SIKRA, de l’analyse d’un dessin à la construction d’une figure

Victor Vasarely, de son vrai nom Vásárhelyi Gy?z? (Pécs, 9 avril 1906 – Paris, 15 mars 1997), est le plasticien hongrois reconnu comme étant le père de l’art optique ou Op art. Ses œuvres sont autant d’occasions de faire de la géométrie au collège.

Niveau

Fin de cycle 3, sixième

Pré-requis
  • Avoir déjà analysé une figure dans le but de comprendre comment elle peut être construite (nommer, coder, mesurer, etc)
  • Avoir déjà manipulé un logiciel de géométrie dynamique (GeoGebra). Voir par exemple : Geogebra-en-6eme-premiere-utilisation
Objectifs / B.0
  • Comprendre le passage du dessin à la figure ou, comme le dit explicitement le B.O, dans les compétences travaillées :

    (…) passer progressivement de la perception au contrôle par les instruments pour amorcer des raisonnements s’appuyant uniquement sur des propriétés des figures et sur des relations entre objets ;

  • Réaliser un programme de construction
  • Établir un petit raisonnement (pour le motif 6, défi)
  • Croiser les enseignements de Mathématiques et d’Arts Plastiques, comme le précise le B.O :

    Les activités de reconnaissance et de construction de figures et d’objets géométriques peuvent s’appuyer sur des réalisations artistiques (peinture, sculpture, architecture, photographie, etc.).

Déroulement
  • Commencer par présenter l’oeuvre (et l’artiste) à l’aide d’un vidéo-projecteur. Faire commenter cette oeuvre par la classe. Le but est de faire le lien avec la géométrie. Distribuer ensuite les énoncés. Préciser que les deux derniers motifs sont des défis. En effet, leur construction rigoureuse reste très difficile pour des élèves de sixième. Dire que nous allons devoir comprendre comment ont été construits ces motifs pour pouvoir, à notre tour, les reproduire.
  • Mettre ensuite les élèves en situation de recherche, ils devront, à l’aide de leurs instruments de géométrie, prendre des informations sur les dessins fournis. On veillera alors à ce que les points soient nommés, les dessins codés, des traits représentants des alignements tracés, etc.
    Figures n°1 et 2 : les figures sont simples et à la portée de tous.
    Figure n°3 : les élèves devront trouver comment obtenir le centre du cercle ainsi que son rayon. Le milieu du côté comme point de contact du cercle avec le carré fait partie du domaine de la figure géométrique construite. Certains élèves, restant dans le domaine de la perception,  tenteront simplement de faire « toucher » le cercle. Cette question prendra tout son sens lors du passage à la géométrie dynamique, sous GeoGebra. On pourra alors zoomer sur un point « douteux » :

    Figure n°4 : une analyse trop peu précise du dessin mènera certains élèves à prendre comme rayon le quart du côté du carré au lieu du quart de sa diagonale.
    Figure n°5 : une construction approximative peut être acceptée.
    Figure n°6 : certains élèves vont proposer la construction suivante basée sur des milieux :

    Il conviendra, dans un premier temps, de valider cette construction. On pourra néanmoins questionner les élèves sur la nature du triangle obtenu. Leur réponse est unanime, il est équilatéral. Cette affirmation sera mise en défaut sous GeoGebra mais dans un second temps.
    Figure n°7 : Elle reste très difficile et peut n’être proposée qu’en « super défi » comme une façon de montrer aux élèves qu’il reste du chemin à parcourir et que, souvent, en mathématiques, certains problèmes restent partiellement résolus.

  • Dans un second temps, on pourra demander aux élèves de rédiger des programmes de construction correspondants à leurs analyses. On pourra distribuer des fiches à compléter qui pourront être bien pratique pour les  scanner et projeter. Dans ce travail, une attention particulière sera portée sur le vocabulaire utilisé. On pourra alors distribuer un « lexique » des programmes de constructions.
    Voici quelques productions d’élèves qui montrent, au travers du vocabulaire utilisé, le passage de la géométrie perceptive à la géométrie construite (cliquer pour agrandir) :

  • Dans un troisième temps (ou indépendamment de la rédaction des programmes de construction, voire même en faisant des aller-retours entre les deux tâches),  les élèves pourront réaliser leurs constructions sous GeoGebra. On pourra utiliser une version allégée du logiciel avec seulement les menus nécessaires.
    Ce sera alors l’occasion de revenir sur le motif n°6 en utilisant l’outil Distance ou Longueur :

    On relancera les élèves en leur demandant de comparer la mesure du côté du carré et celle du triangle à construire.
  • Pour finir, un bilan sur le motif n°6 permettra à tous d’avoir accès à une construction du triangle équilatéral. Une attention particulière sera lors portée davantage sur le vocabulaire que sur la recherche de la construction. En défi, on pourra proposer d’expliquer comment on peut être certain que le triangle obtenu est équilatéral. ce sera alors l’occasion de revenir sur la définition du cercle.
Prolongements
  • On pourra demander aux élèves, ou à un groupe d’élèves, de se charger de réaliser l’oeuvre toute entière sous GeoGebra.
  • Il existe d’autres œuvres susceptibles d’être travaillées dans le cours de mathématiques. Citons, par exemple Theo van Doesburg avec Arithmetic Composition, très intéressante pour construire des figures « à l’infini » :
Fichiers utiles

Énoncé_analyse.pdf
Énoncé_programme.pdf
Le_sixième_motif.pdf
Bilans_possibles.pdf
Affiche_Sikra_A3.pdf

références / liens
  • A propos de l’analyse de figures géométriques et de la distinction entre dessin géométrique et figure géométrique, il faut citer l’excellent ouvrage de Jean-Philippe Rouquès et Hélène Staïner :  « Des maths Ensemble et Pour Chacun – 6ème » édité par le CRDP des Pays de Loire.
  • Le site de la fondation Vasarely à Aix-en Provence.
  • L’IREM de Paris-Nord propose une série d’activités basée sur la tortue Logo (celle des 80’s) qui peuvent sans doute être adaptées au dessin sous Scratch.
  • Le Petit vert n°132 de l’APMEP région Lorraine, page 37 à 45, propose  un dossier Maths & Arts en classe de sixième assez complet.
Pour finir

La Hongrie, pays d’origine de Vasarely est liée à un bon nombre de célébrités. C’est la remarque que nous nous sommes faîtes mon épouse et moi même en visitant Budapest, il y a quelques jours. Citons, pour la photo, Robert Capa, pour la musique, Franz (Ferenc)  Liszt et Béla Bartók, pour les mathématiques,  Imre Lakatos et son formidable Preuves et Réfutations : essai sur la logique de la découverte mathématique, Paris, Éditions Hermann, 1984, et peut-être Ern? Rubik et son invention infernale des 80’s et puis puisqu’une exposition a lieu actuellement à Budapest sur cette artiste, Frida Kahlo par son père d’origine germano-austro-hongroise !

Chacun sa part : une situation de proportionnalité méconnue

 

Objectifs
  • Découvrir une situation de proportionnalité peu connue des élèves
  • Etudier la proportionnalité sous plusieurs aspects
  • Utiliser les fractions, fraction d’une quantité et pourcentage
Niveau / B.O
  • Fin de cycle 3, à distance du travail mené sur la proportionnalité
  • Pourquoi pas en cycle 4 à propos de la notion de ratio puisque le B.O y fait explicitement référence dans les compétences associées à l’étude de la proportionnalité :

Modus Operandi

Prévoir au moins une séance pour chaque situation. Un travail de groupe peut s’avérer utile. On peut aussi imaginer une présentation orale du travail produit par les groupes avec un orateur choisi au sein du groupe et les autres en soutien.

Déroulement / Relances

Un diaporama peut permettre d’introduire auprès des élèves la situation.

On précisera ce qu’est un budget commun et à quoi il sert. Par une discussion de classe habilement menée, on amènera les élèves à prendre conscience que le partage en trois parts égales ne convient pas. On en profitera pour faire oraliser les élèves :  « Chacun va récupérer des sommes différentes car au départ chacun a versé des sommes différentes ».  L’idée de cette présentation est simplement de faire comprendre les grandeurs en jeu dans le problème sans en dévoiler les pistes éventuelles de résolution. D’où le fait qu’il n’y figure pas de variable didactique fixée. Bien sur, on pourra laisser les élèves rejeter eux-même le partage en trois parts égales. Dans tous les cas, à ce stade, se garder de parler de proportionnalité, c’est une démarche de modélisation qui devra rester à la charge des élèves.
Une fois la situation clarifiée (pas de partage en trois parts égales) et les élèves en situation de recherche, on peut s’attendre à certaines difficultés. L’affaire n’est pas simple et des blocages sont à prévoir. Si certains groupes calculent naturellement la somme totale 2500 + 300 + 450 = 1000, ne pas hésiter à demander aux groupes qui n’y pensent pas, de le faire. Cette somme est un bon levier pour la compréhension de la situation. Ensuite, les élèves devront trouver rapidement la somme correspondant à Alice. On pourra relancer les élèves bloqués en demandant ce que représente la somme d’Alice par rapport à la somme totale. A ce stade, de nombreuses stratégies pourront apparaître, à condition de laisser les élèves chercher. L’usage d’un tableau pourra être conseillé pour des élèves qui n’arrivent pas à s’organiser.
La situation 2 pourra être traitée de façon identique.

Stratégies / productions D’ÉLÈVES

Elles sont nombreuses et sont même susceptibles de se croiser. En voici quelques-unes (liste non exhaustive) :

  • Pourcentages : Alice donne 25 % de la somme de départ donc
    reçoit 25% de la somme restante.
  • Fractions : Alice a versé 1/4 de la somme de départ donc elle reçoit 1/4 en retour.
  • Coefficient de proportionnalité : Il vaut 155/1000 = 0,155. S’il apparaîtra assez rarement dans les travaux d’élèves, il s’avère néanmoins terriblement efficace. Son usage pourra être montré dans un bilan final.
  • Une fois la somme d’Alice trouvée, des arguments de proportionnalité (voir plus loin, « un peu de mathématiques« ) pourront être utilisés pour Bertrand et Chloé : Si Alice perçoit 38,75 € en ayant versé au départ 250 elle aurait perçu 7,75 € si elle avait versé 50 € (5 fois moins) et donc, Bertrand percevra 6 fois plus. . .
    D’autres élèves remarqueront peut-être que Bertrand a versé 1,2 fois plus qu’Alice et qu’il percevra de même 1,2 fois plus. On pourra faire le lien entre les écritures 6/5, 1 + 1/5 et 1,2.

Dans tous les cas, la diversité des techniques de résolution permettra de faire
un point assez complet sur la notion de proportionnalité mais aussi sur les écritures fractionnaires et les fractions d’une grandeur.
Enfin, on pourra faire remarquer aux élèves qui trouvent la somme de Chloé par différence, que c’est astucieux mais qu’ils perdront une occasion simple de vérifier leurs trois sommes.

Variables didactiques

Pour la situation 1, les données sont choisies de façon à obtenir des résultats au centime près en valeurs exactes. Un travail spécifique peut être entrepris dans la situation 2 pour rechercher un partage au centime près « le plus juste possible ». Dans les deux situations, les enjeux ne sont donc pas tout à fait les mêmes. La situation 1 est davantage axée sur la méthode de résolution et la situation 2 est davantage axée sur la recherche de précision.

  • Un coefficient de proportionnalité arrondi (0,29 ou même 0,299) ne
    donne pas de bons résultats :
    0,29 x 6800 € + 0,29 x 5200 € + 0,29 x 3700 € = 4694,30 € et non pas 4700 €. Certains élèves se poseront alors la question du partage des 5,70 € restant entre les trois amis.
  • La méthode qui consiste à utiliser un pourcentage donne de
    moins bons résultats.
  • Il pourra donc être utile de chercher un coefficient fractionnaire
  • Une simple troncature  au centième des trois résultats calculés à l’aide de fractions donne une somme totale égale à 4699,98 €, inférieure de 2 centimes à 4700 € ! On profitera de cette occasion pour rappeler comment arrondir un résultat au centième près.
Un peu de mathématiques
  • Les sommes d’argent récupérées par les trois amis sont dans le ratio des sommes versées, c’est à dire,  250 : 300 : 450 (ou encore 25 : 30 : 45 ou même 5 : 6 : 9). Cela signifie que si a, b et c sont les sommes récupérées par Alice, Bertrand et Chloé, on a a / 250 = b / 300 = c / 450 et donc, en utilisant un argument de proportionnalité, a / 250 = b / 300 = c / 450 = ( a + b + c ) / (250 + 300 +450)  soit, puisque dans notre cas a + b + c = 155 a / 250 = b / 300 = c / 450 = 155 / 1000. On en déduit alors facilement a, b et c.
    Un théorème de calcul algébrique permet d’étayer l’argument de proportionnalité. En effet si a = b alors on a aussi,
    a = b = ( x + y ) / ( a + b )
    En effet si a = b alors il existe un nombre k tel que x = k . a et y = k . b. On a donc ,
    ( x + y
    ) / ( a + b ) = ( k . ak . b ) /  ( a + b )  = k = a = b
    CQFD.
    Ce théorème permet alors d’écrire, dans la situation d’Alice, Bertrand et Chloé, l’égalité surprenante :
    a / 5 = b / 6 = c / 9 = (a + b + c ) / (5 + 6 + 9 ) = 155  / 20
    On retrouve ce qui sous-tend les productions d’élèves citées plus haut, celles qui utilisent des arguments de proportionnalité.
  • Les partages selon un ratio données font parties d’exercices « classiques ». On en retrouve par exemple ici (exercices 15 à 18) : http://www.math.univ-angers.fr/~labatte/institut/Exprop.pdf
  • Le site de Serge Mehl consacre un article assez complet sur la proportionnalité, on y trouve peut-être une origine à la notation a : b : c http://serge.mehl.free.fr/anx/proportionnalite.html
Fichiers utiles

Enoncé.pdf
Presentation.pdf

Un peu de musique pour terminer

Et puisqu’on parle de partage…

Webern, Mahler et le Beatdown Hardcore de Words Of Concrete

Les Dissonances jouent Webern et Mahler ce soir là au Havre. Avec les Dissonances, il n’y a pas de chef d’orchestre, le chef c’est la musique. Ce soir là, c’est d’abord Webern et son Passacaille qui démarre par quelques notes fragiles alors que dans la grande salle du Volcan, on entend encore quelques raclements de gorges.

Ces raclements de gorges auraient pu attendre les coups de grosses caisse titanesque de la symphonie n°1 de Mahler…

Voilà donc une soirée qui envoya du lourd. Alors quoi de mieux que le beatdown de Words Of Concrete (ce nom…) pour terminer cet article !