Géométrie dynamique en 6ème / première utilisation

A l’opposé des « fiches-à-cliquer », voici une proposition de séance(s) pour initier des élèves au logiciel de géométrie dynamique GeoGebra. Tout autre logiciel ferait tout aussi bien l’affaire.

Fiche à distribuer aux élèves
Public

Cycle 3

B.O

Au cycle 3, le B.O fait explicitement référence aux logiciels de géométrie dynamique.

Objectifs

Comprendre le fonctionnement de GeoGebra et faire des figures « solides ». Comprendre comment ont été réalisés des dessins géométriques donnés et effectuer les constructions correspondantes.

Déroulement

Dans un premier temps, présenter rapidement le logiciel : « étymologie » du nom GeoGebra, à quoi sert ce logiciel ? Présenter ensuite ses menus déroulants, ses principales fonctionnalités : point, droite, segment, milieu et cercle.
Ensuite, montrer une construction du cercle de diamètre donné qui n’est pas « solide » :

 

En zoomant sur le point A, on comprends que la construction ne convient pas :

Et puis montrer la construction « solide » et zoomer à nouveau. C’est le point central de ce travail, comprendre la différence entre dessin et construction dynamique.

Ensuite distribuer les figures à reproduire. Indiquer aux élèves, au fur et à mesure de leurs réalisations :

  • pour la première figure, de commencer par dessiner le diamètre. Ainsi il se verront dans l’obligation d’utiliser l’outil Milieu ou centre
  • pour la deuxième figure, de commencer par les deux points extrêmes (droite et gauche). Ainsi il découvriront une deuxième utilisation de l’outil Milieu ou centre
  • pour les autres figure, montrer les outils Polygone et Polygone régulier

Ensuite laisser les élèves travailler en autonomie et explorer les outils dont ils ont besoin. Zoomer sur les points qui semblent poser problème et demander aux élèves de refaire les constructions si nécessaire.
Les plus rapides pourront poursuivre le constructions des carrés à leur guise, ils pourront  masquer les points et imprimer leur dessins. A coup sûr, ils seront extrêmement fiers de leur travail.

Fiche Outils / résumé

Une fiche outil pourra être démarrée en fin de séance. Cette fiche sera à compléter par les élèves au fur et à mesure de leurs besoins. Ils décriront avec leurs mots les outils qu’ils ont découvert et dont ils risquent de ne plus se souvenir. On pourra aussi distribuer un court résumé décrivant le logiciel.

Prolongements

Au cours de l’année, en lien avec le programme de géométrie, il conviendra de revenir en salle informatique pour tester des figures réalisées en classe et pourquoi pas de publier les plus intéressantes sur le site du collège.

Fichiers utiles

Figures.pdf

Resumé GeoGebra.pdf

Fiche Outils.pdf

Une figure mystère ou comment une homothétie permet de construire un carré inscrit dans un triangle ?

Objectif

Découvrir l’homothétie en deux séances

ÉNONCÉ

Niveau

Fin de cycle 4, 3ème

Pré-requis
  • Avoir déjà utilisé GeoGebra
  • Avoir déjà étudié un même type de tâche (inscrire une figure dans une autre), par exemple :

  • De même, avoir déjà travaillé une question d’agrandissement, par exemple :
Déroulement

Commencer par montrer une figure dynamique sous GeoGebra afin de faire comprendre à la classe qu’il ne s’agit pas de reproduire une figure (statique) particulière mais que la construction doit pouvoir fonctionner sur tous les triangles possibles.
Dire aux élèves qu’ils vont devoir comprendre comment est construit le carré inscrit dans le triangle et qu’une fois la construction établie, ils pourront la réaliser sous GeoGebra.
Distribuer l’énoncé et mettre les élèves au travail : papier/crayon. Cette étape est importante, les élèves doivent prendre conscience de la difficulté de la construction. Comment faire en sorte que deux sommets soient sur deux côtés du triangle et que les deux autres sommets soient sur le même troisième côté ? On pourra distribuer des « figures pour comprendre ». Ce sont des figures déjà réalisées sur lesquelles les élèves peuvent effectuer des tracés, repérer des alignements, mesurer, bref explorer.

Relances / difficultés

Les élèves vont produire des figures qu’ils ont réalisés à tâtons. En montrer une à la classe via un vidéoprojecteur. Elle pourra sembler justes à certains et une discussion de classe permettra de l’invalider après en avoir aussi montré les aspects positifs.  Il faudra alors relancer la classe pour la faire sortir de cette situation de blocage.
Une relance importante consiste à abaisser une contrainte :

Construire un carré avec un sommet intérieur au triangle Construire un carré avec un côté parallèle à un côté du triangle
 

Une fois la contrainte abaissée, la figure est relativement simple à construire. Questionner alors les élèves sur la taille du carré ainsi construit. Le carré solution est un agrandissement du « petit » carré, comment le construire ? Peut-on construire des carrés de plus en plus grand ?  Le carré pouvant même dépasser le carré solution. Une fois plusieurs carrés construits, peut-on trouver des alignements (sommets des carrés) ? Ces relances ont pour but d’obtenir des carrés homothétiques afin d’obtenir un sommet du carré solution :

Une fois la construction réalisée par tous, lors d’une deuxième séance, passer sous GeoGebra. On pourra limiter les outils avec une version de GeoGebra « allégée » :

Institutionnalisation

Voici un bilan possible qui montre les aspects dynamiques de l’homothétie qui devient un outil pour construire.

Prolongements
  • Lors de la séance sous GeoGebra, vérifier que la construction fonctionne dans tous les cas (lorsqu’un des angles de la « base » est obtus). Si ce n’est pas le cas demander de corriger, il faudra alors considérer les droites qui supportent les côtés du triangle et non pas seulement les segments.
  • Proposer de construire des carrés inscrits à l’infini (dans les trois triangles restants) ou de construire les trois cercles inscrits dans les trois triangles restants (Sangaku) :
    Conclusion

Il restera à faire le lien avec le théorème de Thalès, en effet, cette tâche ne prend pas en compte le rapport de l’homothétie.

Fichiers utiles

EnoncéFigureMystere.pdf

BilanFigureMystere.pdf

FigurePourComprendre.pdf

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