette, de Barbara Burke Hubbard, Belin, 1992, p.109, 112, 113)

un nouveau langage acquiert une grammaire

« Deux concepts faisaient défaut : le concept d’ondelette et le concept de moments nuls. L’aspect orthogonal était aussi absent. Burt et Adelson calculaient les coefficients, mais ils ne les interprétaient pas comme une base orthogonale. Ils ont eu toutefois un énorme instinct. Ils ont donné un exemple où le moment est nul… […]

 Le temps retrouvé : les ondelettes de Daubechies

Mallat avait d’abord proposé son algorithme rapide en utilisant les versions tronquées d’ondelettes infinies construites par Guy Battle et Pierre-Gilles Lemarié-Rieusset. Une nouvelle sorte d’ondelette orthogonale à « support compact » permet d’éviter les erreurs qu’entraîne cette troncation. Ces ondelettes, construites par Daubechies, ne sont pas infinies ; elles sont nulles partout, sauf dans un « support » limité : entre -2 et 2, par exemple.

Elles sont aussi, à l’opposé des ondelettes de Morlet ou de Meyer, de véritables créatures de l’ère informatique : les ondelettes de Daubechies ne peuvent être construites à partir de formules analytiques , on les fabrique à l’aide d’itérations.

Une itération consiste à appliquer successivement une opération sur le dernier résultat obtenu ; itérer (x à x² – 1) à partir de x = 2, donne 3, puis 8, puis 63… La transformation en ondelettes rapide est une itération, puisqu’elle utilise chaque fois la dernière version du signal lissé comme nouveau point de départ. Itérer est ce qu’un ordinateur fait le mieux : « on donne une seule commande et puis on boucle ; ça va très vite dit Meyer.

 En apparence, une telle itération est simple, mais il n’est pas si facile de la comprendre. Les itérations non linéaires, telles que x² – 1, sont l’équivalent, en temps discret, des équations différentielles non linéaires, rebelles à tout effort d’analyse. Pendant longtemps les mathématiciens avaient prudemment pris le parti de n’y pas penser, tant ces itérations sont difficiles. Depuis une vingtaine d’années, avec l’aide des ordinateurs, ils ont appris à les utiliser pour créer, à partir de logiciels simples, des objets extraordinairement complexes, tel que les ensembles de Julia ou de Mandelbrot, produisant ainsi les belles images de « chaos » et de systèmes dynamiques.

Néanmoins nombre de mathématiciens restent mal à l’aise face aux itérations. Selon Meyer, l’idée de les utiliser pour construire des fonctions explicites ne leur est pas familière. « En revanche, dit-il, pour les gens qui travaillent avec les ordinateurs et qui font du traitement du signal, les méthodes itératives sont extrêmement naturelles. »

Mallat étudiait la vision artificielle ; pour lui l’usage des ordinateurs était presque naturel ; il imagina de construire les ondelettes par une méthode itérative. Il a suggéré cette approche (également inspirée des algorithmes pyramidaux de Burt et Adelson) dans son article sur la multirésolution. Il n’est toutefois pas allé au bout de cette idée. « Mallat lance les idées brillantes, qui font travailler deux cents, trois cents personnes, puis il passe à autre chose, constate Meyer. C’est Ingrid Daubechies, avec sa ténacité et sa puissance de travail, qui est parvenue à la réaliser. »

Daubechies, de nationalité belge, a travaillé en physique mathématique avec Grossmann, en France ; puis elle a travaillé, à l’Université de New York, sur la mécanique quantique.

« Son rôle a été essentiel, raconte Grossmann. Ses contributions sont très importantes, mais elles sont également abordables et utilisables par diverses communautés. Elle sait parler aux ingénieurs comme aux mathématiciens, et sa formation en mécanique quantique est une bonne influence. »

Daubechies connaissait la multirésolution de Meyer et Mallat. « Yves Meyer m’en a parlé à une conférence. Je réfléchissait déjà à certaines de ces questions, et leur travail m’a intriguée », dit-elle. Avec les ondelettes infinies de Meyer, calculer un seul coefficient d’ondelette nécessitait beaucoup de travail. Daubechies voulait construire des ondelettes plus faciles à utiliser. Elle était exigeante ; en plus d’orthogonalité et de support compact – deux contraintes tellement opposées qu’on doutait de la possibilité de les réconcilier -, elle tâchait d’obtenir des ondelettes régulières, avec des moments nuls.

« Je me demandais, pourquoi n’existerait-il aucune méthode possédant ces caractéristiques, raconte Daubechies. Cette question m’a passionnée ; une période de travail intense a suivi. A l’époque, je connaissais peu Yves Meyer. Quand j’ai obtenu la première construction, il s’est montré très enthousiaste ; quelqu’un m’a signalé qu’il en avait parlé au cours d’un séminaire. Je savais que c’était un mathématicien brillant ; j’ai pensé, mon Dieu, il est en train de comprendre les choses bien plus vite que moi… Je sais aujourd’hui qu’il ne se serait jamais attribué le mérite de la découverte, mais à l’époque je sentais que c’était urgent. Je travaillais d’arrache-pied. A lu fin de mars 1987, j’avais tous les résultats. »

 les multi-ondelettes

lngrid Daubechies créa les premières ondelettes orthogonales à support compact utilisant des itérations : une ondelette de Daubechies est la limite d’un processus itératif et ne peut pas être créée à partir de formules analytiques. Depuis, d’autres chercheurs ont découvert qu’on peut obtenir des ondelettes orthogonales à support compact à partir des fonctions explicites, à condition d’utiliser plusieurs fonctions d’échelle.

L’analyse murtirésolutionnelle qui en résulte, avec des fonctions d’échelles et des ondelettes multiples, n’est pas soumise aux mêmes limitations que les ondelettes de Daubechies : on peut par exemple, créer des ondelettes orthogonales et symétriques, à support compact. (La symétrie est souvent considérée comme un atout en traitement d’image ; la seule ondelette symétrique de Daubechies est l’ondelette de Haar, qui est discontinue.)

 

 

Ondes et ondelettes

dimanche, juillet 6th, 2014

Ondes_Burke_bOndes et ondelettes,

la saga d’un outil mathématique

Barbara Burke Hubbard, Belin, Pour la Sciences,1995, 235 pages, 14×21

Divers niveaux de lecture, une bibliographie copieuse à la fin de chacun des cinq chapitres, un index : le livre de Barbara Burke Hubbard mérite d’être recommandé.

     Le lecteur naïf y découvrira le cheminement allant des propositions de Joseph Fourier aux dernières avancées (1995) dans le domaine du traitement du signal. Chemin faisant, il élargira sa compréhension de la notion de fonction, pourra entrevoir comment les mathématiciens explorent les espaces de dimensions infinies, comprendra les liens qui unissent parole, musique, son, image, imagerie médicale, analyse et filtrage du bruit…

     Il verra comment une idée révolutionnaire, émise dans le cadre très particulier de la transmission de la chaleur dans un solide, se développe et s’impose dans des domaines très divers, s’applique à de larges pans de la recherche pure et de la recherche appliquée, devient un élément incontournable de la formation de tout scientifique.

 Quelques citations :

p. 139 «  Il est peu probable que les ondelettes aient un impact sur les mathématiques pures aussi révolutionnaire que celui de l’analyse de Fourier. »

p. 175 «  Les contributions des ondelettes à l’analyse du signal sont d’ordre technique, mais aussi conceptuel. Selon Marie Farge, elles « nous ont obligés à réfléchir sur la signification de la transformation de Fourier, à comprendre que tout type d’analyse conduit au mélange du signal et de la fonction analysante. » …. L’analyse de Fourier est adaptée aux signaux périodiques réguliers ; l’analyse par ondelettes convient aux signaux non stationnaires, qui présentent des pics ou des discontinuités. »

 

     L’historien des mathématiques trouvera dans ce livre une base de référence pour situer les apports des uns et des autres dans la théorie des ondelettes. Théorie dont les éléments furent établis, découverts et redécouverts plusieurs fois ; en effet, elle s’applique à des domaines divers où les chercheurs progressent à leur rythme sans faire le lien au départ avec les avancées de leurs homologues dans des domaines différents.

Le mathématicien élevé, dès le biberon à penser Transformée de Fourier, restera peut-être sur sa faim, les développements mathématiques sont en effet réduits et l’auteure n’entre pas dans le détail des démonstrations… ce qui est sans doute une qualité.

 

Sommaire

Introduction

  1. L’analyse de Fourier
  2. Un poème transforme notre monde
  3. La recherche de nouveaux outils
  4. Un nouveau langage acquiert une grammaire
  5. Les applications
  6. Au-delà des ondelettes

Liste des articles complémentaires

  • L’analyse mathématique.
  • La transformation de Fourier.
  • La convergence des séries de Fourier.
  • Calculer les coefficients de Fourier à l’aide d’intégrales
  • La transformation de Fourier rapide
  • La transformation en ondelettes continue
  • L’orthogonalité et les produits scalaires
  • Voyages entre espaces fonctionnels
  • La multirésolution
  • Les algorithmes pyramidaux de Burt et Adelson
  • Les multi-ondelettes
  • La transformation en ondelettes rapide
  • Le principe d’incertitude de Heisenberg
  • La mécanique quantique
  • Les ondelettes et la vision
  • Quelle ondelette?
  • Les ondelettes, la musique et la parole
  • La meilleure base
  • La transformation d’information

Appendice

A. Les lettres grecques et symboles mathématiques

B. Quelques définitions trigonométriques

C. Les intégrales

D. La transformation de Fourier les différentes conventions

E. La transformée de Fourier d’une fonction périodique

F. Exemple de base orthonormale

G. Le théorème d’échantillonnage une démonstration

H. Le principe d’incertitude de Heisenberg: une démonstration

Bibliographie

Index

 

Des séries à la transformation de Fourier

vendredi, mai 9th, 2014

Des séries à la transformation de Fourier

 Merci à Nicotupe pour l’article « Fourier… Transformation ! » où il développe largement le traitement de l’image et qui a inspiré celui-ci.

         Sur ce blog, nous nous sommes naturellement déjà penchés sur les séries de Fourier ; elles ont été présentées dans un article et nous avons aussi renvoyé, dans un autre article, à animations et travaux pratiques qui permettent de tester ses idées à l’aide d’un simulateur qui donne une illustration de ce que sont les séries de Fourier.

         Armé de ses connaissances de lycée, le lecteur admet facilement qu’une fonction périodique quelconque, peut être représentée par une série de Fourier. Qu’en est-il pour une fonction quelconque ?

        Les gentilles ondulations de nos sinus et cosinus peuvent-elles suivre la toute naïve fonction parabolique lorsqu’elle qui grandit jusqu’à l’infini ?

        La transformation de Fourier permet de calculer les coefficients à donner aux séries sinus et cosinus pour obtenir une réponse positive. Ces coefficients jouent le rôle d’un dictionnaire qui permet de passer dans tous les cas et d’une façon unique de la fonction initiale à sa représentation en série de Fourier, celle-ci est aussi unique naturellement. Le parcours inverse est possible, partant des séries de Fourier, la transformée inverse permet de déterminer la fonction. (Les coefficients forment une base libre). Selon les avantages que l’on y trouvera pour la question à traiter, on utilisera alors indifféremment la fonction initiale ou sa transformée en séries de Fourier.

     Si vous avez admis sans sourciller l’assertion ci-dessus, la suite va vous paraître triviale.

 épeire

L’évolution de l’intensité lumineuse le long de la droite qui traverse cette photo est une fonction. La transformée de Fourier permet de représenter cette fonction en une série de sinus et cosinus.

Plus généralement, tout fichier électronique (texte, image ou son) est une fonction… que l’on peut représenter après transformation de Fourier en une série de sinus et cosinus.

 

Les domaines où la transformée de Fourier s’applique et apporte un surcroît de compréhension et d’efficacité sont donc nombreux (tout particulièrement en électronique, mais pas seulement).

La musique, domaine sur lequel portaient les premières études, utilise largement la transformée de Fourier pour compresser des fichiers (le format MP3 lui doit beaucoup).

Nous avons vu, sur ce blog, comment la transformée de Fourier est utilisée pour la maintenance de systèmes rotatifs.

Le traitement de l’image est un des domaines de prédilection de la transformée de Fourier. Pour s’en convaincre, et commencer à comprendre comment, on peut lire l’article de Nicotupe sur Podcastscience.

On verra aussi que la transformée de Fourier ne pouvait trouver sa pleine application à l’époque de Fourier où, faute de moyen de calcul, elle est restée à l’état de concept. Il fallut attendre 1965 et la découverte, par Cooley et Tukey, des méthodes de calcul efficaces de la FFT (la Fast Fourier Transform – Transformée de Fourier Rapide- pour les intimes) pour que la puissance de calcul des ordinateurs se donne libre cours et fasse de la transformée de Fourier un élément incontournable de tous les labos.

Genèse des séries trigonométriques

samedi, janvier 4th, 2014

L’histoire des séries trigonométriques

vue par B. Riemann (1854)

    Pour son habilitation à l’Université de Göttingen, B. Riemann a présenté un mémoire intitulé « Ueber die Darstellbarkeit einer Funktion durch eine trigonometrische Reihe » qui ne fut publié qu’en 1867, après sa mort. Il fut traduit en français sous le titre « Sur la possibilité de représenter une fonction par une série trigonométrique » pour paraître en 1873 dans le Bulletin de la Société mathématique et astronomique. Ce mémoire a pour objet d’étendre les critères de convergence des séries trigonométriques élaborés par Dirichlet en 1829 à des familles de fonctions plus larges.

     Ce mémoire commence par un texte d’une quinzaine de pages où B. Riemann fait l’historique des séries trigonométriques depuis d’Alembert jusqu’à ses propres travaux. C’est ce texte qu’on trouvera ici : L’histoire des séries trigonométriques. Il est d’une lecture exigeante, mais on peut toutefois le parcourir avec profit sans trop s’attarder sur les difficultés techniques.

     Ne serait-ce qu’à cause du prestige de B. Riemann, ce texte a été cité, copié, repris de multiples fois jusqu’à devenir en quelque sorte une histoire « officielle ». Pourtant il n’est pas exempt de critiques. On reproche en particulier à B. Riemann d’être peu explicite sur le développement des fonctions analytiques et il est muet sur le calcul des coefficients de ces séries, calcul pourtant explicite tant chez Euler que chez Jacobi et a fortiori chez Fourier.

 

Source : Gallica Œuvres mathématiques de Riemann

Série de Fourier

lundi, décembre 16th, 2013

 

DEVELOPPEMENT D’UNE FONCTION PERIODIQUE
EN SERIE DE FOURIER

[La version .pdf de cet article est disponible ici.]

 La décomposition d’une fonction périodique en série de Fourier est un secteur classique de l’analyse mathématique. On trouvera donc dans bien des manuels et aussi sur Internet des exposés en bonne et due forme. Mais pour être compris ces exposés nécessitent des connaissances mathématiques du niveau d’une classe préparatoire ou des deux premières années universitaires.

L’objet de ce texte est d’accéder, sans technicité autre que celle d’un honnête bachelier, à l’idée de ce qu’est le développement d’une fonction périodiques en série de Fourier. Quitte à irriter quelques puristes on s’appuiera beaucoup sur les représentations graphiques et on évitera autant que faire se peut toute technicité inutile à une compréhension élémentaire de la situation. Pour bien comprendre les enjeux il est bon d’avoir au moins les connaissances présentées dans le texte « Fonctions périodiques« .

 Un exemple.

 L’idée directrice est la suivante : Une fonction périodique, de période P, peut, sous certaines conditions, être approchée avec autant de précision qu’on le désire par une somme de sinus et de cosinus, de période P, P/2, P/3, P/4,… c’est à dire de la fondamentale P et de ses harmoniques P/2, P/3, P/4,..

 Pour fixer les idées on va regarder un exemple historique dû à L. Euler en 1754. Soit la fonction périodique f(t), de période 2?, définie par sa donnée sur l’intervalle [-?; ?], par  f(t)= t/2 et représentée graphiquement ci-dessous :

img_01

Envisageons à présent la fonction : s1(t)=sin t , et comparons là graphiquement à f(t) :

img_02

On n’a pas envie de considérer la sinusoïde comme une approximation de la fonction f(t), encore que…..

Faisons un pas de plus et comparons graphiquement la fonction f(t) à la fonction :

s2(t)=sin t – 1/2 sin 2 t

 img_03

 

Il y a incontestablement un saut qualitatif : cette nouvelle fonction commence à être une approximation sensible, certes encore grossière de f(t).

Encore un pas avec :

s3(t)=sin t – 1/2 sin 2t + 1/3 sin 3t

 img_04

Bref, on s’aperçoit que l’approximation est de plus en plus précise, même si la fonction « approximante » reste continue à l’endroit où la fonction initiale présente une discontinuité (un saut)

Il est aussi intéressant d’observer le spectre de ces approximations. Ci-dessous, par exemple, celui de :

s4(t)=sin t – 1/2 sin 2t + 1/3 sin 3t – 1/4 sin4t

avec la fondamentale en 1 et les harmoniques en 2, 3, 4.

 img_05

On reste évidemment sur sa faim. « Pourquoi ? » « Comment ? «  

 

Un second exemple : 

Soit la fonction f(x), de période 2?définie, sur [-?; ?] par : 

img_06

et représentée graphiquement ci-dessous :

img_07

Les trois premiers termes de son développement en série de Fourier sont :

img_08

Comparons :

img_09

La qualité de l’approximation est telle qu’on ne distingue plus les deux courbes !

En zoomant sur une pointe, on peut mieux se rendre compte:

img_10

ou encore en ne regardant que la courbe approximante :

img_11

 

Un troisième exemple (utilisé par Fourier).

 Soit la fonction f(x), de période 2? définie sur [-?; ?] par : 

img_12

et représentée graphiquement ci-dessous :

img_13

 

Les cinq premiers termes de son développement en série de Fourier sont :

 img_14

Comparons : 

img_15

On a déjà une assez bonne approximation.

 Vers une généralisation.

Les trois exemples précédents sont très parlants mais on ne sait pas comment ont été trouvées les harmoniques en jeu, ni leurs amplitudes (leurs intensités) respectives. Déterminer cela nécessite des techniques mathématiques d’un niveau qui dépasse celui choisi pour ce texte. On ne peut que renvoyer vers des livres ou des exposés sur Internet. Mais pour la beauté de la chose donnons quand même un aperçu des formules et quelques commentaires.

Soit donc une fonction f(t) de période 2?. Le but est de l’approcher par une somme de la forme :

img_16où les a0, a1, a2, …an  et les b0, b1, b2, …bn   sont donnés par les formules suivantes :

img_17

Deux questions, liées, se posent alors : Comment ces formules ont-elles été obtenues? Comment s’en servir? Les réponses à ces questions dépassent le cadre de ce texte. A la première nous donnerons quelques repères historiques dans le paragraphe suivant. Une réponse partielle à la seconde peut s’énoncer ainsi :

Lorsque la fonction f(t) est d’une grande simplicité les techniques classiques du calcul intégral permettent parfois de calculer directement les coefficients a0, a1, a2, …an  et les b0, b1, b2, …bn. A vrai dire pour la plupart des fonctions que l’on rencontre dans la pratique un tel calcul n’est pas possible, mais les méthodes de calcul numérique, surtout à l’ère de logiciels de calcul très sophistiqués, permettent d’obtenir des valeurs numériques satisfaisantes.

Un peu d’histoire.

 Les séries trigonométriques apparaissent au XVIIIème siècle avec le problème des cordes vibrantes. Il s’agit d’étudier les vibrations d’une corde tendue entre deux points fixes A et B lorsqu’on la fait vibrer par un moyen quelconque. Ce problème se met en équation sous la forme d’une équation aux dérivées partielles que voici :

img_18

dont les solutions ne sont pas élémentaires.

Le premier à s’y frotter est d’Alembert en 1747. Euler s’y attaque en 1748. Mais leur points de vue divergent sur la notion même de fonction . La première solution « explicite » est donnée, en 1758, par Daniel Bernoulli qui affirme que la solution générale est de la forme :

 img_19

Cette solution fut immédiatement critiquée par Euler qui montre qu’une conséquence du résultat de D. Bernoulli serait que toute fonction serait représentable par une somme de la forme :

img_20

et que donc la solution proposée par D. Bernoulli manque de généralité. Une autre controverse très vive opposera D. Bernoulli à d’Alembert.

Plus tard Lagrange reprend avec ses propres méthodes le problème et les points de vue d’Euler, d’Alembert et D. Bernoulli, sans arriver, lui non plus, à surmonter toutes les difficultés. La situation n’est pas mûre, en particulier parce que le concept de fonction n’est pas encore clarifié.

On peut dire qu’on en reste là jusqu’en 1807 où Fourier présente à l’Académie des Sciences un mémoire sur la théorie de la chaleur. Dans ce mémoire il propose un théorème selon lequel toute fonction arbitraire peut être représentée par une série trigonométrique et exhibe, sous certaines conditions restrictives, les formules citées dans le paragraphe précédent. Ces résultats  furent accueillis par Lagrange avec « enthousiasme et incrédulité ». Un exposé plus précis et plus développé de cette question paraît en 1822, dans l’œuvre maîtresse de Fourier, la Théorie analytique de la chaleur.

 

Restait à préciser dans quel cas et de quelle façon la série de Fourier ainsi trouvée converge vers la fonction à approximer. Il paraît évident que Fourier avait là dessus une vision tout à fait correcte, mais il est vrai qu’il n’en a jamais publié une démonstration générale valable dans tous les cas. C’est en cela qu’au cours de la fin du XIXème siècle et au début du XXème, Fourier fut parfois considéré comme un mathématicien peu rigoureux, un mathématicien de seconde zone ! Réputation qu’il traînera jusqu’au milieu du XXème siècle !

 Cette question, nature de la convergence et conditions précises de convergence des séries de Fourier, fut repris d’abord par Poisson qui s’appuiera sur des travaux du mathématicien suédois Abel, puis par Cauchy. Mais il faudra attendre 1829 et le mathématicien allemand Lejeune-Dirichlet pour avoir la première démonstration rigoureuse des résultats de Fourier. Cette démonstration apparaîtra comme une véritable pierre de touche pour tout un développement important de la théorie des fonctions.

 La postérité contemporaine de Fourier fera l’objet d’un autre texte.

 

 

 

 

 

 

 

 

Fonctions périodiques

lundi, novembre 25th, 2013

  FONCTIONS PERIODIQUES

On peut accéder au texte pdf de cet article ici : FONCTIONS PERIODIQUES .

L’objet de ce texte est de rappeler succinctement quelques propriétés élémentaires des fonctions périodiques. Ces fonctions sont essentielles en particulier pour pouvoir accéder au développement d’une fonction périodiques en série de Fourier. Quitte à irriter quelques puristes on s’appuiera beaucoup sur les représentations graphiques et on évitera autant que faire se peut toute technicité inutile à une compréhension élémentaire de la situation.

On suppose connu la notion de fonction. Ici, sauf mention contraire, la variable sera désignée par la lettre t (sous-entendu : t est le temps). Ces fonctions peuvent être définies par une formule mathématique (Exemple : f(t) = + 5t -3) ou par la donnée d’un enregistrement numtérique ou graphique d’un phénomène physique (Exemple : ?(t)=température d’un patient enregistré en continu, C(t)=courbe du chômage,…).

Pour une bonne perception des choses on fera très souvent appel à la représentation graphique d’une fonction.

 img_02

 Définition d’une fonction périodique. 

On dit qu’une fonction f est périodique, de période P, si pour toute valeur de t on a f (t + P) = f (t)

Soit, graphiquement :

img_04  

On peut dire plus savamment que la courbe représentative de la fonction f est invariante par la translation de vecteur :P_ivect

–   img_vecteur i est le vecteur unitaire de l’axe des t.

La quantité h=1/P s’appelle la fréquence de f. C’est en quelque sorte le nombre de périodes par unité de temps. Ex : Si P = 0,2  alors h = 5 hertz (hertz est l’unité utilisée pour les fréquences)

Remarque 1 

Si f est périodique, de période P, f sera aussi périodique de périodes 2P, 3P, …., kP. ( P est souvent la « plus petite période »)

Remarque 2 

Dans la réalité beaucoup de fonctions ne sont connues ou utilisées que sur un intervalle  et ne sont donc pas périodiques. Afin de pouvoir appliquer à une telle fonction les outils relatifs aux fonctions périodiques, le mathématicien va la rendre périodique en la reproduisant « périodiquement par translation » comme on le voit sur la figure ci-dessous. La période sera alors P=b-a.

img_05b 

Sur la figure, la fonction n’était défini que sur l’intervalle [2;6]

Somme de deux fonctions périodiques 

Il est facile de voir que la somme de deux fonctions de même période P est encore une fonction de période P.

img_06

Sur la figure les deux fonctions bleue et rouge ont pour période 2. Leur somme, courbe vert gras, est elle-même de période 2.

 Si on est en présence de deux fonctions périodiques, l’une de période P, l’autre de période P‘ et si (cf remarque 1) P et P’ ont un multiple commun P*, alors leur somme est une fonction périodique de période P*.

 img_07b

La courbe bleu est de période 2, la rouge de période 3. La courbe vert gras « somme des deux courbes » bleue et rouge, est périodique de période 6, multiple commun de 2 et 3.

 Fonctions trigonométriques

Parmi les fonctions périodiques les plus fréquentes et les plus utiles figurent les fonctions trigonométriques sinus et cosinus. Peu importe ici leur définition mathématique. Rappelons simplement leurs représentations graphiques, sinus en rouge, cosinus en bleu.

 img_08

Elles sont toutes deux de périodes 2? et la courbe représentative de l’une se déduit de l’autre par une translation de vecteur :

img vecteur

 Dans la pratique on se sert plutôt de la forme : f(t)= sin 2?t      f(t)= cos 2?t 

Elles sont alors de période et de fréquence 1 et aussi de la forme : f(t) = sin ?t           f(t) = cos ?t

dont la période 2 ?/? peut s’adapter à toute valeur par un bon choix de ?

 

Un peu de musique: Fondamentale et harmoniques.

    Ce qui va suivre est tout à fait général mais, afin de fixer les idées, on va s’appuyer sur les sons musicaux pour mettre en place les notions de fondamentale, d’harmoniques, puis de spectre. 

    Lorsqu’on entend une même note, jouée avec la même intensité, sur une flûte, un saxophone ou un hautbois, on reconnaît chacun des instruments. La hauteur et l’intensité ne suffisent donc pas pour caractériser un tel son. La hauteur correspond à une vibration sinusoïdale appelée fondamentale. On appelle harmoniques de cette fondamentale les vibrations dont les fréquences sont multiples de la fréquence fondamentale. Lorsque un instrument joue une note fondamentale, différentes parties de l’instrument entrent en résonance plus ou moins fortes selon des vibrations harmoniques et c’est l’ensemble de la fondamentale et de ces harmoniques qui va donner le timbre qui caractérisera le son d’une flûte , par rapport à celui d’un saxophone ou d’un hautbois.. Un synthétiseur sait quelles sont les harmoniques caractéristiques de tel ou tel instrument et, modulo un réglage, saura reproduire « synthétiquement » le timbre de chacun d’eux. Pour figurer cela on utilise souvent le spectre de la vibration analysée. Ci-dessous deux spectres distincts de la même fondamentale de fréquence h. En abscisse sont alignés les harmoniques de cette fondamentale: 2h, 3h, 4h, 5h,… Chaque segment vertical est proportionnel à l’intensité avec laquelle cette harmonique intervient pour faire le timbre.. Les deux spectres sont différents et rendent donc compte de deux timbres différents.

img_15

On a fait là une toute petite intrusion dans ce qu’est l’analyse spectrale, partie essentielle de l’analyse de Fourier. On a aussi mis en place un certain nombre de notions qui vont nous permettre de comprendre le chapitre : Décomposition d’une fonction périodique en Série de Fourier.