Au collège, les grandeurs occupent un place importante et permettent d’ancrer les mathématiques dans le quotidien sinon dans le concret.
Un débat, tranché aujourd’hui (sic), est celui de la présence ou non des unités dans les calculs. Ce n’est pas de ce débat qu’il sera question dans cet article mais de deux situations qui montrent la puissance du calcul sur et avec les grandeurs. On peut néanmoins comparer ce qui est dit aujourd’hui dans les programmes (Bulletin officiel n° 30 du 26-7-2018) :
Mener des calculs impliquant des grandeurs mesurables, notamment des grandeurs composées, exprimer les résultats dans les unités adaptées ;
Et ce qui était dit auparavant :
Mener des calculs impliquant des grandeurs mesurables, notamment des grandeurs composées, en conservant les unités.
Et se poser la question des raisons qui ont poussé à ce minuscule changement ? Pas de réponse ici, mais plutôt deux exemples qui plaident en faveur de la conservation des unités dans les calculs, c’est-à-dire du calcul sur les grandeurs.
Les situations
Situation 1 : Les volumes
On trouve fréquemment le type d’exercice suivant en classe de troisième :
Trouver la hauteur d’un cylindre ayant le même volume et le même rayon qu’un demi-sphère de rayon 9 cm.
Après avoir calculé le volume de la demi-sphère (486 cm3), on peut écrire et résoudre une équation :
Ainsi, après avoir posé une équation portant sur des grandeurs volumes, l’inconnue, c’est-à-dire la hauteur se voit naturellement associée à son unité, le cm.
Situation 2 : Hauteur d’eau
Sur le site de météo France, on trouve la définition suivante :
Pluviomètre : Instrument météorologique destiné à mesurer la hauteur de précipitation pendant un intervalle de temps donné (en supposant uniformément répartie et non sujette à évaporation l’eau de précipitation tombée sur la surface terrestre). Cette hauteur de précipitation s’exprime en millimètres ou, de façon équivalente, en litres par mètre carré, que souvent l’on se contente d’appeler pour simplifier des litres. (Le litre, unité de capacité utilisée pour mesurer en décimètres cubes un volume de liquide ou de matière sèche, admet encore à titre provisoire deux symboles légaux : le « L » — majuscule, bien qu’il n’ait pas pour origine un nom propre — et le « l » — utilisé historiquement, mais prêtant à confusion avec le chiffre 1 ; l’unité de hauteur de précipitation s’écrit donc l/m² ou L/m².)
http://www.meteofrance.fr/publications/glossaire/153188-pluviometre
Comment démontrer l’équivalence exprimée ci-dessus en gras ? Voici une réponse possible :
D’où appellation « hauteur » pour une quantité de pluie par unité de surface. Ainsi, le calcul sur les grandeurs a aussi un pouvoir de démonstration.
A lire
http://yves.chevallard.free.fr/spip/spip/IMG/pdf/Les_grandeurs_au_college_I.pdf
A écouter
