Archive for the ‘travaux’ Category

Fourier climatologue

lundi, septembre 16th, 2019

Fourier climatologue

            A la fin du XVIIe siècle la question de l’âge de la Terre était à l’ordre du jour : il s’agissait alors de trancher qui de la Bible ou de la science avait raison.

Joseph Fourier a entrepris les études qui l’ont amené à écrire sa Théorie de la chaleur pour obtenir l’âge de la Terre par le calcul du refroidissement de la sphère terrestre (cette motivation initiale reste du domaine de spéculation puisque Fourier ne s’est pas explicitement exprimé dessus), mais il écrit dans son Mémoire sur la température du globe terrestre et des espaces planétaires (texte BibNum, p. 590) : La question des températures terrestres m’a toujours paru un des plus grands objets des études cosmologiques, et je l’avais principalement en vue en établissant la théorie mathématique de la chaleur.

Avec son texte de 1827, Fourier peut être considéré comme l’un des précurseurs de la climatologie actuelle.

Bahamas, paradis fiscal, enfer pour les habitants

 

 

 

 

 

 

 

Aujourd’hui, la question de la température de la Terre est revenue sur le devant de la scène avec le réchauffement climatique. Le rôle joué par l’atmosphère sur la température de la Terre a été étudié par Fourier qui a pensé trouver là une clef pour expliquer les difficultés d’application de la formule qu’il avait établie dans sa théorie de la Chaleur.

En matière scientifique, Joseph Fourier ne promulgue pas. Il décrit, établit, calcule, conclut. Sur un sujet aussi difficile que le climat, le commun des mortels peine à suivre une pensée qui se nourrit d’équations.

Le Mathouriste publie un article de synthèse concernant la chaleur de la Terre. Il faut saluer cette publication qui vulgarise dans le meilleur sens du terme. On y trouve, rapprochés des textes publiés à des dates différentes, l’explicitation de calculs, des images. L’équilibre entre mathématiques, citations « littéraires » et images (pour souffler un peu et éviter l’écueil d’une érudition trop aride) a été manifestement un souci de l’auteur. La partie « touristique » permet de découvrir quelques physiciens. L’explication sur la température des caves d’Auxerre est bienvenue. La conclusion citant Michel Serres s’impose.

L’œuvre de Fourier est resituée entre les travaux de ses prédécesseurs (Emilie du Châtelet, Buffon, Saussure), de ses contemporains (Lambert, Biot), de ses successeurs (Pouillet, Lord Kelvin, Darwin, Rutherford, Soddy…)

Fourier et le double vitrage

samedi, octobre 27th, 2018

Fourier et le double vitrage

       L’intérêt de multiplier les couches de verre en intercalant un espace vide était connu dès les Romains. Ils équipaient leurs thermes de fenêtres doubles. Entre le XVIe et le XIXe siècle, les progrès consistent à rendre les verres transparents de plus en plus solides. Il faut cependant attendre la fin du XIXe siècle pour qu’un même battant soit envisagé comme support d’un double vitrage.

En 1865, un inventeur new-yorkais, Thomas Stetson, dépose un brevet pour une fenêtre en Insulated glass (verre isolé). Il célèbre alors les qualités thermiques et phoniques de son invention, la lame d’air entre les vitres constituant un bien meilleur isolant que le verre. Il faut pourtant attendre 1930 pour que l’entreprise CD Haven produise de façon industrielle du double vitrage.    (d’après Système D)

Le double vitrage constitue un élément important de l’isolation des habitations et il est instructif de voir comment Joseph Fourier a traité la théorie qui sous-tend cette technique. Le principe est abordé à l’article 87 (section VI du chapitre I) de la Théorie de la chaleur (1822). Pour un non-mathématicien, la lecture de ce passage est une bonne introduction à l’œuvre : pas (encore) de recours aux équations aux dérivées partielles, juste des formules de physique assez élémentaires pour être comprises du bachelier moyen. Rappelons que la Théorie de la chaleur est constituée de 433 articles regroupés en neuf chapitres, eux-mêmes divisés en sections, qui traitent progressivement des différents aspects de la théorie envisagés par Joseph Fourier. Les séries, solutions des équations différentielles rendant compte du mouvement de la chaleur qui ont fondé la renommée de l’auteur, ne commencent à être traitées qu’à partir de l’article 104, au chapitre II de l’ouvrage.

Théorie de la Chaleur, § 87 (page 75 de l’édition conservée par Gallica)

« Si le même espace était échauffé par deux ou plusieurs foyers de différente espèce [1], ou si la première enceinte était elle-même contenue dans une seconde enceinte séparée de la première par une masse d’air, on déterminerait facilement aussi le degré de l’échauffement et les températures des surfaces.

En supposant qu’il y ait, outre le premier foyer s, une seconde surface échauffée p dont la température constante soit b, et la conducibilité extérieure j, on trouvera, en conservant toutes les autres dénominations, l’équation suivante :

m – n = [(a sg/S + b sj/S) (e/K + I/H + I/h)] / [I + ( sg/S + pj/S) (e/K + I/H + I/k)]

si l’on ne suppose qu’un seul foyer s, et si la première enceinte est elle-même contenue dans une seconde, on représentera par S’, h’, k’, H’, les éléments de la seconde enceinte qui correspondent à ceux de la première, que l’on désigne par S, h, k, H, et l’on trouvera, en nommant p la température de l’air qui environne la surface extérieure de la seconde enceinte, l’équation suivante :

m – p = [(a – n) P]/ (I + P)

La quantité P représente :

 s /S (g/h + ge/k + g/H)  +  s/S’ (g/h’ + ge’/k’ + g/H’)

on trouverait un résultat semblable si l’on supposait trois ou un plus grand nombre d’enceintes successives ; et l’on en conclut que ces enveloppes solides, séparées par l’air, concourent beaucoup à augmenter le degré de l’échauffement, quelque petite que soit leur épaisseur. »

 

[1] Cette formulation, un peu obscure prise isolément ici, est explicitée dans les articles précédents où l’on peut découvrir comment est étudiée l’hypothèse de plusieurs individus enfermés dans une pièce d’habitation et concourant à l’élévation de la température de la pièce.

Fourier reconnu dans le monde entier

jeudi, août 23rd, 2018

Fourier reconnu dans le monde entier

En Chine, Fourier à Shanghai :

Deux informations en provenance de Shanghai montrent l’intérêt que les Chinois portent aux travaux de Joseph Fourier :

a) la Shanghai Fourier Intelligence Co

En 2013, une société est créée portant, en son hommage, le nom de Fourier la Shanghai Fourier Intelligence Co elle s’est fait remarquer en 2017 et en 2018 en présentant deux prototypes de robots les Fourier X1 et Fourier M2 ; ces robots, des exosquelettes, sont destinés à palier le manque de thérapeutes pour la rééducation motrice, ils peuvent aussi s’avérer utiles pour aider les personnes atteintes de la maladie de Parkinson, de lésions neurologiques permanentes ou de handicaps cognitifs graves. Leur créateur, Alex Gu, vise non seulement à conquérir le marché Chinois, mais aussi à gagner des parts de marché aux Etats-Unis et en Europe.

Fourier X et Fourier M2

 

 

b) le prix Fudan-Zhongzhi Science 2018

Par ailleurs et indépendamment, Ingrid Daubechies, professeure de mathématiques et de génie électrique et informatique à l’Université James B. Duke, a reçu le prix Fudan-Zhongzhi Science 2018 pour sa contribution à la théorie des ondelettes, une amélioration des techniques de Fourier utilisée pour compresser photos et films numériques afin qu’ils occupent moins de kilo-octets sans perte sensible d’information.

Le prix est décerné pour son travail sur l’ondelette orthogonale de Daubechies et l’ondelette biorthogonale CDF (Cohen-Daubechies-Feauveau), ses contributions dans le développement de la théorie des ondelettes et l’analyse moderne en fréquences / temps ont fondamentalement changé le traitement de l’image et du signal. Sa contribution à la compression d’images, à la conversion analogique-numérique et aux algorithmes de seuillage pour les problèmes inverses a révolutionné l’analyse de données et le calcul scientifique.

Le Fudan-Zhongzhi Science Award a été créé conjointement par l’Université Fudan et le Zhongzhi Enterprise Group en 2015 pour récompenser les scientifiques du monde entier qui ont accompli des réalisations fondamentales et remarquables dans les domaines de la bio-médecine, de la physique et des mathématiques.

Madame Daubechies sera honorée lors d’une cérémonie le 16 décembre 2018 à Shanghai, en Chine. Elle recevra un certificat, un trophée et 3 millions de yuans (440 000 dollars) donnés par Zhongzhi Enterprise Group.

En Australie :

L’entreprise Fourier se développe en Australie depuis 1998 sous l’impulsion d’Adrian Sheedy.

En Allemagne, c’est la société Nielsen qui a tenu a présenter à la chancelière, Angela Merkel son F1 (pour Fourier one), matériel spécialité dans l’enregistrement d’électroencéphalogrammes sans fil à contacts secs.

« Le casque F1 a le potentiel de révolutionner l’expérience du patient et de fournir la technologie nécessaire pour la surveillance de la santé à domicile, car le F1 semble être aussi adapté pour lire l’EEG à la maison. Cela pourrait réduire les coûts et éviter un suivi hospitalier coûteux des patients suspectés d’avoir des convulsions ou qui ont besoin d’EEG pour d’autres troubles neurologiques », a déclaré le Dr Robert Knight, professeur de neuroscience à UC Berkeley et conseiller scientifique en chef chez Nielsen Consumer Neuroscience.

En Inde :

Fourier est présent aussi en Inde où Unacademy, la plus grosse plate-forme d’enseignement en ligne en Inde, multilingue, avec des intervenants internationaux de qualité et des ambitions bien au-delà de l’Inde, a mis en ligne en 2018, une petite animation, fort bien faite. Plutôt cool, non ?

En tapant ‘Fourier’ dans le moteur de recherche de ce site, plusieurs cours apparaissent (que nous n’avons pas testés).

 

En Israël

On trouve un site tout à la fois d’enseignement et d’applications industrielles qui se réclame de Joseph Fourier.

à suivre…  car  la liste n’est certainement pas exhaustive. Nous avons cru repérer une startup à Singapour, une autre (plus petite ?) en Californie et une (prometteuse) dans le monde hispanique… attendons de voir ce qu’elles deviennent. Il y a aussi une multinationale basée en Afrique du Sud, mais la filiation avec Fourier est incertaine.

La Planète rouge et Fourier

vendredi, novembre 28th, 2014

La Planète Rouge, l’étoile du berger

et Fourier

     Plusieurs sondes ont étudié et précisé l’étude de l’atmosphère de Mars qui est en majorité composée de dioxyde de carbone (95 %), de diazote (3 %) et d’argon (1,6 %), avec des traces de dioxygène, d’eau, et de méthane. La visite de la comète Siding Spring le 19 octobre 2014 à proximité de Mars a été historique. L’astre est passé tout près de la planète, à 139 500 km de sa surface, soit à un tiers de la distance Terre-Lune. Un évènement qui ne se produit qu’une fois par million d’années selon les spécialistes. Après son passage, les sondes dédiés à l’étude de Mars ont pu détecter des modifications d’une couche de l’atmosphère, l’ionosphère, composée de particules chargées électriquement.

Joseph Fourier se trouve associé à cet événement historique ; en effet : l’étude de la composition atmosphérique des planètes se fait par spectroscopie infrarouge à transformée de Fourier (FTIR) qui consiste à mesurer un signal obtenu à l’aide d’un interféromètre (donnant un interférogramme).

Pfs_im_nasa  Ainsi, pour la planète Vénus, avec le Planetary Fourier Spectrometer  (PFS) : Le spectre mesuré est alors obtenu par transformée de Fourier après récolte des données par le spectromètre (PFS) opérant dans les longueurs d’onde infrarouges, entre 0,9 et 45 µm et destiné à réaliser des sondages optiques verticaux de l’atmosphère de Vénus. Il réalise une surveillance globale, à long-terme et en trois dimensions du champ de température de la basse atmosphère (jusqu’à 100 km d’altitude). Il procède à la recherche de molécules atmosphériques éventuelles qui n’auraient pas encore été détectées, analyse les aérosols atmosphériques et les échanges entre l’atmosphère et la surface. Le modèle est basé sur un spectromètre de Mars Express, mais modifié pour accroître sa performance. Réalisé par l’Istituto fisica spazio interplanetario de Rome.

 

Nous pouvons résumer le principe de fonctionnement par le schéma suivant :

PFS_principe

Sources :

http://www.sciencesetavenir.fr/espace/20141110.OBS4597/la-comete-siding-spring-a-modifie-l-atmosphere-martienne.htm

http://live.fr.dbpedia.org/mediawiki/index.php/Venus_Express#Instrumentation

 

Plus précisément sur le PFS lui-même :

http://www.futura-sciences.com/magazines/espace/infos/dico/d/univers-pfs-4353/  (en français ; principes élémentaires)

et pour des informations plus complètes le rapport de stage de Samsophath Nhean :

http://webpages.lss.supelec.fr/perso/nicolas.gac/encadrements/Rapport_stage_Samsophath_Nhean_Avril_Aout_2011.pdf

Signalons encore quelques compléments en anglais pour satisfaire les curieux :

http://sci.esa.int/mars-express/31033-objectives/?fbodylongid=659

et

http://en.wikipedia.org/wiki/Planetary_Fourier_Spectrometer

 

 

 

Fourier et la maintenance industrielle

lundi, novembre 4th, 2013

Fourier et la maintenance industrielle

 Proximètre

Les méthodes de calcul introduites par Joseph Fourier sont remarquablement fécondes, nous avons déjà évoqué les applications à la compression d’image et de sons, à l’analyse spectrale… Ce billet se propose de présenter l’apport des méthodes de Fourier à l’industrie dans ce qu’elle a de plus traditionnel.

De nombreuses machines mettent en jeu des systèmes qui tournent (axes, roues, engrenages….). Dans les cas les plus simples, la détection des défauts de roulement est évidente et leur correction est une affaire de dextérité et d’un peu de savoir faire ; aucun de ceux qui se sont essayé à régler la tension des rayons d’une roue de bicyclette ne me démentira. Quand le système est plus complexe, la localisation des défauts est plus délicate et de le rendement de la machine dépend pour beaucoup de leur bonne correction.

Proximètre_02L’exemple ci-dessous est développé sur la page qui traite de la maintenance des systèmes mécaniques d’un site pédagogique tunisien. Nous renvoyons à ce site pour un exposé complet et détaillé des méthodes utilisées ; notre propos n’est ici que de montrer la fécondité des méthodes de calcul développées par Joseph Fourier dans un domaine fréquent en milieu industriel.

 

Voici, brièvement résumé la démarche exposée dans un document .pdf du site cité précédemment.

 

 

a) Un balourd génère un signal périodique qui peut être enregistré par un capteur :

001_balourd

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b) Plusieurs balourds génèrent un signal périodique complexe. La décomposition de en série de Fourier permet de mettre en évidence chacun des balourds.

003_signal type004_analyse

 

 

 

 

 

 

 

c) En pratique, on se trouve devant un signal vibratoire complexe. Cas d’un moto-compresseur.

002_signal complexe

01_motocompresseur

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Les vibrations réelles sont infiniment complexes, constituées d’un grand nombre de composantes d’origines multiples et modulées par un grand nombre de paramètres. Néanmoins, ces vibrations complexes peuvent se ramener a la superposition de composantes élémentaires purement sinusoïdales représentées chacune par leur amplitude Ai et leur fréquence Fi. La transformée de Fourier est un des outils utilisés a cet effet. Cette fonction mathématique réalise une transposition du signal de l’espace temporel vers l’espace fréquentiel. La représentation du signal obtenue est appelée un spectre en fréquences. La Transformée de Fourier est implémentée dans les analyseurs de spectres sous une forme appelée FFT (Fast Fourier Transform). Le spectre final contient l’ensemble des fréquences sinusoïdales (raies discrètes) constituant le signal vibratoire d’origine.

3. Définition d’un spectre

Un spectre est un graphe dans lequel sont représentées les amplitudes et les fréquences de toutes les composantes vibratoires élémentaires induites par le fonctionnement d’une machine. Chaque composante est représentée par un segment vertical appelé raie dont l’abscisse représente la fréquence et l’ordonnée, l’amplitude.

Notons que dans certains cas (raies confondues et dépassant largement du signal, …) nous ne parlons plus de raie, mais de pic.

4. Représentation graphique d’un spectre

Les spectres issus de signaux vibratoires réels sont très riches en raison du grand nombre de sources vibratoires présentes dans une machine. Par suite, les informations intéressantes dans le spectre ne correspondent pas forcement aux fréquences présentant des maxima d’amplitude. Des raies spectrales d’amplitude faibles au regard des autres peuvent être d’un intérêt de premier plan pour le diagnostic. Afin de pouvoir les visualiser, on utilise pour la représentation des spectres en fréquences une échelle logarithmique des amplitudes du signal. Ce type de représentation présente l’avantage de favoriser l’affichage des petites amplitudes et est donc recommande.  /…/

Le Cepstre est un outil mathématique qui permet la mise en évidence des périodicités dans un spectre en fréquence. Il résulte de la transformée de Fourier inverse d’un spectre de puissance. Le cepstre associe a une famille de raies harmoniques ou un ensemble de bandes latérales une raie unique dans sa représentation graphique. Il est utilise pour le diagnostic des phénomènes de chocs périodiques (desserrages, défauts de dentures, écaillage de roulements) et des phénomènes de modulation en fréquence ou en amplitude. La figure 4.11 montre le spectre d’un choc dû a une usure d’accouplement et le cepstre correspondant.

05_cepstre

 

 

 

 

 

 

Fourier et les cristallographes

samedi, janvier 19th, 2013

Fourier et les cristallographes

(2014, année internationale de la cristallographie)

 « L’ère de la complexité débute en 1811 avec les travaux de Fourier ». C’est Ilya Prigogine (1917-2003) prix Nobel en 1977 pour ses contributions à la thermo-dynamique hors équilibre, particulièrement la théorie des structures dissipatives, qui l’affirme comme le rappelle Eric Sartori dans « L’empire des Sciences – Napoléon et ses savants ».

La cristallographie moderne a été fondée par Max von Laue (1879-1960) qui reçu le prix Nobel en 1914 pour ses travaux sur la diffraction des rayons X par des cristaux et les Bragg (prix Nobel 1915). En 2011, Dan Shechtman (né en 1941) reçu le prix Nobel pour la découverte des quasi-cristaux.

             Le développement de la cristallographie doit beaucoup à Fourier et la technologie moderne doit beaucoup à la cristallographie. Pour l’illustrer, évoquons la découverte des quasi-cristaux cela nous permettra d’évoquer comment les cristallographes utilisent les travaux de Fourier. Les quasi-cristaux sont un des aspects de la cristallographie, ce n’est pas le seul qui soit intéressant .

         Le 8 avril 1982, Dan Shechtman, alors chercheur invité pour deux ans au National Bureau of Standards (NBS actuellement National Institute of Standards and Technology, NIST qui est présenté en français ici), découvre un alliage métallique dans lequel les atomes étaient assemblés dans un modèle qui ne pouvait pas être répété par translation, contrairement aux lois jusqu’alors admises de la nature (on connaissait cependant de nombreux objets à motifs icosaédriques dans la nature). Cette découverte appelée quasi-cristaux correspond « aux fascinantes mosaïques du monde arabe reproduites au niveau des atomes : une forme régulière qui ne se répète jamais ».

 Jusqu’à cette découverte, les scientifiques considéraient que dans un solide cristallin, les atomes devaient s’assembler avec un motif symétrique pouvant se répéter périodiquement afin de former un cristal. L’image apparue dans le microscope électronique du professeur Shechtman était si incroyable qu’elle a été longtemps combattue par l’establishment scientifique, souligne le comité Nobel. Cette découverte « très controversée » était considérée aussi « impossible que de fabriquer un ballon à l’aide uniquement de morceaux de forme hexagonale alors qu’il faut également des pentagones », explique le comité.

Le directeur de son laboratoire ira même jusqu’à lui tendre un manuel de cristallographie en lui suggérant de s’y plonger, se souvenait-il dans une interview avec son université de Haïfa. « J’ai répondu : ‘je n’ai pas besoin de le lire, je sais que c’est impossible, mais c’est bien là, devant moi’ », expliquait le chercheur, « ridiculisé et traité plus bas que terre » par ses collègues.

La découverte de Dan Shechtman se fonde sur l’observation de la diffraction par le cristal d’un faisceau de diffraction électronique. L’étude repose essentiellement sur des calculs faisant appel à la transformée de Fourier (TF).

 Les cours de cristallographie donnent quelques illustrations intéressantes de l’utilisation de ces techniques : en voici un de quelques pages (en pdf) proposé par l’université de Montréal au Québec qui est assez illustré pour éclairer le profane.

 La découverte de Dan Shechtman n’est pas tout de suite admise par ses collègues. De retour à Haifa, il élabore un premier modèle de verre icosahédrique avec son collègue Ilan Blech mais n’arrive pas à le faire publier. En 1984 de retour au NBS, son travail attire l’attention de John Cahn. En compagnie de Denis Gratias (chercheur au LEM/ONERA), ils s’assurent de la possibilité de l’existence d’une structure non-périodique mais présentant un ordre à longue distance. Avec Ilan Blech, ils rédigent l’article fondateur de la découverte des quasi-cristaux en se concentrant sur les faits expérimentaux. Outre ces quatre auteurs, l’article cite la contribution de Frank Biancaniello (pour la préparation de l’alliage) et Camden R. Hubbard (pour les expériences de diffraction X).

Depuis cette date, de très nombreuses études s’engagent pour mieux comprendre la structure des quasi-cristaux ainsi que leurs propriétés. En 1987, des chercheurs français et japonais confirment cette découverte et, en 2009, des quasi-cristaux sont même découverts dans la nature.

 2014 est déclarée l’année internationale de la cristallographie : une occasion de découvrir cette science dynamique sous tous ses aspects, ce que nous n’avons fait qu’effleurer ici.

Les cristallographes utilisent abondamment les méthodes de calcul introduites par Joseph Fourier. Pour approfondir le rapport entre Fourier et la cristallographie, le curieux pourra aussi, par exemple, prendre connaissance du cours de Sylvain Lafontaine.

 

Fourier et l’effet de serre

vendredi, octobre 12th, 2012

Fourier et l’effet de serre

          La question de l’âge de la Terre s’est imposée au milieu scientifique à la fin du XVIIIe siècle. Buffon lança le débat en développant ses vues sur les fossiles, l’érosion… l’église est restée ferme sur le décompte des années : de l’ordre de quelques milliers, mais sans tiquer quant à une évolution de la Terre en forme de refroidissement depuis le chaos originel jusqu’à nos jours.

1812

         Joseph Fourier aborde la question du refroidissement d’un point de vue mathématique en développant des méthodes de calcul toutes personnelles. Dès 1807 il est en mesure de rédiger un mémoire imposant : Théorie de la propagation de la chaleur dans les solides, dont il envoie copie à Biot et à Poisson, avant de le soumettre à l’Académie des Sciences. L’Académie refuse de porter un jugement sur la valeur de ce travail, mais fait du titre du mémoire l’intitulé du sujet pour le prix de l’année 1812.


En janvier 1812 après qu’il en a affiné la rédaction, le travail de Fourier est couronné. Dans son mémoire, Fourier établit la formule qui donne le temps pour passer d’une température initiale donnée à une température donnée :

Ici ? désigne le gradient de température en surface  et k  une constante physique (disons la conductivité du fer).

Il est probable que Fourier a pu vérifier la validité de sa théorie à l’aide du résultat des expériences menées par Buffon dans ses forges près de Montbard. Un point lui pose certainement question : sa théorie établit une formule qui permet de calculer l’âge de la Terre, mais même en adoptant les paramètres les plus extrêmes, il est impossible d’obtenir un résultat proche des moins de six mille ans acceptés par l’église et généralement admis, à l’époque, sans discussion par l’opinion. Nous ne savons rien de ses calculs, mais, même sans adopter des coefficients qui conduisent aux 4,5 milliards d’années actuellement retenus (avec l’apparition de la vie vers un milliard d’années), il dut aboutir à des résultats impossibles à faire admettre et qu’il préféra taire.

Fourier a cependant vraisemblablement partagé ses réflexions avec Arago ; en effet, dans l’éloge funèbre qu’il prononça après le décès de Fourier, Arago confessera : « …parmi les formules de Fourier, il en est une, destinée à donner la valeur du refroidissement séculaire du globe, et dans laquelle figure le nombre de siècles écoulés depuis l’origine de ce refroidissement. La question, si vivement controversée, de l’ancienneté de notre terre, même en y comprenant sa période d’incandescence, se trouve ainsi ramenée à une détermination thermométriques. Malheureusement ce point de théorie est sujet à des difficultés sérieuses. D’ailleurs la détermination thermométrique, à cause de son excessive petitesse serait réservée aux siècles à venir. »

Fourier a donc certainement ardemment cherché des biais qui lui auraient permis de raccourcir la durée théorique qu’il avait obtenue avec cette formule dont il ne mit pas en doute la validité.

(Pour découvrir les conditions de l’application numérique de la formule de Fourier, on pourra se  référer au compte-rendu de la conférence de Cédric Villani par France Caron.)

1824

      Ses réflexions conduisent Joseph Fourier à publier en 1824 un « Mémoire sur les températures du globe terrestre et des espaces planétaires ». Sans utiliser l’expression, Fourier y jette les bases de l’effet de serre, effet dont il est tant question de nos jours.

Pour une analyse scientifique plus complète et fine de ce mémoire, nous renvoyons à l’article que lui consacre Jean-Louis Dufresne dans le numéro 53, mai 2006, de la Météorologie. Pour nous ici, nous nous contenterons de mettre des éléments biographiques en regard les uns des autres pour souligner la cohérence des recherches de Joseph Fourier.

En effet, Joseph Fourier répugnait à polémiquer (c’est Arago qui nous le rapporte : « …autant il éprouvait de répugnance pour les discussions verbales. Fourier coupait court à tout débat, aussitôt qu’il pressentait une divergence d’avis un peu tranchée, sauf à reprendre plus tard le même sujet, avec la prétention modeste de faire un très petit pas chaque fois. »). Il ne s’aventura donc pas à dévoiler son sentiment profond quant à l’âge de la Terre à une opinion publique qui n’était pas prête à modifier sa façon de penser, cela le guida néanmoins ses réflexions, l’amenant à formuler une théorie qui est toujours, aujourd’hui, en 2012, l’objet d’études actives.

Philippe Carré, ondelettes

lundi, juin 18th, 2012

 

 

Dans l’introduction de son mémoire pour l’obtention de l’habilitation à diriger des recherches, présenté à l’Université de Poitiers, Philippe Carré, coordonnateur du projet ICONES fait le point de ses recherches qui exploitent les méthodes de Fourier adaptées au traitement de l’image. Le texte complet du mémoire de Philippe Carré est disponible en ligne.

Construction et analyse de transformées discrètes en ondelettes :

spécificité de l’image et de la couleur

par Philippe Carré

La problématique centrale de mes travaux est l’étude de méthodes de décomposition discrète Temps-échelle. Ils s’inscrivent pleinement dans l’équipe projet ICONES, en connexion avec les autres outils fondamentaux développés dans le premier axe de l’équipe (approche variationnelle et stochastique) et intègrent les modélisations physiques et psychovisuelles.

Je me suis concentré, dès mon intégration dans le laboratoire sur les décompositions atomiques discrètes reconstructibles définies dans le domaine général des ondelettes : discrètes car la conception de décomposition directement dans un espace discret permet d’obtenir un espace de représentation numérique qui possède de bonnes propriétés (orthogonalité si possible, stabilité, rapidité de calcul, etc) ; atomiques car la décomposition d’un signal numérique sous la forme d’une somme d’éléments de base autorise une reconstruction partielle d’une des composantes du signal et permet une description simple du contenu de l’information ; reconstructibles car la possibilité « d’inverser » la transformation ouvre le champ des applications possibles.

Toutes ces méthodes possèdent maintenant un cadre général et notamment la transformée en ondelettes standard (FWT) qui a connu un véritable succès ces vingt dernières années car elle offre une représentation fine des images naturelles pour un coût de calcul dérisoire. Cependant, il existe encore certaines limites. Tout d’abord les performances de la méthode 2-D sont limitées par la directionalité spatiale naïve des fonctions de bases, conséquence d’une construction séparable suivant l’horizontale et la verticale, ce qui ne permet pas une analyse directionnelle. Ensuite la transformée FWT 2-D standard échoue dans la construction d’une représentation efficace d’éléments géométriques 2-D (comme les contours) de l’image.

Afin d’obtenir une représentation efficace des informations présentes dans l’image, il faut que les fonctions de base soient directionnelles et/ou prennent en compte l’aspect géométrique des structures. De plus la généralisation de ces transformées à des signaux à valeurs vectorielles, extension autre que par une simple stratégie marginale, reste une question ouverte. Les approches variationnelles ont depuis longtemps montré les défauts d’une stratégie marginale dans le cadre de la couleur avec la création de fausses couleurs, la suppression de détails « colorés » ou tout simplement une représentation incomplète de l’information. Cette question va au-delà de la décomposition en ondelettes puisque très peu d’outils classiques du signal sont définis avec précision pour les images couleur.

C’est à toutes ces questions que j’ai tenté d’apporter des éléments de réponse durant mes dix années de recherche en tant que Maître de Conférences à travers les thèses que j’ai co-encadrées et les projets que j’ai animés ou auxquels j’ai participé. L’objectif recherché est une représentation liée à une structure de données sous forme de primitives (si possible non redondantes), facilement calculable par un algorithme, telle que l’ensemble de ces primitives permettent la reconstruction de la donnée d’origine. Il faut par ailleurs que l’on puisse ordonner ces primitives (notion de reconstruction partielle) et que l’on puisse donner un sens à ces primitives (étape de compréhension de la donnée). Dans ce cadre, mon travail va se découper suivant trois axes de recherche et un axe applicatif fort. Je les décris succinctement ci-dessous.

Approche géométrique. Dans un premier temps, nous avons étudié un outil qui permet la représentation d’images d’une manière optimale (au sens des ruptures linéaires) : la transformée Ridgelet. Cette transformée construit une représentation qui code efficacement les discontinuités linéaires 2-D comme par exemple les contours. A ce titre, elle s’inscrit bien dans la classe des analyses multirésolution géométriques. Cette nouvelle transformée s’est développée ces dernières années à travers la restauration des images. Grâce à une collaboration avec les chercheurs en géométrie discrète du département XLIM-SIC nous avons proposé une transformée Ridgelet/Curvelets paramétrable, rapide et inversible, obtenant des résultats en termes de restauration de données 2-D très satisfaisant, notamment en vidéo. De plus, la simplicité et la rigueur dans la définition apportée par la géométrie discrète nous a permis d’étendre ce travail à toute dimension en collaboration avec un jeune collègue D. Helbert. Au delà de la transformée Ridgelet, ce processus de représentation nous permet de manipuler l’image à travers des projections 1-D et comme nous le verrons, nous trouvons différentes intersections avec d’autres approches, notamment la transformée de Riesz.

Suivant ce même but, à savoir capter la géométrie pour adapter la transformée, nous avons proposé dans le cadre d’un partenariat avec France Telecom R&D (maintenant OrangeLab) (S. Pateux) une représentation en ondelettes géodésiques qui se propose d’introduire une modélisation de la topologie dans un schéma numérique de calcul du type Lifting Scheme. Comme nous le verrons, ce schéma original très souple nous permet d’intégrer de nombreuses informations complémentaires. Il s’appuie sur la construction d’un graphe qui doit capter l’organisation structurelle de l’image à traiter. De ce graphe, une distance entre chaque pixel de l’image est estimée et introduite dans l’algorithme de décomposition.

Ces deux points ont notamment été traités à travers une thèse que j’ai co-encadrée, ayant pour objectif une représentation optimisée des images (G. Lebrun 2009). La géométrie détectée a aussi permis de contrôler les processus de diffusion liés aux approches par Equations aux Dérivés Partielles. Ceci a fait l’objet de la thèse de A. Maalouf (2008), et a été le fruit d’une collaboration avec un collègue de XLIM-SIC, B. Augereau.

Couleur et MultiCanaux. Comme nous l’avons mentionné, l’intégration de la « dimension » couleur est peu prise en compte actuellement dans les algorithmes modernes d’analyse Espace-Echelle (si ce n’est par une approche marginale). Mais plus généralement cette prise en compte de la dimension vectorielle des données est absente de tous les outils élémentaires issus du signal : la définition d’une transformée de Fourier couleur reste par exemple un sujet ouvert. L’objet de ce second axe a été d’examiner des approches plus globales pour l’extension des briques élémentaires issus du signal dans le cadre des images couleur.

Suivant cette idée, j’ai débuté dès 2001 une étude concernant l’utilisation des quaternions. Cette recherche a concerné la redéfinition des traitements classiques couleur en termes quaternionique, comme le filtrage, la modification des caractéristiques couleur … . Ceci a fait l’objet de la thèse de P. Denis (2007), notamment à travers la redéfinition des manipulations couleur avec un formalisme lié à l’algèbre géométrique. Notons que l’utilisation des quaternions/ondelettes complexes en imagerie couleur constitue actuellement un sujet de recherche très ouvert qui répond aussi aux questions de directionalités.

Approche orientée et notion de phase. Un dernier aspect absent de l’approche classique de la transformée en ondelettes est l’adéquation entre le système visuel humain (SVH) et l’espace transformée. Le simple découpage horizontal, vertical et selon les deux diagonales, lié à l’approche classique, n’est pas suffisant à la fois en termes de description du signal mais aussi par rapport à ce que l’on connaît du système visuel humain. L’objectif serait de définir une représentation associée à des directions d’analyse plus adaptatives, invariante soit à la translation soit à la rotation. Dans le cadre des analyses directionnelles, la transformée en ondelettes complexes suivant l’arbre dual constitue une réponse possible. A partir de ces travaux, nous étudions une approche alternative reposant sur les travaux de Bulow et al. et Choi et al. sur le signal analytique 2-D à partir des nombres quaternioniques. Ce travail permet de mettre en place une transformée en ondelettes quaternioniques pour la compression et la classification plus en accord avec l’aspect SVH et introduisant une nouvelle information : une notion de phase. La généralisation de ce travail nous mène à la définition d’une ondelette monogénique qui peut être considérée comme l’une des décompositions les plus abouties en termes d’information signal. Nous décrirons les nombreuses questions qui restent ouvertes, et la première d’entre-elles concerne l’interprétation des informations et l’intégration de la couleur. L’objectif est de construire une information traduisant la notion de phase, si importante dans l’analyse de signaux 1-D. Ce travail est aussi un élément important de la proposition du nouveau codeur dans le cadre de l’ANR CAIMAN en collaboration avec Thalès et le sujet de thèse de R. Soulard (thèse en cours, débutée en 2009).

Les algorithmes numériques temps-échelle offrent de nombreuses solutions dans différentes problématiques. De ce fait, des collaborations ou des transferts de technologie ont été initiés et je privilégie la mise en place ou le renforcement de collaborations transversales avec des chercheurs d’autres domaines. Je me suis aussi efforcé de mener une activité contractuelle importante à travers le montage et la gestion de contrats important de recherche. Ces activités me permettent d’éprouver ma recherche dans le cadre de problématique à forte contrainte mais aussi de la valoriser à travers des brevets. Enfin cette activité contractuelle m’a permis d’obtenir le financement de nombreuses thèses (3 sur la période évaluée). L’un des exemples les plus significatifs concerne le tatouage et plus généralement la sécurité. Ceci constitue mon dernier axe de recherche.

Sécurité Depuis plusieurs années maintenant, j’ai développé un travail sur la protection électronique des images et vidéos, qui a donné lieu à deux brevets sur le tatouage basé ondelettes, et intégrant des données psychovisuelles de perception des couleurs. Cette étude a nécessité une réflexion sur la meilleure stratégie possible pour modifier des coefficients d’ondelettes mais aussi le moyen de rendre le schéma robuste aux transformations géométriques de type rotation ou changement d’échelle. Nous avons pour cela étudié les descripteurs SIFT et notamment leur robustesse face aux transformations numériques. L’objectif visé est l’intégration de différentes familles de code correcteur d’erreur afin d’améliorer la robustesse de notre stratégie de tatouage.

Au final, tous ces travaux ont le même objectif : la définition d’une représentation numérique performante en ondelettes pour l’analyse d’images couleur.

Le plan de ce mémoire se structure selon les axes décrits ci-dessus. Nous profiterons du premier chapitre pour rappeler certaines transformées X-LET afin d’illustrer différentes recherches actuelles sur la représentation adaptée d’images. Ensuite ce chapitre se focalisera sur nos apports en ce qui concerne la prise en compte de la géométrie des images. Nous décrirons notre transformée Ridgelet construite à partir de la géométrie discrète et nous analyserons en détail ses différences et avantages par rapport à l’approche de référence de Stanford. Puis nous décrirons notre proposition de modélisation des données sous forme de graphes pour intégrer la topologie et la couleur dans la transformée. Nous verrons que cette approche, à travers sa souplesse, ouvre de nombreuses perspectives.

Le second chapitre présentera en détail l’apport des formalismes que sont les quaternions et les algèbres de Clifford dans la manipulation des images couleur. Ce mode de codage, qui n’a été étudié que très récemment, permet de manipuler les couleurs en utilisant des opérations algèbriques. Dans ce cadre nous décrirons tout d’abord l’utilisation du formalisme des quaternions associé aux images couleur introduit par Sangwine il y a une dizaine d’années. Ensuite, nous détaillerons comment poursuivre cette approche dans le cadre plus général des algèbres de Clifford (dites aussi algèbres géométriques). Ce formalisme est illustré à travers la description d’une nouvelle approche spatiale de détection de ruptures couleur généralisant celle définie avec les quaternions. Enfin, dans la dernière partie de ce chapitre, nous discuterons de nouvelles définitions de la transformée de Fourier, adaptées aux images couleur.

Dans le troisième chapitre, nous aborderons nos travaux de recherche et d’encadrement les plus récents concernant les décompositions multiéchelles. Ils se situent à l’intersection des deux chapitres précédents. L’objectif est à nouveau de définir de nouvelles transformée en ondelettes qui vont s’efforcer de capter au mieux l’information 2-D cette fois, non pas à travers une lecture géométrique mais plutôt à travers l’extension rigoureuse 2-D d’outils venant du signal, notamment le signal analytique et le concept de phase. A travers nos travaux concernant la transformée en ondelettes quaternionique (QWT), nous montrerons que ces outils, qui restent confinés dans une petite communauté, peuvent fournir des réponses applicatives grâce à la qualité de la représentation, par exemple dans le cas d’un codeur QWT.

Pour finir ce mémoire, je propose de décrire mes travaux menés dans le cadre de la sécurité des données Multimédia. L’objectif initial était d’étudier les possibilités offertes en termes de Tatouage d’image par l’utilisation des décompositions en ondelettes et la prise en compte de la dimension Couleur. Ensuite nous montrerons comment ce travail s’est poursuivi à travers différentes évolutions. Tout d’abord nous décrirons nos propositions afin de rendre l’algorithme robuste à certaines attaques géométriques, puis nous étudierons l’intégration de différentes familles de codes afin d’augmenter la robustesse de notre schéma.

Enfin, je conclurai ce mémoire en reprenant les différentes propositions de recherche faites pour les années à venir.

Une idée des contenus

Prise en compte de la géométrie dans les transformées en ondelettes

La transformée de Fourier :

La transformée en ondelettes, Analyse multirésolution 2D, Ondelettes et bancs de filtres, Singularités et ondelettes

X-lets et autres, Transformée géométrique à fonctions d’analyses fixes, Transformées adaptatives

Transformée géométrique :

Principe, Définition de la transformée Ridgelet, La transformée de Radon,

-L’aspect discret de la transformée Ridgelet, Principe, La transformée de Radon discrète, Inversion de la transformée Radon discrète, Transformée de Radon dans le cadre de la Fast Slant Stack, La reconstruction dans le cadre de la Fast Slant Stack

-La stratégie de Poitiers : la transformée Ridgelet analytique ou ou DART, Définitions des droites discrètes 2-D, Stratégie de calcul de la transformée de Radon discrète, Inversion de la transformée de Radon analytique discrète, Illustration de la transformée de Radon analytique discrète

-Transformée Ridgelet et applications ; Calcul de la transformée DART, Applications de la transformée Ridgelet 2-D dans la restauration d’images

Evolution de la DART ; Transformée locale, Vers une transformée Curvelet, DART 3-D

Une transformée en ondelettes géodésiques

Filtrage bilatéral et extension à travers la distance géodésique ; Présentation du filtrage bilatéral, Introduction de la notion de variété, Généralisation du filtrage bilatéral

Notion de distance géodésique en traitement d’images

Extraction de la topologie ; Principe, Graphe des k plus proches voisins, Construction du graphe non orienté, Recherche du plus court chemin et extraction de la distance géodésique

Filtrage bilatéral géodésique

Transformée en ondelettes 2-D géodésiques ; Lifting scheme, Décimation par treillis quinconces, Introduction de la distance géodésique

Analyse de la transformée géodésique

Application à la restauration d’image ; Introduction de redondance, Application de la transformée géodésique au débruitage

Intégration de la couleur

Prise en compte de la couleur dans les outils issus du traitement du signal

Définitions, éléments de base et premières manipulations couleur

L’algèbre des quaternions

Manipuler des couleurs à l’aide des Quaternions, Transformations de R3, Quaternions et images couleur, La forme de Cayley-Dickson, Modification couleur à partir des quaternions

Les algèbres de Clifford ; Définition et construction, Un contexte calculatoire

Algèbres géométriques pour les images couleur ; Teinte, saturation et intensité à partir d’un vecteur couleur, Opérations sur les caractéristiques couleur

Filtrage quaternionique et cliffordien : application à la détection de contours couleur

Convolution

Les filtres quaternioniques et leurs extensions pour la détection de contours couleur

Extension de l’opérateur de Sangwine par des opérations géométriques

Les transformées de Fourier couleur

Analyse spatio-chromatique d’images couleur, La transformée de Fourier spatio-chromatique, Notion de chemin couleur

Transformées de Fourier quaternioniques ; Définition numérique de l’espace de Fourier quaternionique, Interprétation du spectre quaternionique, Applications de Fourier quaternionique

Approche fréquentielle par algèbres de Clifford pour les images couleur ; G2 et images couleur, G3 et images couleur, Une transformée de Fourier couleur utilisant G4

Ondelettes analytiques

Signal analytique et ses extensions

Rappel sur le signal analytique 1-D ; Lien avec l’analyse de fonction, Interprétation géométrique du signal analytique

Extension de la notion de signal analytique aux images en niveaux de gris

Extension de la notion de signal analytique par transformée de Fourier quaternionique ; Transformée de Fourier Quaternionique pour les images niveaux de gris, Le signal analytique quaternionique 2D

ondelettes Complexes

Principe

Déploiement numérique des ondelettes complexes

Extension 2D : Dual-Tree 2D

Ondelettes quaternioniques

Principe

Expression numérique de la QWT

Information associée à la QWT

Estimation de flot optique par QWT

L’analyse de textures par QWT

Existant sur la discrimination quaternionique

Utilisation des mesures de norme et de phase de la QWT

Utilisation de la QWT pour la classification de textures : mesures

Codage d’image par QWT

Principe général du codeur

Quantification

Organisation du flux en fonction du canal

Discussion sur la transformée QWT

Les perspectives : Ondelettes monogéniques couleur

Transformée de Riesz

Le signal monogène

Ondelettes Monogéniques

Introduction de la dimension couleur

Monogénique, Radon et Ridgelet

Sécurité

Tatouage vectoriel ; Introduction au tatouage d’images, Définition générale de l’algorithme vectoriel basé ondelettes, Insertion de la marque, Détection

Détection non-décimée

Définition du seuil d’acceptation, Calcul de la probabilité de fausse alarme, Mise en place du seuil en fonction de Pf ., Évolution avec la détection non-décimée

Mesures de robustesse de l’algorithme vectoriel basé ondelettes ; Mesure de fausse détection, Robustesse aux différentes attaques

Résistance aux attaques géométriques

Attaques géométriques provoquant une translation, Solution de la littérature contre les attaques par rotation et changement d’échelle, Evolution de la méthode de tatouage vectorielle,

Les détecteurs de points d’intérêt ; Différents détecteurs mono-échelle, Détections des points d’intérêt multi-échelles

Description du voisinage des points d’intérêt, Le Jet Local, Le descripteur SIFT

Intégration de la mesure SIFT dans le cadre du tatouage

Augmentation de la robustesse par utilisation des codes correcteurs

Construction de la marque à partir de la signature : introduction des codes

Mesure de la robustesse du tatouage avec les codes correcteurs ; Compression JPEG, Bruit blanc Gaussien additif, Attaque par filtrage passe-bas, Attaque par modification de la teinte, Attaque par modification de la Saturation, Attaque par modification de l’intensité

Perspective : la stéga-analyse par métriques de qualité

Conclusion et perspectives

Annexes :

Annexe : bancs de filtres quaternioniques

L’existant sur les ondelettes quaternioniques

Opération de filtrage : produit de convolution

Définition du sous-échantillonnage

Définition du sur-échantillonnage

Banc de filtres quaternionique à reconstruction parfaite

Un exemple : le banc de filtres quaternioniques de Shannon

Annexe : Image de Test pour les techniques de tatouage

 

 

 

Journée Fourier 2012 à Auxerre

mardi, juin 12th, 2012

22 juin 2012

Le 22 juin 2012, le Centre de culture scientifique technique et industrielle de Bourgogne (CCSTIB) clôture un colloque consacré à Fourier par sa troisième journée grand public. En effet, cette journée du 22 juin, ouverte au public, clôturera en fait un autre évènement : le colloque de l’École Analyse multirésolution pour l’image, organisé par les laboratoires L2EI et LIRIS qui se tient sur plusieurs jours, réservé à des professionnels. Cependant, les Journées Fourier, elles, sont toujours ouvertes au grand-public et aux scolaires. Lors de cette manifestation ont été présentés les kakemonos de l’exposition consacrée à Joseph Fourier qui doit tourner dans les lycées de la région.

La Journée Fourier s’est terminée par le lancement du projet de souscription nationale Joseph Fourier, impulsée par le  CCSTIB,  qui a pour dessein de rendre hommage au plus illustre des Auxerrois ainsi qu’à ses travaux et son héritage (un centre de ressources utilisant les résultats de recherche est d’ailleurs envisagé).

La Société Joseph Fourier d’Auxerre est heureuse de pouvoir relayer l’information par le document lié auquel est joint un bulletin d’inscription.

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Programme du colloque de l’École Analyse multirésolution pour l’image

Mercredi 20 juin 2012 :

  • Analyse multirésolution et ondelettes:

Analyse multirésolution de première génération ; F. Truchetet

Ondelettes complexes et monogène ; P. Carré

  • Nouvelles générations d’analyses: 

Représentation parcimonieuses adaptatives: bandlets, triangulations anisotropes, et apprentissage de dictionnaire ; G. Peyré

Géométrie, parcimonie et séparation ; J. Fadili

Jeudi 21 juin 2012 :

  • Des applications variées :

Débruitage, déconvolution et problèmes inverses ; C. Chaux

Estimateurs statistiques et décompositions directionnelles ; L. Duval

Analyse multirésolution et maillages ; S. Valette

  • Compression :

Compression des images ; M. Antonini

JPEG2000 et autres dimensions liées aux standards de compression ; F. Dufaux

Vendredi 22 juin 2012 :

  • Perspectives :

Vers le traitement et l’approximation des données en grandes dimensions ; A. Cohen

Analyse multifractale des images ; S. Jaffard

  • Après-midi : Spécial Joseph Fourier (ouvert à tout public)

Approche simpliste des séries de Fourier

lundi, juin 4th, 2012

SÉRIES DE FOURIER

(une approche simple et pratique)

utilisation d’un simulateur

Quelle est la problématique des séries de Fourier ? Il s’agit de décomposer une fonction périodique de période T (et donc de fréquence  N = 1/T) en une somme des fonctions trigonométriques (c’est à dire des sinus et des cosinus) de fréquences N, 2N, 3N, …. En se référant au vocabulaire de l’acoustique, N est dite la fréquence fondamentale, 2N, 3N, 4N,… sont les harmoniques de cette fréquence fondamentale, chacune des harmoniques intervenant avec une intensité donnée. On appelle spectre de la fonction initiale, la suite formée par ces intensités d’harmoniques.

 Ce problème avait déjà été abordé dès le milieu du XVIIIème siècle par Daniel BERNOULLI, EULER, LAGRANGE et D’ALEMBERT, dans le cadre de l’étude des cordes vibrantes.. Mais il revient à FOURIER d’avoir vu là un outil tout à fait général qui sera ensuite amélioré et approfondi tout au long du XIXème et XXème siècle.

Sans rentrer dans des questions mathématiques plus délicates (on pourra consulter pour cela des ouvrages classiques d’analyse ou des dizaines de sites Internet) prenons un exemple très simple, voire caricatural.

Soit la fonction périodique de période 2, définie sur l’intervalle [-?, ?] par y = x/2.

en voici sa représentation graphique :

 

Le début de sa série de Fourier (les trois premiers termes) est:

 y = sin x –(1/2) sin 2x + (1/3) sin 3x

 où sin x correspond à la fondamentale et les deux termes suivants aux deux premières harmoniques, la première d’intensité -1/2, la seconde d’intensité 1/3. Il n’y a pas de termes en cosinus; Le début du spectre de cette fonction est donc :

 0; 1; 0; -1/2; 0; 1/3;…

(La présence des 0 signalant l’absence des termes en cosinus)

Les représentations graphiques superposées de la fonction initiale et du début de sa série de Fourier montre déjà une assez bonne approximation de la première par la seconde.


 

Deux remarques:

1°) Si au lieu de prendre les 3 premiers termes de la série de Fourier de notre fonction, nous avions pris les 5, les 10, les 20 premiers termes, nous aurions une approximation de plus en plus précise de la fonction (approximation étant ici à prendre dans un sens complètement intuitif)

 2°) Evidemment on peut se poser la question de savoir comment on trouve les coefficients qui forment le spectre. Les formules générales qui permettent de les calculer sont nettement plus techniques et sortent du cadre de cette approche très sommaire, sans outillage mathématique très élaboré.

a) La simulation proposée par le PhET

[Initialement le  projet s’est focalisé sur les simulations physiques, et a donc été nommé le projet *Ph*ysics *E*ducation *T*echnology, ou *PhET*. Lorsqu’il a bifurqué vers la chimie, la biologie, les mathématiques et autres domaines, il fut décidé de garder le nom de *PhET *, mais de ne plus le décrire comme un acronyme.]

 L’Université du Colorado propose dans le cadre du projet PhET des simulateurs de phénomènes physiques interactifs. Parmi de nombreuses simulations qui intéresseront à la fois les professeurs de sciences physiques, de chimie, de biologie, de mathématique, on trouve une simulation qui permet de manipuler les séries de Fourier et de créer des ondes à partir des harmoniques. Les concepteurs de la simulation lancent une invitation à l’internaute : « Apprenez à faire des ondes de toutes les formes différentes en ajoutant des sinus ou des cosinus. Faire des ondes dans l’espace et le temps et mesurer leurs longueurs d’onde et leurs périodes. Voyez comment changer les amplitudes des différentes harmoniques changent les ondes. Comparer les différentes expressions mathématiques de vos ondes. »

 Le module consacré spécifiquement aux séries de Fourier d’un volume de 1 368 Ko peut être exécuté en ligne ou se télécharger pour être exécuté hors connexion.

 Voici une capture d’écran correspondant aux données ci-dessus introduites dans le simulateur (cliquez sur l’image pour agrandir) :

 

b) La simulation proposée par l’Université de Nantes :

Pour les lecteurs français, adeptes du marché de proximité, nous les invitons à se rendre sur le site de l’université des sciences de Nantes qui développe un projet similaire à l’Université du Colorado et propose des simulations-expérimentations à partir de phénomènes physiques.

On y trouve ainsi une animation centrée sur les séries de Fourier dont nous proposons aussi ci-dessous une capture d’écran.