Conversion, proportionnalité ? Simple, basique.

On sait que les conversions de durées restent quelque chose de difficile au collège mais aussi dans la vie courante, celles des adultes. Il existe de nombreuse techniques de conversion et l’une d’entre-elles s’appuierait sur la notion de proportionnalité. C’est le cas du site MAXICOURS.com qui servira d’exemple. Il propose un cours dont l’intitulé suit.

Quelqu’un d’assez attentif remarquera que les grandeurs durée et vitesse apparaissent sans la grandeur distance. C’est donc bien sur les conversions « difficiles » que veut insister ce cours. D’emblée, MAXICOURS affiche ses objectifs où figure « comment convertir des durées ? » au même niveau de « comment convertir des vitesses ? ».

Le cours débute ainsi :

Il faut reconnaître une valeur à ce tableau qui présente non pas une égalité mais bien deux égalités pour chaque colonne/conversion. L’égalité 1 h = 60 min est présentée comme équivalente à 1 min = 1/60 h. Nous y reviendrons plus tard. En revanche, posons-nous la question ici, pourquoi ces égalités sont-elles nommées relations de proportionnalité ?. S’il s’agit effectivement d’une situation de proportionnalité, quelles en sont les deux grandeurs proportionnelles ? On notera au passage que ce tableau comporte une maladresse : 1 s = 1/60 x 1/60 h = 1/3600 h et non pas 1 s = 1/60 x 1/60 = 1/3600 h. De suite après, un exemple est proposé.

On souhaite y convertir, 2 h 14 min (que l’on trouve écrite sous la forme 2 h 14) en minutes puis en secondes. L’auteur, développe alors une technique mais celle-ci ne convoque pas la proportionnalité. Il s’agit simplement d’écrire une suite d’égalités dont nous exposons ici une version augmentée et corrigée (l’auteur, décidément maladroit, oublie une fois de plus de vérifier ses égalités).

 

Puis pour la seconde conversion :

La technique est simple d’utilisation, elle met en application la première ligne du tableau relations de proportionnalité et elle est accessible à des élèves de fin de cycle 3. Bien sûr cette technique est prolongeable vers d’autres grandeurs (longueur, aires, volumes, vitesses, etc.). C’est dans le cas d’une conversion heure/minutes en heures décimales que les choses semblent se corser. L’auteur abandonne tout simplement la technique de l’exemple 1, on verra pourtant qu’elle donnerait d’excellents résultats et nous apprenons alors que « les minutes et les heures sont proportionnelles ». L’auteur propose alors un tableau de proportionnalité et applique un produit en croix. Ça marche. Cette technique fonctionne mais elle rompt avec l’exemple 1 et elle semble convoquer la notion de proportionnalité. Une question subsiste : Quel sens donner à la phrase « les minutes et les heures sont proportionnelles » ? Le tableau semble indiquer qu’il y a deux grandeurs durée. Mais les lignes de ce tableau sont étiquetées avec des unités. Il y a là une confusion (courante chez les élèves) entre grandeurs et unités.

Corrigeons ce tableau :

Le coefficient de proportionnalité semble être 60. Mais pourtant les durées indiquées sont égales. C’est ennuyeux, pour nous mais pas pour l’auteur. Essayons autre chose.

Que donne le produit en croix ? 

soit

Nous voilà bien avancé ! On tourne en rond. Et ce chemin sera pris, c’est certain, par des élèves pleins de bonne volonté. Bien sûr nous aurions pu nous en sortir en écrivant :

ou en utilisant le tableau précédent en écrivant :

Mais on voit que la supposée situation de proportionnalité n’éclaire pas ce problème de conversion et ajoute plutôt de la confusion à la difficulté

Pour terminer, reprenons enfin la conversion en utilisant la technique plus cohérente de l’exemple 1.

 

Coup de pouce ?

J’ai participé aujourd’hui à une journée d’échange sur les nouveaux programmes de mathématiques du lycée. Un temps y a été consacré à ce que l’on peut appeler la « résolution de problème ». Une liste de six problèmes a été distribuée avec comme consigne de les analyser en termes de contenu mathématique, d’automatismes à travailler en amont, de différenciation des approches et en termes de coup de pouce. C’est sur ce dernier point que je voudrais revenir.

Voici l’énoncé proposé.

Extrait de la série d’exercices proposée par Philippe Déhais (Lycée Schuman, le Havre)

Je ne peux m’empêcher d’en modifier la question. Où placer le triangle ABC pour que C appartienne à la courbe représentative de la fonction racine carrée ? Les abscisses des points A et B sont des réponses qui peuvent venir de questions que se poseront les élèves eux-mêmes… Mais c’est de « coup de pouce qu’il est question » dans cet article et pas de la façon de poser un problème.

Je préférerais parler de « relance » pour des raisons que je vais préciser ici. Il ne s’agit pas simplement de vocabulaire mais de quelque chose de plus significatif qui a un impact direct sur le travail mathématique des élèves.

Voici un coup de pouce que proposait une collègue de l’assemblée :

Quelle est la hauteur d’un triangle équilatéral de côté a ?

C’est un intermédiaire important, c’est certain. La réponse à cette question va-t-elle aider les élèves ? Oui, dans certains cas, non dans d’autres mais là n’est pas la question. Le fait de dévoiler que c’est la hauteur du triangle qui est en jeu tue à proprement parler la tâche. N’est-ce pas aux élèves de trouver que c’est la hauteur du triangle qui détermine sa position sur l’axe des abscisses. N’est-ce pas là la part la plus intéressante de recherche ? Les élèves ne sont-ils pas capables de se poser cette question eux-mêmes ? Ce n’est pas évident, alors comment les relancer  ? Voyons cela, la nature de la figure proposée a-t-elle un intérêt particulier ? Peut-on en proposer une autre ? Oui, proposons aux élèves de remplacer le triangle équilatéral de côté 1 par un carré de côté 1 puis par un rectangle de 3 sur 2 à placer dans un sens puis dans l’autre, bref de faire varier les figures et de regarder les invariants.

Le carré de côté 1, facile !
Le rectangle 3×2 dans un sens. Que se passe-t-il si on le redresse ?

Ainsi les élèves devront comprendre que quelque soit la figure proposée, la hauteur de celle-ci joue un rôle dans cette situation (son carré en fait…). A eux maintenant de déterminer cette hauteur. Le choix de ne pas dévoiler le concept de hauteur permettra une meilleure dévolution de la tâche proposée. Faisons le pari que dans ce cas, la question soulevée par les élèves eux-même aura beaucoup plus de sens à leurs yeux et qu’ils mettront plus de cœur à y répondre qu’ils se la sont posée eux-mêmes.

Si ouvrir un problème peut s’avérer simple, en ne gardant que la dernière question et en éliminant la succession de questions intermédiaires, prévoir des relances ne peut pas se réduire à rétablir une suite de sous-questions retraçant le cheminement de pensée de l’enseignant, une relance doit permettre à un élève de faire émerger les concepts en jeu et  de se poser les bonnes questions, de s’en saisir et d’y répondre.

En parlant de pouce, « Under my thumb » des Stones reprise par Pentagram, pas mal !

 

 

Scratch fever – Algorithmique

 

 

L’algorithmique est un domaine des mathématiques passionnant à étudier avec les élèves. On trouve beaucoup de ressources (livres, manuels, sites, etc) sur ce sujet et malheureusement on tombe souvent sur des ressources extrêmement guidées. Nous pouvons très bien faire en sorte que, lors de la présentation d’une situation aux élèves, certaines informations ne soient pas données. On les incite ainsi à s’interroger sur celles qui sont nécessaires à la résolution du problème. Un tel choix permet une meilleure dévolution de la question. Bien entendu ce principe vaut dans tous les domaines – mathématiques ou pas d’ailleurs.

Sources

Au départ nous nous inspirons largement d’un excellent article publié sur le tout aussi excellent site de l’Académie d’Aix-Marseille : Constructions de figures.

B.O.

Niveau

Nous choisissons de placer ce travail en 4e. Aucun pré-requis n’est attendu et nous imaginons que les élèves n’ont jamais encore utilisé le logiciel. Les élèves qui « Scratchent » déjà iront simplement plus vite que les autres et de nombreux prolongements sont à prévoir. C’est le cas dans toutes les activités qui tournent autour de la programmation. Certains élèves dépassent même les maîtres…

Objectifs

Introduire des notions d’algorithmique, en particulier les notions de phase d’initialisation, de boucle, de sous-programme et de variable.

Première séance : prise en mai – notion de boucle

Une première présentation du logiciel est faite par le professeur qui devra montrer la scène, la palette des blocs et l’aire des scripts. A ce stade les élèves ne sont pas face à un ordinateur. Il s écoutent religieusement le professeur.

Avant de commencer on pourra supprimer le chat et le remplacer par une flèche bien plus pratique pour élaborer des dessins (notamment pour l’orientation). Cette flèche devra être réduite et recentrée.

Cette flèche était déjà présente dans l’antique mais toujours à la mode « Tortue Logo » qui permettait dès les années 60 de programmer des figures géométriques.

Flèche MSW Logo

Flèche Scratch

Ensuite, toujours en classe, on pourra montrer comment on peut construire un carré de côté 100. On montrera ainsi l’utilisation des blocs suivants :

On installera alors les élèves face à un ordinateur et une liste de figures à reproduire leur sera distribuée. Pour cette première séance certains élèves parmi les plus rapides pourront commencer le motif grec.

C’est au fur et à mesure des différentes constructions que le besoin d’introduire de nouvelles notions, fonctionnalités ou blocs naîtra. C’est cette idée qui sous-tend toutes les séances.

Concernant le losange, la principale difficulté est la détermination de l’angle du premier angle de rotation. Il conviendra de laisser les élèves chercher et de les inciter à essayer des angles. Ainsi, tous les élèves seront à même de valider ou d’invalider leur propre réalisation. Certains élèves obtiendront un losange symétrique. Valider cette réalisation mais faire prendre conscience aux élèves que ce n’était pas tout à fait ce qui était attendu.

Invalidation des angles

Triangle symétrique, validé

A l’issue de cette première séance, plusieurs points seront à institutionnaliser :

  • la notion d’initialisation : avant de démarrer tout programme, il y a une phase d’initialisation qui permet de « remettre tous les compteurs à zéro ».
  • la notion de boucle : lorsque une partie d’un programme se répète, il convient d’utiliser une boucle (nous reviendrons sur ce principe lors de l’utilisation d’une variable).

Voici un résumé de cours possible.

Deuxième Séance : Notion de sous-programme

Les dessins du motif grec et de la frise seront proposés dans une seconde séance. Le pavage pourra servir de prolongement pour les élèves rapides. Il conviendra de les laisser travailler en autonomie et d’institutionnaliser la notion de sous-programme qui permet d’alléger l’aire des scripts :

Aux élèves les plus avancés, ceux qui auront terminer le pavage,  on pourra proposer d’épaissir le trait et de changer les couleurs (fond et stylo). Le résultat pourra être montré  de façon à motiver l’ensemble de la classe :

Satisfaction garantie !

Troisième séance : les variables

Il y a sans doute de nombreuses façon d’introduire la notion de variable. L’une d’entre-elles consiste, encore une fois, à créer le besoin chez les élèves par l’intermédiaire d’une figure bien choisie.

Nous proposons aux élèves de reproduire la spirale (toujours issue du site Académique d’Aix-Marseille) :

Aucune unité de longueur n’étant présente, certains élèves poseront la question de la mesure du premier petit segment au centre de la spirale. Cela fait partie des données sur lesquels ils devront réfléchir et faire le choix qui leur convient le mieux. D’autres élèves feront le choix de commencer la figure par l’extérieur. On pourra les laisser faire ou bien les engager vers une autre piste.

Rapidement, les élèves vont trouver le travail laborieux et répétitif. Ce sera alors le moment d’institutionnaliser la notion de variable : lorsque une partie d’un programme se répète, on peut utiliser une boucle. Et lorsque cette partie se répète mais que « quelque chose » varie, on peut créer puis utiliser une variable.

Montrer alors aux élèves comment on crée puis comment on utilise la variable. Les blocs mis en jeu sont :

La vidéo ci-dessous présente comment on passe d’un script sans variable à un script avec variable et pourra être mise à disposition des élèves pour la suite.

— Insérer ici  le lien vers la vidéo —

Voici un résumé de cours possible. On questionnera les élèves sur les multiples avantages d’un script sur l’autre : plus court certes mais surtout dynamique.

Lors d’une autre séance, remettre les élèves au travail sur une deuxième figure similaire à la spirale (dans son principe) :

Les élèves devront, dans un premier temps produire un script simple, sans variable et se rendre compte qu’une variable est alors nécessaire. Il pourrons s’aider de la vidéo citée plus haut. A cette occasion, on pourra aussi montrer aux élèves les instructions suivantes.

Ce sera l’occasion de revenir sur le fait que « pour reculer de 10, on peut ajouter -10 ».

prolongement

Aux élèves les plus rapides, nous proposons de retravailler les pavage grec avec, comme contrainte supplémentaire, la possibilité donnée à l’utilisateur de choisir le nombre de motifs par ligne et le nombre de lignes. Pour cela on montrera les blocs suivants :

Ces élèves seront confrontés à l’utilisation de plusieurs variables. Ils devront faire un effort de recherche sur la longueur de la ligne qui permet de faire le retour au bout d’une ligne (en gras ci-dessous). Elle dépend du nombre de motifs par ligne, ainsi, on pourra faire le lien avec le calcul littéral.

Longueur du « retour »

Voici une vidéo qui pourra être laissée à la disposition des élèves.

Les fichiers et liens utiles
Pour terminer en musique