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Approche simpliste des séries de Fourier

Lundi, juin 4th, 2012

SÉRIES DE FOURIER

(une approche simple et pratique)

utilisation d’un simulateur

Quelle est la problématique des séries de Fourier ? Il s’agit de décomposer une fonction périodique de période T (et donc de fréquence  N = 1/T) en une somme des fonctions trigonométriques (c’est à dire des sinus et des cosinus) de fréquences N, 2N, 3N, …. En se référant au vocabulaire de l’acoustique, N est dite la fréquence fondamentale, 2N, 3N, 4N,… sont les harmoniques de cette fréquence fondamentale, chacune des harmoniques intervenant avec une intensité donnée. On appelle spectre de la fonction initiale, la suite formée par ces intensités d’harmoniques.

 Ce problème avait déjà été abordé dès le milieu du XVIIIème siècle par Daniel BERNOULLI, EULER, LAGRANGE et D’ALEMBERT, dans le cadre de l’étude des cordes vibrantes.. Mais il revient à FOURIER d’avoir vu là un outil tout à fait général qui sera ensuite amélioré et approfondi tout au long du XIXème et XXème siècle.

Sans rentrer dans des questions mathématiques plus délicates (on pourra consulter pour cela des ouvrages classiques d’analyse ou des dizaines de sites Internet) prenons un exemple très simple, voire caricatural.

Soit la fonction périodique de période 2, définie sur l’intervalle [-?, ?] par y = x/2.

en voici sa représentation graphique :

 

Le début de sa série de Fourier (les trois premiers termes) est:

 y = sin x –(1/2) sin 2x + (1/3) sin 3x

 où sin x correspond à la fondamentale et les deux termes suivants aux deux premières harmoniques, la première d’intensité -1/2, la seconde d’intensité 1/3. Il n’y a pas de termes en cosinus; Le début du spectre de cette fonction est donc :

 0; 1; 0; -1/2; 0; 1/3;…

(La présence des 0 signalant l’absence des termes en cosinus)

Les représentations graphiques superposées de la fonction initiale et du début de sa série de Fourier montre déjà une assez bonne approximation de la première par la seconde.


 

Deux remarques:

1°) Si au lieu de prendre les 3 premiers termes de la série de Fourier de notre fonction, nous avions pris les 5, les 10, les 20 premiers termes, nous aurions une approximation de plus en plus précise de la fonction (approximation étant ici à prendre dans un sens complètement intuitif)

 2°) Evidemment on peut se poser la question de savoir comment on trouve les coefficients qui forment le spectre. Les formules générales qui permettent de les calculer sont nettement plus techniques et sortent du cadre de cette approche très sommaire, sans outillage mathématique très élaboré.

a) La simulation proposée par le PhET

[Initialement le  projet s’est focalisé sur les simulations physiques, et a donc été nommé le projet *Ph*ysics *E*ducation *T*echnology, ou *PhET*. Lorsqu’il a bifurqué vers la chimie, la biologie, les mathématiques et autres domaines, il fut décidé de garder le nom de *PhET *, mais de ne plus le décrire comme un acronyme.]

 L’Université du Colorado propose dans le cadre du projet PhET des simulateurs de phénomènes physiques interactifs. Parmi de nombreuses simulations qui intéresseront à la fois les professeurs de sciences physiques, de chimie, de biologie, de mathématique, on trouve une simulation qui permet de manipuler les séries de Fourier et de créer des ondes à partir des harmoniques. Les concepteurs de la simulation lancent une invitation à l’internaute : « Apprenez à faire des ondes de toutes les formes différentes en ajoutant des sinus ou des cosinus. Faire des ondes dans l’espace et le temps et mesurer leurs longueurs d’onde et leurs périodes. Voyez comment changer les amplitudes des différentes harmoniques changent les ondes. Comparer les différentes expressions mathématiques de vos ondes. »

 Le module consacré spécifiquement aux séries de Fourier d’un volume de 1 368 Ko peut être exécuté en ligne ou se télécharger pour être exécuté hors connexion.

 Voici une capture d’écran correspondant aux données ci-dessus introduites dans le simulateur (cliquez sur l’image pour agrandir) :

 

b) La simulation proposée par l’Université de Nantes :

Pour les lecteurs français, adeptes du marché de proximité, nous les invitons à se rendre sur le site de l’université des sciences de Nantes qui développe un projet similaire à l’Université du Colorado et propose des simulations-expérimentations à partir de phénomènes physiques.

On y trouve ainsi une animation centrée sur les séries de Fourier dont nous proposons aussi ci-dessous une capture d’écran.