Coup de pouce ?

J’ai participé aujourd’hui à une journée d’échange sur les nouveaux programmes de mathématiques du lycée. Un temps y a été consacré à ce que l’on peut appeler la « résolution de problème ». Une liste de six problèmes a été distribuée avec comme consigne de les analyser en termes de contenu mathématique, d’automatismes à travailler en amont, de différenciation des approches et en termes de coup de pouce. C’est sur ce dernier point que je voudrais revenir.

Voici l’énoncé proposé.

Extrait de la série d’exercices proposée par Philippe Déhais (Lycée Schuman, le Havre)

Je ne peux m’empêcher d’en modifier la question. Où placer le triangle ABC pour que C appartienne à la courbe représentative de la fonction racine carrée ? Les abscisses des points A et B sont des réponses qui peuvent venir de questions que se poseront les élèves eux-mêmes… Mais c’est de « coup de pouce qu’il est question » dans cet article et pas de la façon de poser un problème.

Je préférerais parler de « relance » pour des raisons que je vais préciser ici. Il ne s’agit pas simplement de vocabulaire mais de quelque chose de plus significatif qui a un impact direct sur le travail mathématique des élèves.

Voici un coup de pouce que proposait une collègue de l’assemblée :

Quelle est la hauteur d’un triangle équilatéral de côté a ?

C’est un intermédiaire important, c’est certain. La réponse à cette question va-t-elle aider les élèves ? Oui, dans certains cas, non dans d’autres mais là n’est pas la question. Le fait de dévoiler que c’est la hauteur du triangle qui est en jeu tue à proprement parler la tâche. N’est-ce pas aux élèves de trouver que c’est la hauteur du triangle qui détermine sa position sur l’axe des abscisses. N’est-ce pas là la part la plus intéressante de recherche ? Les élèves ne sont-ils pas capables de se poser cette question eux-mêmes ? Ce n’est pas évident, alors comment les relancer  ? Voyons cela, la nature de la figure proposée a-t-elle un intérêt particulier ? Peut-on en proposer une autre ? Oui, proposons aux élèves de remplacer le triangle équilatéral de côté 1 par un carré de côté 1 puis par un rectangle de 3 sur 2 à placer dans un sens puis dans l’autre, bref de faire varier les figures et de regarder les invariants.

Le carré de côté 1, facile !
Le rectangle 3×2 dans un sens. Que se passe-t-il si on le redresse ?

Ainsi les élèves devront comprendre que quelque soit la figure proposée, la hauteur de celle-ci joue un rôle dans cette situation (son carré en fait…). A eux maintenant de déterminer cette hauteur. Le choix de ne pas dévoiler le concept de hauteur permettra une meilleure dévolution de la tâche proposée. Faisons le pari que dans ce cas, la question soulevée par les élèves eux-même aura beaucoup plus de sens à leurs yeux et qu’ils mettront plus de cœur à y répondre qu’ils se la sont posée eux-mêmes.

Si ouvrir un problème peut s’avérer simple, en ne gardant que la dernière question et en éliminant la succession de questions intermédiaires, prévoir des relances ne peut pas se réduire à rétablir une suite de sous-questions retraçant le cheminement de pensée de l’enseignant, une relance doit permettre à un élève de faire émerger les concepts en jeu et  de se poser les bonnes questions, de s’en saisir et d’y répondre.

En parlant de pouce, « Under my thumb » des Stones reprise par Pentagram, pas mal !

 

 

Chacun sa part : une situation de proportionnalité méconnue

 

Objectifs
  • Découvrir une situation de proportionnalité peu connue des élèves
  • Etudier la proportionnalité sous plusieurs aspects
  • Utiliser les fractions, fraction d’une quantité et pourcentage
Niveau / B.O
  • Fin de cycle 3, à distance du travail mené sur la proportionnalité
  • Pourquoi pas en cycle 4 à propos de la notion de ratio puisque le B.O y fait explicitement référence dans les compétences associées à l’étude de la proportionnalité :

Modus Operandi

Prévoir au moins une séance pour chaque situation. Un travail de groupe peut s’avérer utile. On peut aussi imaginer une présentation orale du travail produit par les groupes avec un orateur choisi au sein du groupe et les autres en soutien.

Déroulement / Relances

Un diaporama peut permettre d’introduire auprès des élèves la situation.

On précisera ce qu’est un budget commun et à quoi il sert. Par une discussion de classe habilement menée, on amènera les élèves à prendre conscience que le partage en trois parts égales ne convient pas. On en profitera pour faire oraliser les élèves :  « Chacun va récupérer des sommes différentes car au départ chacun a versé des sommes différentes ».  L’idée de cette présentation est simplement de faire comprendre les grandeurs en jeu dans le problème sans en dévoiler les pistes éventuelles de résolution. D’où le fait qu’il n’y figure pas de variable didactique fixée. Bien sur, on pourra laisser les élèves rejeter eux-même le partage en trois parts égales. Dans tous les cas, à ce stade, se garder de parler de proportionnalité, c’est une démarche de modélisation qui devra rester à la charge des élèves.
Une fois la situation clarifiée (pas de partage en trois parts égales) et les élèves en situation de recherche, on peut s’attendre à certaines difficultés. L’affaire n’est pas simple et des blocages sont à prévoir. Si certains groupes calculent naturellement la somme totale 2500 + 300 + 450 = 1000, ne pas hésiter à demander aux groupes qui n’y pensent pas, de le faire. Cette somme est un bon levier pour la compréhension de la situation. Ensuite, les élèves devront trouver rapidement la somme correspondant à Alice. On pourra relancer les élèves bloqués en demandant ce que représente la somme d’Alice par rapport à la somme totale. A ce stade, de nombreuses stratégies pourront apparaître, à condition de laisser les élèves chercher. L’usage d’un tableau pourra être conseillé pour des élèves qui n’arrivent pas à s’organiser.
La situation 2 pourra être traitée de façon identique.

Stratégies / productions D’ÉLÈVES

Elles sont nombreuses et sont même susceptibles de se croiser. En voici quelques-unes (liste non exhaustive) :

  • Pourcentages : Alice donne 25 % de la somme de départ donc
    reçoit 25% de la somme restante.
  • Fractions : Alice a versé 1/4 de la somme de départ donc elle reçoit 1/4 en retour.
  • Coefficient de proportionnalité : Il vaut 155/1000 = 0,155. S’il apparaîtra assez rarement dans les travaux d’élèves, il s’avère néanmoins terriblement efficace. Son usage pourra être montré dans un bilan final.
  • Une fois la somme d’Alice trouvée, des arguments de proportionnalité (voir plus loin, « un peu de mathématiques« ) pourront être utilisés pour Bertrand et Chloé : Si Alice perçoit 38,75 € en ayant versé au départ 250 elle aurait perçu 7,75 € si elle avait versé 50 € (5 fois moins) et donc, Bertrand percevra 6 fois plus. . .
    D’autres élèves remarqueront peut-être que Bertrand a versé 1,2 fois plus qu’Alice et qu’il percevra de même 1,2 fois plus. On pourra faire le lien entre les écritures 6/5, 1 + 1/5 et 1,2.

Dans tous les cas, la diversité des techniques de résolution permettra de faire
un point assez complet sur la notion de proportionnalité mais aussi sur les écritures fractionnaires et les fractions d’une grandeur.
Enfin, on pourra faire remarquer aux élèves qui trouvent la somme de Chloé par différence, que c’est astucieux mais qu’ils perdront une occasion simple de vérifier leurs trois sommes.

Variables didactiques

Pour la situation 1, les données sont choisies de façon à obtenir des résultats au centime près en valeurs exactes. Un travail spécifique peut être entrepris dans la situation 2 pour rechercher un partage au centime près « le plus juste possible ». Dans les deux situations, les enjeux ne sont donc pas tout à fait les mêmes. La situation 1 est davantage axée sur la méthode de résolution et la situation 2 est davantage axée sur la recherche de précision.

  • Un coefficient de proportionnalité arrondi (0,29 ou même 0,299) ne
    donne pas de bons résultats :
    0,29 x 6800 € + 0,29 x 5200 € + 0,29 x 3700 € = 4694,30 € et non pas 4700 €. Certains élèves se poseront alors la question du partage des 5,70 € restant entre les trois amis.
  • La méthode qui consiste à utiliser un pourcentage donne de
    moins bons résultats.
  • Il pourra donc être utile de chercher un coefficient fractionnaire
  • Une simple troncature  au centième des trois résultats calculés à l’aide de fractions donne une somme totale égale à 4699,98 €, inférieure de 2 centimes à 4700 € ! On profitera de cette occasion pour rappeler comment arrondir un résultat au centième près.
Un peu de mathématiques
  • Les sommes d’argent récupérées par les trois amis sont dans le ratio des sommes versées, c’est à dire,  250 : 300 : 450 (ou encore 25 : 30 : 45 ou même 5 : 6 : 9). Cela signifie que si a, b et c sont les sommes récupérées par Alice, Bertrand et Chloé, on a a / 250 = b / 300 = c / 450 et donc, en utilisant un argument de proportionnalité, a / 250 = b / 300 = c / 450 = ( a + b + c ) / (250 + 300 +450)  soit, puisque dans notre cas a + b + c = 155 a / 250 = b / 300 = c / 450 = 155 / 1000. On en déduit alors facilement a, b et c.
    Un théorème de calcul algébrique permet d’étayer l’argument de proportionnalité. En effet si a = b alors on a aussi,
    a = b = ( x + y ) / ( a + b )
    En effet si a = b alors il existe un nombre k tel que x = k . a et y = k . b. On a donc ,
    ( x + y
    ) / ( a + b ) = ( k . ak . b ) /  ( a + b )  = k = a = b
    CQFD.
    Ce théorème permet alors d’écrire, dans la situation d’Alice, Bertrand et Chloé, l’égalité surprenante :
    a / 5 = b / 6 = c / 9 = (a + b + c ) / (5 + 6 + 9 ) = 155  / 20
    On retrouve ce qui sous-tend les productions d’élèves citées plus haut, celles qui utilisent des arguments de proportionnalité.
  • Les partages selon un ratio données font parties d’exercices « classiques ». On en retrouve par exemple ici (exercices 15 à 18) : http://www.math.univ-angers.fr/~labatte/institut/Exprop.pdf
  • Le site de Serge Mehl consacre un article assez complet sur la proportionnalité, on y trouve peut-être une origine à la notation a : b : c http://serge.mehl.free.fr/anx/proportionnalite.html
Fichiers utiles

Enoncé.pdf
Presentation.pdf

Un peu de musique pour terminer

Et puisqu’on parle de partage…