Calculs et unités – le comparatif

Pour faire suite à l’article sur les grandeurs, les unités et le calcul, voici une troisième situation qui montre la puissance des unités dans les calculs.

Hier soir, mon fils travaillait sur un exercice de géométrie. Je jette un œil. C’est un « classique » qui permet de montrer une utilisation concrète de la configuration croisée du théorème de Thalès. En voici la figure :

L’énoncé précise OA’ = 50 mm , AB =  12 m et OA = 25 m. Après une première question qui permet de prouver que l’on est bien dans une configuration de Thalès (le parallélisme), une deuxième question demande d’établir d’/d = A’B’/AB pour enfin, dans une troisième question déterminer la distance A’B’, taille de l’arbre sur la pellicule qui est, en passant une distance bien plus facilement mesurable que la hauteur de l’arbre. Mais le sujet n’est pas là. On voit que l’utilisation de l’égalité de la deuxième question, va poser (ou devrait poser) des problèmes d’homogénéité des unités. On a d’une part des mètres et d’autre part des millimètres.

Une première résolution consisterait à convertir toutes les distances dans une même unité, par exemple le mètre.

d’ = 50 mm = 0,05 m
d = 25 m
AB = 12 m
On obtient donc :

On conclut alors que l’image mesure 0,024 m soit 24 mm.

Une deuxième solution possible montre que ces changements d’unités ne sont pas nécessaires. En s’affranchissant entièrement des unités, on obtient les égalités suivantes :

Et puis, que faire de ce résultat sans unité ? On peut toujours lui coller des mm, cela passera sans doute mais on sent bien que derrière ce calcul, il y a un tour de passe-passe non dévoilé.

C’est la troisième solution qui dévoile ce tour. Écrivons simplement les unités dans ces calculs :

Par la « simplification par m », simplification bien connue des élèves dans le cadre numérique mais plus rarement dans le cadre des grandeurs, la distance A’B’ se voit affecter naturellement (ou même algébriquement) son unité, le mm.

Bien sûr, on peut aussi calculer un coefficient de proportionnalité :

C’est-à-dire un nombre, sans unité, que l’on applique aux 12 m.

Et retrouver à peu de frais les 24 mm de l’image.

Parallélisme – It’s a Man’s World

 

Samedi 10 novembre 2018, lors d’une visite au Mahj pour admirer l’exposition consacrée à Sigmund Freud, nous tombons, ma chérie et moi-même sur ces quelques lignes rédigées par Freud:

« Dans le cours des siècles, la science a infligé à l’égoïsme naïf de l’humanité deux graves démentis. La première fois, ce fut lorsqu’elle a montré que la terre, loin d’être le centre de l’univers, ne forme qu’une parcelle insignifiante du système cosmique dont nous pouvons à peine nous représenter la grandeur. Cette première démonstration se rattache pour nous au nom de Copernic, (…). Le second démenti fut infligé à l’humanité par la recherche biologique, lorsqu’elle a réduit à rien les prétentions de l’homme à une place privilégiée dans l’ordre de la création, en établissant sa descendance du règne animal et en montrant l’indestructibilité de sa nature animale. Cette dernière révolution s’est accomplie de nos jours, à la suite des travaux de Ch. Darwin, (…). Un troisième démenti sera infligé à la mégalomanie humaine par la recherche psychologique de nos jours qui se propose de montrer au moi qu’il n’est seulement pas maître dans sa propre maison, qu’il en est réduit à se contenter de renseignements rares et fragmentaires sur ce qui se passe, en dehors de sa conscience, dans sa vie psychique.(…) ».
Sigmund Freud, Introduction à la psychanalyse (1916),
Ile partie, chap. 18, trad. S. Jankélévitch, Payot, colt. «Petite Bibliothèque», 1975, p. 266-267.

Un beau et surprenant parallélisme entre trois révolutions dans des domaines différents.

Mais qu’est-ce que le parallélisme ? Que disons-nous aux élèves de collège ? Bien sûr, nous parlons des rails du train, de l’écartement constant, des droites qui ne se coupent pas – mais une droite se coupe-t-elle, elle même ? – et nous pouvons aussi parler de droites qui ont une même direction.

Tout cela est tout à fait correct mais comment faire le lien entre « ne pas se couper » et « avoir la même direction » ? On trouve une réponse à cette question en formalisant la notion de parallélisme :
On dit que deux droites d et d’ sont parallèles lorsque
On vérifie alors que l’on obtient une relation d’équivalence sur l’ensemble des droites. L’ensemble des classes d’équivalence forme alors une partition de l’ensemble des droites et ainsi, chaque droite appartient alors à une unique classe : cette classe est appelée direction de la droite. Ainsi on peut affirmer avec rigueur que des droites parallèles sont des droites qui ont la même direction.

A ce propos, voici une référence dans le domaine de la géométrie axiomatique :

CHOQUET Gustave L’enseignement de la géométrie Ed.Hermann 1971

Curieux titre. Dans ce livre d’environ 180 pages, il y a environ une dizaine de figures, c’est peu pour un livre de géométrie, destiné à l’enseignement. On imagine qu’il va nous servir tous les jours dans les classes de collège et de lycée. D’ailleurs, l’avertissement précise  » Il [ce livre] pourra aussi être utilisé avec profit par les élèves de 15 à 18 ans sous la direction de leurs maîtres. » En fait, il s’agit d’une axiomatique de la géométrie et c’est précisément cette axiomatique qui sert de repère au professeurs de collège.

Ainsi, les trois révolutions citées par Freud ont une même direction, celle de la décentration de l’Homme vers plus d’humilité. Au sein de l’univers tout entier, sur terre dans le règne animal et enfin chez lui, dans « sa propre maison ». Une quatrième révolution doit avoir lieu, c’est celle de la décentration de l’homme, je veux dire de l’être humain de sexe masculin.

 

Les grandeurs, les unités et le calcul

Au collège, les grandeurs occupent un place importante et permettent d’ancrer les mathématiques dans le quotidien sinon dans le concret.

Un débat, tranché aujourd’hui (sic), est celui de la présence ou non des unités dans les calculs. Ce n’est pas de ce débat qu’il sera question dans cet article mais de deux situations qui montrent la puissance du calcul  sur et avec les grandeurs. On peut néanmoins comparer ce qui est dit aujourd’hui dans les programmes (Bulletin officiel n° 30 du 26-7-2018) :

Mener des calculs impliquant des grandeurs mesurables, notamment des grandeurs composées, exprimer les résultats dans les unités adaptées ;

Et ce qui était dit auparavant :

Mener des calculs impliquant des grandeurs mesurables, notamment des grandeurs composées, en conservant les unités.

Et se poser la question des raisons qui ont poussé à ce minuscule changement ? Pas de réponse ici, mais plutôt deux exemples qui plaident en faveur de la conservation des unités dans les calculs.

Les situations
Situation 1 : Les volumes

On trouve fréquemment le type d’exercice suivant en classe de troisième :

Trouver la hauteur d’un cylindre ayant le même volume et le même rayon qu’un demi-sphère de rayon 9 cm.

Après avoir calculé le volume de la demi-sphère (486 cm3), on peut écrire et résoudre une équation :

 

Ainsi, après avoir posé ne équation sur des volumes, l’inconnue, c’est-à-dire la hauteur se voit naturellement associée à son unité, le cm.

Situation 2 : Hauteur d’eau

Sur le site de météo France, on trouve  la définition suivante :

Pluviomètre : Instrument météorologique destiné à mesurer la hauteur de précipitation pendant un intervalle de temps donné (en supposant uniformément répartie et non sujette à évaporation l’eau de précipitation tombée sur la surface terrestre). Cette hauteur de précipitation s’exprime en millimètres ou, de façon équivalente, en litres par mètre carré, que souvent l’on se contente d’appeler pour simplifier des litres. (Le litre, unité de capacité utilisée pour mesurer en décimètres cubes un volume de liquide ou de matière sèche, admet encore à titre provisoire deux symboles légaux : le « L » — majuscule, bien qu’il n’ait pas pour origine un nom propre — et le « l » — utilisé historiquement, mais prêtant à confusion avec le chiffre 1 ; l’unité de hauteur de précipitation s’écrit donc l/ ou L/.)

http://www.meteofrance.fr/publications/glossaire/153188-pluviometre

 

Comment démontrer l’équivalence exprimée ci-dessus en gras ? Voici une réponse possible :

D’où appellation « hauteur » pour une quantité de pluie par unité de surface. Ainsi, le calcul sur les grandeurs a aussi un pouvoir de démonstration.

A lire

http://yves.chevallard.free.fr/spip/spip/IMG/pdf/Les_grandeurs_au_college_I.pdf

A écouter