Coup de pouce ?

J’ai participé aujourd’hui à une journée d’échange sur les nouveaux programmes de mathématiques du lycée. Un temps y a été consacré à ce que l’on peut appeler la « résolution de problème ». Une liste de six problèmes a été distribuée avec comme consigne de les analyser en termes de contenu mathématique, d’automatismes à travailler en amont, de différenciation des approches et en termes de coup de pouce. C’est sur ce dernier point que je voudrais revenir.

Voici l’énoncé proposé.

Extrait de la série d’exercices proposée par Philippe Déhais (Lycée Schuman, le Havre)

Je ne peux m’empêcher d’en modifier la question. Où placer le triangle ABC pour que C appartienne à la courbe représentative de la fonction racine carrée ? Les abscisses des points A et B sont des réponses qui peuvent venir de questions que se poseront les élèves eux-mêmes… Mais c’est de « coup de pouce qu’il est question » dans cet article et pas de la façon de poser un problème.

Je préférerais parler de « relance » pour des raisons que je vais préciser ici. Il ne s’agit pas simplement de vocabulaire mais de quelque chose de plus significatif qui a un impact direct sur le travail mathématique des élèves.

Voici un coup de pouce que proposait une collègue de l’assemblée :

Quelle est la hauteur d’un triangle équilatéral de côté a ?

C’est un intermédiaire important, c’est certain. La réponse à cette question va-t-elle aider les élèves ? Oui, dans certains cas, non dans d’autres mais là n’est pas la question. Le fait de dévoiler que c’est la hauteur du triangle qui est en jeu tue à proprement parler la tâche. N’est-ce pas aux élèves de trouver que c’est la hauteur du triangle qui détermine sa position sur l’axe des abscisses. N’est-ce pas là la part la plus intéressante de recherche ? Les élèves ne sont-ils pas capables de se poser cette question eux-mêmes ? Ce n’est pas évident, alors comment les relancer  ? Voyons cela, la nature de la figure proposée a-t-elle un intérêt particulier ? Peut-on en proposer une autre ? Oui, proposons aux élèves de remplacer le triangle équilatéral de côté 1 par un carré de côté 1 puis par un rectangle de 3 sur 2 à placer dans un sens puis dans l’autre, bref de faire varier les figures et de regarder les invariants.

Le carré de côté 1, facile !
Le rectangle 3×2 dans un sens. Que se passe-t-il si on le redresse ?

Ainsi les élèves devront comprendre que quelque soit la figure proposée, la hauteur de celle-ci joue un rôle dans cette situation (son carré en fait…). A eux maintenant de déterminer cette hauteur. Le choix de ne pas dévoiler le concept de hauteur permettra une meilleure dévolution de la tâche proposée. Faisons le pari que dans ce cas, la question soulevée par les élèves eux-même aura beaucoup plus de sens à leurs yeux et qu’ils mettront plus de cœur à y répondre qu’ils se la sont posée eux-mêmes.

Si ouvrir un problème peut s’avérer simple, en ne gardant que la dernière question et en éliminant la succession de questions intermédiaires, prévoir des relances ne peut pas se réduire à rétablir une suite de sous-questions retraçant le cheminement de pensée de l’enseignant, une relance doit permettre à un élève de faire émerger les concepts en jeu et  de se poser les bonnes questions, de s’en saisir et d’y répondre.

En parlant de pouce, « Under my thumb » des Stones reprise par Pentagram, pas mal !

 

 

Scratch fever – Algorithmique

 

 

L’algorithmique est un domaine des mathématiques passionnant à étudier avec les élèves. On trouve beaucoup de ressources (livres, manuels, sites, etc) sur ce sujet et malheureusement on tombe souvent sur des ressources extrêmement guidées. Nous pouvons très bien faire en sorte que, lors de la présentation d’une situation aux élèves, certaines informations ne soient pas données. On les incite ainsi à s’interroger sur celles qui sont nécessaires à la résolution du problème. Un tel choix permet une meilleure dévolution de la question. Bien entendu ce principe vaut dans tous les domaines – mathématiques ou pas d’ailleurs.

Sources

Au départ nous nous inspirons largement d’un excellent article publié sur le tout aussi excellent site de l’Académie d’Aix-Marseille : Constructions de figures.

B.O.

Niveau

Nous choisissons de placer ce travail en 4e. Aucun pré-requis n’est attendu et nous imaginons que les élèves n’ont jamais encore utilisé le logiciel. Les élèves qui « Scratchent » déjà iront simplement plus vite que les autres et de nombreux prolongements sont à prévoir. C’est le cas dans toutes les activités qui tournent autour de la programmation. Certains élèves dépassent même les maîtres…

Objectifs

Introduire des notions d’algorithmique, en particulier les notions de phase d’initialisation, de boucle, de sous-programme et de variable.

Première séance : prise en mai – notion de boucle

Une première présentation du logiciel est faite par le professeur qui devra montrer la scène, la palette des blocs et l’aire des scripts. A ce stade les élèves ne sont pas face à un ordinateur. Il s écoutent religieusement le professeur.

Avant de commencer on pourra supprimer le chat et le remplacer par une flèche bien plus pratique pour élaborer des dessins (notamment pour l’orientation). Cette flèche devra être réduite et recentrée.

Cette flèche était déjà présente dans l’antique mais toujours à la mode « Tortue Logo » qui permettait dès les années 60 de programmer des figures géométriques.

Flèche MSW Logo

Flèche Scratch

Ensuite, toujours en classe, on pourra montrer comment on peut construire un carré de côté 100. On montrera ainsi l’utilisation des blocs suivants :

On installera alors les élèves face à un ordinateur et une liste de figures à reproduire leur sera distribuée. Pour cette première séance certains élèves parmi les plus rapides pourront commencer le motif grec.

C’est au fur et à mesure des différentes constructions que le besoin d’introduire de nouvelles notions, fonctionnalités ou blocs naîtra. C’est cette idée qui sous-tend toutes les séances.

Concernant le losange, la principale difficulté est la détermination de l’angle du premier angle de rotation. Il conviendra de laisser les élèves chercher et de les inciter à essayer des angles. Ainsi, tous les élèves seront à même de valider ou d’invalider leur propre réalisation. Certains élèves obtiendront un losange symétrique. Valider cette réalisation mais faire prendre conscience aux élèves que ce n’était pas tout à fait ce qui était attendu.

Invalidation des angles

Triangle symétrique, validé

A l’issue de cette première séance, plusieurs points seront à institutionnaliser :

  • la notion d’initialisation : avant de démarrer tout programme, il y a une phase d’initialisation qui permet de « remettre tous les compteurs à zéro ».
  • la notion de boucle : lorsque une partie d’un programme se répète, il convient d’utiliser une boucle (nous reviendrons sur ce principe lors de l’utilisation d’une variable).

Voici un résumé de cours possible.

Deuxième Séance : Notion de sous-programme

Les dessins du motif grec et de la frise seront proposés dans une seconde séance. Le pavage pourra servir de prolongement pour les élèves rapides. Il conviendra de les laisser travailler en autonomie et d’institutionnaliser la notion de sous-programme qui permet d’alléger l’aire des scripts :

Aux élèves les plus avancés, ceux qui auront terminer le pavage,  on pourra proposer d’épaissir le trait et de changer les couleurs (fond et stylo). Le résultat pourra être montré  de façon à motiver l’ensemble de la classe :

Satisfaction garantie !

Troisième séance : les variables

Il y a sans doute de nombreuses façon d’introduire la notion de variable. L’une d’entre-elles consiste, encore une fois, à créer le besoin chez les élèves par l’intermédiaire d’une figure bien choisie.

Nous proposons aux élèves de reproduire la spirale (toujours issue du site Académique d’Aix-Marseille) :

Aucune unité de longueur n’étant présente, certains élèves poseront la question de la mesure du premier petit segment au centre de la spirale. Cela fait partie des données sur lesquels ils devront réfléchir et faire le choix qui leur convient le mieux. D’autres élèves feront le choix de commencer la figure par l’extérieur. On pourra les laisser faire ou bien les engager vers une autre piste.

Rapidement, les élèves vont trouver le travail laborieux et répétitif. Ce sera alors le moment d’institutionnaliser la notion de variable : lorsque une partie d’un programme se répète, on peut utiliser une boucle. Et lorsque cette partie se répète mais que « quelque chose » varie, on peut créer puis utiliser une variable.

Montrer alors aux élèves comment on crée puis comment on utilise la variable. Les blocs mis en jeu sont :

La vidéo ci-dessous présente comment on passe d’un script sans variable à un script avec variable et pourra être mise à disposition des élèves pour la suite.

— Insérer ici  le lien vers la vidéo —

Voici un résumé de cours possible. On questionnera les élèves sur les multiples avantages d’un script sur l’autre : plus court certes mais surtout dynamique.

Lors d’une autre séance, remettre les élèves au travail sur une deuxième figure similaire à la spirale (dans son principe) :

Les élèves devront, dans un premier temps produire un script simple, sans variable et se rendre compte qu’une variable est alors nécessaire. Il pourrons s’aider de la vidéo citée plus haut. A cette occasion, on pourra aussi montrer aux élèves les instructions suivantes.

Ce sera l’occasion de revenir sur le fait que « pour reculer de 10, on peut ajouter -10 ».

prolongement

Aux élèves les plus rapides, nous proposons de retravailler les pavage grec avec, comme contrainte supplémentaire, la possibilité donnée à l’utilisateur de choisir le nombre de motifs par ligne et le nombre de lignes. Pour cela on montrera les blocs suivants :

Ces élèves seront confrontés à l’utilisation de plusieurs variables. Ils devront faire un effort de recherche sur la longueur de la ligne qui permet de faire le retour au bout d’une ligne (en gras ci-dessous). Elle dépend du nombre de motifs par ligne, ainsi, on pourra faire le lien avec le calcul littéral.

Longueur du « retour »

Voici une vidéo qui pourra être laissée à la disposition des élèves.

Les fichiers et liens utiles
Pour terminer en musique

 

 

 

 

 

Sikra – Des travaux d’élèves au bilan

La restitution d’un travail de groupe est souvent un point délicat et donc souvent négligé. Voici ce que je propose autour de la ressource dont j’ai déjà parlé ici, Sikra. Ainsi, dans un premier temps les élèves ont analysé les dessins géométriques, ils les ont codé lors d’une travail individuel et même testé à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique. Ensuite par groupe de trois ils ont cherché des programmes de construction des cinq premiers motifs. Il avait à disposition, leurs figures codées et un lexique des programmes de construction.

Le déroulement

Après avoir récupéré les travaux, vient le moment de les classer et d’en sélectionner quelques-uns – inutile de tous les montrer – de façon à en tirer un bilan pertinent pour les élèves. Un diaporama est alors projeté et c’est aux élèves de « critiquer » les productions projetées. Mais attention, critiquer c’est d’abord dire une chose positive sur le travail exposé à tous. C’est important de commencer par une chose positive, le penchant naturel de la classe pousse souvent à dire ce qui ne va pas…

Voici les travaux choisis et ce que l’on peut en dire.

Les élèves ont un peu de mal à tirer quelque chose de positif de ce premier travail. Mais tout de même, le programme « marche », ça fonctionne, on comprends et c’est bien là le principal. Ensuite on note un effort de vocabulaire. Il faut insister de façon à valoriser ce travail qui est loin d’être inintéressant malgré son apparence pauvre. Ensuite, viennent les « critiques ». Comment peut-on améliorer ce travail ? L’écriture, la construction de phrase. Oui. Et mathématiquement ? Les notations bien entendu. Nous passons rapidement à la suite.

Le contraste est flagrant. Les compliments pleuvent. Et pourtant les mêmes soucis de notations apparaissent.

Enfin, nous terminons sur une production qui permet de se faire une idée de ce que l’on attend. Cette production fera office de corrigé.

Nous passons au deuxième motif.

La lecture est difficile et nous en profitons pour dire aux élèves qu’il est important, non pas d’avoir une belle écriture mais une écriture parfaitement lisible. La plupart des élèves ne voit aucune amélioration possible pour ce programme. En effet, pour beaucoup d’élèves, « entre A et B » est synonyme de « milieu ». Alors nous disons qu’en mathématiques, il faut être précis et que chaque mot est important. Nous montrons le travail suivant qui est remarquable à plusieurs égards.

D’abord, les points E, F, G et H n’ont pas été définis. Un oubli sans doute… Et puis il y a cette mention des quatre angles droits au sujet du carré ABCD. A-t-on déjà vu un carré qui n’a pas ses quatre angles droits ? Il y a là une intrusion du descriptif, nécessaire lors de l’analyse du dessin et qui n’a pas sa place dans le programme de construction. Et puis il y a cette dernière phrase : tracer les segments EFGH. Les élèves ne sont pas gênés par cette tournure et nous les suivons en disant qu’il s’agit surtout d’une maladresse pour dire « le carré EFGH ».

Nous montrons ensuite une dernière production suffisamment élaborée qui permet de conclure sur ce motif. Pour la suite, nous allons parler du cercle avec le troisième motif.

Ce que nous voulons pointer avec ce travail c’est la différence entre le lexique du matériel de géométrie et le lexique de la géométrie. Nous prenons comme exemple l’utilisation de GeoGebra car les élèves y ont déjà testé leurs figures lors d’une précédente séance. Sous GeoGebra, il n’y a pas de pointe de compas alors comment faire ? Nous faisons appel à la classe et certains élèves parlent de centre et de rayon. Nous validons et passons à la suite.

Bien sûr, les élèves n’ont pas oublié les critiques sur les notations. Nous nous arrêtons sur « le cercle qui devra toucher le milieu du carré ». Nous expliquons qu’il s’agit sans doute « du milieu du côté du carré » mais que l’expression du fait que le cercle est tangent au côté du carré est améliorable. Comment ? En montrant la dernière production.

Nous voulons enfin terminer par une production qui relance les élèves Avant d’écrire un programme de construction il faut bien analyser le dessin afin d’en comprendre une possible construction. Nous questionnons alors les élèves sur la pertinence de la mesure 3 mm pour s’accorder à dire qu’il faut retourner à l’analyse du motif.

Il s’agit d’ailleurs plus d’un va-et-vient entre la rédaction du programme et sa mise à l’épreuve sous GeoGebra, le logiciel de géométrie dynamique permettant aussi de chercher une construction possible.

Pour terminer la séance, un bilan est distribué qui reprend et corrige  les principales erreurs ou approximations vus dans les productions des élèves. Une place libre avait été prévue mais n’a pas été utilisée.

Les fichiers
  • Le diaporama (pdf)
  • Le bilan (pdf)