Conversion, proportionnalité ? Simple, basique.

On sait que les conversions de durées restent quelque chose de difficile au collège mais aussi dans la vie courante, celles des adultes. Il existe de nombreuse techniques de conversion et l’une d’entre-elles s’appuierait sur la notion de proportionnalité. C’est le cas du site MAXICOURS.com qui servira d’exemple. Il propose un cours dont l’intitulé suit.

Quelqu’un d’assez attentif remarquera que les grandeurs durée et vitesse apparaissent sans la grandeur distance. C’est donc bien sur les conversions « difficiles » que veut insister ce cours. D’emblée, MAXICOURS affiche ses objectifs où figure « comment convertir des durées ? » au même niveau de « comment convertir des vitesses ? ».

Le cours débute ainsi :

Il faut reconnaître une valeur à ce tableau qui présente non pas une égalité mais bien deux égalités pour chaque colonne/conversion. L’égalité 1 h = 60 min est présentée comme équivalente à 1 min = 1/60 h. Nous y reviendrons plus tard. En revanche, posons-nous la question ici, pourquoi ces égalités sont-elles nommées relations de proportionnalité ?. S’il s’agit effectivement d’une situation de proportionnalité, quelles en sont les deux grandeurs proportionnelles ? On notera au passage que ce tableau comporte une maladresse : 1 s = 1/60 x 1/60 h = 1/3600 h et non pas 1 s = 1/60 x 1/60 = 1/3600 h. De suite après, un exemple est proposé.

On souhaite y convertir, 2 h 14 min (que l’on trouve écrite sous la forme 2 h 14) en minutes puis en secondes. L’auteur, développe alors une technique mais celle-ci ne convoque pas la proportionnalité. Il s’agit simplement d’écrire une suite d’égalités dont nous exposons ici une version augmentée et corrigée (l’auteur, décidément maladroit, oublie une fois de plus de vérifier ses égalités).

 

Puis pour la seconde conversion :

La technique est simple d’utilisation, elle met en application la première ligne du tableau relations de proportionnalité et elle est accessible à des élèves de fin de cycle 3. Bien sûr cette technique est prolongeable vers d’autres grandeurs (longueur, aires, volumes, vitesses, etc.). C’est dans le cas d’une conversion heure/minutes en heures décimales que les choses semblent se corser. L’auteur abandonne tout simplement la technique de l’exemple 1, on verra pourtant qu’elle donnerait d’excellents résultats et nous apprenons alors que « les minutes et les heures sont proportionnelles ». L’auteur propose alors un tableau de proportionnalité et applique un produit en croix. Ça marche. Cette technique fonctionne mais elle rompt avec l’exemple 1 et elle semble convoquer la notion de proportionnalité. Une question subsiste : Quel sens donner à la phrase « les minutes et les heures sont proportionnelles » ? Le tableau semble indiquer qu’il y a deux grandeurs durée. Mais les lignes de ce tableau sont étiquetées avec des unités. Il y a là une confusion (courante chez les élèves) entre grandeurs et unités.

Corrigeons ce tableau :

Le coefficient de proportionnalité semble être 60. Mais pourtant les durées indiquées sont égales. C’est ennuyeux, pour nous mais pas pour l’auteur. Essayons autre chose.

Que donne le produit en croix ? 

soit

Nous voilà bien avancé ! On tourne en rond. Et ce chemin sera pris, c’est certain, par des élèves pleins de bonne volonté. Bien sûr nous aurions pu nous en sortir en écrivant :

ou en utilisant le tableau précédent en écrivant :

Mais on voit que la supposée situation de proportionnalité n’éclaire pas ce problème de conversion et ajoute plutôt de la confusion à la difficulté

Pour terminer, reprenons enfin la conversion en utilisant la technique plus cohérente de l’exemple 1.

 

Calculs et unités – le comparatif

Pour faire suite à l’article sur les grandeurs, les unités et le calcul, voici une troisième situation qui montre la puissance des unités dans les calculs.

Hier soir, mon fils travaillait sur un exercice de géométrie. Je jette un œil. C’est un « classique » qui permet de montrer une utilisation concrète de la configuration croisée du théorème de Thalès. En voici la figure :

L’énoncé précise OA’ = 50 mm , AB =  12 m et OA = 25 m. Après une première question qui permet de prouver que l’on est bien dans une configuration de Thalès (le parallélisme), une deuxième question demande d’établir d’/d = A’B’/AB pour enfin, dans une troisième question déterminer la distance A’B’, taille de l’arbre sur la pellicule qui est, en passant une distance bien plus facilement mesurable que la hauteur de l’arbre. Mais le sujet n’est pas là. On voit que l’utilisation de l’égalité de la deuxième question, va poser (ou devrait poser) des problèmes d’homogénéité des unités. On a d’une part des mètres et d’autre part des millimètres.

Une première résolution consisterait à convertir toutes les distances dans une même unité, par exemple le mètre.

d’ = 50 mm = 0,05 m
d = 25 m
AB = 12 m
On obtient donc :

On conclut alors que l’image mesure 0,024 m soit 24 mm.

Une deuxième solution possible montre que ces changements d’unités ne sont pas nécessaires. En s’affranchissant entièrement des unités, on obtient les égalités suivantes :

Et puis, que faire de ce résultat sans unité ? On peut toujours lui coller des mm, cela passera sans doute mais on sent bien que derrière ce calcul, il y a un tour de passe-passe non dévoilé.

C’est la troisième solution qui dévoile ce tour. Écrivons simplement les unités dans ces calculs :

Par la « simplification par m », simplification bien connue des élèves dans le cadre numérique mais plus rarement dans le cadre des grandeurs, la distance A’B’ se voit affecter naturellement (en fait, algébriquement) son unité, le mm.

Bien sûr, on peut aussi calculer un coefficient de proportionnalité :

C’est-à-dire, une grandeur sans unité soit un nombre,  que l’on applique aux 12 m.

Et retrouver à peu de frais les 24 mm de l’image.

Les grandeurs, les unités et le calcul

Au collège, les grandeurs occupent un place importante et permettent d’ancrer les mathématiques dans le quotidien sinon dans le concret.

Un débat, tranché aujourd’hui (sic), est celui de la présence ou non des unités dans les calculs. Ce n’est pas de ce débat qu’il sera question dans cet article mais de deux situations qui montrent la puissance du calcul  sur et avec les grandeurs. On peut néanmoins comparer ce qui est dit aujourd’hui dans les programmes (Bulletin officiel n° 30 du 26-7-2018) :

Mener des calculs impliquant des grandeurs mesurables, notamment des grandeurs composées, exprimer les résultats dans les unités adaptées ;

Et ce qui était dit auparavant :

Mener des calculs impliquant des grandeurs mesurables, notamment des grandeurs composées, en conservant les unités.

Et se poser la question des raisons qui ont poussé à ce minuscule changement ? Pas de réponse ici, mais plutôt deux exemples qui plaident en faveur de la conservation des unités dans les calculs, c’est-à-dire du calcul sur les grandeurs.

Les situations
Situation 1 : Les volumes

On trouve fréquemment le type d’exercice suivant en classe de troisième :

Trouver la hauteur d’un cylindre ayant le même volume et le même rayon qu’un demi-sphère de rayon 9 cm.

Après avoir calculé le volume de la demi-sphère (486 cm3), on peut écrire et résoudre une équation :

 

Ainsi, après avoir posé une équation portant sur des grandeurs volumes, l’inconnue, c’est-à-dire la hauteur se voit naturellement associée à son unité, le cm.

Situation 2 : Hauteur d’eau

Sur le site de météo France, on trouve  la définition suivante :

Pluviomètre : Instrument météorologique destiné à mesurer la hauteur de précipitation pendant un intervalle de temps donné (en supposant uniformément répartie et non sujette à évaporation l’eau de précipitation tombée sur la surface terrestre). Cette hauteur de précipitation s’exprime en millimètres ou, de façon équivalente, en litres par mètre carré, que souvent l’on se contente d’appeler pour simplifier des litres. (Le litre, unité de capacité utilisée pour mesurer en décimètres cubes un volume de liquide ou de matière sèche, admet encore à titre provisoire deux symboles légaux : le « L » — majuscule, bien qu’il n’ait pas pour origine un nom propre — et le « l » — utilisé historiquement, mais prêtant à confusion avec le chiffre 1 ; l’unité de hauteur de précipitation s’écrit donc l/ ou L/.)

http://www.meteofrance.fr/publications/glossaire/153188-pluviometre

 

Comment démontrer l’équivalence exprimée ci-dessus en gras ? Voici une réponse possible :

D’où appellation « hauteur » pour une quantité de pluie par unité de surface. Ainsi, le calcul sur les grandeurs a aussi un pouvoir de démonstration.

A lire

http://yves.chevallard.free.fr/spip/spip/IMG/pdf/Les_grandeurs_au_college_I.pdf

A écouter