Conversion, proportionnalité ? Simple, basique.

On sait que les conversions de durées restent quelque chose de difficile au collège mais aussi dans la vie courante, celles des adultes. Il existe de nombreuse techniques de conversion et l’une d’entre-elles s’appuierait sur la notion de proportionnalité. C’est le cas du site MAXICOURS.com qui servira d’exemple. Il propose un cours dont l’intitulé suit.

Quelqu’un d’assez attentif remarquera que les grandeurs durée et vitesse apparaissent sans la grandeur distance. C’est donc bien sur les conversions « difficiles » que veut insister ce cours. D’emblée, MAXICOURS affiche ses objectifs où figure « comment convertir des durées ? » au même niveau de « comment convertir des vitesses ? ».

Le cours débute ainsi :

Il faut reconnaître une valeur à ce tableau qui présente non pas une égalité mais bien deux égalités pour chaque colonne/conversion. L’égalité 1 h = 60 min est présentée comme équivalente à 1 min = 1/60 h. Nous y reviendrons plus tard. En revanche, posons-nous la question ici, pourquoi ces égalités sont-elles nommées relations de proportionnalité ?. S’il s’agit effectivement d’une situation de proportionnalité, quelles en sont les deux grandeurs proportionnelles ? On notera au passage que ce tableau comporte une maladresse : 1 s = 1/60 x 1/60 h = 1/3600 h et non pas 1 s = 1/60 x 1/60 = 1/3600 h. De suite après, un exemple est proposé.

On souhaite y convertir, 2 h 14 min (que l’on trouve écrite sous la forme 2 h 14) en minutes puis en secondes. L’auteur, développe alors une technique mais celle-ci ne convoque pas la proportionnalité. Il s’agit simplement d’écrire une suite d’égalités dont nous exposons ici une version augmentée et corrigée (l’auteur, décidément maladroit, oublie une fois de plus de vérifier ses égalités).

 

Puis pour la seconde conversion :

La technique est simple d’utilisation, elle met en application la première ligne du tableau relations de proportionnalité et elle est accessible à des élèves de fin de cycle 3. Bien sûr cette technique est prolongeable vers d’autres grandeurs (longueur, aires, volumes, vitesses, etc.). C’est dans le cas d’une conversion heure/minutes en heures décimales que les choses semblent se corser. L’auteur abandonne tout simplement la technique de l’exemple 1, on verra pourtant qu’elle donnerait d’excellents résultats et nous apprenons alors que « les minutes et les heures sont proportionnelles ». L’auteur propose alors un tableau de proportionnalité et applique un produit en croix. Ça marche. Cette technique fonctionne mais elle rompt avec l’exemple 1 et elle semble convoquer la notion de proportionnalité. Une question subsiste : Quel sens donner à la phrase « les minutes et les heures sont proportionnelles » ? Le tableau semble indiquer qu’il y a deux grandeurs durée. Mais les lignes de ce tableau sont étiquetées avec des unités. Il y a là une confusion (courante chez les élèves) entre grandeurs et unités.

Corrigeons ce tableau :

Le coefficient de proportionnalité semble être 60. Mais pourtant les durées indiquées sont égales. C’est ennuyeux, pour nous mais pas pour l’auteur. Essayons autre chose.

Que donne le produit en croix ? 

soit

Nous voilà bien avancé ! On tourne en rond. Et ce chemin sera pris, c’est certain, par des élèves pleins de bonne volonté. Bien sûr nous aurions pu nous en sortir en écrivant :

ou en utilisant le tableau précédent en écrivant :

Mais on voit que la supposée situation de proportionnalité n’éclaire pas ce problème de conversion et ajoute plutôt de la confusion à la difficulté

Pour terminer, reprenons enfin la conversion en utilisant la technique plus cohérente de l’exemple 1.

 

Sikra – Des travaux d’élèves au bilan

La restitution d’un travail de groupe est souvent un point délicat et donc souvent négligé. Voici ce que je propose autour de la ressource dont j’ai déjà parlé ici, Sikra. Ainsi, dans un premier temps les élèves ont analysé les dessins géométriques, ils les ont codé lors d’une travail individuel et même testé à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique. Ensuite par groupe de trois ils ont cherché des programmes de construction des cinq premiers motifs. Il avait à disposition, leurs figures codées et un lexique des programmes de construction.

Le déroulement

Après avoir récupéré les travaux, vient le moment de les classer et d’en sélectionner quelques-uns – inutile de tous les montrer – de façon à en tirer un bilan pertinent pour les élèves. Un diaporama est alors projeté et c’est aux élèves de « critiquer » les productions projetées. Mais attention, critiquer c’est d’abord dire une chose positive sur le travail exposé à tous. C’est important de commencer par une chose positive, le penchant naturel de la classe pousse souvent à dire ce qui ne va pas…

Voici les travaux choisis et ce que l’on peut en dire.

Les élèves ont un peu de mal à tirer quelque chose de positif de ce premier travail. Mais tout de même, le programme « marche », ça fonctionne, on comprends et c’est bien là le principal. Ensuite on note un effort de vocabulaire. Il faut insister de façon à valoriser ce travail qui est loin d’être inintéressant malgré son apparence pauvre. Ensuite, viennent les « critiques ». Comment peut-on améliorer ce travail ? L’écriture, la construction de phrase. Oui. Et mathématiquement ? Les notations bien entendu. Nous passons rapidement à la suite.

Le contraste est flagrant. Les compliments pleuvent. Et pourtant les mêmes soucis de notations apparaissent.

Enfin, nous terminons sur une production qui permet de se faire une idée de ce que l’on attend. Cette production fera office de corrigé.

Nous passons au deuxième motif.

La lecture est difficile et nous en profitons pour dire aux élèves qu’il est important, non pas d’avoir une belle écriture mais une écriture parfaitement lisible. La plupart des élèves ne voit aucune amélioration possible pour ce programme. En effet, pour beaucoup d’élèves, « entre A et B » est synonyme de « milieu ». Alors nous disons qu’en mathématiques, il faut être précis et que chaque mot est important. Nous montrons le travail suivant qui est remarquable à plusieurs égards.

D’abord, les points E, F, G et H n’ont pas été définis. Un oubli sans doute… Et puis il y a cette mention des quatre angles droits au sujet du carré ABCD. A-t-on déjà vu un carré qui n’a pas ses quatre angles droits ? Il y a là une intrusion du descriptif, nécessaire lors de l’analyse du dessin et qui n’a pas sa place dans le programme de construction. Et puis il y a cette dernière phrase : tracer les segments EFGH. Les élèves ne sont pas gênés par cette tournure et nous les suivons en disant qu’il s’agit surtout d’une maladresse pour dire « le carré EFGH ».

Nous montrons ensuite une dernière production suffisamment élaborée qui permet de conclure sur ce motif. Pour la suite, nous allons parler du cercle avec le troisième motif.

Ce que nous voulons pointer avec ce travail c’est la différence entre le lexique du matériel de géométrie et le lexique de la géométrie. Nous prenons comme exemple l’utilisation de GeoGebra car les élèves y ont déjà testé leurs figures lors d’une précédente séance. Sous GeoGebra, il n’y a pas de pointe de compas alors comment faire ? Nous faisons appel à la classe et certains élèves parlent de centre et de rayon. Nous validons et passons à la suite.

Bien sûr, les élèves n’ont pas oublié les critiques sur les notations. Nous nous arrêtons sur « le cercle qui devra toucher le milieu du carré ». Nous expliquons qu’il s’agit sans doute « du milieu du côté du carré » mais que l’expression du fait que le cercle est tangent au côté du carré est améliorable. Comment ? En montrant la dernière production.

Nous voulons enfin terminer par une production qui relance les élèves Avant d’écrire un programme de construction il faut bien analyser le dessin afin d’en comprendre une possible construction. Nous questionnons alors les élèves sur la pertinence de la mesure 3 mm pour s’accorder à dire qu’il faut retourner à l’analyse du motif.

Il s’agit d’ailleurs plus d’un va-et-vient entre la rédaction du programme et sa mise à l’épreuve sous GeoGebra, le logiciel de géométrie dynamique permettant aussi de chercher une construction possible.

Pour terminer la séance, un bilan est distribué qui reprend et corrige  les principales erreurs ou approximations vus dans les productions des élèves. Une place libre avait été prévue mais n’a pas été utilisée.

Les fichiers
  • Le diaporama (pdf)
  • Le bilan (pdf)

 

 

 

 

Les grandeurs, les unités et le calcul

Au collège, les grandeurs occupent un place importante et permettent d’ancrer les mathématiques dans le quotidien sinon dans le concret.

Un débat, tranché aujourd’hui (sic), est celui de la présence ou non des unités dans les calculs. Ce n’est pas de ce débat qu’il sera question dans cet article mais de deux situations qui montrent la puissance du calcul  sur et avec les grandeurs. On peut néanmoins comparer ce qui est dit aujourd’hui dans les programmes (Bulletin officiel n° 30 du 26-7-2018) :

Mener des calculs impliquant des grandeurs mesurables, notamment des grandeurs composées, exprimer les résultats dans les unités adaptées ;

Et ce qui était dit auparavant :

Mener des calculs impliquant des grandeurs mesurables, notamment des grandeurs composées, en conservant les unités.

Et se poser la question des raisons qui ont poussé à ce minuscule changement ? Pas de réponse ici, mais plutôt deux exemples qui plaident en faveur de la conservation des unités dans les calculs, c’est-à-dire du calcul sur les grandeurs.

Les situations
Situation 1 : Les volumes

On trouve fréquemment le type d’exercice suivant en classe de troisième :

Trouver la hauteur d’un cylindre ayant le même volume et le même rayon qu’un demi-sphère de rayon 9 cm.

Après avoir calculé le volume de la demi-sphère (486 cm3), on peut écrire et résoudre une équation :

 

Ainsi, après avoir posé une équation portant sur des grandeurs volumes, l’inconnue, c’est-à-dire la hauteur se voit naturellement associée à son unité, le cm.

Situation 2 : Hauteur d’eau

Sur le site de météo France, on trouve  la définition suivante :

Pluviomètre : Instrument météorologique destiné à mesurer la hauteur de précipitation pendant un intervalle de temps donné (en supposant uniformément répartie et non sujette à évaporation l’eau de précipitation tombée sur la surface terrestre). Cette hauteur de précipitation s’exprime en millimètres ou, de façon équivalente, en litres par mètre carré, que souvent l’on se contente d’appeler pour simplifier des litres. (Le litre, unité de capacité utilisée pour mesurer en décimètres cubes un volume de liquide ou de matière sèche, admet encore à titre provisoire deux symboles légaux : le « L » — majuscule, bien qu’il n’ait pas pour origine un nom propre — et le « l » — utilisé historiquement, mais prêtant à confusion avec le chiffre 1 ; l’unité de hauteur de précipitation s’écrit donc l/ ou L/.)

http://www.meteofrance.fr/publications/glossaire/153188-pluviometre

 

Comment démontrer l’équivalence exprimée ci-dessus en gras ? Voici une réponse possible :

D’où appellation « hauteur » pour une quantité de pluie par unité de surface. Ainsi, le calcul sur les grandeurs a aussi un pouvoir de démonstration.

A lire

http://yves.chevallard.free.fr/spip/spip/IMG/pdf/Les_grandeurs_au_college_I.pdf

A écouter