La topologie de Poincaré

6 novembre 2012

 
 

Topologie de Poincaré

 

 

Qui est Poincaré ?

Jules Henri Poincaré était un mathématicien français, diplômé du corps des Mines, enseignant a l’Université de Caen et à la Sorbonne, fondateur de la topologie algébrique et philosophe des sciences du XIX° siècle (1854-1912).

Il est à l’origine des propriétés du groupe de Poincaré-Lorenz sur les particules qui inspirera Einstein sur sa théorie de la relativité.

Sa conjecture sur la topologie, sur laquelle nous allons travailler, fut énoncée en 1904 et à été prouvée en 2003 par Grigori Perelman(de l’institut Steklov de Saint-Petersbourg) dont les articles sont publiés sur le site « arXiv », réservé à la publication scientifique.

 

Qu’est-ce que la topologie de Poincaré ?

La topologie est « la science qui étudie les propriétés géométriques d’un objet quand celui-ci est étiré, tordu ou rétréci ». On peut représenter la topologie avec des objets en plastique mou, déformables, indéchirables, incollables et sans plis marqués. Les objets sont représentés comme des ensembles de points particuliers.

 

Exemples :

 

« L’élastique » représenté ci-contre n’est en réalité qu’une seule surface, inorientable. C’est le cas pour tout les rubans avec un nombre IMPAIR de demi-tours. Cette représentaton est appelé « Ruban de Moebius » ou « surface unilatère ».

 

 

 

 

 

 

 

La bouteille de Klein ci-contre est une autre curiosité topologique : en effet, c’est un objet dont on ne peut différencier l’intérieur et l’extérieur.

 

Voici une vidéo Youtube qui représente bien la bouteille de Klein :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

La sphère inversée est très compliquée à représenter : en effet, aucun dessin ne permet de visualiser une telle opération... et il est très difficile d'imaginer ce « retournement ».

 

La vidéo qui suit explique de la meilleure façon la méthode employée pour « retourner » une sphère et de passer de l’intérieur à l’extérieur, ou inversement :

 

 

 

 

 

 

 

 

Quel est/sont le(s) but(s) de la conjecture de Poincaré ?

Les buts de cette conjecture sont multiples :

-donner un sens au notions de continuité, de limite...

-définir des notions comme « ouvert », « fermé », « compact », « adhérent », « convergent », …

-étudier les liens entre espaces topologiques et espaces métrisables.

 

Grâce à la propriété topologique suivante, Poincaré montre qu'une surface ayant le même groupe que la sphère lui est topologiquement équivalente.

 

Comment Poincaré parvient-il a cette caractéristique ?

La question fondamentale que se posait Poincaré était : « Comment classer les objets selon leur forme pour les organiser en familles, en classes, de manière à en déduire des propriétés communes ? ».

Poincaré cherche une propriété topologique pour effectuer une classification des espaces et des corps. Il met donc au point le concept de « groupe fondamental »: si on a prouvé une propriété relative à un groupe, on peut utiliser cette propriété sans avoir a la redémontrer chaque fois que l'on reconnaît un groupe. Ces groupes sont classés par leur dimensions « n » :

-si n=1, c'est un cercle

-si n=2, c'est une sphère

-si n=3, c'est une boule

-si n ? 4, c'est une hypersphère.

 

 

 

Son cheminement consiste à décomposer l'objet en élément de base, selon une règle, et à compter ces éléments selon leur dimension : points (dimension 0), segments (dimension 1), surfaces (dimension 2), volumes (dimension 3), hyper-volumes (dimension 4 et plus).

Le but est donc de contracter l'objet au maximum sur son propre espace.

 

Exemple :

Un segment, une portion de courbe se réduisent à un point. Il en est de même pour un tube qui, en se réduisant, devient un cercle. Cette caractéristique est un principe général de la topologie.

 

Les éléments de base sont le point (P), le segment, la courbe ou la ligne (L) et le disque, la feuille ou la surface (S).

Le théorème de Descartes-Euler se traduit par l'expression k=F+S-A, avec F les faces, S les sommets et A les arrêtes. Le nombre k est un invariant pour tout polyèdre.

 

 

Les illustrations suivantes montrent les objets, leurs dimensions et leur caractéristique d'Euler-Poincarré : P-L+S

 

 

 

Décomposition en objets de base :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bilan :

Tableau de caractéristiques :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Quelle que soit la décomposition de l'objet, ses éléments de bases restent les mêmes, tout comme sa caractéristique d'Euler-Poincarré (CEP) qui est constante.

 

L’intérêt de cette caractéristique réside dans le fait que la simplification des objets est indispensable pour les dimensions supérieures a 4 ; grâce à cette simplification, l'objet est ramené à une dimension plus basse.

 

SOURCES :

>http://villemin.gerard.free.fr/

>http://www.youtube.com/watch?v=R_w4HYXuo9M

>http://www.youtube.com/watch?v=sRTKSzAOBr4

 

 

Raphaëlle C. et Simon F.

 

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