Archive de novembre, 2012

Henri Poincaré déjà 100 ans ! vendredi, 9 novembre 2012

 

 


 

 
Tiberiu Andrei & Stéphanie
 

  

 

La topologie de Poincaré mardi, 6 novembre 2012

 
 

Topologie de Poincaré

 

 

Qui est Poincaré ?

Jules Henri Poincaré était un mathématicien français, diplômé du corps des Mines, enseignant a l’Université de Caen et à la Sorbonne, fondateur de la topologie algébrique et philosophe des sciences du XIX° siècle (1854-1912).

Il est à l’origine des propriétés du groupe de Poincaré-Lorenz sur les particules qui inspirera Einstein sur sa théorie de la relativité.

Sa conjecture sur la topologie, sur laquelle nous allons travailler, fut énoncée en 1904 et à été prouvée en 2003 par Grigori Perelman(de l’institut Steklov de Saint-Petersbourg) dont les articles sont publiés sur le site « arXiv », réservé à la publication scientifique.

 

Qu’est-ce que la topologie de Poincaré ?

La topologie est « la science qui étudie les propriétés géométriques d’un objet quand celui-ci est étiré, tordu ou rétréci ». On peut représenter la topologie avec des objets en plastique mou, déformables, indéchirables, incollables et sans plis marqués. Les objets sont représentés comme des ensembles de points particuliers.

 

Exemples :

 

« L’élastique » représenté ci-contre n’est en réalité qu’une seule surface, inorientable. C’est le cas pour tout les rubans avec un nombre IMPAIR de demi-tours. Cette représentaton est appelé « Ruban de Moebius » ou « surface unilatère ».

 

 

 

 

 

 

 

La bouteille de Klein ci-contre est une autre curiosité topologique : en effet, c’est un objet dont on ne peut différencier l’intérieur et l’extérieur.

 

Voici une vidéo Youtube qui représente bien la bouteille de Klein :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

La sphère inversée est très compliquée à représenter : en effet, aucun dessin ne permet de visualiser une telle opération... et il est très difficile d'imaginer ce « retournement ».

 

La vidéo qui suit explique de la meilleure façon la méthode employée pour « retourner » une sphère et de passer de l’intérieur à l’extérieur, ou inversement :

 

 

 

 

 

 

 

 

Quel est/sont le(s) but(s) de la conjecture de Poincaré ?

Les buts de cette conjecture sont multiples :

-donner un sens au notions de continuité, de limite...

-définir des notions comme « ouvert », « fermé », « compact », « adhérent », « convergent », …

-étudier les liens entre espaces topologiques et espaces métrisables.

 

Grâce à la propriété topologique suivante, Poincaré montre qu'une surface ayant le même groupe que la sphère lui est topologiquement équivalente.

 

Comment Poincaré parvient-il a cette caractéristique ?

La question fondamentale que se posait Poincaré était : « Comment classer les objets selon leur forme pour les organiser en familles, en classes, de manière à en déduire des propriétés communes ? ».

Poincaré cherche une propriété topologique pour effectuer une classification des espaces et des corps. Il met donc au point le concept de « groupe fondamental »: si on a prouvé une propriété relative à un groupe, on peut utiliser cette propriété sans avoir a la redémontrer chaque fois que l'on reconnaît un groupe. Ces groupes sont classés par leur dimensions « n » :

-si n=1, c'est un cercle

-si n=2, c'est une sphère

-si n=3, c'est une boule

-si n ? 4, c'est une hypersphère.

 

 

 

Son cheminement consiste à décomposer l'objet en élément de base, selon une règle, et à compter ces éléments selon leur dimension : points (dimension 0), segments (dimension 1), surfaces (dimension 2), volumes (dimension 3), hyper-volumes (dimension 4 et plus).

Le but est donc de contracter l'objet au maximum sur son propre espace.

 

Exemple :

Un segment, une portion de courbe se réduisent à un point. Il en est de même pour un tube qui, en se réduisant, devient un cercle. Cette caractéristique est un principe général de la topologie.

 

Les éléments de base sont le point (P), le segment, la courbe ou la ligne (L) et le disque, la feuille ou la surface (S).

Le théorème de Descartes-Euler se traduit par l'expression k=F+S-A, avec F les faces, S les sommets et A les arrêtes. Le nombre k est un invariant pour tout polyèdre.

 

 

Les illustrations suivantes montrent les objets, leurs dimensions et leur caractéristique d'Euler-Poincarré : P-L+S

 

 

 

Décomposition en objets de base :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bilan :

Tableau de caractéristiques :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Quelle que soit la décomposition de l'objet, ses éléments de bases restent les mêmes, tout comme sa caractéristique d'Euler-Poincarré (CEP) qui est constante.

 

L’intérêt de cette caractéristique réside dans le fait que la simplification des objets est indispensable pour les dimensions supérieures a 4 ; grâce à cette simplification, l'objet est ramené à une dimension plus basse.

 

SOURCES :

>http://villemin.gerard.free.fr/

>http://www.youtube.com/watch?v=R_w4HYXuo9M

>http://www.youtube.com/watch?v=sRTKSzAOBr4

 

 

Raphaëlle C. et Simon F.

 

Henri Poincaré mardi, 6 novembre 2012

Il y a cents ans déjà que mourrait un des plus grands mathématiciens ayant vécu sur Terre, Henri Poincaré. 

 

Henri Poncaré est né le 29 avril 1854 à Nancy et est mort le 17 juillet 1912 à Paris. Il vient d’une famille appartenant à l’élite intellectuelle. Son cousin germain est Raymond Poincaré, ancien président de la république.

Il est diplômé de prestigieuses écoles, comme l’école Polytechnique et l’école des Mines. Son parcours fut remarquable, et présageait déjà du futur.

Il est notamment connu pour ses travaux sur la relativité et la théorie du chaos. Il est le fondateur de la topologie algébrique

Il est aussi un philosophe averti, et oeuvre à la vulgarisation de ses travaux scientifiques.

Henri Poincaré est l’un des derniers grands savants universels.

 

sources : Wikipédia

 

 

Julien, Simon et Thibaut, 1ère S.

L’intuition et Poincaré dimanche, 4 novembre 2012

 

 

 

Dans le cadre du centenaire de la mort d’Henri Poincaré, nous commémorons le souvenir d’un illustre mathématicien mais pas seulement. Henri Poincaré fût un personnage aux multiples facettes qui marqua profondément son temps et qui fascine toujours autant la communauté scientifique et philosophique dans son ensemble. Aussi pour ne pas tomber dans l’adoration du personnage en vue des révolutions dont il est le -père, une approche de son travail philosophique axée sur les Mathématiques paraît intéressante. Sujet d’approche qui ouvre au personnage quant à ses réflexions sur la place qu’ont les Mathématiques en son temps : Quelle place Henri Poincaré donne-t-il à l’intuition et à la logique dans la Mathématique ?

 

 

Henri Poincaré, fût un mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français. Il naquît le 29 avril 1854 et mourût le 17 juillet 1912. Il est considéré comme un des derniers grands savants universels maîtrisant en particulier l’ensemble des branches des Mathématiques de son époque.

Mathématicien de premier plan, son nom est attaché à plusieurs théorèmes des objets Mathématiques.  C’est ainsi, que nous commémorons cette année le centenaire de la mort de cet illustre savant français.

Quant au fondement même de cette science que sont les Mathématiques, Henri Poincaré nous livra d’importants travaux et des pensées toutes particulières sur la place de l’intuition et de la logique dans les Mathématiques, soit la place de deux composantes permettant le raisonnement déductif profitable à l’avancée des Mathématiques. Il accorde à cette réflexion une place importante dans son œuvre de penseur (ou son œuvre philosophique), tout particulièrement dans La valeur de la science.

 

On s’intéressera ici, vous l’avez compris à la pensée philosophique de Poincaré. C’est ainsi que l’objet d’étude sera axée sur le versant philosophique de ce personnage aux caractères multiples et qui tendent, sans l’être réellement, vers l’inconditionné. Ce colossal esprit dont Poincaré nous fait le don et l’honneur de son partage, à travers la plénitude de son Œuvre.

 

Avant de rentrer de façon plus directe dans le sujet qui nous intéresse, celui de la place de l’intuition et de la logique dans les Mathématiques, il semble intéressant de définir certains termes à suivre et indispensables à la compréhension du sujet traité. Tout d’abord, qu’est-ce que l’intuition ? L’intuition est pour Platon (n’oublions pas que nous travaillons dès lors sur un registre philosophique), la saisie immédiate de la vérité de l’idée par l’âme indépendamment du corps. Nous dirons ici seulement que c’est une connaissance immédiate d’un objet par l’esprit. Nous parlerons ici d’objets mathématiques bien entendu. Quant à la logique, au sens philosophique du terme, c’est une science formelle (qui peut ainsi s’astreindre de la vérité matérielle) et qui vise à déterminer dans quelles conditions un raisonnement relevant du discursif est valide, c’est ainsi que certains raisonnements valides logiquement peuvent être faux matériellement.

 

Les Mathématiques forment à eux une science dite hypothético-déductive, c’est ainsi une démarche tirant toutes les conséquences d’hypothèses ou d’axiomes admis comme point de départ. La citation de Blanché, contemporain de Poincaré, nous éclairera sans doute : « La démonstration mathématique dit seulement ceci : si l’on pose, arbitrairement tel ensemble de principes, voici les conséquences qui, formellement en résultent. La nécessité ne réside plus dans le lien logique qui unit les propositions, elle s’est retirée des propositions elles-mêmes. La mathématique est devenue un système hypothético-déductif », L’Axiomatique.

 

Or, voici qu’Henri Poincaré se défend de cette vision des Mathématiques, celle que Blanché nous propose, vision qui fait de cette science un univers totalement abstrait se trouvant au-dehors du monde réel, du monde sensible et faisant alors des Mathématiques une science toute particulièrement dénuée de sens puisque inapplicable aux objets de ce monde.

 

Poincaré, dans ces écrits, exprime qu’à travers l’étude même des recherches du savoir mathématiques, soit des mathématiciens, qu’il est immanquable de ressentir une diversité d’esprit qui les meuvent. Certains sont animés selon lui d’un esprit logicien et d’autres d’un esprit intuitif, qu’il nommera respectivement analystes et géomètres. Mais ne nous trompons guère, un analyste s’essayant à la géométrie restera un analyste et inversement un géomètre restera un géomètre en faisant de l’analyse pure. Selon Poincaré, c’est la nature même de leur esprit qui les font logiciens ou intuitifs. Ce n’est pas l’éducation qui a développé en eux l’une des deux tendances. Ainsi, comme on naît mathématicien et on ne le devient pas, on naît analyste ou bien géomètre. C’est la nature même de leur esprit qui les fait logiciens ou intuitifs, et ils ne peuvent la dépouiller quand ils abordent un sujet nouveau. Les analystes sont incapables de voir dans l’espace. En un sens, ils ne sont pas en relation intelligible avec celui-ci, et donc avec l’intuition, puisque les notions spatio-temporelles ne sont connues que de l’intuition. Tandis que l’analyste ne peut recourir à l’intuition dans ses raisonnements, le géomètre quant à lui se lasserait promptement des longs calculs et s’y embrouillerait tandis que l’analyste s’y déplacerait comme dans un lieu qui lui est bien connu. Les deux sortes d’esprits sont également nécessaires aux progrès de la Science. Les logiciens, comme les intuitifs, ont fait de grandes choses que les autres n’auraient pas pu faire.

 

Comme vu antérieurement, Henri Poincaré ne conçoit pas les Mathématiques autrement que par l’association de ces deux formes d’esprits qui lui sont indispensables. Car sans elles, l’avancée de la Mathématique ne peut exister. Il prend comme exemple Euclide qui part bien évidemment de l’intuition puisque son projet scientifique n’est pas le fruit d’un savoir passé, mais qui pour autant présente dans son œuvre une rigueur mathématique qui relève du logicien : « Euclide, par exemple, a élevé un échafaudage savant où ses contemporains ne pouvaient trouver de défaut. Dans cette vaste construction, dont chaque pièce, pourtant, est due à l’intuition, nous pouvons encore aujourd’hui sans trop d’efforts reconnaître l’œuvre d’un logicien », La valeur de la science.

 

Selon Poincaré, le mathématicien du passé est doté premièrement de l’intuition, c’est l’avant-gardiste qui extériorise un raisonnement nouveau. Mais l’intuition ne peut nous donner la rigueur, on s’en est aperçu de plus en plus. L’intuition est par essence potentiellement fausse, elle ne nous donne pas de certitude c’est alors que la logique vient se mêler à l’histoire des Mathématiques. Le besoin de rigueur et d’accord au sein de la communauté mathématique est sans précédant. La logique s’installe alors peu à peu dans les mathématiques à travers les définitions, car faudrait-il encore s’accorder sur ce qui définit les objets mathématiques afin de pouvoir raisonner de manière cohérente et constructive dans les démonstrations qui en découlent. C’est là d’abord que les logiciens ont dû porter leurs efforts. La cohérence des objets mathématiques apparaît alors : « Les Mathématiques (…) se sont arithmétisées. », La valeur de la science.

 

Mais attention, l’intuition n’est pas forcément fondée sur le témoignage des sens, en effet celle-ci se voit dépasser par certains objets mathématiques comme par exemple le chiliogone, qui est un polygone à 1000 côtés possédant 498 500 diagonales et non découvert dans le réel mais dans l’abstrait. Et pourtant nous raisonnons selon cet objet mathématique et nous lui découvrons des propriétés : son périmètre, son aire, son apothème, son rayon. L’intuition peut-être aussi due à une induction, opération mentale qui consiste en une démarche ascendante, il s’agit de remonter des faits expérimentaux à la loi. L’intuition peut aussi prendre la forme du nombre pur, qui sert de socle, de base à l’analyse pure. En raisonnant en nombre pur, par exemple avec les entiers naturels en arithmétique, on ne peut se tromper. « On peut dire qu’aujourd’hui la rigueur absolue est atteinte. », La valeur de la science.

 

 

 

Poincaré fût certainement homme qui regardait le monde à travers son prochain, aussi, médita-t-il sur l’apprenant, sur l’élève, sur celui qui vide de savoir ne demande qu’à en être remplit.

 

C’est ainsi qu’il pense que l’intuition est indispensable à la transmission du savoir mathématique et à son évolution : « Sans elle, les jeunes esprits ne sauraient s’initier à l’intelligence des Mathématiques ; ils n’apprendraient pas à les aimer et n’y verraient qu’une vaine logomachie ; sans elle surtout, ils ne deviendraient jamais capables de les appliquer. », La valeur de la science. En effet, la rigueur mathématique absolue est atteinte, et ceci montre une voix qui ne saurait nous apprendre d’avantage. La science Mathématique à travers une rigueur absolue se verrait inévitablement coupé, séparé de ce réel qui la fît naître. Elle deviendrait alors artificielle. Elle oublierait ainsi ses origines et se coupant du réel, elle ne permettrait que de résoudre les problèmes et non plus de les poser, puisque c’est bien l’intuition qui pousse à s’interroger et à formuler des problèmes. La logique ne suffit pas.

 

La science de la démonstration n’est pas la science tout entière et l’intuition doit conserver son rôle comme complément, comme contrepoids. Le raisonnement purement logique des mathématiques n’aboutiraient qu’à des tautologies et aucune recherche nouvelle ne pourrait exister, car c’est dans la projection du résultat que l’on démontre. Sans but la démonstration ne peut être. Sans intuition, l’avancée mathématique ne peut exister.

 

Pour conclure sur ce sujet, nous dirons qu’Henri Poincaré nous transmet un savoir universel lié à sa personne qui est sans équivalent dans l’érudition connue depuis. A travers sa philosophie des Mathématiques, il pointe du doigt, différentes formes d’esprit, toutes liées d’abord à celle de l’intuition et qui avec l’évolution des Mathématiques à travers les âges ont évolués aussi, faisant paraître des esprits logiques. Ces deux formes d’esprit contribuent au savoir Mathématique de façon dépendante. Mais l’intuition dont on parle est universel à l’esprit de chaque mathématicien, en effet l’analyste fera appel à l’intuition du nombre pur et le géomètre à l’espace. C’est ainsi que Poincaré distingue différentes intuitions. L’intuition reste tout de même la chose la plus importante et qui sans elle ferait des mathématiques une science stagnante et sans intérêts car dépourvu de tout rapports au réel et donc à l’homme. Ainsi il pousse à l’éducation et à l’apprentissage des mathématiques liée à l’intuition qui permet de répondre aux problèmes mais surtout de les poser, problèmes qui traduisent la recherche et le désir de progrès, par conséquent la perpétuelle évolution de cette science que sont les Mathématiques.

 

 

 

Samy M.

 

 

 

Sources :  http://fr.wikipedia.org/wiki/Henri_Poincar%C3%A9

 

La valeur de la science, Henri Poincaré.