Scratch fever – Algorithmique

 

 

L’algorithmique est un domaine des mathématiques passionnant à étudier avec les élèves. On trouve beaucoup de ressources (livres, manuels, sites, etc) sur ce sujet et malheureusement on tombe souvent sur des ressources extrêmement guidées. Nous pouvons très bien faire en sorte que, lors de la présentation d’une situation aux élèves, certaines informations ne soient pas données. On les incite ainsi à s’interroger sur celles qui sont nécessaires à la résolution du problème. Un tel choix permet une meilleure dévolution de la question. Bien entendu ce principe vaut dans tous les domaines – mathématiques ou pas d’ailleurs.

Sources

Au départ nous nous inspirons largement d’un excellent article publié sur le tout aussi excellent site de l’Académie d’Aix-Marseille : Constructions de figures.

B.O.

Niveau

Nous choisissons de placer ce travail en 4e. Aucun pré-requis n’est attendu et nous imaginons que les élèves n’ont jamais encore utilisé le logiciel. Les élèves qui « Scratchent » déjà iront simplement plus vite que les autres et de nombreux prolongements sont à prévoir. C’est le cas dans toutes les activités qui tournent autour de la programmation. Certains élèves dépassent même les maîtres…

Objectifs

Introduire des notions d’algorithmique, en particulier les notions de phase d’initialisation, de boucle, de sous-programme et de variable.

Première séance : prise en mai – notion de boucle

Une première présentation du logiciel est faite par le professeur qui devra montrer la scène, la palette des blocs et l’aire des scripts. A ce stade les élèves ne sont pas face à un ordinateur. Il s écoutent religieusement le professeur.

Avant de commencer on pourra supprimer le chat et le remplacer par une flèche bien plus pratique pour élaborer des dessins (notamment pour l’orientation). Cette flèche devra être réduite et recentrée.

Cette flèche était déjà présente dans l’antique mais toujours à la mode « Tortue Logo » qui permettait dès les années 60 de programmer des figures géométriques.

Flèche MSW Logo

Flèche Scratch

Ensuite, toujours en classe, on pourra montrer comment on peut construire un carré de côté 100. On montrera ainsi l’utilisation des blocs suivants :

On installera alors les élèves face à un ordinateur et une liste de figures à reproduire leur sera distribuée. Pour cette première séance certains élèves parmi les plus rapides pourront commencer le motif grec.

C’est au fur et à mesure des différentes constructions que le besoin d’introduire de nouvelles fonctionnalités ou de nouveaux blocs se fera. C’est cette idée qui sous-tends toutes les séances.

Concernant le losange, la principale difficulté est la détermination de l’angle du premier angle de rotation. Il conviendra de laisser les élèves chercher et de les inciter à essayer des angles. Ainsi, tous les élèves seront à même de valider ou d’invalider leur propre réalisation. Certains élèves obtiendront un losange symétrique. Valider cette réalisation mais faire prendre conscience aux élèves que ce n’était pas tout à fait ce qui était attendu.

Invalidation des angles

Triangle symétrique, validé

A l’issue de cette première séance, plusieurs points seront à institutionnaliser :

  • la notion d’initialisation : avant de démarrer tout programme, il y a une phase d’initialisation qui permet de « remettre tous les compteurs à zéro ».
  • la notion de boucle : lorsque une partie d’un programme se répète, il convient d’utiliser une boucle (nous reviendrons sur ce principe lors de l’utilisation d’une variable).

Voici un résumé de cours possible.

Deuxième Séance : Notion de sous-programme

Les dessins du motif grec et de la frise seront proposés dans une seconde séance. Le pavage pourra servir de prolongement pour les élèves rapides. Il conviendra de les laisser travailler en autonomie et d’institutionnaliser la notion de sous-programme qui permet d’alléger l’aire des scripts :

Aux élèves les plus avancés, ceux qui auront terminer le pavage,  on pourra proposer d’épaissir le trait et de changer les couleurs (fond et stylo). Le résultat pourra être montré  de façon à motiver l’ensemble de la classe :

Satisfaction garantie !

Troisième séance : les variables

Il y a sans doute de nombreuses façon d’introduire la notion de variable. L’une d’entre-elles consiste, encore une fois, à créer le besoin chez les élèves par l’intermédiaire d’une figure bien choisie.

Nous proposons aux élèves de reproduire la spirale (toujours issue du site Académique d’Aix-Marseille) :

Aucune unité de longueur n’étant présente, certains élèves poseront la question de la mesure du premier petit segment au centre de la spirale. Cela fait partie des données sur lesquels ils devront réfléchir et faire le choix qui leur convient le mieux. D’autres élèves feront le choix de commencer la figure par l’extérieur. On pourra les laisser faire ou bien les engager vers une autre piste.

Rapidement, les élèves vont trouver le travail laborieux et répétitif. Ce sera alors le moment d’institutionnaliser la notion de variable : lorsque une partie d’un programme se répète, on peut utiliser une boucle. Et lorsque cette partie se répète mais que « quelque chose » varie, on peut créer puis utiliser une variable.

Montrer alors aux élèves comment on crée puis comment on utilise la variable. Les blocs mis en jeu sont :

La vidéo ci-dessous présente comment on passe d’un script sans variable à un script avec variable et pourra être mise à disposition des élèves pour la suite.

— Insérer ici  le lien vers la vidéo —

Voici un résumé de cours possible. On questionnera les élèves sur les multiples avantages d’un script sur l’autre : plus court certes mais surtout dynamique.

Lors d’une autre séance, remettre les élèves au travail sur une deuxième figure similaire à la spirale (dans son principe) :

Les élèves devront, dans un premier temps produire un script simple, sans variable et se rendre compte qu’une variable est alors nécessaire. Il pourrons s’aider de la vidéo citée plus haut. A cette occasion, on pourra aussi montrer aux élèves les instructions suivantes.

Ce sera l’occasion de revenir sur le fait que « pour reculer de 10, on peut ajouter -10 ».

prolongement

Aux élèves les plus rapides, nous proposons de retravailler les pavage grec avec, comme contrainte supplémentaire, la possibilité donnée à l’utilisateur de choisir le nombre de motifs par ligne et le nombre de lignes. Pour cela on montrera les blocs suivants :

Ces élèves seront confrontés à l’utilisation de plusieurs variables. Ils devront faire un effort de recherche sur la longueur de la ligne qui permet de faire le retour au bout d’une ligne (en gras ci-dessous). Elle dépend du nombre de motifs par ligne, ainsi, on pourra faire le lien avec le calcul littéral.

Longueur du « retour »

Voici une vidéo qui pourra être laissée à la disposition des élèves.

Les fichiers et liens utiles
Pour terminer en musique

 

 

 

 

 

Chacun sa part : une situation de proportionnalité méconnue

 

Objectifs
  • Découvrir une situation de proportionnalité peu connue des élèves
  • Etudier la proportionnalité sous plusieurs aspects
  • Utiliser les fractions, fraction d’une quantité et pourcentage
Niveau / B.O
  • Fin de cycle 3, à distance du travail mené sur la proportionnalité
  • Pourquoi pas en cycle 4 à propos de la notion de ratio puisque le B.O y fait explicitement référence dans les compétences associées à l’étude de la proportionnalité :

Modus Operandi

Prévoir au moins une séance pour chaque situation. Un travail de groupe peut s’avérer utile. On peut aussi imaginer une présentation orale du travail produit par les groupes avec un orateur choisi au sein du groupe et les autres en soutien.

Déroulement / Relances

Un diaporama peut permettre d’introduire auprès des élèves la situation.

On précisera ce qu’est un budget commun et à quoi il sert. Par une discussion de classe habilement menée, on amènera les élèves à prendre conscience que le partage en trois parts égales ne convient pas. On en profitera pour faire oraliser les élèves :  « Chacun va récupérer des sommes différentes car au départ chacun a versé des sommes différentes ».  L’idée de cette présentation est simplement de faire comprendre les grandeurs en jeu dans le problème sans en dévoiler les pistes éventuelles de résolution. D’où le fait qu’il n’y figure pas de variable didactique fixée. Bien sur, on pourra laisser les élèves rejeter eux-même le partage en trois parts égales. Dans tous les cas, à ce stade, se garder de parler de proportionnalité, c’est une démarche de modélisation qui devra rester à la charge des élèves.
Une fois la situation clarifiée (pas de partage en trois parts égales) et les élèves en situation de recherche, on peut s’attendre à certaines difficultés. L’affaire n’est pas simple et des blocages sont à prévoir. Si certains groupes calculent naturellement la somme totale 2500 + 300 + 450 = 1000, ne pas hésiter à demander aux groupes qui n’y pensent pas, de le faire. Cette somme est un bon levier pour la compréhension de la situation. Ensuite, les élèves devront trouver rapidement la somme correspondant à Alice. On pourra relancer les élèves bloqués en demandant ce que représente la somme d’Alice par rapport à la somme totale. A ce stade, de nombreuses stratégies pourront apparaître, à condition de laisser les élèves chercher. L’usage d’un tableau pourra être conseillé pour des élèves qui n’arrivent pas à s’organiser.
La situation 2 pourra être traitée de façon identique.

Stratégies / productions D’ÉLÈVES

Elles sont nombreuses et sont même susceptibles de se croiser. En voici quelques-unes (liste non exhaustive) :

  • Pourcentages : Alice donne 25 % de la somme de départ donc
    reçoit 25% de la somme restante.
  • Fractions : Alice a versé 1/4 de la somme de départ donc elle reçoit 1/4 en retour.
  • Coefficient de proportionnalité : Il vaut 155/1000 = 0,155. S’il apparaîtra assez rarement dans les travaux d’élèves, il s’avère néanmoins terriblement efficace. Son usage pourra être montré dans un bilan final.
  • Une fois la somme d’Alice trouvée, des arguments de proportionnalité (voir plus loin, « un peu de mathématiques« ) pourront être utilisés pour Bertrand et Chloé : Si Alice perçoit 38,75 € en ayant versé au départ 250 elle aurait perçu 7,75 € si elle avait versé 50 € (5 fois moins) et donc, Bertrand percevra 6 fois plus. . .
    D’autres élèves remarqueront peut-être que Bertrand a versé 1,2 fois plus qu’Alice et qu’il percevra de même 1,2 fois plus. On pourra faire le lien entre les écritures 6/5, 1 + 1/5 et 1,2.

Dans tous les cas, la diversité des techniques de résolution permettra de faire
un point assez complet sur la notion de proportionnalité mais aussi sur les écritures fractionnaires et les fractions d’une grandeur.
Enfin, on pourra faire remarquer aux élèves qui trouvent la somme de Chloé par différence, que c’est astucieux mais qu’ils perdront une occasion simple de vérifier leurs trois sommes.

Variables didactiques

Pour la situation 1, les données sont choisies de façon à obtenir des résultats au centime près en valeurs exactes. Un travail spécifique peut être entrepris dans la situation 2 pour rechercher un partage au centime près « le plus juste possible ». Dans les deux situations, les enjeux ne sont donc pas tout à fait les mêmes. La situation 1 est davantage axée sur la méthode de résolution et la situation 2 est davantage axée sur la recherche de précision.

  • Un coefficient de proportionnalité arrondi (0,29 ou même 0,299) ne
    donne pas de bons résultats :
    0,29 x 6800 € + 0,29 x 5200 € + 0,29 x 3700 € = 4694,30 € et non pas 4700 €. Certains élèves se poseront alors la question du partage des 5,70 € restant entre les trois amis.
  • La méthode qui consiste à utiliser un pourcentage donne de
    moins bons résultats.
  • Il pourra donc être utile de chercher un coefficient fractionnaire
  • Une simple troncature  au centième des trois résultats calculés à l’aide de fractions donne une somme totale égale à 4699,98 €, inférieure de 2 centimes à 4700 € ! On profitera de cette occasion pour rappeler comment arrondir un résultat au centième près.
Un peu de mathématiques
  • Les sommes d’argent récupérées par les trois amis sont dans le ratio des sommes versées, c’est à dire,  250 : 300 : 450 (ou encore 25 : 30 : 45 ou même 5 : 6 : 9). Cela signifie que si a, b et c sont les sommes récupérées par Alice, Bertrand et Chloé, on a a / 250 = b / 300 = c / 450 et donc, en utilisant un argument de proportionnalité, a / 250 = b / 300 = c / 450 = ( a + b + c ) / (250 + 300 +450)  soit, puisque dans notre cas a + b + c = 155 a / 250 = b / 300 = c / 450 = 155 / 1000. On en déduit alors facilement a, b et c.
    Un théorème de calcul algébrique permet d’étayer l’argument de proportionnalité. En effet si a = b alors on a aussi,
    a = b = ( x + y ) / ( a + b )
    En effet si a = b alors il existe un nombre k tel que x = k . a et y = k . b. On a donc ,
    ( x + y
    ) / ( a + b ) = ( k . ak . b ) /  ( a + b )  = k = a = b
    CQFD.
    Ce théorème permet alors d’écrire, dans la situation d’Alice, Bertrand et Chloé, l’égalité surprenante :
    a / 5 = b / 6 = c / 9 = (a + b + c ) / (5 + 6 + 9 ) = 155  / 20
    On retrouve ce qui sous-tend les productions d’élèves citées plus haut, celles qui utilisent des arguments de proportionnalité.
  • Les partages selon un ratio données font parties d’exercices « classiques ». On en retrouve par exemple ici (exercices 15 à 18) : http://www.math.univ-angers.fr/~labatte/institut/Exprop.pdf
  • Le site de Serge Mehl consacre un article assez complet sur la proportionnalité, on y trouve peut-être une origine à la notation a : b : c http://serge.mehl.free.fr/anx/proportionnalite.html
Fichiers utiles

Enoncé.pdf
Presentation.pdf

Un peu de musique pour terminer

Et puisqu’on parle de partage…

Une figure mystère ou comment une homothétie permet de construire un carré inscrit dans un triangle ?

Objectif

Découvrir l’homothétie en deux séances

ÉNONCÉ

Niveau

Fin de cycle 4, 3ème

Pré-requis
  • Avoir déjà utilisé GeoGebra
  • Avoir déjà étudié un même type de tâche (inscrire une figure dans une autre), par exemple :

  • De même, avoir déjà travaillé une question d’agrandissement, par exemple :
Déroulement

Commencer par montrer une figure dynamique sous GeoGebra afin de faire comprendre à la classe qu’il ne s’agit pas de reproduire une figure (statique) particulière mais que la construction doit pouvoir fonctionner sur tous les triangles possibles.
Dire aux élèves qu’ils vont devoir comprendre comment est construit le carré inscrit dans le triangle et qu’une fois la construction établie, ils pourront la réaliser sous GeoGebra.
Distribuer l’énoncé et mettre les élèves au travail : papier/crayon. Cette étape est importante, les élèves doivent prendre conscience de la difficulté de la construction. Comment faire en sorte que deux sommets soient sur deux côtés du triangle et que les deux autres sommets soient sur le même troisième côté ? On pourra distribuer des « figures pour comprendre ». Ce sont des figures déjà réalisées sur lesquelles les élèves peuvent effectuer des tracés, repérer des alignements, mesurer, bref explorer.

Relances / difficultés

Les élèves vont produire des figures qu’ils ont réalisés à tâtons. En montrer une à la classe via un vidéoprojecteur. Elle pourra sembler justes à certains et une discussion de classe permettra de l’invalider après en avoir aussi montré les aspects positifs.  Il faudra alors relancer la classe pour la faire sortir de cette situation de blocage.
Une relance importante consiste à abaisser une contrainte :

Construire un carré avec un sommet intérieur au triangle Construire un carré avec un côté parallèle à un côté du triangle
 

Une fois la contrainte abaissée, la figure est relativement simple à construire. Questionner alors les élèves sur la taille du carré ainsi construit. Le carré solution est un agrandissement du « petit » carré, comment le construire ? Peut-on construire des carrés de plus en plus grand ?  Le carré pouvant même dépasser le carré solution. Une fois plusieurs carrés construits, peut-on trouver des alignements (sommets des carrés) ? Ces relances ont pour but d’obtenir des carrés homothétiques afin d’obtenir un sommet du carré solution :

Une fois la construction réalisée par tous, lors d’une deuxième séance, passer sous GeoGebra. On pourra limiter les outils avec une version de GeoGebra « allégée » :

Institutionnalisation

Voici un bilan possible qui montre les aspects dynamiques de l’homothétie qui devient un outil pour construire.

Prolongements
  • Lors de la séance sous GeoGebra, vérifier que la construction fonctionne dans tous les cas (lorsqu’un des angles de la « base » est obtus). Si ce n’est pas le cas demander de corriger, il faudra alors considérer les droites qui supportent les côtés du triangle et non pas seulement les segments.
  • Proposer de construire des carrés inscrits à l’infini (dans les trois triangles restants) ou de construire les trois cercles inscrits dans les trois triangles restants (Sangaku) :
    Conclusion

Il restera à faire le lien avec le théorème de Thalès, en effet, cette tâche ne prend pas en compte le rapport de l’homothétie.

Fichiers utiles

EnoncéFigureMystere.pdf

BilanFigureMystere.pdf

FigurePourComprendre.pdf